平面图形的几何性质

附录A 平面图形的几何性质

附录A 平面图形的几何性质

§A-1 引言

不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。

研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。

§A-2 静矩、形心及相互关系

任意平面几何图形如图A-1所示。在其上取面积微元dA，

该微元在Oxy坐标系中的坐标为x、y。定义下列积分：

（A-1）

分别称为图形对于x轴和y轴的截面一次矩或静矩，其单

位为。

如果将dA视为垂直于图形平面的力，则ydA和zdA分别

为dA对于z轴和y轴的力矩；

和

则分别为dA对

z轴和y轴之矩。图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于图形平面的力，则形心即为合力的作用点。

设

、

为形心坐标，则根据合力之矩定理

(A-2)

或

(A-3)

这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。

根据上述定义可以看出：

1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。

2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。

实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。即

:

(A-4)

(A-5)

§A-3惯性炬、极惯性炬、惯性积、惯性半径

图A-1中的任意图形，以及给定的Oxy坐标，定义下列积分：

(A-6)

(A-7)

分别为图形对于x轴和y轴的截面二次轴矩或惯性矩。

定义积分

(A-8)

为图形对于点O的截面二次极矩或极惯性矩。

定义积分

(A-9)

为图形对于通过点O的一对坐标轴x、y的惯性积。

定义

,

分别为图形对于x轴和y轴的惯性半径。

根据上述定义可知：

1.惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。三者的单位均为或。

2.因为=+，所以由上述定义不难得出

=+ (A-10)

3.根据极惯性矩的定义式(A-8)，以及图A-2中所示的微面积取法，不难得到圆截面对其中心的极惯性矩为

(A-11) (A-12)

式中,d为圆的直径；R为半径。

类似地，还可以得圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为

, (A-13)

式中，D为圆环外径；d为内径。

4.根据惯性矩的定义式(A-6)、(A-7)，注意微面积的取法(图A-3所示)，不难求得矩形对于平行其边界的轴的惯性矩：

, (A-14)

根据式(A-10)、(A-11)，注意到圆形对于通过其中心的任意两根轴具有相同的惯性矩，便可得到圆截面对于通过其中心的任意轴的惯性矩均为

(A-15)

对于外径为D、内径为d的圆环截面,

(A-16)

应用上述积分，还可以计算其他各种简单图形对于给定坐标轴的惯性矩。

必须指出，对于由简单几何图形组合成的图形，为避免复杂数学运算，一般都不采用积分的方法计算它们的惯性矩。而是利用简单图形的惯性矩计算结果以及图形对于平行轴惯性矩之间的关系，由求和的方法求得。

§A-4 惯性矩与惯性积的移轴定理

图A-4中所示之任意图形，在坐标系Oxy系中，对于x、y轴的惯性矩和惯性积为

另有一坐标系Ox1y1，其中x1和y1分别平行于x和y轴，且二者之间的距离为a和b。

所谓移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知对一对坐标轴的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标轴的惯性矩与惯性积。

下面推证二者间的关系。

根据平行轴的坐标变换

将其代人下列积分

，

得

展开后,并利用式(A-2)、(A-3)中的定义，得

(A-17)

如果x、y轴通过图形形心，则上述各式中的==0。于是得

(A-18)

此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理。其中，式(A-18)表明：

1.图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。

2.图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图形对于平行于该坐标轴的一对通过形心的直角坐标轴的惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积。

3.因为面积及a2、b2项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。

a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，故二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。

§A-5惯性矩与惯性积的转轴定理

所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。

图A-5所示的图形对于x、y轴的、惯性矩和惯性积分别为、和。

现将Oxy坐标系绕坐标原点。反时针方向转过α角，得到一新的坐标系，记为Ox1y1。要考察的是图形对新坐标系的、

、与、、之间的关系。

根据转轴时的坐标变换：

于是有

将积分记号内各项展开，得

(A-19)

改写后，得

（A-20）

上述式(A-19)和(A-20)即为转轴时惯性矩与惯性积之间的关系。

若将上述与相加，不难得到

这表明：图形对一对垂直轴的惯性矩之和与α角无关，即在轴转动时，其和保持不变。

上述式(A-19)、(A-20)，与移轴定理所得到的式(A-18)不同，它不要求x、y通过形心。当然，对于绕形心转动的坐标系也是适用的，而且也是实际应用中最感兴趣的。

§A-6主轴与形心主轴、主矩与形心主矩

从式(A-19)的第三式可以看出，对于确定的点(坐标原点)，当坐标轴旋转时，随着角度α的改变，惯性积也发生变化，并且根据惯性积可能为正，也可能为负的特点，总可以找到一角度α0以及相应的x0、y0轴，图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。为确定α0，令式(A-19)中的第三式为零，

即

由此解得

(A-21)

或

(A-22)

