第八章 平面解析几何
第一节 直线的倾斜角、斜率与方程
教学目标要求:
1.在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系. 一、直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l 与x 轴相交时,我们取x 轴作为基准,x 轴的正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫作直线l 的倾斜角. 当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. (2)范围:倾斜角的范围为)0[πα,∈. 2.直线的斜率
(1)定义:一条直线的倾斜角α的 叫作这条直线的斜率;斜率常用小写字母k 表示,即k = ,倾斜角为90°的直线没有斜率.
(2)过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k = . (3)直线的斜率与倾斜角的关系可用下图表示:
3.直线的方向向量和法向量
(1)方向向量:与直线平行的向量叫做直线的方向向量.
设),(),,(222111y x F y x F 是直线上不同的两点,则向量
),(121221y y x x F F --=是直线的一个方向向量;向量
121
x x -21F F ))(,1(),1(211
212
x x k x x y y ≠=--=也是直线的一个方向向量. (2)法向量:与直线垂直的向量叫做直线的法向量. 4.直线方程的五种形式 (1)直线方程的点斜式:
①经过一点),(00y x P ,且斜率是k 的直线的方程是)(00x x k y y -=-,这个方程叫做直线方程的点斜式.y 轴和与y 轴平行的直线,没有点斜式方程. ②特别地:y 轴的方程是0=x ,与y 轴平行的直线方程是a x =; x 轴的方程是0=y ,与x 轴平行的直线方程是b y = (2)直线的截距:
如果直线与x 轴相交,且交点的坐标是)0,(a A ,那么a 叫做直线在x 轴上的截距; 如果直线与y 轴相交,且交点的坐标是),0(b B ,那么b 叫做直线在y 轴上的截距. (3)直线的方程的截距式:
①如果直线的斜率是k ,并且直线在y 轴上的截距是b ,那么直线的方程是b kx y +=
,
这个方程叫做直线方程的斜截式. y 轴和与y 轴平行的直线,没有斜截式方程.
②过点)0,(a A 的直线的方程可以写成a my x +=(该方程可以表示倾斜角为?90的直线).
(4)直线方程的两点式: ①如果直线经过两点),(),,(222111y x P y x P ),(2121y y x x ≠≠,那么直线的方程是121
121x x x x y y y y --=
--,这个方程叫做直线方程的两点式.与坐标轴平行的直线没有两点式方程.
②经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的方程是))(())((121121y y x x x x y y --=--,如果21x x =,那么该直线的方程是1x x =,如果21y y =,则该直线的方程是1y y =.
(5)直线方程的截距式:
如果直线在x 轴上的截距是a ,在y 轴上的截距是b ,那么直线的方程是1=+b
y
a x ,
这个方程叫做直线方程的截距式. 与坐标轴平行或经过坐标原点的直线没有截距式方程.
(6)直线方程的一般式:
①以上各种形式的方程,通过方程的恒等变形,总可以下成形如0=++C By Ax .这个方程叫做直线的一般式方程.
②已知直线的一般式方程是0=++C By Ax ,可以求出该直线的相关特征数值.
Ⅰ.直线的斜率B
A
k -=;
Ⅱ.直线在x 上的截距是)0(≠-=A A C a ,直线在y 上的截距是)0(≠-=B B C
b ;
Ⅲ.直线的一个法向量是),(B A n =
斜式、斜截式、两点式或截距式.
例1已知向量)3,2(-=n
,直线l 过点)1,3(-A 且与向量n 垂直,则直线l 的方程为( ) .A 0723=-+y x .B 01123=--y x .C 0332=-+y x .D 0932=--y x 例2已知直线l 经过))(,1(),1,2(2R m m B A ∈两点,那么直线l 的倾角的取值范围是( )
.A ),0(π .B ),2(]4,0[πππ .C ]4,0[π .D ),2
()2,4[ππ
ππ
例3 直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的范围是 ( )
A .[π6,π2)∪(π2,5π6]
B .[0,π6]∪[5π
6,π) C .[0,5π
6] D .[π6,5π5]
例4 若三点A (a,2),B (3,7),C (-2,-9a )在同一条直线上,则a 的值为________ 例5 若d =(2,1)是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为________( 例6 求适合下列条件的直线方程.
