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高三数学解析几何教案

第八章平面解析几何

第一节直线的倾斜角、斜率与方程

教学目标要求：

1．在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫作直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：倾斜角的范围为)0[πα，∈. 2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的叫作这条直线的斜率；斜率常用小写字母k 表示，即k ＝，倾斜角为90°的直线没有斜率．

(2)过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝ . (3)直线的斜率与倾斜角的关系可用下图表示：

3.直线的方向向量和法向量

(1)方向向量:与直线平行的向量叫做直线的方向向量.

设),(),,(222111y x F y x F 是直线上不同的两点,则向量

),(121221y y x x F F --=是直线的一个方向向量;向量

121

x x -21F F ))(,1(),1(211

212

x x k x x y y ≠=--=也是直线的一个方向向量. (2)法向量:与直线垂直的向量叫做直线的法向量. 4.直线方程的五种形式 (1)直线方程的点斜式:

①经过一点),(00y x P ,且斜率是k 的直线的方程是)(00x x k y y -=-,这个方程叫做直线方程的点斜式.y 轴和与y 轴平行的直线,没有点斜式方程. ②特别地:y 轴的方程是0=x ,与y 轴平行的直线方程是a x =; x 轴的方程是0=y ,与x 轴平行的直线方程是b y = (2)直线的截距:

如果直线与x 轴相交,且交点的坐标是)0,(a A ,那么a 叫做直线在x 轴上的截距; 如果直线与y 轴相交,且交点的坐标是),0(b B ,那么b 叫做直线在y 轴上的截距. (3)直线的方程的截距式:

①如果直线的斜率是k ,并且直线在y 轴上的截距是b ,那么直线的方程是b kx y +=

这个方程叫做直线方程的斜截式. y 轴和与y 轴平行的直线,没有斜截式方程.

②过点)0,(a A 的直线的方程可以写成a my x +=(该方程可以表示倾斜角为?90的直线).

(4)直线方程的两点式: ①如果直线经过两点),(),,(222111y x P y x P ),(2121y y x x ≠≠,那么直线的方程是121

121x x x x y y y y --=

--,这个方程叫做直线方程的两点式.与坐标轴平行的直线没有两点式方程.

②经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的方程是))(())((121121y y x x x x y y --=--,如果21x x =,那么该直线的方程是1x x =,如果21y y =,则该直线的方程是1y y =.

(5)直线方程的截距式:

如果直线在x 轴上的截距是a ,在y 轴上的截距是b ,那么直线的方程是1=+b

a x ,

这个方程叫做直线方程的截距式. 与坐标轴平行或经过坐标原点的直线没有截距式方程.

(6)直线方程的一般式:

①以上各种形式的方程,通过方程的恒等变形,总可以下成形如0=++C By Ax .这个方程叫做直线的一般式方程.

②已知直线的一般式方程是0=++C By Ax ,可以求出该直线的相关特征数值.

Ⅰ.直线的斜率B

k -=;

Ⅱ.直线在x 上的截距是)0(≠-=A A C a ,直线在y 上的截距是)0(≠-=B B C

b ;

Ⅲ.直线的一个法向量是),(B A n =

斜式、斜截式、两点式或截距式．

例1已知向量)3,2(-=n

，直线l 过点)1,3(-A 且与向量n 垂直，则直线l 的方程为( ) .A 0723=-+y x .B 01123=--y x .C 0332=-+y x .D 0932=--y x 例2已知直线l 经过))(,1(),1,2(2R m m B A ∈两点,那么直线l 的倾角的取值范围是( )

.A ),0(π .B ),2(]4,0[πππ .C ]4,0[π .D ),2

()2,4[ππ

ππ

例3 直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是 ( )

A ．[π6，π2)∪(π2，5π6]

B ．[0，π6]∪[5π

6，π) C ．[0，5π

6] D ．[π6，5π5]

例4 若三点A (a,2)，B (3,7)，C (－2，－9a )在同一条直线上，则a 的值为________ 例5 若d ＝(2,1)是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为________( 例6 求适合下列条件的直线方程.

(1)经过点)2,3(P ,且在两坐标轴上的截距相等;

(2)经过点)3,1(--A ,倾斜角等于直线x y 3=的倾角的两倍.

例7 △ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2，3)，求：

(1)BC 边所在直线的方程；

(2)BC 边上的中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的垂直平分线DE 的方程．

例8 过点)1,2(P 作直线l 交x 轴,y 轴的正半轴于B A ,两点,O 为原点.求 (1)当AOB ?面积最小时的直线l 的方程; (2)当||||OB OA +最小时的直线l 的方程;

(3)当||||PB PA ?最小时的直线l 的方程.

)

课后练习三十五

1.07

tan

=+y x π

的倾斜角是 ( )

.A 7

B 7π .

C 7

5π .

D 7

6π 2.下列命题正确的一个是

( )

.A 过定点),(00y x P 的直线可以用方程)(00x x k y y -=-表示

.B 经过任意两个不同的两点),(111y x P ,),(222y x P 的直线都可以用方程 0))(())((121121=-----y y x x x x y y 表示.

