当前位置：文档库 › 含参函数的单调性

含参函数的单调性

一、含参函数的单调性

1．已知函数()(1)ln(1)f x ax a x =-++，其中1a ≥-，求函数()f x 的单调区间．

2．已知函数()ln ,()3ax

f x ax x

g x e x =-=+其中a R ∈．

（1）求函数()f x 的极值；（2）若存在区间M ，使()f x 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围．

3．设函数()(1)ln(1)f x x x =++，若对所有的0x ≥，都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围．

4．已知函数2

1()2ln (21),2

f x x ax a x a R =+-+∈．讨论()f x 的单调性．

5．已知函数2

1()()2

x f x xe a x x =-+，求函数()f x 的单调区间．

6．已知函数()()sin cos ,(0,)f x x x x x απ=-+∈．当2

α>时，求()f x 的单调区间．

7．讨论()(1)ln 1f x x x x =+-+函数的单调性．

8．已知函数1()2ln ()f x a x x a R x ??

=--∈ ???

，求()f x 的单调区间．

导数应用：含参函数的单调性讨论(二)

导数应用：含参函数的单调性讨论(二) 对函数(可求导函数)的单调性讨论可归结为对相应导函数在何处正何处负的讨论，若有多个讨论点时，要注意讨论层次与顺序，一般先根据参数对导函数类型进行分类，从简单到复杂。一、典型例题例1、已知函数3 2 ()331,f x ax x x a R =+++∈,讨论函数)(x f 的单调性. 分析：讨论单调性就是确定函数在何区间上单调递增，在何区间单调递减。而确定函数的增区间就是确定0)('>x f 的解区间；确定函数的减区间就是确定0)('时，/2 ()3(21)f x ax x =++的图像开口向上，36(1)a ?=- I) 当136(1)0,a a ≥?=-≤时，时，/ ()0f x ≥，所以函数()f x 在R 上递增； II) 当0136(1)0,a a <时，时，方程/ ()0f x =的两个根分别为 1211x x a a ---+= =且12,x x < 所以函数()f x 在1(, a --∞，1(,)a -+∞上单调递增，在11( a a --+上单调递减； (3) 当0a <时，/2 ()3(21)f x ax x =++的图像开口向下，且36(1)0a ?=-> 方程/ ()0f x =的两个根分别为1211,,x x a a --= =且12,x x > 所以函数()f x 在1(, a --∞，1()a -+∞上单调递减，在11( )a a -+--上单调递增。综上所述，当0a <时，所以函数()f x 在11( ,a a --上单调递增，在1(, a -+-∞，1(,)a -+∞上单调递减；当0a =时，()f x 在1(,]2-∞-上单调递增，在1 [,)2 -+∞上单调递减；当01a <<时，所以函数()f x 在(-∞，)+∞上单调递增，在上单调递减；当1a ≥时，函数()f x 在R 上递增；小结：导函数为二次型的一股先根据二次项系数分三种情况讨论（先讨论其为0情形），然后讨论判别式（先讨论判别式为负或为0的情形，对应导函数只有一种符号，原函数在定义域上为单调的），判别式为正的情况下还要确定两根的大小（若不能确定的要进行一步讨论），最后根据导函数正负确定原函数相应单调性，记得写出综述结论。

函数单调性与最值讲义及练习题.docx

函数的单调性与最值基础梳理 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数 f ( x) 的定义域为 I . 如果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2 定义当x1＜x2时，都有 f ( x1 ) 当x1＜x2时，都有 f ( x1) ＜f ( x2) ，那么就＞f ( x2 ) ，那么就说函数f 说函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数 ( x ) 在区间 D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数 f ( x) 在区间 D上是增函数或减函数，则称函数 f ( x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，区间 D 叫做 f ( x) 的单调区间． 2．函数的最值前提设函数 y＝f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈ I ，都①对于任意 x∈I ，都有条件有 f ( x) ≤ M； f ( x) ≥ M； .②存在 x0∈ I ，使得②存在 x0∈ I ，使得 f ( x0 ) f ( x0 ) ＝ M M ＝ . 结论M为最大值M为最小值注意：

一个防范 1 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝x分别在 ( －∞， 0) ，(0 ，＋∞ ) 内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即 ( －∞，0) ∪(0 ，＋∞ ) 内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为 ( －∞，0) 和(0 ，＋∞ ) ，不能用“∪”连接．两种形式设任意 x1，x2∈[ a， b] 且 x1＜x2，那么 f x1－f x2 f x1－f x2 ①＞ 0? f ( x) 在 [ a，b] 上是增函数；＜0? f ( x) x1－x2x1－x2 在 [ a，b] 上是减函数． ②( x1－ x2 )[ f ( x1) －f ( x2)] ＞0? f ( x) 在[ a，b] 上是增函数；( x1－x2)[ f ( x1) －f ( x2)] ＜0? f ( x) 在 [ a，b] 上是减函数．两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大 ( 小 ) 值．四种方法函数单调性的判断 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论． (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数． (3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性．单调性与最大（小）值同步练习一、选择题 1、下列函数中，在 (0 ，2) 上为增函数的是 ( )