(1)经过点)2,3(P ,且在两坐标轴上的截距相等;
(2)经过点)3,1(--A ,倾斜角等于直线x y 3=的倾角的两倍.
例7 △ABC 的三个顶点为A (-3,0),B (2,1),C (-2,3),求:
(1)BC 边所在直线的方程;
(2)BC 边上的中线AD 所在直线的方程; (3)BC 边上的垂直平分线DE 的方程.
例8 过点)1,2(P 作直线l 交x 轴,y 轴的正半轴于B A ,两点,O 为原点.求 (1)当AOB ?面积最小时的直线l 的方程; (2)当||||OB OA +最小时的直线l 的方程;
(3)当||||PB PA ?最小时的直线l 的方程.
)
课后练习三十五
1.07
tan
=+y x π
的倾斜角是 ( )
.A 7
π
-
.
B 7π .
C 7
5π .
D 7
6π 2.下列命题正确的一个是
( )
.A 过定点),(00y x P 的直线可以用方程)(00x x k y y -=-表示
.B 经过任意两个不同的两点),(111y x P ,),(222y x P 的直线都可以用方程 0))(())((121121=-----y y x x x x y y 表示.
.C 不经过原点的直线都可以用方程1=+b
y
a x 表示
.D 经过定点),0(b A 的直线都可以用b kx y +=表示 3.过点)1,1(-和)3,0(的直线在x 轴上的截距为 ( )
.A 23- .B 2
3 .C 3 .D 3-
4.若直线3:-=kx y l 与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限,则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( ) .A )3
,6[π
π
.B )2
,6(π
π
.C )2
,3(π
π
.D ]2
,6[π
π
5.直线l 经过点)3,2(P ,且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,则直线l 的方程是( )
.A 01=+-y x
.B 05=-+y x .C 01=+-y x 或05=-+y x .D 01=--y x
6.设直线0=++c by ax 的倾角为α,且0cos sin =+αα,则b a ,满足 ( ) .A 1=+b a .B 1=-b a .C 0=+b a .D 0=-b a
7.直线05)4()252(22=+--+-m y m x m m 的倾斜角是
4
π
,则m 的值是 ( )
.A 1 .B 2 .C 3 .D 2或3
8.经过抛物线y 2=2x 的焦点且平行于直线3x -2y +5=0的直线l 的方程是( ) A .6x -4y -3=0 B .3x -2y -3=0 C .2x +3y -2=0 D .2x +3y -1=0
9. 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是__________.
10.已知直线l 经过点)3,2(,它的一个方向向量是)3,4(-=a
,则该直线的方程是_____. 11.已知直线过点P (1,5),且在两坐标轴上的截距相等,则此直线的方程为________. 12.直线l 经过点P (3,2)且与x ,y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点,△OAB 的面积为12,求直线l 的方程.
第二节 两条直线的位置关系
教学目标要求:
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 一.两条直线的平行的判定.
(1)如果直线21,l l 的方程为111:b x k y l +=,222:b x k y l +=则2121//k k l l =?且21b b ≠;
(2)如果21,l l 的方程为0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,)0(222≠C B A ,
则2
1212121//C C
B B A A l l ≠=?.
二.两直线垂直的判定
(1) 如果直线21,l l 的方程为111:b x k y l +=,222:b x k y l +=则12121-=?⊥k k l l ; (2)如果21,l l 的方程为0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,则0212121=+?⊥B B A A l l .
〖重要提示〗解析几何中,两条直线的位置关系有平行,相交,重合三种,判定两条直线平行或重合时,要注意斜率不存在这种特殊的情况.
三.两直线的交点
(1)两条不平行的直线21,l l 的方程为0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,
那么它们的交点的坐标是方程组???=++=++0
222111C y B x A C y B x A 的解.
(2)经过两直线0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l 的交点的直线的方程可以写成111C y B x A ++0)(222=+++C y B x A λ(其中不包括2l ).反之方程111C y B x A ++0)(222=+++C y B x A λ表示的直线一定过两直线0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l 的交点,但不包括直线2l 。
四.点到直线的距离公式
(1)点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2200|
|B
A C By Ax d +++=.
特别地:点),(00y x P 到直线a x l =:的距离是||0a x d -=;
点),(00y x P 到直线b y l =:的距离是||0b y d -=.