如果将式(A-20)对α求导数并令其为零，即

，

同样可以得到式(A-21)或(A-22)的结论。这表明:当α改变时, 、的数值也发生变化，而当α=α0时，二者分别为极大值和极小值。

定义过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。图形对主轴的惯性矩称为主轴惯性矩，简称主惯性矩。显然，主惯性矩具有极大或极小的特征。

根据式(A-20)和(A-21)，即可得到主惯性矩的计算式

(A-23)

需要指出的是对于任意一点(图形内或图形外)都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工程计算中有意义的是形心主轴和形心主矩。

当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。例如图A-6所示的具有一根对称轴的图形，位于对称轴y一侧的部分图形对x、y轴的惯性积与位于另一侧的图形的惯性积，二者数值相等，但反号。所以，整个

图形对于x、y轴的惯性积=0，故图A-6对称轴为主轴x、y为主轴。又因为C为形心，故x、y为形心主轴。

§A-7组合图形的形心、形心主轴

工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。

因为组合图形都是由一些简单的图形(例如矩形、正方形、圆形等)所组成，所以在确定其形心、

形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴

和转轴定理。一般应按下列步骤进行。

·将组合图形分解为若干简单图形，并应用式(A-5)确定组合图形的形心位置。

·以形心为坐标原点，设Ozy坐标系x、y轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对

自身形心轴的惯性矩，利用移轴定理(必要时用转轴定理)确定各个简单图形对x、y轴的惯性矩

和惯性积，相加(空洞时则减)后便得到整个图形的、和。

·应用式(A-21)和(A-22)确定形心主轴的位置，即形心主轴与x轴的夹角α0。

·利用转轴定理或直接应用式(A-23)计算形心主惯性矩和。

可以看出，确定形心主惯性矩的过程就是综合应用本章§A-2～§A-6全部知识的过程。

常用图形的惯性矩与抗弯截面系数

(2) 空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数

(3) 实心圆截面的惯性矩及抗弯截面系数

(4) 空心圆截面的惯性矩

§A-8例题

例题A-1截面图形的几何尺寸如图A-7所示。试求图中具有断面线部分的I x、I y。

解: 根据积分定义，具有断面线的图形对于x、y轴的惯性矩，等于高为h、宽为b的矩形对于x、y轴的惯性矩减去高

为的矩形对于相同轴的惯性矩，即

上述方法称为负面积法。用于图形中有挖空部分的情形，计算比较简捷。

例题A-2 T形截面尺寸如图A-8a所示。试求其形心主惯性矩。

解：1.分解为简单图形的组合。

将T形分解为如图A-8b所示的两个矩形I和II。

2.确定形心位置

首先，以矩形I的形心C1为坐标原点建立如图A-8b所示的C1xy坐标系。因为y轴为T字形的对称轴，故图形的形心必位于该轴上。因此，只需要确定形心在y轴上的位置，即确定yc。根据式(A-5)的第二式，形心C的坐标。

3.确定形心主轴

因为对称轴及与其垂直的轴即为通过二者交点的主轴，所以以形心C为坐标原点建立如图A-12c所示的Cx0y0坐标系，其中y0通过原点且与对称轴重合，则x0、y0即为形心主轴。

4.采用叠加法及移轴定理计算形心主惯性矩和

根据惯性矩的积分定义，有

例题A-3 图A-9a 所示为一薄壁圆环截面，D 0为其平均直径，δ为厚度，若δ、D 0均为已知，试求薄壁圆环截面对其直径轴的惯性矩。

解：求圆环截面对其直径轴的惯性矩可采用负面积法，即

其中, 。

对于 的薄壁圆环截面，为了使公式简化，可采用近似方法计算。

取积分微元dA 如图A-9b 所示。根据惯性矩的定义，得到

例：直角梯形的形心计算公式

设一般梯形的上底为a ，下底为b ，高为h 。

对于一般梯形的形心到下底的距离y 可用下式表达：

y=b a b a h ++?

23

1 对于一般梯形的形心到腰的距离x ，仅根据a 、b 、h 三个已知量表达不出，但直角梯形的形心到直角腰

的距离可用下式表达：

x=b a ab b a +++?2231 a

对于直角梯形，以上表达式的证明过程如下：

h

b a b a h ++?231

b a ab b a +++?2231 b

将直角梯形分解为一个矩形及一个三角形，设形心到下底的距离为y ，形心到直角腰的距离为x ，可列出以下两个方程：

①：h

h a b h ah y h b a 31)(2121)(2

1?-+?=?+ ②：?

??

???+-?-+?=?+a a b h a b a ah x h b a )(31)(2121)(2

1 解方程①可得：y=b a b a h ++?

23

1 解方程②可得：x=b a ab b a +++?