第08讲函数的单调性(学生版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第8讲：函数的单调性一、课程标准 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义 2.掌握求函数的单调性的方法· 3.能处理函数的最值问题。二、基础知识回顾 1. 函数单调性的定义 (1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)． (2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间． 2. 函数单调性的图像特征对于给定区间上的函数f(x)，若函数图像从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图像从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减． 3. 复合函数的单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减． 4. 函数单调性的常用结论 (1)对?x1，x2∈D(x1≠x2)，f（x1）－f（x2） x1－x2>0?f(x)在D上是增函数； f()x1－f()x2 x1－x2<0?f(x)在D上是减函数． (2)对勾函数y＝x＋a x(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为(－a，0)和(0，a)． (3)在区间D上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数． (4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减” 5.常用结论 1．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：

函数的单调性与最值(讲义)

函数的单调性与最值【知识要点】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 (2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝ f (x )的单调区间．（3）判断函数单调性的方法 ①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。 2．函数的最值求函数最值的方法： ①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；

②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。【复习回顾】一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质： (1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a - 时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；提出问题: ①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? ①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？ ②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？ ③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数.简称为：步调不一致减函数. 几何意义：减函数的从左向右看,图象是的. 例如图是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数. 点评：图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

导数应用_含参函数的单调性讨论(一)

导数应用：含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈?Y Y Y Y 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。二、典例讲解例1 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性

小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出)('x f 的零点，再其分区间然后定)('x f 在相应区间的符号。一般先讨论0)('=x f 无解情况，再讨论解 0)('=x f 过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x 围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域的），即根据)('x f 零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。变式练习2. 讨论x ax x f ln 2 1)(2 += 的单调性小结：一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。对于二次型函数（如1)(2 +=ax x g ）讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。例3．求1)(232--+=x ax x a x f 的单调区间

函数单调性讲义提高

函数单调性 1单调性定义（1）单调性定义：设函数的定义域为A ，区间I A ?。如果对于任意1x ，2x ∈I ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说()f x 在区间I 上是单调减函数．区间I 叫做()f x 的单调减区间；如果对于任意1x ，2x ∈I ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间I 上是单调增函数．区间I 叫做()f x 的单调增区间；单调增区间或单调减区间统称为单调区间。（2）函数的单调性通常也可以以下列形式表达： 1212()()0f x f x x x ->- 单调递增 1212 ()() 0f x f x x x -<- 单调递减例1定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ，总有 ()() 0f a f b a b ->-成立，则必有（） A 、函数()f x 是先增加后减少 B 、函数()f x 是先减少后增加 C 、()f x 在R 上是增函数 D 、()f x 在R 上是减函数（3）增函数、减函数的定义及图形表示增函数: )()(2121x f x f x x ?< 注意：对于函数单调性定义的理解，要注意以下两点 ①函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)在区间A 与B 上都是增(或减)函数，在A ∪B 上不一定单调． ②单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x 1，x 2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替． ③在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域

含参不含参函数单调性

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:

利用导数研究函数单调性

不含参函数单调性【题型一】因式分解【例1】求函数的单调区间。【变式1】求函数421()342 f x x x x = -+的单调区间。【例2】求函数2()322 x x e f x e x =-+的单调区间。【变式1】求函数2()ln 7ln f x x x x x x =-+的单调区间。【例3】求函数()2()2x x x f x x e e -= +-的单调区间。【变式1】求函数22 ln 3()ln 224 x x x f x ex x ex =--+的单调区间。 3227()154()32f x x x x x R = +-+∈

【例4】求函数()2 ()ln 22 x f x x x e x =+-+的单调区间。【变式1】求函数()()ln 1x f x e x =-+的单调区间。【例5】求函数2()ln f x x x x =-的单调区间。【变式1】求函数ln 1()x e x e f x e +-= 的单调区间。【变式２】求函数2()mx f x e x mx =+-的单调区间。

【例6】求函数2311()26 x f x e x x x =-+ -的单调区间。【变式1】求函数2 ()cos 12 x f x x =+-的单调区间。【例7】求函数()2311()123x f x x ex e x = -+-的单调区间。【变式1】求函数()41()24x f x x e x x =--+，112，??∈ ???x 的单调区间。

导数讨论含参单调性习题(含详细讲解答案)

1．设函数．（1）当时，函数与在处的切线互相垂直，求的值；（2）若函数在定义域内不单调，求的取值范围；（3）是否存在正实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由． 2．已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：；（3）当时，判断函数零点的个数，并说明理由． 3．已知函数（其中，）. （1）当时，若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（2）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立，如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由（其中是自然对数的底数，）. 4．已知函数，其中为常数. （1）讨论函数的单调性；（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有. 5．已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数是区间上的减函数. （1）求的值；（2）若在及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；（3）讨论关于的方程的根的个数.