.C 不经过原点的直线都可以用方程1=+b

a x 表示

.D 经过定点),0(b A 的直线都可以用b kx y +=表示 3.过点)1,1(-和)3,0(的直线在x 轴上的截距为 ( )

.A 23- .B 2

3 .C 3 .D 3-

4.若直线3:-=kx y l 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) .A )3

,6[π

.B )2

,6(π

.C )2

,3(π

.D ]2

,6[π

5.直线l 经过点)3,2(P ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线l 的方程是( )

.A 01=+-y x

.B 05=-+y x .C 01=+-y x 或05=-+y x .D 01=--y x

6.设直线0=++c by ax 的倾角为α,且0cos sin =+αα,则b a ,满足 ( ) .A 1=+b a .B 1=-b a .C 0=+b a .D 0=-b a

7.直线05)4()252(22=+--+-m y m x m m 的倾斜角是

,则m 的值是 ( )

.A 1 .B 2 .C 3 .D 2或3

8.经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D ．2x ＋3y －1＝0

9. 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是__________.

10.已知直线l 经过点)3,2(,它的一个方向向量是)3,4(-=a

,则该直线的方程是_____. 11.已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________． 12.直线l 经过点P (3,2)且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程．

第二节两条直线的位置关系

教学目标要求：

1．能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 一.两条直线的平行的判定.

(1)如果直线21,l l 的方程为111:b x k y l +=，222:b x k y l +=则2121//k k l l =?且21b b ≠;

(2)如果21,l l 的方程为0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ,)0(222≠C B A ,

则2

1212121//C C

B B A A l l ≠=?.

二.两直线垂直的判定

(1) 如果直线21,l l 的方程为111:b x k y l +=，222:b x k y l +=则12121-=?⊥k k l l ; (2)如果21,l l 的方程为0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ,则0212121=+?⊥B B A A l l .

〖重要提示〗解析几何中,两条直线的位置关系有平行,相交,重合三种,判定两条直线平行或重合时,要注意斜率不存在这种特殊的情况.

三.两直线的交点

(1)两条不平行的直线21,l l 的方程为0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ,

那么它们的交点的坐标是方程组???=++=++0

222111C y B x A C y B x A 的解.

(2)经过两直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线的方程可以写成111C y B x A ++0)(222=+++C y B x A λ(其中不包括2l ).反之方程111C y B x A ++0)(222=+++C y B x A λ表示的直线一定过两直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点，但不包括直线2l 。

四.点到直线的距离公式

(1)点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200|

A C By Ax d +++=.

特别地:点),(00y x P 到直线a x l =:的距离是||0a x d -=;

点),(00y x P 到直线b y l =:的距离是||0b y d -=.

(2)两条平行直线0:11=++C By Ax l ,0:22=++C By Ax l 的距离2

21||B

A C C d +-=

五.关于点成中心对称，或关于特殊的直线成轴对称问题

(1)称定义,对称轴即为两对称点连线的垂直平分线,即有:①它们的中点在对称轴上;②过这两点的直线的斜率与对称轴的斜率互为负倒数.若设点),(00y x P 关于直线

b kx y +=的对称点为),(y x P ''',则有???????+'+?=+'-=?-'-'b x x k y y k x x y y 22

1000

. 特别地，如果对称轴是x 轴，y 轴，x y ±=或与x 轴，y 轴，x y ±=平行的直线，可以用替换的方法求对称点的坐标。 (2)一条直线l 外的两点B A ,,A 点关于l 的对称点为A '. ①如果B A ,在直线l 的两侧,则l 与AB 的交点P 是l 上到

B A ,距离的和取最小值的点; l 与B A '的交点Q 是l 上到B A ,距

离的差取最大值的点. ②如果B A ,在直线l 的同侧,则l 与B A '的交点Q 是l 上到

B A ,距离的和取最小值的点;l 与AB 的交点P 是l 上到B A ,距离的差取最大值的点.

例1 直线032=+-y x 关于直线2+=x y 对称的直线的方程是 ( ) .A 032=+-y x .B 032=--y x .C 032=++y x .D 032=-+y x 例2 以点)1,1(-A 为对称中心，直线0632=-+y x 关于A 对称的直线方程是 ( )

.A 0223=+-y x .B 0732=++y x .C 01223=--y x .D 0832=++y x 例3 如图所示，已知A (4,0)、B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )

A ．210

B ．6

C ．3 3

D ．2 5

作P 关于AB 对称的点1P ，关于y 轴对称的点2P ，则线段21P P 的长为所求

例4 如果直线012:21=++y m x l 和043)2(:2=++-m my x m l 平行,求m 的值. 【解】由它们的法向量平行,得0)2(32=--m m m ,解得3,1,0-=m ,经验证,当1,0-=m 时,符合题意.

例5 若直线012=++y ax 与直线0)1(=+-+a y a x 垂直,则=a ________ 例6 已知直线032:=+-y x l ,求下列直线的方程.

(1)过点)3,2(P 且与直线l 平行; (2)过点)1,1(-M 且与直线l 垂直; (3)与l 平行,且与l 的距离等于2; 例7 求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程

例8 求过点)2,1(-P 且与点)3,2(A 和)5,4(-B 的距离相等的直线的方程.