2231

材料力学习题册答案-附录+平面图形几何性质

附录 截面图形的几何性质 一、是非判断题 ⒈ 图形对某一轴的静矩为零，则该轴必定通过图形的形心。（ √ ） ⒉ 图形在任一点只有一对主惯性轴。（ × ） ⒊ 有一定面积的图形对任一轴的轴惯性矩必不为零。（ √ ） ⒋ 图形对过某一点的主轴的惯性矩为图形对过该点所有轴的惯性矩中的极值。（ √ ） 二、填空题 ⒈ 组合图形对某一轴的静矩等于 各组成图形对同一轴静矩 的代数和。 ⒉ 图形对任意一对正交轴的惯性矩之和，恒等于图形对 两轴交点的极惯性矩 。 ⒊ 如果一对正交轴中有一根是图形的对称轴，则这一对轴为图形 主惯性轴 。 ⒋ 过图形的形心且 图形对其惯性积等于零 的一对轴为图形的形心主惯性轴。 三、选择题 ⒈ 图形对于其对称轴的（ A ） A 静矩为零，惯性矩不为零； B 静矩和惯性矩均为零 C 静矩不为零，惯性矩为零； D 静矩和惯性矩均不为零 ⒉ 直径为d 的圆形对其形心主轴的惯性半径i =（ C ）。 A d/2 B d/3 C d/4 D d/8 ⒊ 图示截面图形中阴影部分对形心主轴z 的惯性矩Z I =（ C ）。 A 123234dD D -π B 6323 4dD D -π C 126434dD D -π D 6643 4dD D -π z

四、计算题 1、求图示平面图形中阴影部分对z 轴的静矩。 232.0)2.06.0(4.0bh h h h b S Z =+??= () 8842422222bh h H B h h b h H h h H B S Z +-=??+??? ??-+?-?= 2、求图示平面图形对z 、y 轴的惯性矩。 4523231023.251040121040251040123010mm I I I II I Z ?=??+?+??+?=+= 由于图形对称，4 51023.2mm I I Z Y ?=== 3、试求图示平面图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。 mm y C 7.56100 20201401010020902010=?+???+??= 4723231021.17.46200.1012201003.33201401214020m m I I I II I Z ?=??+?+??+?=+=46331076.112 100201220140mm I Y ?=?+?= z z z

专题平面几何之圆的性质问题

备考2020中考数学高频考点剖析 平面几何之圆的性质问题 （1）垂径典例相关问题； （2）圆心角相关问题； （3）圆周角相关问题． 考点剖析 例1（2018·湖北荆州·3分）如图，平面直角坐标系中，⊙P经过三点A（8，0），O（0，0），B （0，6），点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时，tan∠BOD的值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：连接AB，过点P作PE⊥BO，并延长EP交⊙P于点D，此时点D到弦OB的距离最大，∵A（8，0），B（0，6）， ∴AO=8，BO=6， ∵∠BOA=90°， ∴AB==10，则⊙P的半径为5， ∵PE⊥BO， ∴BE=EO=3， ∴PE==4， ∴ED=9， ∴tan∠BOD==3． 故选：B． 例2（2018?乐山?3分）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最

高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？” 如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（） A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸 解：设⊙O的半径为r． 在Rt△ADO中，AD=5，OD=r﹣1，OA=r，则有r2=52+（r﹣1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸．故选C． 例3（2018·四川自贡·4分）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（） A． B． C． D． 【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R． 【解答】解：延长BO交⊙O于D，连接CD， 则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°， ∴∠CBD=30°， ∵BD=2R， ∴DC=R， ∴BC=R， 故选：D．

初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析

初中数学几何图形初步经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（ ） A ．主视图 B ．俯视图 C ．左视图 D ．一样大 【答案】C 【解析】 如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图， 故选C ． 2．如图，一个正六棱柱的表面展开后恰好放入一个矩形内，把其中一部分图形挪动了位置，发现矩形的长留出5cm ，宽留出1,cm 则该六棱柱的侧面积是（ ） A ．210824(3) cm - B ．(2 108123cm - C ．(2 54243cm - D ．(2 54123cm - 【答案】A 【解析】 【分析】 设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，分别表示出挪动前后所在矩形的长与宽，由题意列出方程求出a ＝2，h ＝9?36ah 求解． 【详解】 解：设正六棱柱的底面边长为acm ，高为hcm ，

如图，正六边形边长AB ＝acm 时，由正六边形的性质可知∠BAD ＝30°， ∴BD ＝ 12a cm ，AD ＝32 a cm ， ∴AC ＝2AD ＝3a cm ， ∴挪动前所在矩形的长为（2h ＋23a ）cm ，宽为（4a ＋ 1 2 a ）cm ， 挪动后所在矩形的长为（h ＋2a ＋3a ）cm ，宽为4acm ， 由题意得：（2h ＋23a ）?（h ＋2a ＋3a ）＝5，（4a ＋1 2 a ）?4a ＝1， ∴a ＝2，h ＝9?23， ∴该六棱柱的侧面积是6ah ＝6×2×（9?23）＝210824(3) cm -； 故选：A ． 【点睛】 本题考查了几何体的展开图，正六棱柱的性质，含30度角的直角三角形的性质；能够求出正六棱柱的高与底面边长是解题的关键． 3．将一副三角板如下图放置，使点A 落在DE 上，若BC DE P ，则AFC ∠的度数为（ ） A ．90° B ．75° C ．105° D ．120° 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质可得30E BCE ==?∠∠，再根据三角形外角的性质即可求解AFC ∠的度数． 【详解】

