16 习题

习题 1

第一节 ◇———————

1. 设在全体实数 R 上,定义两个二元映射 2(, ) () x y x y ρ=-

16 习题

和 (, ) d x y ,证明

(1)(, ) ρR 不是度量空间; (2)(, ) d R 是度量空间.

2. 设 X ρ(, ) 为 度 量 空 间 , :f ∞→∞[0,+][0,+]为 严 格 单 调 函 数 , 且 满 足

, x y f ∀∈∞[0,+],(0)=0, () () () f x y f x f y +≤+,令 (, ) ((, )) d x y f x y ρ=,证明 X d (, ) 为度量空间.

3. 设 X d (, ) 为度量空间,证明 , , , x y z w X ∀∈有 (, ) (, ) (, ) (, ) d x z d y w d x y d z w -≤+. 4. 设 全 体 实 数 列 组 成 的 集 合 为 {}123(, , ,.... ,...)|, 1,2,... n i X x x x x x R i =∈=, 对 于

123(, , ,.... ,...) n x x x x x =及 12(, ,... ,...) n y y y y =∈X,定义 11(, ) 12k k

k

k k k

x y d x y x y ∞

=-=+-∑

.证明 X d (, ) 为度 量空间.

5. 设 () X n 为 0和 1组成的 n 维有序数组, 例如 (3){000,001,010,011,100,101,110,111}X =, 对 于任意的 , () x y X n ∈, 定义 (, ) d x y 为 x 和 y 中取值不同的个数, 例如在 (3)X 中, (110,111)1d =,

(010,010)0d =(010,101)3d =.证明 ((), ) X n d 为度量空间.

第二节 ◇———————

6. 设 X d (, ) 为度量空间, A X ⊂且 A ≠φ.证明 A 是开集当且仅当 A 为开球的并. 7. 设 X d (, ) 和 Y ρ(, ) 是两个度量空间.那么映射 :f X Y →是连续映射当且仅当 Y 的任意 闭子集 F 的原象 1() f F -是 X 中的闭集.

8. 设 X d (, ) 为 度 量 空 间 , A X ⊆且 A φ≠. 证 明 (1){|, (, ) }x x X d x A ε∈<是 X 的 开 集. (2){|, (, ) }x x X d x A ε∈≤是 X 的闭集,其中 0ε>.

9. 设 [, ]B a b 为 定 义 在 [], a b 上 的 所 有 有 界 函 数 , 若 () , (

) [, x t y t B a b ∈, 定 义 []()(), (, )

s p t a b

d x y x t t ∞∈=-,求证

d ∞为 [, ]B a b 的度量及 [, ]C a b 为 [, ]B a b 的闭集. 10. 设 (, ) X d 为度量空间, A X ⊂且 A φ≠,定义 (, ) inf{(, )}y A

d x A d x y ∈ .证明 , x y X ∀∈有

|(, ) (, ) |(, ) d x A d y A d x y -≤.

11. 证明在 n 维欧氏空间 n R 中点列收敛等价于按坐标收敛:设点列 1{}n i i x ∞=⊂R ,其中

() () () 12(, , , ) i i i i n x x x x = , 及 (0) (0)

012(, , , ) n x x x x =

, 那 么 0lim i i x x →∞

=等 价 于 {1,2, , }j n ∀∈ 有

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