【解】方法一(设参数法):①当直线的倾斜角为?90时,明显直线1-=x 符合条件;

???A

B P A '

Q ????

B Q A '

l P ??

②当直线的倾斜角不为?90时,设其斜率为k ,其点斜式方程为)1(2+=-x k y .整

理得02=++-k y kx .所以由条件得:1

33|1|13|22+--=

+-k k k k 解得3

-=k .所以所求直线的方程为053=-+y x .

综上,所求直线为1-=x 或053=-+y x 方法二(结合图形位置分析): ①直线经过AB 中点,得1-=x ;

②直线与AB 中平行,得053=-+y x .

课后练习三十六

1.如果直线02)1(=-+++m y m x 与01642=++y mx 平行,则m 等于 ( ) .A 1 .B 2- .C 1或2- .D 1-或2

2.方程012)1(=++--a y x a 所表示的直线 ( ) .A 恒过点)3,2(- .B 恒过点)3,2( .C 恒过点)3,2(和)3,2( .D 都是平行直线

3.到直线012=++y x 的距离为

的点的集合是 ( ) .A 直线022=-+y x .B 直线02=+y x .C 直线022=-+y x 或直线02=+y x

.D 直线022=++y x 或直线02=+y x 4.点),(y x P 到直线013125=+-y x 和直线0543=+-y x 的距离相等，则点P 的坐标应满足 ( ) .A 0655632=+-y x 或047=+y x .B 047=+y x .C 044=+-y x 或0984=+-y x .D 044=+-y x

5.若直线0=-+a ay x 与直线01)32(=---y a ax 相互垂直,则a 的值是 ( ) .A 2 .B 3-或1 .C 2或0 .D 1或0

6.设a ∈R ，则“a ＝1”是直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2 ：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.直线mx ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为 ( ) A ．－12 B ．－2 C ．0 D ．10

8.已知点)2,1(A ,)1,3(B ,则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( )

.A 524=+y x .B 52=+y x .C 524=-y x .D 52=-y x

9.已知直线0=-+a ay x 与01)32(=---y a ax 平行,则=a __________. 10.已知直线12:1-=x y l ,023:2=-+y x l ,则2l 到1l 的角为____________.

11.经过直线0623=++y x 和0752=-+y x 的交点,且倾斜角为4

的直线的方程是__

12.点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为_________.

第三节圆的方程

教学目标要求：

1．掌握圆的标准方程和圆的一般式方程及其两种方程的互化； 2．能根据适当的条件求圆的方程； 3．了解点与圆的位置关系。一.圆的定义

平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. 二.圆的方程 1.圆的标准方程

圆心为),(b a C 半径为r 的圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-.特殊地:圆心在圆点,半径为r 的圆的标准方程是222r y x =+.

2.圆的一般方程

(1)二次方程)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 叫做圆的一般方程.其中

圆圆心为)2

,2(E

D --,半径是2

422F

E D r -+=

(2)二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cxy By Ax 表示圆的充要条件是

??>-+===040

122F E D C B A 三.点与圆的位置关系

判断一个点A (x 0，y 0)与一个圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系，可利用下列方法：

1．几何法：

|AC |r ?点A 在圆外． 2．代数法：

(x 0－a )2＋(y 0－b )2r 2?点A 在圆外．

例1 过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4

例2 圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是 ( )

A．(－∞，4)B．(－∞，0) C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞) 例3 从原点O引圆(x－m)2＋(y－3)2＝m2＋4的切线y＝kx，当m变化时，切点P 的轨迹方程是() A．x2＋y2＝4(x≠0) B．(x－3)2＋y2＝4(x≠0)

C．(x－1)2＋(y－3)2＝5(x≠0) D．x2＋y2＝5(x≠0)

例4点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是() A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4

C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1

例5 若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圆，则a等于________．

例6 若圆上点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．

例7已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.

(1)求y

x的最大值和最小值；

(2)求y－x的最大值和最小值；

(3)求x2＋y2的最大值和最小值．

课后练习三十七

1．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，半径为2的圆的方程为 ( ) A ．x 2＋y 2－2x －1＝0 B ．x 2＋y 2－2x －3＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －1＝0 D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 2．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 过点P (3,0)的直线，则 ( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 3．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝2 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＋y 2＝4 4．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为 ( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1 5．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0，则x －2y 的最大值为 ( ) A. 5 B ．10 C ．9 D ．5＋2 5

6．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径为 ( ) A ．2 2 B.2 C ．3 D ．1 7.过)1,1(),1,1(--B A 且圆心在02=-+y x 上的圆的方程是 ( ) .A 4)1()3(22=++-y x .B 4)1()3(22=-++y x .C 4)1()1(22=-+-y x .D 4)1()1(22=+++y x 9.当圆012322222=--+-++a a ay ax y x 面积最大时,圆在x 轴上截得的弦长为( )

.A 1 .B 2 .C 2 .D 4

10．设P (x ，y )是圆x 2＋(y －1)2＝1上的动点，若不等式x ＋y ＋c ≥0恒成立，则c 的取值范围为 ( ) A ．[－1－2，2－1] B ．[2－1，＋∞) C ．[－1－2，2－1) D ．(－∞，－1－2] 11．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．

12．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为________．

13．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________．

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

教学目标要求：

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系． 2．能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系． 3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．一.直线与圆的位置关系

1.如果直线l 与圆222)()(r b y a x =-+-的距离为d . ①?>r d 直线l 与圆相离; ②?=r d 直线l 与圆相切; ③?