初中几何图形的定义性质判定

初中几何图形的定义性 质判定 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

等腰三角形定义 1 有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰 性质 2 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 3 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简称“三线合一”） 4 等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴 判定 5 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”） 等边三角形 定义 1 三边都相等的三角形是等边三角形。 性质 2 等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质 3 等边三角形的每个内角都等于60o 4 等边三角形是锐角三角形 5 等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴 判定

6 有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形 7 有两个角是60o的三角形是等边三角形 直角三角形 定义 1 有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形（Rt三角形）。 性质 2 在直角三角形中，两个锐角互余。 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理） 5 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 6 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 判定 7 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为“HL”) 平行四边形 定义 1 在同一平面内，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质 2 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 3 平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分 判定 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 5 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

初中几何图形的定义、性质、判定

直角三角形 定义 有一个角为90?的三角形，叫做直角三角形（Rt三角形）。性质 在直角三角形中，两个锐角互余。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理）5在直角三角形中，如果一个锐角等于30?,那么它所对的直角边等于斜边的一半 6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。判定 7斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为“HL"） 平行四边形 定义 1在同一平面内，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形性质 2平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心3平行四边形 的对边相等.对角相等、对角线互相平分判定 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 矩形 定义 1有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，通常叫长方形性质

2矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质3矩形既是抽对 称图形也是中心对称图形，对称中心是对角线中点4矩形的对角线相等，四个角都是直角 判定 5对角线相等的平行四边形是矩形 6有一个角是直角的平行四边形是矩形 7有3个角是直角的四边形是矩形 菱形 定义 1 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 性质 2菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质3菱形既是抽对 称图形也是中心对称图形，对称中心是对角线中点4菱形的四条边相等 5菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角6 S菱形=?X对角线 的积 判定 7四边都相等的四边形是菱形 8对角线互相垂直的平行四边形是菱形 9有一组邻边相等的平行四边形是菱形 10有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 正方形定义 1有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形性质 2正方形具有矩形和菱形的性质 3正方形既是抽对称图形也是中心对称图形，对称轴有4条，对称中心是对

圆的基本概念与性质

圆的有关概念和性质 一 本讲学习目标 1、理解圆的概念及性质，能利用圆的概念和性质解决有关问题。 2、理解圆周角和圆心角的关系；能运用几何知识解决与圆周角有关的问题。 3、了解垂径定理的条件和结论，能用垂径定理解决有关问题。 二 重点难点考点分析 1、运用性质解决有关问题 2、圆周角的转换和计算问题 3、垂径定理在生活中的运用及其计算 三 知识框架 圆的定义 确定一个圆 不在同一直线上的三点点与圆的位置关系 圆的性质 圆周角定理及其推论 垂径定理及其推论距关系定理及其推论圆心角、弦、弧、弦心对称性 四 概念解析 1、 圆的定义，有两种方式： 错误！未找到引用源。在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，一个端点A 随之旋转说形成的图形叫做圆。固定端点O 叫做圆心，以O 为圆心的圆记作O ，线段OA 叫做半径； 错误！未找到引用源。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。注意：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 2、 与圆有关的概念： 错误！未找到引用源。弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如图1所示 线段AB ，BC ，AC 都是弦； 错误！未找到引用源。直径：经过圆心的弦叫做直径；如AC 是O 的直径，直径是圆中最长的弦； 错误！未找到引用源。弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简 称弧，如曲线BC,BAC 都是O 中的弧，分别记作BC 和BAC ； 错误！未找到引用源。半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成

