16 习题

习题1

第一节 ◇———————

1. 设在全体实数R 上,定义两个二元映射2(, ) () x y x y ρ=-

16 习题

和(, ) d x y ,证明

(1)(, ) ρR 不是度量空间;(2)(, ) d R 是度量空间.

2. 设X ρ(, ) 为度量空间,:f ∞→∞[0,+][0,+]为严格单调函数,且满足

, x y f ∀∈∞[0,+],(0)=0, () () () f x y f x f y +≤+,令(, ) ((, )) d x y f x y ρ=,证明X d (, ) 为度量空间.

3. 设X d (, ) 为度量空间,证明, , , x y z w X ∀∈有(, ) (, ) (, ) (, ) d x z d y w d x y d z w -≤+. 4. 设全体实数列组成的集合为{}123(, , ,.... ,...)|, 1,2,... n i X x x x x x R i =∈=,对于

123(, , ,.... ,...) n x x x x x =及12(, ,... ,...) n y y y y =∈X,定义11(, ) 12k k

k

k k k

x y d x y x y ∞

=-=+-∑

.证明 X d (, ) 为度量空间.

5. 设() X n 为0和1组成的n 维有序数组,例如(3){000,001,010,011,100,101,110,111}X =,对于任意的, () x y X n ∈,定义(, ) d x y 为x 和y 中取值不同的个数,例如在(3)X 中,(110,111)1d =,

(010,010)0d =(010,101)3d =.证明((), ) X n d 为度量空间.

第二节 ◇———————

6. 设X d (, ) 为度量空间, A X ⊂且A ≠φ.证明A 是开集当且仅当A 为开球的并. 7. 设X d (, ) 和Y ρ(, ) 是两个度量空间.那么映射:f X Y →是连续映射当且仅当Y 的任意闭子集F 的原象1() f F -是X 中的闭集.

8. 设X d (, ) 为度量空间,A X ⊆且A φ≠.证明(1){|, (, ) }x x X d x A ε∈<是X 的开集.(2){|, (, ) }x x X d x A ε∈≤是X 的闭集,其中0ε>.

9. 设[, ]B a b 为定义在[], a b 上的所有有界函数,若() , (

) [, x t y t B a b ∈,定义[]()(), (, )

s p t a b

d x y x t t ∞∈=-,求证

d ∞为[, ]B a b 的度量及[, ]C a b 为[, ]B a b 的闭集. 10. 设(, ) X d 为度量空间,A X ⊂且A φ≠,定义(, ) inf{(, )}y A

d x A d x y ∈ .证明, x y X ∀∈有

|(, ) (, ) |(, ) d x A d y A d x y -≤.

11. 证明在n 维欧氏空间n R 中点列收敛等价于按坐标收敛:设点列1{}n i i x ∞=⊂R ,其中

() () () 12(, , , ) i i i i n x x x x = ,及(0) (0)

012(, , , ) n x x x x =

,那么0lim i i x x →∞

=等价于{1,2, , }j n ∀∈ 有

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