2.直线被圆截得的弦长公式:

①如果将直线方程m kx y +=代入到圆的方程并化简,得关于x 的一圆二次方程

=++c bx ax ,其别判式ac b 42

-=?.则弦长|

|)1(||2a k AB ?

+=.

②如果圆心到直线的距离(弦心距)为d ,则弦长222||d r AB -=. 3.求过点),(00y x P 且与圆022=++++F Ey Dx y x 的切线的方程.

(1)若点),(00y x P 在圆022=++++F Ey Dx y x 上,则用x x 0换2x ,用y y 0换2y ,用

20x x +换x ,用2

y +换y 即得切线方程. 特别地,过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+ (2)若点),(00y x P 在圆022=++++F Ey Dx y x 外,则分两种情况求解: ①验证直线0x x =是否与圆相切,若相切,则直线0x x =为其中一条直线.

②设切线的方程来)(00x x k y y -=-,按照圆心)2

,2(E

D --

到直线)(00x x k y y -=-的距离等于圆的半径r 建立方程,求出k 即求得切线方程. 二.圆与圆的位置关系

1.如果两圆的半径分别是1r 和2r ,且21r r ≥;两圆的圆心距为d . (1)?+>21r r d 两圆相离; (2)?+=21r r d 两圆外切;

(3)?+<<-2121r r d r r 两圆相交; (4)?-=21r r d 两圆内切; (5)?-<21r r d 两圆内含;

2.当两圆相交时,将两圆都化成标准方程，然后两式相减，可得公共弦所在直线方程．

例1 圆心为)2,1(且与直线07125=--y x 相切的圆的方程是_________________. 例2由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________

例3 若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相交,则点),(b a 的位置为

( )

.A 在圆内

.B 在圆外

.C 在圆上

.D 不能确定

例4 如果直线03=+-m y x 与圆02222=--+x y x 相切,则实数m 等于( )

A 3或3- .

B 33或3- .

C 3或33- .

D 33或33-

例5 圆034222=-+++y y x x 上,到直线01=++y x 的距离为22的点共有___个

例6 求经过点)4,2(,与圆0422=-+x y x 相切的直线的方程.

课后练习三十八

1．设m ＞0，则直线2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 的位置关系为 ( ) A ．相切 B ．相交 C ．相切或相离 D ．相交或相切 2．直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( ) A ．2 5 B ．23 C. 3 D ．1

3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2

＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3] C ．[－3,1] D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 1.圆02:221=-+x y x O 和圆04:222=-+x y x O 的位置关系是 ( ) .A 相离 .B 相交 .C 外切 .D 内切 4.设直线l 过点)0,2(-,且与圆122=+y x 相切,则l 的斜率是 ( )

.A 1±

.B 21±

.C 3

.D 3±

5.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线的方程是 ( )

.A 023=-+y x

.B 043=-+y x

.C 043=+-y x

.D 023=+-y x

6.已知圆)0(4)2()(22>=-+-a y a x 及直线03=+-y x ,当直线被圆截得的弦长为32时,则a 等于

( ) .A 2 .B 22- .C 12- .D 12+

7.从圆012222=+--+y x y x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线,则两条切线的夹角的余弦值为 ( ) .A 21 .B 53 .C 2

3 .D 0 8.0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大值与最小值的差是( )

.A 36 .B 18 .C 26 .D 25

10.直线02=+y x 被曲线0152622=---+y x y x 所截得的弦长等于_____________.

11.若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点,则k 的取值范围是_________.

12.如果曲线???+-==θ

sin 1cos y x 与直线0=++a y x 有公共点,那么a 的取值范围是_______

13.已知两圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为_________；公共弦长为________．

第五节椭圆

教学目标要求：

1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质． 2．理解数形结合的思想． 3．了解椭圆的简单应用．一.椭圆的定义和方程 (1)椭圆的定义:

①平面内与两个定点11,F F 的距离的和等于常数a 2|)|2(21F F a >的点的轨迹,叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两交点的距离|)|2(21F F c =叫做椭圆的焦距.

〖特别提示〗如果||221F F a =,则该轨迹是线段21F F ,如果||221F F a <,没有符合条件的轨迹.

②平面内到定点)0,(c F 和它到定直线c

a x l 2

:=的距离的比为常数)10(<

的轨迹是椭圆,定点是椭圆的一个焦点,定直线是椭圆的一条准线,常数e 叫做椭圆的离心率.

(2)椭圆的方程

①中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是)0(122

22>>=+b a b y a x .

②中心在坐标原点,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是)0(122

22>>=+b a b

x a y .

③椭圆的方程的一般表示:),0,0(122B A B A By Ax ≠>>=+.

④椭圆的参数方程:?

??==θθ

sin cos b y a x (θ为参数).