两条弧，每条弧都叫做半圆，如AC 是半圆； 错误！未找到引用源。劣弧和优弧：像BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像BAC 这样大于 半圆周的圆弧叫做优弧； 错误！未找到引用源。同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆； 错误！未找到引用源。弓形：由弦及其说对的弧所组成的图形叫做弓形； 错误！未找到引用源。等圆和等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧； 错误！未找到引用源。圆心角：定点在圆心的角叫做圆心角如图1中的∠AOB,∠BOC 是圆心角，圆心角的度数：圆心角的读书等于它所对弧的度数；∠ 错误！未找到引用源。 圆周角：定点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角；如图1中的∠BAC,∠ACB 都是圆周角。 3、 圆的有关性质 ①圆的对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的直线都是它的对称轴，有无数条。圆是中心对称图形，圆心是对称中心，优势旋转对称图形，即旋转任意角度和自身重合。 错误！未找到引用源。垂径定理 A. 垂直于弦的直径平分这条弦，且评分弦所对的两条弧； B. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且评分弦所对的两条弧。如图2 所示。 注意 (1)直径CD ，（2）CD ⊥AB,(3)AM=MB,(4)BD AC =BC ,(5)AD =BD .若 上述5个条件中有2个成立，则另外3个业成立。因此，垂径定理也称五二三定理，即推二知三。（以（1），（3）作条件时，应限制AB 不能为直径）。 错误！未找到引用源。弧，弦，圆心角之间的关系 A. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； B. 同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，他们所对应的其余各组量也相等； 错误！未找到引用源。圆周角定理及推论 A.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半； B.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 五 例题讲解 例1. 如图所示，C 是⊙O 上一点，O 是圆心，若80AOB =∠，求B A ∠+∠ 的值. 例1题图 A B C O

初中几何主要图形的性质和识别

初中几何主要图形的性质和识别 主要图形的性质和识别 一、平行线 （一）、性质： （1）如果二直线平行，那么同位角相等；（2）如果二直线平行，那么错角相等；（3）如果二直线平行，那么同旁角互补；（4）平行线间的距离处处相等。 （二）、识别： （1）定义：在同一平面不相交的两条直线叫做平行线。 （2）判定定理（或公理） ①如果同位角相等，那么二直线平行； ②如果错角相等，那么二直线平行；

③如果同旁角互补，那么二直线平行； ④同垂直于一条直线的两条直线互相平行； ⑤同平行于一条直线的两条直线互相平行。★练习 （一）反复比较，精心挑选：（在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的）。1.在同一平面，两条直线可能的位置关系是（） A. 平行 B. 相交 C. 相交或平行 D. 垂直 2.下列说确的是（） A. 若两个角是对顶角，则这两个角相等． B. 若两个角相等，则这两个角是对顶角． C. 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等． D. 以上判断都不对． 3.下列语句正确的是（）

A. 两条直线被第三条直线所截，同旁角互补． B. 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直． C. 相等的角是平行线的错角． D.从直线外一点作这条直线的垂直线段叫点到直线的距离。 4.点到直线的距离是（） A. 点到直线上一点的连线 B. 点到直线的垂线. C. 点到直线的垂线段 D. 点到直线的垂线段的长度 5.判定两角相等，不对的是（） A. 对顶角相等 B. 两直线平行，同位角相等. C. ∵∠1=∠2，∠2=∠3，∴∠1=∠3 D. 两条直线被第三条直线所截，错角相等 6.两个角的两边分别平行，其中一个角是60°，则另一个角是（）

任务七平面图形的几何性质

任务七 平面图形的几何性质 一、填空题 1. 图示B H ?的矩形中挖掉一个b h ?的矩形，则此平面图形的 z W =( 23 66z BH bh W H = - )。 2. 对图示矩形，若已知x I 、y I 、b 、h ，则 11x y I I +=( 1122()/12y z y z I I I I bh b h +=+=+ )。 3. 任意平面图形至少有( 1 )对形心主惯性轴，等边三角形有( 无穷多 )对形心主惯性轴。 4.在边长为2a 的正方形的中心部挖去一个边长为a 的 正方形，则该图形对y 轴的惯性矩为( 45 4 a )。 5.图形对所有平行轴的惯性矩中，图形对形心轴的惯性矩为( 最小 )。 6.对直径为d 的圆形截面，它的惯性半径为( i=d/4 )。 二、选择题 1.在下列关于平面图形的结论中，（ D ）是错误的。 A.图形的对称轴必定通过形心； B.图形两个对称轴的交点必为形心； C.图形对对称轴的静矩为零； D.使静矩为零的轴为对称轴。 2.在平面图形的几何性质中，（ D ）的值可正、可负、也可为零。 A.静矩和惯性矩 B.极惯性矩和惯性矩 C.惯性矩和惯性积 D.静矩和惯性积。 3.设矩形对其一对称轴z 的惯性矩为I ，则当其长宽比保持不变。而面积增加1倍时，该矩形对z 的惯性矩将变为（ D ）。 A. 2I B. 4I C. 8I D. 16I 4.若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的（ A ）。 A.静矩为零，惯性矩不为零 B.静矩不为零，惯性矩为零 C.静矩和惯性矩均为零 D.静矩和惯性矩均不为零 5．若截面有一个对称轴，则下列说法中（ D ）是错误的。 A. 截面对对称轴的静矩为零； B. 对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等； C. 截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零； D. 截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零。 6.任意图形,若对某一对正交坐标轴的惯性积为零,则这一对坐标轴一定是该图形的( B )。 B b h H C z a 2 a y z