(2)两条平行直线0:11=++C By Ax l ,0:22=++C By Ax l 的距离2
2
21||B
A C C d +-=
.
五.关于点成中心对称,或关于特殊的直线成轴对称问题
(1)称定义,对称轴即为两对称点连线的垂直平分线,即有:①它们的中点在对称轴上;②过这两点的直线的斜率与对称轴的斜率互为负倒数.若设点),(00y x P 关于直线
b kx y +=的对称点为),(y x P ''',则有???????+'+?=+'-=?-'-'b x x k y y k x x y y 22
1000
. 特别地,如果对称轴是x 轴,y 轴,x y ±=或与x 轴,y 轴,x y ±=平行的直线,可以用替换的方法求对称点的坐标。 (2)一条直线l 外的两点B A ,,A 点关于l 的对称点为A '. ①如果B A ,在直线l 的两侧,则l 与AB 的交点P 是l 上到
B A ,距离的和取最小值的点; l 与B A '的交点Q 是l 上到B A ,距
离的差取最大值的点. ②如果B A ,在直线l 的同侧,则l 与B A '的交点Q 是l 上到
B A ,距离的和取最小值的点;l 与AB 的交点P 是l 上到B A ,距离的差取最大值的点.
例1 直线032=+-y x 关于直线2+=x y 对称的直线的方程是 ( ) .A 032=+-y x .B 032=--y x .C 032=++y x .D 032=-+y x 例2 以点)1,1(-A 为对称中心,直线0632=-+y x 关于A 对称的直线方程是 ( )
.A 0223=+-y x .B 0732=++y x .C 01223=--y x .D 0832=++y x 例3 如图所示,已知A (4,0)、B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( )
A .210
B .6
C .3 3
D .2 5
作P 关于AB 对称的点1P ,关于y 轴对称的点2P ,则线段21P P 的长为所求
例4 如果直线012:21=++y m x l 和043)2(:2=++-m my x m l 平行,求m 的值. 【解】由它们的法向量平行,得0)2(32=--m m m ,解得3,1,0-=m ,经验证,当1,0-=m 时,符合题意.
例5 若直线012=++y ax 与直线0)1(=+-+a y a x 垂直,则=a ________ 例6 已知直线032:=+-y x l ,求下列直线的方程.
(1)过点)3,2(P 且与直线l 平行; (2)过点)1,1(-M 且与直线l 垂直; (3)与l 平行,且与l 的距离等于2; 例7 求经过直线l 1:3x +2y -1=0和l 2:5x +2y +1=0的交点,且垂直于直线l 3:3x -5y +6=0的直线l 的方程
例8 求过点)2,1(-P 且与点)3,2(A 和)5,4(-B 的距离相等的直线的方程.
【解】方法一(设参数法):①当直线的倾斜角为?90时,明显直线1-=x 符合条件;
???A
B P A '
l
Q ????
?A
B Q A '
l P ??
②当直线的倾斜角不为?90时,设其斜率为k ,其点斜式方程为)1(2+=-x k y .整
理得02=++-k y kx .所以由条件得:1
|
33|1|13|22+--=
+-k k k k 解得3
1
-=k .所以所求直线的方程为053=-+y x .
综上,所求直线为1-=x 或053=-+y x 方法二(结合图形位置分析): ①直线经过AB 中点,得1-=x ;
②直线与AB 中平行,得053=-+y x .
课后练习三十六
1.如果直线02)1(=-+++m y m x 与01642=++y mx 平行,则m 等于 ( ) .A 1 .B 2- .C 1或2- .D 1-或2
2.方程012)1(=++--a y x a 所表示的直线 ( ) .A 恒过点)3,2(- .B 恒过点)3,2( .C 恒过点)3,2(和)3,2( .D 都是平行直线
3.到直线012=++y x 的距离为
5
5
的点的集合是 ( ) .A 直线022=-+y x .B 直线02=+y x .C 直线022=-+y x 或直线02=+y x
.D 直线022=++y x 或直线02=+y x 4.点),(y x P 到直线013125=+-y x 和直线0543=+-y x 的距离相等,则点P 的坐标应满足 ( ) .A 0655632=+-y x 或047=+y x .B 047=+y x .C 044=+-y x 或0984=+-y x .D 044=+-y x
5.若直线0=-+a ay x 与直线01)32(=---y a ax 相互垂直,则a 的值是 ( ) .A 2 .B 3-或1 .C 2或0 .D 1或0
6.设a ∈R ,则“a =1”是直线l 1:ax +2y =0与直线l 2 :x +(a +1)y +4=0平行的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.直线mx +4y -2=0与2x -5y +n =0垂直,垂足为(1,p ),则n 的值为 ( ) A .-12 B .-2 C .0 D .10
8.已知点)2,1(A ,)1,3(B ,则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( )
.A 524=+y x .B 52=+y x .C 524=-y x .D 52=-y x
9.已知直线0=-+a ay x 与01)32(=---y a ax 平行,则=a __________. 10.已知直线12:1-=x y l ,023:2=-+y x l ,则2l 到1l 的角为____________.