三.椭圆中的重要结论

①椭圆的两准线的距离:c

a MN 2

2=;

②过椭圆焦点,与长轴垂直的弦长(通径公式):a

b AB 2

2=;

③椭圆的焦点到相应准线的距离:c

b p 2

④椭圆的离心离22

b a

c e -==;

⑤椭圆上一点到两焦点所成的角中,短轴上的端点到两焦点所成的角最大. ⑥椭圆上到焦点距离的最大值为c a +,最小值为c a -. ⑦椭圆的内接矩形的最大面积是ab 2.

⑧与椭圆12222=+b y a x 同焦点的椭圆的方程可以设为122

2=+++λλb y a x ()2b ->λ. ⑨经过122

22=+b

y a x 的焦点的弦被焦点分成的两条焦半径的长分别是

θcos 1||e ep AF -=,θcos 1||e ep BF +=,其中θ是直线的倾斜角,c b p 2

=,e 是离心率.

三.椭圆的简单的几何性质)(222

例1 已知ABC ?的顶点C B ,在椭圆13

=+y x 上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在边BC 上,则ABC ?的周长是. ( ) .A 32 .B 6 .C 34 .D 12 例2 椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 为 ( )

A.5 B ．－5

C ．1

D ．－1

例3 如图所示，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝1

，左焦点为F ，A 、B 、C 为其

三个顶点，直线CF 与AB 交于D 点，则tan ∠BDC 的值等于 ( ) A ．3 3 B ．－33

C.3

5 D.－35

例4 椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．

例 5 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为

.A 2 .B 22 .C 21 .D 4

例6 过点)3,2(-M 和)32,1(N 的椭圆的标准方程是_________________.

例7 如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取质范围是____________.

例8椭圆x 24＋y 2

3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________．

例9 与圆1)3(:221=++y x C 外切,且与圆

81)3(:222=+-y x C 内切的动圆圆心P 的轨迹方程为

______________.

例10 已知椭圆

136

10022=+y x 上一点P 到右准线的距离为20，则它到左准线的距离是________________.

例11 已知椭圆)0(12222>>=+b a b

y a x 的离心率为23

过左焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与椭圆相交于B A ,两点,若3=,则=k ________

例12 已知点P 为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上一点,21,F F 分别为椭圆的左,右焦

点,求||||

21PF PF 的最大值与最小值

课后练习三十九

1.椭圆14

=+y x 的两个焦点为21,F F ,过21,F F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则|2PF 等于 ( ) .

A 2

.B 3 .C 27 .D 4 2.椭圆

122

2=+y x 的焦点为1F 和2F ,点P 在椭圆上,如果线段1PF 的中点在y 轴上,那||1PF 是||2PF 的

( ) .A 7倍 .B 5倍 .C 4倍 .D 3倍

3.设椭圆)1(11

22>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则点P 到右准线的距离为 ( )

.A 6 .B 2 .C 21 .D 7

4.已知1F 和2F 是椭圆的两个交点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点,若

2ABF ?是正三角形,则这个椭圆的离心率是 ( ) .

A 33 .

B 32 .

C 22

.D 23

5.曲线192522=+y x 与曲线)9(19252

2<=-+-k k y k x 的 ( ) .A 长,短轴相等 .B 焦距相等 .C 离心率相等 .D 准线相同

6.过椭圆484322=+y x 的左焦点引斜率为1的直线交椭圆于B A ,两点,则=||AB ______

7.设1F 和2F 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左,右焦点,P 是其右准线上纵坐标为

)(3为半焦距c c 的点,且||||221PF F F =,则此椭圆的离心率是_________ 8.已知21,F F 为椭圆

252

2=+y x 的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于B A ,两点,若12||||22=+B F A F ,则=||AB ___________.

9.已知B A ,为椭圆11:

2=++m y m x C 的长轴的两个端点,P 是椭圆C 上的动点,且APB ∠的最大值是3

2π

,则实数m 的值是______________.

10.若点)2,4(M 是直线l 被椭圆

362

2=+y x 截得的线段的中点,则l 的方程是_________.

第六节双曲线及其标准方程

教学目标要求：

1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性质． 2．理解数形结合的思想．

一.双曲线的定义和方程 (1)双曲线的定义:

①平面内与两个定点11,F F 的距离的差的绝对值等于常数a 2|)|20(21F F a <<的点的轨迹,叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两交点的距离|)|2(21F F c =叫做双曲线的焦距. 〖特别提示〗

Ⅰ如果定义中去掉条件“绝对值”，得到的曲线只是双曲线的一支; Ⅱ如果常数a 2=||21F F ,得到的图形是两条射线;

Ⅲ如果常数02=a ,得到的是线段21F F 的垂直平分线; Ⅳ如果>a 2||21F F ,则轨迹没有任何图形.

②平面内到定点)0,(c F 和它到定直线c

a x l 2

:=的距离的比为常数)1(>e e 的点的轨

迹是双曲线,定点是双曲线的一个焦点,定直线是双曲线的一条准线,常数e 叫做双曲线的离心率.

(2)双曲线的方程

①中心在坐标原点,焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是)0,0(122

22>>=-b a b y a x .