平面几何基础知识教程(圆)解剖

平面几何基础知识教程（圆） 一、几个重要定义 外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心 内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心 垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心 凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如下图） （折四边形） 二、圆内重要定理： 1．四点共圆 定义：若四边形ABCD的四点同时共于一圆上，则称A，B，C，D四点共圆基本性质：若凸四边形ABCD是圆内接四边形，则其对角互补 证明：略 判定方法： 1．定义法：若存在一点O使OA=OB=OC=OD，则A，B，C，D四点共圆2．定理1：若凸四边形ABCD的对角互补，则此凸四边形ABCD有一外接圆证明：略 特别地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时，此四边形有一外接圆3．视角定理：若折四边形ABCD中，∠=∠ ADB ACB，则A，B，C，D四点共圆

证明：如上图，连CD，AB，设AC与BD交于点P 因为∠=∠ ADB ACB，所以 180 = ∠=∠ ∠=∠ ∠+∠=∠+∠+∠= ∠+∠+∠= ΔCPB∽ΔDPA 所以有 再注意到 因此Δ∽Δ 因此 由此 （ΔABD的内角和） 因此A，B，C，D四点共圆 PC PB PD PA CPD BPA CPD BPA PCD PBA BCD BAD BCA PCD BAD BDA PBA BAD 特别地，当∠=∠ ADB ACB=90时，四边形ABCD有一外接圆 2．圆幂定理： 圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。相交弦定理：P是圆内任一点，过P作圆的两弦AB，CD，则PA PB PC PD ?=? 证明：

初中几何图形知识点归纳

初中几何图形知识点归纳 1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的分类 3. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 4. 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 5. 中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 6. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 7. 高线、中线、角平分线的意义和做法 8. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 9. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 推论1 直角三角形的两个锐角互余 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的内角和是外角和的一半 10. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。 11. 三角形外角的性质 （1）顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线； （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和； （3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角； （4）三角形的外角和是360°。 四边形（含多边形）知识点、概念总结 一、平行四边形的定义、性质及判定 1. 两组对边平行的四边形是平行四边形。 2. 性质： （1）平行四边形的对边相等且平行 （2）平行四边形的对角相等，邻角互补 （3）平行四边形的对角线互相平分 3. 判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形 4. 对称性：平行四边形是中心对称图形 二、矩形的定义、性质及判定 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2. 性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等 3. 判定： （1）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 （2）有三个角是直角的四边形是矩形 （3）两条对角线相等的平行四边形是矩形 4. 对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。

小学几何图形基本概念及计算公式

小学几何图形基本概念及计算公式 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折,直线左右的两部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.长方形（2条对称轴）,正方形（4条对称轴）,等腰三角形（1条）,等边三角形（3条）,等腰直角三角形（1条）,等腰梯形（1条）,圆（无数条）. 点：线和线相交于点. 直线：某点在空间中或平面上沿着一定方向和相反方向运动,所画成的图形,叫做直线.直线是向相反方向无限延伸的,所以它没有端点,不可以度量. （可以用表示直线上任意两点的大写字母来记：直线AB,也可以用一个小写字母来表示：直线a) 射线：由一个定点出发,向沿着一定的方向运动的点的轨迹,叫做射线.这个定点叫做射线的端点,这个端点也叫原点.射线只有一个端点,可以向一端无限延长，不可以度量.（射线可以用表示他端点,和射线上任意一点的两个大写字母表示：射线OA）

线段：直线上任意两点间的部分,叫做线段.这两点叫做线段的端点,线段有长度,可以度量.（线段可以用两个端点的大写字母表示：线段AB,也可以用一个小写字母表示；线段a）线段的性质：在连接两点的所有线中,线段最短. 角：从一点引出两条射线所组成的图形,叫做角.这两条射线的公共端点,叫做角的顶点.组成角的两条射线,叫做角的边. 角的大小与夹角两边的长短无关. 角的分类： 直角：90度的角叫做直角 平角：一条射线由原来的位置,绕它的端点按逆时针方向旋转,到所成的角的终边和始边成一直为止,这时所成的角叫做平角.或者角的两边的方向相反,且同在一条直线上时的角叫做平角,平角是180度. 锐角：小于90度的角叫做锐角 钝角：大于90度的角叫做钝角 垂直与平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线,也可以说这两条直线互相平行. 如果两条直线相交成

材料力学截面的几何性质答案

~ 15-1(I-8) 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。 解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩 所以 再次应用平行轴定理，得 返回 ) 15-2(I-9) 试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。

解：知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用 平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩 再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩 / 返回 15-3(I-10) 试求图示组合截面对于形心轴的惯性矩。 解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是 上面一个圆的圆心到轴的距离是。 利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩如下： {

返回 15-4(I-11) 试求图示各组合截面对其对称轴的惯性矩。 解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是。 利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩 （b）等边角钢的截面积是，其形心距外边缘的距离是 mm，求得组合截面对轴的惯性矩如下： ： 返回 15-5(I-12) 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。 解：形心轴位置及几何尺寸如图 所示。惯性矩计算如下：