11.经过直线0623=++y x 和0752=-+y x 的交点,且倾斜角为4
π
的直线的方程是__
12.点P 是曲线y =x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y =x +2的最小距离为_________.
第三节 圆的方程
教学目标要求:
1.掌握圆的标准方程和圆的一般式方程及其两种方程的互化; 2.能根据适当的条件求圆的方程; 3.了解点与圆的位置关系。 一.圆的定义
平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. 二.圆的方程 1.圆的标准方程
圆心为),(b a C 半径为r 的圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-.特殊地:圆心在圆点,半径为r 的圆的标准方程是222r y x =+.
2.圆的一般方程
(1)二次方程)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 叫做圆的一般方程.其中
圆圆心为)2
,2(E
D --,半径是2
422F
E D r -+=
.
(2)二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cxy By Ax 表示圆的充要条件是
??
?
??>-+===040
122F E D C B A 三.点与圆的位置关系
判断一个点A (x 0,y 0)与一个圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2的位置关系,可利用下列方法:
1.几何法:
|AC |
(x 0-a )2+(y 0-b )2
例1 过点A (1,-1),B (-1,1),且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是( ) A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .(x -1)2+(y -1)2=4 D .(x +1)2+(y +1)2=4
例2 圆x 2+y 2-2x +6y +5a =0关于直线y =x +2b 成轴对称图形,则a -b 的取值范围是 ( )
A.(-∞,4)B.(-∞,0) C.(-4,+∞) D.(4,+∞) 例3 从原点O引圆(x-m)2+(y-3)2=m2+4的切线y=kx,当m变化时,切点P 的轨迹方程是() A.x2+y2=4(x≠0) B.(x-3)2+y2=4(x≠0)
C.(x-1)2+(y-3)2=5(x≠0) D.x2+y2=5(x≠0)
例4点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是() A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
例5 若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圆,则a等于________.
例6 若圆上点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交的弦长为22,求圆的方程.
例7已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.
(1)求y
x的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
课后练习三十七
1.以抛物线y 2=4x 的焦点为圆心,半径为2的圆的方程为 ( ) A .x 2+y 2-2x -1=0 B .x 2+y 2-2x -3=0 C .x 2+y 2+2x -1=0 D .x 2+y 2+2x -3=0 2.已知圆C :x 2+y 2-4x =0,l 过点P (3,0)的直线,则 ( ) A .l 与C 相交 B .l 与C 相切 C .l 与C 相离 D .以上三个选项均有可能 3.已知点A (1,-1),B (-1,1),则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A .x 2+y 2=2 B .x 2+y 2=2 C .x 2+y 2=1 D .x 2+y 2=4 4.已知圆C 1:(x +1)2+(y -1)2=1,圆C 2与圆C 1关于直线x -y -1=0对称,则圆C 2的方程为 ( ) A .(x +2)2+(y -2)2=1 B .(x -2)2+(y +2)2=1 C .(x +2)2+(y +2)2=1 D .(x -2)2+(y -2)2=1 5.若实数x ,y 满足x 2+y 2-2x +4y =0,则x -2y 的最大值为 ( ) A. 5 B .10 C .9 D .5+2 5
6.点M ,N 在圆x 2+y 2+kx +2y -4=0上,且点M ,N 关于直线l :x -y +1=0对称,则该圆的半径为 ( ) A .2 2 B.2 C .3 D .1 7.过)1,1(),1,1(--B A 且圆心在02=-+y x 上的圆的方程是 ( ) .A 4)1()3(22=++-y x .B 4)1()3(22=-++y x .C 4)1()1(22=-+-y x .D 4)1()1(22=+++y x 9.当圆012322222=--+-++a a ay ax y x 面积最大时,圆在x 轴上截得的弦长为( )
.A 1 .B 2 .C 2 .D 4
10.设P (x ,y )是圆x 2+(y -1)2=1上的动点,若不等式x +y +c ≥0恒成立,则c 的取值范围为 ( ) A .[-1-2,2-1] B .[2-1,+∞) C .[-1-2,2-1) D .(-∞,-1-2] 11.过点A (4,1)的圆C 与直线x -y -1=0相切于点B (2,1),则圆C 的方程为________.