②中心在坐标原点,焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是)0,0(122

22>>=-b a b

x a y .

③双曲的方程的一般表示:)0(122<=+AB By Ax . 二.双曲线中的重要结论

①双曲线的两准线的距离:c

a MN 2

2=;

②过双曲线焦点,与实轴垂直的弦长(通径):a

b AB 2

2=;

③双曲线的焦点到相应准线的距离:c

b p 2

④双曲线的离心离22

b a

c e +==;

⑤双曲线上到焦点距离的最小值为a c -.

⑥与双曲线12222=-b y a x 有相同渐近线的双曲线是)0(22

22≠=-k k b y a x .

⑦双曲线k b y a x =-2222的两条渐近线的方程是022

22=-b

y a x ,反之也成立.

⑧经过122

22=+b y a x 的焦点的弦被焦点分成的两条焦半径的长分别是

θc o s 1||e ep AF -=,θcos 1||e ep BF +=,其中θ是直线的倾斜角,c

b p 2

=,e 是离心率.

⑨等轴双曲线的离心率是2,两条渐近线互相垂直, 反之也成立. 三.双曲线的简单的几何性质)(222

.A 双曲线 .B 双曲线的右支 .C 一条直线 .D 一条射线

例 2 双曲线

116

2=-y x 上有一点P 到左准线的距离是5.4,那么P 点到左焦点的距离为 ( ) .A 5.7 .B 5.13 .C 5.1 .D 5.1或5.13

例3 已知双曲线12

=-y x 的焦点为21,F F ,点M 在双曲线上,且021=?MF MF ,则点M 到x 轴的距离为 ( )

.A 34 .B 35 .C 3

32 .D 3 例 4 已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x ,若过右焦点F 且倾角为?30的直线与双

高三数学解析几何专题

专题四解析几何专题【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一．【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等．【例题解析】题型1 直线与方程例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决．解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查．例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

新课标高中数学必修解析几何全部教案

百读文库CHENyx2011 woaiwojia直线的倾斜角和斜率一、教学目标 (一)知识教学点知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式． (二)能力训练点通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力． (三)学科渗透点分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想．二、教材分析 1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了． 3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？三、活动设计启发、思考、问答、讨论、练习．四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上．初中我们是这样解答的： ∵A(1，2)的坐标满足函数式，

∴点A在函数图象上． ∵B(2，1)的坐标不满足函数式， ∴点B不在函数图象上．现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．) 讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系． (二)直线的方程引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应．以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念． (三)进一步研究直线方程的必要性通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究． (四)直线的倾斜角一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．

高中数学解析几何测试题答案版(供参考)

解析几何练习题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是（） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l

A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22

(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总

第8章第1节一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ，因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则

????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2，特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0，又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43

高三数学复习专题之一解析几何

高三数学复习专题之一 ----解析几何高考题目的分析解析几何是历届高考的热点和重点，它的基本特点是数形结合，是代数、三角、几何知识的综合应用.一般以四个小题、一个大题的结构出现，且大题往往是压轴题.纵观近几年高考试题有如下特征： (1)考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，判定直线的位置关系等题目，多以选择题、填空题形式出现； (2)中心对称与轴对称、充要条件多为基本题目； (3)考查圆锥曲线的基本知识和基本方法也多以选择题、填空题形式出现； (4)有关直线与圆锥曲线等综合性试题，通常作为解答题形式出现，有一定难度.一般情况是：给出几何条件，求曲线(动点的轨迹)方程；或利用曲线方程来研究诸如几何量的计算、直线与曲线的位置关系、最近(或最远)问题.但近几年的高考解析几何试题类型比较分散，每年都有不同.解题过程中的运算量有逐年降低的趋势，而解题过程中的思维量在增加.但万变不离其宗，常用的解题规律与技巧不变. 例①求圆锥曲线的有关轨迹方程时，要注意运用平面几何的基本知识特别是圆的知识，便于简化运算和求解； ②在直线与圆锥曲线的有关问题中，要注意韦达定理和判别式的运用； ③要注意圆锥曲线定义的活用. 另外，解析几何的解答题也常在知识网络的交汇处出题，它具有一定的综合性，重点考察数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等能力.解析几何常与函数、不等式等建立联系. . , ),0,1()3 ,)2 )1 , ,)0,(1:.122 222 22中点的轨迹方程求、为轴的端点为左准线的椭圆，其短为左焦点，以经过点设双曲线的方程；求双曲线截得的弦长为被直线若双曲线的值；的离心率求双曲线为等边，且右焦点两点、与两条渐近线交于右准线的离心率为设双曲线例BF F B l F C C a e b b ax y C e C PQF F Q P l e b a b y a x C +=? ?>=-

高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．

高三数学解析几何专题复习讲义(含答案解析)