返回 15-6(I-14) 在直径的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所 示，试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩 和。 解：先求形心主轴的位置 ！ 即 返回 15-7(I-16) 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩和相等，则两槽钢的间距应为多少 （ 解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是，；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离是。

圆的性质和定理

【圆的平面几何性质和定理】 [圆的基本性质与定理] 1定理不在同一直线上的三点确定一个圆。(圆的确定） 2圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 3垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 [有关圆周角和圆心角的性质和定理] 1定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 2圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 3圆心角定理圆心角的度数等于他所对的弧的度数 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径 推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 [园内接四边形的性质与定理] 1定理圆的内接四边形的对角互补 2定理并且任何一个外角都等于它的内对角 3圆内接四边形判定定理如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 [有关切线的性质和定理] 1切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 2切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 [与圆有关的比例线段] 1相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

初中几何图形的定义、性质、判定精编版

等腰三角形 定义 1 有两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰 性质 2 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 3 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简称“三线合一”） 4 等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴 判定 5 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”） 等边三角形 定义 1 三边都相等的三角形是等边三角形。 性质 2 等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质 3 等边三角形的每个内角都等于60o 4 等边三角形是锐角三角形 5 等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴 判定 6 有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形 7 有两个角是60o的三角形是等边三角形 直角三角形 定义 1 有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形（Rt三角形）。 性质 2 在直角三角形中，两个锐角互余。 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理） 5 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 6 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 判定 7 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写为“HL”)

平行四边形 定义 1 在同一平面内，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质 2 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 3 平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分 判定 4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 5 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 6 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 7 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 8 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 矩形 定义 1 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，通常叫长方形 性质 2 矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质 3 矩形既是抽对称图形也是中心对称图形，对称中心是对角线中点 4 矩形的对角线相等，四个角都是直角 判定 5 对角线相等的平行四边形是矩形 6 有一个角是直角的平行四边形是矩形 7 有3个角是直角的四边形是矩形 菱形 定义 1 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 性质 2 菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质 3 菱形既是抽对称图形也是中心对称图形，对称中心是对角线中点 4 菱形的四条边相等 5 菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角 6 S菱形=?×对角线的积 判定

平面图形的几何性质

附录A 平面图形的几何性质 附录A 平面图形的几何性质 §A-1 引言 不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。 研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。

§A-2 静矩、形心及相互关系 任意平面几何图形如图A-1所示。在其上取面积微元dA， 该微元在Oxy坐标系中的坐标为x、y。定义下列积分： （A-1） 分别称为图形对于x轴和y轴的截面一次矩或静矩，其单 位为。 如果将dA视为垂直于图形平面的力，则ydA和zdA分别 为dA对于z轴和y轴的力矩； 和 则分别为dA对 z轴和y轴之矩。图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于图形平面的力，则形心即为合力的作用点。 设 、 为形心坐标，则根据合力之矩定理 (A-2) 或 (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。 根据上述定义可以看出： 1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。 2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。 实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。即 : (A-4)

椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

（一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 （5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为： 22 22 2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，2 2 2 a c b =+。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率．对于第一类性质，只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下：

几何图形初步全章复习与巩固知识讲解.doc

《几何图形初步》全章复习与巩固（基础）知识讲解 【学习目标】 1．认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图，初步培养空间观念和几何直观； 2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法； 3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题； 4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单 的图形． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、多姿多彩的图形 1．几何图形的分类 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. 几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆等 . . 要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果 2．立体图形与平面图形的相互转化 （1）立体图形的平面展开图： 把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会

得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．要点诠释： ①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的11 种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图； ②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践. （2）从不同方向看： 几何体的三视图主（正）视图---------从正面看左视图 -----从左（右）边看 俯视图 ---------------从上面看 要点诠释： ①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图. ②能根据三视图描述基本几何体或实物原型. （3）几何体的构成元素及关系 几何体是由点、线、面构成的 . 点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成. 要点二、直线、射线、线段 1.直线，射线与线段的区别与联系 2.基本性质 (1)直线的性质 : 两点确定一条直线． (2) 线段的性质 : 两点之间，线段最短．要点 诠释： ①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离. 3.画一条线段等于已知线段 （1）度量法：可用直尺先量出线段的长度 , 再画一条等于这个长度的线段 . （2）用尺规作图法：用圆规在射线 AC上截取 AB=ａ，如下图：

《材料力学》i截面的几何性质习题解

附录I 截面的几何性质 习题解 [习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。 （a ） 解：)(24000)1020()2040(3 mm y A S c x =+??=?= （b ） 解：)(422502 65 )6520(3mm y A S c x =??=?= （c ） 解：)(280000)10150()20100(3 mm y A S c x =-??=?= （d ） 解：)(520000)20150()40100(3 mm y A S c x =-??=?= [习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。 解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。 dx xd dA ?=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ?=??=??=?=sin sin )(2 半圆对x 轴的静矩为：