6．已知函数()()ln ,x f x ax x F x e ax =-=+，其中0,0x a ><. （1）若()f x 和()F x 在区间()0,ln3上具有相同的单调性，求实数a 的取值范围；（2）若21,a e ? ? ∈-∞- ??? ，且函数()()12ax g x xe ax f x -=-+的最小值为M ，求M 的最小值. 7．已知函数()ln x m f x e x +=-. （1）如1x =是函数()f x 的极值点，求实数m 的值并讨论的单调性()f x ；（2）若0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围（注：已知常数a 满足ln 1a a =）. 8．已知函数()()2 ln 12x f x mx mx =++-，其中01m <≤．（1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()3 3 x f x ≤；（2）试讨论函数()y f x =的零点个数． 9．已知e 是自然对数的底数,()()()1 2ln ,13x F x e x x f x a x -=++=-+. （1）设()()()T x F x f x =-,当112a e -=+时, 求证：()T x 在()0,+∞上单调递增；（2）若()()1,x F x f x ?≥≥,求实数a 的取值范围. 10．已知函数()2x f x e ax =+- （1）若1a =-，求函数()f x 在区间[1,1]-的最小值；（2）若,a R ∈讨论函数()f x 在(0,)+∞的单调性；（3）若对于任意的1212,(0,),,x x x x ∈+∞<且 [][]2112()()x f x a x f x a +<+都有成立，求a 的取值范围。

含参函数的单调性习题

导数专题------求函数的单调区间 1.设()()2 56ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线 ()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点 ()0,6.(1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值. 2.设函数()()2 1x f x x e kx =--(k ∈R ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间; 3.已知函数ln ()x x k f x e +=（k 为常数， 2.71828e =???是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. （Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间； 4. 的单调区间求设函数)(,0,ln )(22x f a ax x x a x f >+-= 的单调区间和极值。）求函数（处的切线的斜率；，在点（（时，求曲线当（设函数)(2))1(1)1)1(. 0),(,)1(3 1 ).5223x f f x f y m m R x x m x x x f ==>∈-++-=

。的单调区间和极小值点求函数其中（已知函数 ) ( .0 , ln ) 1( 2 1 ) .62 x f a x a x a x x f> + + - = 的单调区间。）求（处的切线方程，在点（时，求曲线当已知函数 ) ( 2 )) 1( 1 ) ( 2 )1( , 2 ) 1 ln( ) ( .72 x f f x f y k x k x x x f = = + - + = 8. 的单调区间。（求已知函数) ), .( )1 ( ln ) (2x f R a ax x x a x f∈ - - - = 的单调区间。讨论已知函数) ( ), 1 (, ln ) ( .9x f x ax x x x f> - =

专题5导数的应用含参函数的单调性讨论(答案)

〖专题5〗导数的应用—含参函数的单调性讨论 “含参数函数的单调性讨论问题”是近年来高考考查的一个常考内容，也是我们高考复习的重点．从这几年来的高考试题来看，含参数函数的单调性讨论常常出现在研究函数的单调性、极值以及最值中，因此在高考复习中更应引起我们的重视．一、思想方法：上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论．二、典例讲解 [典例1] 讨论x a x x f + =)(的单调性，求其单调区间．解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号) I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数，即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)(' a x x a x x f < <<<-?≠<00)0(0)('或此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数， )(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和),(+∞a ; )(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并． [变式练习1] 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间．

(完整版)用导数求函数的单调区间含参问题

用导数求函数的单调区间——含参问题一、问题的提出应用导数研究函数的性质：单调性、极值、最值等，最关键的是求函数的单调区间，这是每年高考的重点，这也是学生学习和复习的一个难点。其中，学生用导数求单调区间最困难的是对参数分类讨论。尽管学生有分类讨论的意识，但是找不到分类讨论的标准，不能全面、准确分类二、课堂简介请学生求解一下问题，写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。例1、求函数R a a x x x f ∈-= ),()(的单调区间。解：定义域为),0[+∞ ,23)('x a x x f -=令,0)('=x f 得,3 a x = (1) 0≤a ,0)('≥x f 恒成立，)(x f 在),0[+∞上单调递增； (2) 0>a ,令0)('>x f 得∴> 3a x )(x f 在)3,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。所以，当0≤a 时，)(x f 在),0[+∞上单调递增；当0>a 时，)(x f 在)3 ,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。分类讨论特点：一次型，根3 a 和区间端点0比较例2、求函数R a x a ax x x f ∈+-+-=,1)1(2131)(23的单调区间。解：定义域R ),1)](1([1)('2---=-+-=x a x a ax x x f 令,0)('=x f 得1,121=-=x a x (1) 211>>-a a 即，令0)('>x f 得∴<->11x a x 或)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调递增。 (2) 21 1==-a a 即，0)('≥x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增。 (3) 211<<-a a 即，令0)('>x f 得∴>-<11x a x 或)(x f 在)1,(--∞a 上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞上单调递增。所以，当2>a 时，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调