二轮复习——解析几何一．专题内容分析解析几何：解析几何综合问题（椭圆或抛物线）及基本解答策略+圆锥曲线的定义和几何性质+直线与圆+极坐标、参数方程+线性规划二．解答策略与核心方法、核心思想圆锥曲线综合问题的解答策略：核心量的选择：常见的几何关系与几何特征的代数化： ①线段的中点：坐标公式 ②线段的长：弦长公式；解三角形 ③三角形面积： 2 1底×高，正弦定理面积公式 ④夹角：向量夹角；两角差正切；余弦定理；正弦定理面积公式 ⑤面积之比，线段之比：面积比转化为线段比，线段比转化为坐标差之比 ⑥三点共线：利用向量或相似转化为坐标差之比 ⑦垂直平分：两直线垂直的条件及中点坐标公式 ⑧点关于直线的对称，点关于点，直线关于直线对称 ⑨直线与圆的位置关系 ⑩等腰三角形，平行四边形，菱形，矩形，正方形，圆等图形的特征代数运算：设参、消参重视基本解题思路的归纳与整理但不要模式化，学会把不同类型的几何问题转化成代数形式．

三．典型例题分析 1.（海淀区2017.4）已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12 . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 形APQM 为梯形？若存在，求出点P 解法1：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ AP MQ k k =. 设点0(4,)P y ，11(,)M x y ，06 AP y k =，114MQ y k x = -, ∴ 01164y y x =-① ∴直线PB 方程为0(2)2 y y x =-，由点M 在直线PB 上，则0 11(2)2 y y x = -② ①②联立，0 101(2) 264y x y x -=-，显然00y ≠，可解得11x =. 又由点M 在椭圆上，211143y + =，所以132y =±，即3 (1,)2 M ±，将其代入①，解得03y =±，∴(4,3)P ±. 解法2：（Ⅰ）椭圆C 的方程为22 143 x y +=. （Ⅱ）假设存在点,P 使得四边形APQM 为梯形. 由题可知，显然,AM PQ 不平行，所以AP 与MQ 平行, AP MQ k k =，显然直线AP 斜率存在，设直线AP 方程为(2)y k x =+. 由(2)4y k x x =+??=? ，所以6y k =，所以(4,6)P k ，又(2,0)B ，所以632PB k k k ==. ∴直线PB 方程为3(2)y k x =-，由22 3(2) 34120 y k x x y =-?? +-=?，消y ，得2222(121)484840k x k x k +-+-=.

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2）第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越

(完整)高中数学解析几何解题方法

高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。又k y y x x y x = --=--12121 2 ，代入得2402 2 x y x y --+=。当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。（1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ；（2）求|||PF PF 13 23 +的最值。

解析几何课程标准

《解析几何》课程标准一、课程概述《解析几何》是师范院校数学类专业的一门重要基础课，它的特点是应用代数方法研究几何内容。通过本课程教学，使学生掌握平面曲线、空间直线、平面、柱面、锥面、旋转曲面、二次曲面等的基本性质，提高用代数方法解决几何问题的能力和空间想象力，为今后学习其它课程打下必要的基础，并能在较高的理论水平的基础上处理中学数学的有关内容。在教学过程中应要求学生注意理论联系实际，联系中学教学；要充分利用矢量工具，注意矢量法与坐标法的区别与联系；注意培养学生的图画能力，提高画图技能。二、课程目标 1、了解本课程的性质，地位与独立价值及其研究的主要范围，研究方法与该学科的进展与未来方向； 2、理解本课程的基本概念，掌握解题的基本方法与技巧； 3、知道与相邻学科的关系、联系与相互的渗透； 4、充分理解几何学科的特点与本课程处理几何的方法； 5、牢固掌握本课程主要内容，为后继课程打下坚实的基础。三、教学内容与教学要求该课程的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次，下面教学内容和要求表中的“√”号表示教学知识和技能的教学要求层次。（一）矢量坐标

（二）轨迹与方程（三）平面与空间直线（四）柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

四、课程实施（一）课时安排与教学建议解析几何是数学与应用数学专业的必修课，系主干课程。每周安排4课时，共60课时，函授生一般为32课时，具体安排如下： 1、教学班是主要教学组织，班级授课是教学的主要组织形式。根据几何学科的特点，尽可能使用多媒体教学手段。 2、充分利用习题课课时，灵活组织学生进行有利于培养学生发现问题、分析问题与解决问题的能力的各种教学活动。 3、评价教学方法要以实现课程标准规定的教学目标为依据，好的教学方法应有助于学生对教学内容的理解，并能激发学生的学习热情，更好地培养学生逻辑思维与形象思维能力。五、教材编写与选用本课程选用吕林根、许子道编写，高等教育出版社1987年5月出版的教材《解析几何》（第三版）。六、学习评价与考核 1、这门学科的评价依据本科程标准规定的课程目标、教学内容和要求。该门课程的成绩评定采用平时考核（30%）和期末考试（70%）相结合的形式。 2、考试时间：120分钟。 3、考试方式、分制与分数解释。采用闭卷、笔试的方式，以百分制评分，60分为及格，满分为100分。 4、题型比例判断题10%；填空题10%；计算题60%；证明题20%。 5、样题与目标定位示例 A、判断题：（着重考查学生对知识的理解程度）

高中数学解析几何常考题型整理归纳

高中数学解析几何常考题型整理归纳题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆（x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为（ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案（1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析（1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0），则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝（2＋3）2＋1＝ 26，所以（|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为