12.圆(x +2)2+y 2=5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为________.
13.若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x -3y =0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是________.
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
教学目标要求:
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系. 2.能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系. 3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 一.直线与圆的位置关系
1.如果直线l 与圆222)()(r b y a x =-+-的距离为d . ①?>r d 直线l 与圆相离; ②?=r d 直线l 与圆相切; ③? 2.直线被圆截得的弦长公式: ①如果将直线方程m kx y +=代入到圆的方程并化简,得关于x 的一圆二次方程 02 =++c bx ax ,其别判式ac b 42 -=?.则弦长| |)1(||2a k AB ? +=. ②如果圆心到直线的距离(弦心距)为d ,则弦长222||d r AB -=. 3.求过点),(00y x P 且与圆022=++++F Ey Dx y x 的切线的方程. (1)若点),(00y x P 在圆022=++++F Ey Dx y x 上,则用x x 0换2x ,用y y 0换2y ,用 20x x +换x ,用2 0y y +换y 即得切线方程. 特别地,过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+ (2)若点),(00y x P 在圆022=++++F Ey Dx y x 外,则分两种情况求解: ①验证直线0x x =是否与圆相切,若相切,则直线0x x =为其中一条直线. ②设切线的方程来)(00x x k y y -=-,按照圆心)2 ,2(E D -- 到直线)(00x x k y y -=-的距离等于圆的半径r 建立方程,求出k 即求得切线方程. 二.圆与圆的位置关系 1.如果两圆的半径分别是1r 和2r ,且21r r ≥;两圆的圆心距为d . (1)?+>21r r d 两圆相离; (2)?+=21r r d 两圆外切; (3)?+<<-2121r r d r r 两圆相交; (4)?-=21r r d 两圆内切; (5)?-<21r r d 两圆内含; 2.当两圆相交时,将两圆都化成标准方程,然后两式相减,可得公共弦所在直线方程. 例1 圆心为)2,1(且与直线07125=--y x 相切的圆的方程是_________________. 例2由直线y =x +1上的一点向圆x 2+y 2-6x +8=0引切线,则切线长的最小值为________ 例3 若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相交,则点),(b a 的位置为 ( ) .A 在圆内 .B 在圆外 .C 在圆上 .D 不能确定 例4 如果直线03=+-m y x 与圆02222=--+x y x 相切,则实数m 等于( ) . A 3或3- . B 33或3- . C 3或33- . D 33或33- 例5 圆034222=-+++y y x x 上,到直线01=++y x 的距离为22的点共有___个 例6 求经过点)4,2(,与圆0422=-+x y x 相切的直线的方程. 课后练习三十八 1.设m >0,则直线2(x +y )+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为 ( ) A .相切 B .相交 C .相切或相离 D .相交或相切 2.直线x +3y -2=0与圆x 2+y 2=4相交于A ,B 两点,则弦AB 的长度等于( ) A .2 5 B .23 C. 3 D .1 3.若直线x -y +1=0与圆(x -a )2+y 2 =2有公共点,则实数a 的取值范围是( ) A .[-3,-1] B .[-1,3] C .[-3,1] D .(-∞,-3]∪[1,+∞) 1.圆02:221=-+x y x O 和圆04:222=-+x y x O 的位置关系是 ( ) .A 相离 .B 相交 .C 外切 .D 内切 4.设直线l 过点)0,2(-,且与圆122=+y x 相切,则l 的斜率是 ( ) .A 1± .B 21± .C 3 3 ± .D 3± 5.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线的方程是 ( ) .A 023=-+y x .B 043=-+y x .C 043=+-y x .D 023=+-y x 6.已知圆)0(4)2()(22>=-+-a y a x 及直线03=+-y x ,当直线被圆截得的弦长为32时,则a 等于 ( ) .A 2 .B 22- .C 12- .D 12+ 7.从圆012222=+--+y x y x 外一点)2,3(P 向这个圆作两条切线,则两条切线的夹角的余弦值为 ( ) .A 21 .B 53 .C 2 3 .D 0 8.0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大值与最小值的差是( ) .A 36 .B 18 .C 26 .D 25 10.