3 2)]0cos (cos [3]cos []3[sin 3300300 2 r r x d dx x S r r x =--?=-?=?=?? πθθθπ π 因为c x y A S ?=，所以c y r r ??=232132π π 34r y c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。 （a ） 解： 习题I-3(a): 求门形截面的形心位置 矩形 L i B i Ai Y ci AiYci Yc 离顶边 上 400 2 8000 160 1280000 左 150 2 3000 7 5 225000 右 150 2 0 3000 7 5 225000 14000 1730000 Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai (b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置 矩形 L i B i Ai Y ci AiYc i Y c X ci AiX ci X c 下 1 60 10 160 5 8000 8 128 000

圆的平面几何性质与定理练习题(奥数辅导).doc

的平面几何性质与定理练习题（高一数学417） 1、如图，。。是△43C的边8C外的旁切圆,O、E、F分别为。0与BC、 CA. A3的切点.若。町与EF相交于K,求证：AK平分BC. 2、AABC的内切圆分别切BC、CA. AB于点D、E、F,过点F作BC的平行线分别交直线DA. DE 于点H、G.求证：FH=HG. 3、AD为。。的直径,P。为。。的切线,PC8为。。的割线,P0分别交AH、AC于点M、N求证：OM=ON. 4、如图，在△ ABC中,AB=AC f D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且 ZBED=2ZCED=ZA.求证：BD=2CD. 5、凸四边形ABCD ZABC=60° , ZBAD= ZBCD=90° , AB=2, CD =1,对角线 AC、BD交于点。，如图.则sinZAOB=?（托勒密定理） 6、已知抛物线J=-X2+2X+8与X轴交于8、C两点，点。平分HC.若在*轴上侧的4点为抛物线上的动点,且NHAC为锐角，则AD的取值范围是—? 7、AD是RtAABC斜边BC上的高，ZB的平行线交AD于M,交AC于N.求证：AB2~AN2= BM ? BN. 8、如图,ABCD是。O的内接四边形，延长AB和DC相交于E,延长AD和 相交于和F0分别切。。于P、0求证：EP1+FQ2=EF\

9、如图8, △ABC 与Z\A' B f C的三边分别为0、b、c 与/、b，、" ,HZB=ZB Z , ZA + ZA = 180°.试证：aa f =bb' +cc，.（托勒密定理） 10.作一个辅助圆证明：AABC中，若AD平分NA,则—=— AC DC 11.已知凸五边形ABCDE中，ZBAE=3"C=CD=DE, ZBCD= ZCDE= 180°-2a.求证: ZBAC=ZCAD= ZDAE. 12.在左ABC中AB=BC, NA3C=20。，在AB边上取一点使BM=AC.求匕 AA/C的度数. 13.如图10, AC是OA BCD较长的对角线，过C作CFLAF, CELAE.求证: AB ? AE+AD ? AF=AC2. 14.如图11.已知。Oi和。。2相交于A、色直线CD过A交。Oi和。。2 于 C、Q,且AC=AD, EC、ED分别切两圆于C、D.求证：AC2=AB ? AE. 15.己知8是△ABC的外接圆之劣弧3C的中点?求证：AB - AC=AE2-BE2. 16.若正五边形ABCDE的边长为q对角线长为试证：---=1. a b 答案： 1、证明：如图10,过点K作的行平线分别交直线A3、AC于。、P 两点, 连OP、OQ、OE、OF.由OD1BC,可知OKA.PQ. 由OF_LAB,可知。、K、F、Q 四点共圆，有ZFOQ=ZFKQ. 由OEA-AC,可知0、K、P、E 四点共圆.有ZEOP= ZEKP. 图 11

初中几何图形知识点归纳doc资料

初中几何图形知识点归纳 三角形知识点、概念总结 1. 三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形的分类 3. 三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 4. 高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。 5. 中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 6. 角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 7. 高线、中线、角平分线的意义和做法

8. 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。 9. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 推论1 直角三角形的两个锐角互余 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的内角和是外角和的一半 10. 三角形的外角：三角形的一条边与另一条边延长线的夹角，叫做三角形的外角。 11. 三角形外角的性质 （1）顶点是三角形的一个顶点，一边是三角形的一边，另一边是三角形的一边的延长线； （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和； （3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角； （4）三角形的外角和是360°。 四边形（含多边形）知识点、概念总结 一、平行四边形的定义、性质及判定 1. 两组对边平行的四边形是平行四边形。 2. 性质： （1）平行四边形的对边相等且平行 （2）平行四边形的对角相等，邻角互补 （3）平行四边形的对角线互相平分 3. 判定： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形 4. 对称性：平行四边形是中心对称图形 二、矩形的定义、性质及判定 1. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2. 性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等 3. 判定：