16 习题

习题1

第一节 ◇———————

1. 设在全体实数R 上,定义两个二元映射2(,)()x y x y ρ=-

16 习题

和(,)d x y ,证明

(1)(,)ρR 不是度量空间;(2)(,)d R 是度量空间.

2. 设X ρ(,)为度量空间,:f ∞→∞[0,+][0,+]为严格单调函数,且满足

,x y f ∀∈∞[0,+],(0)=0,()()()f x y f x f y +≤+,令(,)((,))d x y f x y ρ=,证明X d (,)为度量空间.

3. 设X d (,)为度量空间,证明,,,x y z w X ∀∈有(,)(,)(,)(,)d x z d y w d x y d z w -≤+.

4. 设全体实数列组成的集合为{}123(,,,....,...)|,1,2,...n i X x x x x x R i =∈=,对于

123(,,,....,...)n x x x x x =及12(,,...,...)n y y y y =∈X ,定义11(,)12k k

k

k k k

x y d x y x y ∞

=-=+-∑

.证明 X d (,)为度量空间.

5. 设()X n 为0和1组成的n 维有序数组,例如(3){000,001,010,011,100,101,110,111}X =,对于任意的,()x y X n ∈,定义(,)d x y 为x 和y 中取值不同的个数,例如在(3)X 中,(110,111)1d =,

(010,010)0d =(010,101)3d =.证明((),)X n d 为度量空间.

第二节 ◇———————

6. 设X d (,)为度量空间, A X ⊂且A ≠φ.证明A 是开集当且仅当A 为开球的并.

7. 设X d (,)和Y ρ(,)是两个度量空间.那么映射:f X Y →是连续映射当且仅当Y 的任意闭子集F 的原象1()f F -是X 中的闭集.

8. 设X d (,)为度量空间,A X ⊆且A φ≠.证明(1){|,(,)}x x X d x A ε∈<是X 的开集.(2){|,(,)}x x X d x A ε∈≤是X 的闭集,其中0ε>.

9. 设[,]B a b 为定义在[],a b 上的所有有界函数,若(),(

)[,x t y t B a b ∈,定义[]()(),(,)

s u p t a b

d x y x t y t ∞∈=-,求证

d ∞为[,]B a b 的度量及[,]C a b 为[,]B a b 的闭集. 10. 设(,)X d 为度量空间,A X ⊂且A φ≠,定义(,)inf{(,)}y A

d x A d x y ∈ .证明,x y X ∀∈有

|(,)(,)|(,)d x A d y A d x y -≤.

11. 证明在n 维欧氏空间n R 中点列收敛等价于按坐标收敛:设点列1{}n i i x ∞=⊂R ,其中

()()()12(,,,)i i i i n x x x x = ,及(0)(0)

012(,,,)n x x x x =

,那么0lim i i x x →∞

=等价于{1,2,,}j n ∀∈ 有

相关推荐
相关主题
热门推荐