直线02=+y x 被曲线0152622=---+y x y x 所截得的弦长等于_____________. 11.若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点,则k 的取值范围是_________. 12.如果曲线???+-==θ θ sin 1cos y x 与直线0=++a y x 有公共点,那么a 的取值范围是_______ 13.已知两圆x 2+y 2-10x -10y =0,x 2+y 2+6x -2y -40=0,则它们的公共弦所在直线的方程为_________;公共弦长为________. 第五节 椭圆 教学目标要求: 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 3.了解椭圆的简单应用. 一.椭圆的定义和方程 (1)椭圆的定义: ①平面内与两个定点11,F F 的距离的和等于常数a 2|)|2(21F F a >的点的轨迹,叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两交点的距离|)|2(21F F c =叫做椭圆的焦距. 〖特别提示〗如果||221F F a =,则该轨迹是线段21F F ,如果||221F F a <,没有符合条件的轨迹. ②平面内到定点)0,(c F 和它到定直线c a x l 2 :=的距离的比为常数)10(< 的轨迹是椭圆,定点是椭圆的一个焦点,定直线是椭圆的一条准线,常数e 叫做椭圆的离心率. (2)椭圆的方程 ①中心在坐标原点,焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是)0(122 22>>=+b a b y a x . ②中心在坐标原点,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是)0(122 22>>=+b a b x a y . ③椭圆的方程的一般表示:),0,0(122B A B A By Ax ≠>>=+. ④椭圆的参数方程:? ??==θθ sin cos b y a x (θ为参数). 三.椭圆中的重要结论 ①椭圆的两准线的距离:c a MN 2 2=; ②过椭圆焦点,与长轴垂直的弦长(通径公式):a b AB 2 2=; ③椭圆的焦点到相应准线的距离:c b p 2 =; ④椭圆的离心离22 1a b a c e -==; ⑤椭圆上一点到两焦点所成的角中,短轴上的端点到两焦点所成的角最大. ⑥椭圆上到焦点距离的最大值为c a +,最小值为c a -. ⑦椭圆的内接矩形的最大面积是ab 2. ⑧与椭圆12222=+b y a x 同焦点的椭圆的方程可以设为122 2 2=+++λλb y a x ()2b ->λ. ⑨经过122 22=+b y a x 的焦点的弦被焦点分成的两条焦半径的长分别是 θcos 1||e ep AF -=,θcos 1||e ep BF +=,其中θ是直线的倾斜角,c b p 2 =,e 是离心率. 三.椭圆的简单的几何性质)(222 例1 已知ABC ?的顶点C B ,在椭圆13 22 =+y x 上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在边BC 上,则ABC ?的周长是. ( ) .A 32 .B 6 .C 34 .D 12 例2 椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2),那么k 为 ( ) A.5 B .-5 C .1 D .-1 例3 如图所示,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =1 2 ,左焦点为F ,A 、B 、C 为其 三个顶点,直线CF 与AB 交于D 点,则tan ∠BDC 的值等于 ( ) A .3 3 B .-33 C.3 5 D.-35 例4 椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为________. 例 5 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为 .A 2 .B 22 .C 21 .D 4 2 例6 过点)3,2(-M 和)32,1(N 的椭圆的标准方程是_________________. 例7 如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则k 的取质范围是____________. 例8椭圆x 24+y 2 3=1的左焦点为F ,直线x =m 与椭圆相交于点A 、B ,当△F AB 的周长最大时,△F AB 的面积是________. 例9 与圆1)3(:221=++y x C 外切,且与圆 81)3(:222=+-y x C 内切的动圆圆心P 的轨迹方程为 ______________. 例10 已知椭圆 136 10022=+y x 上一点P 到右准线的距离为20,则它到左准线的距离是________________. 