高中数学解析几何知识点总结

高中数学解析几何知识点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

§0 7. 直线和圆的方程知识要点一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是 )0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若23 2--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是23 2--=x y ，但若 )0(23 2 ≥-- =x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则 1l ∥212k k l =?，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠）

空间解析几何教学大纲

《空间解析几何》课程教学大纲一课程说明 1.课程基本情况课程名称：空间解析几何英文名称：Analytic geometry 课程编号：2411207 开课专业：数学与应用数学开课学期：第1学期学分/周学时：3/3 课程类型：专业基础课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）本课程是数学与应用数学及信息与计算机科学专业的一门专业基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是高等数学的基石，线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识及研究方法。空间解析几何是用代数的方法研究几何图形的一门学科，是从初等数学进入高等数学的转折点，是沟通几何形式与数学关系的一座桥梁。 3．本课程的教学目的和任务通过本课程的学习，学生在掌握解析几何的基本概念的基础上，树立起空间观念。使学生受到几何直观及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养空间想象能力以及运用向量法与坐标法计算几何问题和证明几何问题的能力，并且能用解析方法研究几何问题和对解析表达式给予几何解释，为进一步学习其它课程打下基础；另一方面加深对中学几何理论与方法的理解，从而获得在比较高的观点下处理几何问题的能力，借助解析几何所具有的较强的直观效果提高学生认识事物的能力。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求

本课程的教学，要求学生熟练掌握用代数的方法在空间直角坐标系下，研究平面、空间直线、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面等几何图形的性质，能对坐标化方法运用自如，从而达到数与形的统一。了解二次曲线的一般理论和二次曲面的一般理论。以培养学生掌握解析几何的基础知识为主，着力培养学生运用解析几何的思想和方法解决实际问题的能力，以及娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，为后续课程的学习打下良好的基础。 5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书 1.李养成，《空间解析几何》，科学出版社。 2.吴光磊、田畴编，《解析几何简明教程》，高等教育出版社。 3.丘维声，《解析几何》，北京大学出版社。 4.南开大学《空间解析几何引论》编写组编，《空间解析几何引论》，高教出版社。 5.吕林根许子道等编《解析几何》（第三版）,高等教育出版社出版三教学方法和教学手段说明 1．启发式教学，课堂教学与课后练习相结合。 2．可考虑运用多媒体教学软件辅助教学。

高三数学平面解析几何

平面解析几何（附高考预测）一、本章知识结构：二、重点知识回顾 1．直线 (1).直线的倾斜角和斜率直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α；若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则1 212x x y y K AB --= 。 (2) .直线的方程

a.点斜式：)(11x x k y y -=-； b.斜截式：b kx y +=； c.两点式：121121x x x x y y y y --=--； d.截距式：1=+b y a x ； e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则 1l ∥2l ?1k ＝2k ，1l ⊥2l ?1k ·2k ＝－１。（4）点、直线之间的距离点A （x 0，y 0）到直线0=++C By Ax 的距离为：d= 2200||B A C By Ax +++。两点之间的距离：|AB|=212212)()y y x x -+-（ 2. 圆（1）圆方程的三种形式标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小．一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中?? ? ??--22E D ，为圆心F E D 42 122-+为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．参数式：以原点为圆心、 r 为半径的圆的参数方程是???==θθsin ,cos r y r x （其中θ为参数）．

解析几何课程教案

第一章矢量与坐标教学目的1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质; 2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律; 3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示; 4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。教学重点矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。教学难点矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社， (2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，授课课时8 §矢量的概念教学目的1、理解矢量的有关概念; 2、掌握矢量间的关系。教学重点矢量的两个要素：摸与方向。教学难点矢量的相等参考文献(1)解析几何（第三版），吕林根许子道等编，高等教育出版社， (2)解析几何思考与训练，梁延堂马世祥主编，兰州大学出版社，授课课时1 一、有关概念 1. 矢量 2. 矢量的表示

3. 矢量的模二、特殊矢量 1. 零矢 2. 单位矢三、矢量间的关系 1. 平行矢 2. 相等矢 3. 自由矢 4. 相反矢 5. 共线矢 6. 共面矢 7. 固定矢量例1. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：＝. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立例2. 回答下列问题： (1) 若矢量设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、、、、、、、、、、和中，哪些矢量是相等的 2. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量： (1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、. 矢量的线性运算(§矢量的加法、§矢量的数乘) 教学目的1、掌握矢量加法的两个法则、数量与矢量的乘法概念及运算律; 2、能用矢量法证明有关几何命题。

高三数学一轮复习解析几何(解析版)

数学 H 单元解析几何 H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 6．，，[2014·福建卷] 已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＝2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0 6．D [解析] 由直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，可设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0. 又直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心(0，3)，则m ＝3，所以直线l 的方程为x －y ＋3＝0，故选D. 20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程； (2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积． 20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )．由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2. (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－1 3，故l 的方程为y ＝－13x ＋8 3 . 又|OM |＝|OP |＝2 2，O 到直线l 的距离为410 5 ，故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为16 5 . 21．、、、[2014·重庆卷] 如图1-5，设椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1， F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为2 2 . (1)求该椭圆的标准方程． (2)是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 21．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2 ＝a 2－b 2.

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