函数单调性讲义

学子教育学科教学案课题函数的单调性与最值问题教学目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； 2. 能够熟练应用定义判断数在某区间上的单调性； 3. 理解函数的最大（小）值及其几何意义； 4. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 重点、难点重点：函数的单调性及其几何意义；函数的最大（小）值及其几何意义；难点：用定义判断函数在某区间上的单调性；运用函数图象理解和研究函数的性质. 考点及考试要求考点一：函数的单调性与最大（小）值（选择、填空、解答）教学内容知识框架一、函数的单调性的定义 1.增减函数的定义：对于给定区间上的函数()f x ； ① 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x x 12，，当x x <12时，都有()()f x f x <12，那么就说()f x 在这个区间上是增函数； ② 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x x 12，，当x x <12时，都有()()f x f x >12，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 2．用定义证明函数的单调性的步骤是： ① 在相应区间内任取自变量x x <12； ② 比较()f x 1与2()f x 的大小：作差(作商)——变形——判断符号(与1的大小)； ③ 根据定义下结论，注明区间。二、求函数的单调区间 1．函数的单调区间：如果函数()y f x =在某个区间上是增函数(或减函数)，就说()f x 在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间。 2.复合函数单调性：复合函数[()]f g x 的单调性与构成它的函数()u g x =，()y f u =的单调性密切相关，其规律如下表：说明：（1）① 函数的单调性是函数的局部性质，是相对于区间而言的。 ② 函数的定义域不一定是函数的单调区间，但函数的单调区间必是定义域的子区间。（2）复合函数[()]y f g x =的单调规律是“同则增，异则减”，即．()f u 与．()g x 若具有相同的单调性．．．．．．．．．则．)]([x g f 必为增函数；若具有不同的单调性则．．．．．．．．．．．．．．．．[()]f g x 必为减函数．．．．．。讨论复合函数单调性的步骤是： ① 求出复合函数的定义域； ② 把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性；

导数讨论含参函数的单调性

导数讨论含参函数的单调性【思想方法】上为常函数在区间时上为减函数在区间时上为增函数在区间时和增区间为和增区间为D x f x f D x D x f x f D x D x f x f D x D C x f D C x x f B A x f B A x x f )(0)(')(0)(')(0)('...,)(...0)('...,)(...0)('?=∈?<∈?>∈?∈? 讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。【典例讲解】例1 讨论x a x x f +=)(的单调性，求其单调区间解：x a x x f + =)(的定义域为),0()0,(+∞-∞ )0(1)('2 22≠-=-=x x a x x a x f (它与a x x g -=2 )(同号)I ）当0≤a 时，)0(0)('≠>x x f 恒成立，此时)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是单调增函数，即)(x f 的增区间是)0,(-∞和),0(+∞; II) 当0>a 时 a x a x x x f > -或)0(0)('， a x x a x x f <<<<-?≠<00)0(0)('或，此时)(x f 在),(a --∞和),(+∞a 都是单调增函数，)(x f 在)0,(a -和),0(a 都是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(a --∞和 ),(+∞a ;)(x f 的减区间为)0,(a -和),0(a . 步骤小结：1、先求函数的定义域， 2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负）， 3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况， 4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界）， 5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。变式练习1 : 讨论x a x x f ln )(+=的单调性，求其单调区间解：x a x x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(1)('>+=+ =x x a x x a x f (它与a x x g +=)(同号) I ）当0≥a 时，)0(0)('>>x x f 恒成立，此时)(x f 在),0(+∞为单调增函数，即)(x f 的增区间为),0(+∞，不存在减区间; II) 当0?>>)0(0)(';a x x x f -<<0)0(0)(' 此时)(x f 在),(+∞-a 为单调增函数，)(x f 在),0(a -是单调减函数，即)(x f 的增区间为),(+∞-a ;)(x f 的减区间为),0(a -. 例2．讨论x ax x f ln )(+=的单调性解：x ax x f ln )(+=的定义域为),0(+∞ )0(11)('>+=+ =x x ax x a x f (它与1)(+=ax x g 同号)