例11 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23 , 过左焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线与椭圆相交于B A ,两点,若3=,则=k ________ 例12 已知点P 为椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点,21,F F 分别为椭圆的左,右焦 点,求|||| 21PF PF 的最大值与最小值 . 课后练习三十九 1.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为21,F F ,过21,F F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P ,则|2PF 等于 ( ) . A 2 3 .B 3 .C 27 .D 4 2.椭圆 13 122 2=+y x 的焦点为1F 和2F ,点P 在椭圆上,如果线段1PF 的中点在y 轴上,那||1PF 是||2PF 的 ( ) .A 7倍 .B 5倍 .C 4倍 .D 3倍 3.设椭圆)1(11 2 2 22>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则点P 到右准线的距离为 ( ) .A 6 .B 2 .C 21 .D 7 7 2 4.已知1F 和2F 是椭圆的两个交点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点,若 2ABF ?是正三角形,则这个椭圆的离心率是 ( ) . A 33 . B 32 . C 22 .D 23 5.曲线192522=+y x 与曲线)9(19252 2<=-+-k k y k x 的 ( ) .A 长,短轴相等 .B 焦距相等 .C 离心率相等 .D 准线相同 6.过椭圆484322=+y x 的左焦点引斜率为1的直线交椭圆于B A ,两点,则=||AB ______ 7.设1F 和2F 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左,右焦点,P 是其右准线上纵坐标为 )(3为半焦距c c 的点,且||||221PF F F =,则此椭圆的离心率是_________ 8.已知21,F F 为椭圆 19 252 2=+y x 的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于B A ,两点,若12||||22=+B F A F ,则=||AB ___________. 9.已知B A ,为椭圆11: 2 2=++m y m x C 的长轴的两个端点,P 是椭圆C 上的动点,且APB ∠的最大值是3 2π ,则实数m 的值是______________. 10.若点)2,4(M 是直线l 被椭圆 19 362 2=+y x 截得的线段的中点,则l 的方程是_________. 第六节 双曲线及其标准方程 教学目标要求: 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想. 一.双曲线的定义和方程 (1)双曲线的定义: ①平面内与两个定点11,F F 的距离的差的绝对值等于常数a 2|)|20(21F F a <<的点的轨迹,叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两交点的距离|)|2(21F F c =叫做双曲线的焦距. 〖特别提示〗 Ⅰ如果定义中去掉条件“绝对值”,得到的曲线只是双曲线的一支; Ⅱ如果常数a 2=||21F F ,得到的图形是两条射线; Ⅲ如果常数02=a ,得到的是线段21F F 的垂直平分线; Ⅳ如果>a 2||21F F ,则轨迹没有任何图形. ②平面内到定点)0,(c F 和它到定直线c a x l 2 :=的距离的比为常数)1(>e e 的点的轨 迹是双曲线,定点是双曲线的一个焦点,定直线是双曲线的一条准线,常数e 叫做双曲线的离心率. (2)双曲线的方程 ①中心在坐标原点,焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是)0,0(122 22>>=-b a b y a x . ②中心在坐标原点,焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是)0,0(122 22>>=-b a b x a y . ③双曲的方程的一般表示:)0(122<=+AB By Ax . 二.双曲线中的重要结论 ①双曲线的两准线的距离:c a MN 2 2=; ②过双曲线焦点,与实轴垂直的弦长(通径):a b AB 2 2=; ③双曲线的焦点到相应准线的距离:c b p 2 =; ④双曲线的离心离22 1a b a c e +==; ⑤双曲线上到焦点距离的最小值为a c -. ⑥与双曲线12222=-b y a x 有相同渐近线的双曲线是)0(22 22≠=-k k b y a x . ⑦双曲线k b y a x =-2222的两条渐近线的方程是022 22=-b y a x ,反之也成立. ⑧经过122 22=+b y a x 的焦点的弦被焦点分成的两条焦半径的长分别是 θc o s 1||e ep AF -=,θcos 1||e ep BF +=,其中θ是直线的倾斜角,c b p 2 =,e 是离心率. ⑨等轴双曲线的离心率是2,两条渐近线互相垂直, 反之也成立. 三.双曲线的简单的几何性质)(222 .A 双曲线 .B 双曲线的右支 .C 一条直线 .D 一条射线 例 2 双曲线 116 92 2=-y x 上有一点P 到左准线的距离是5.4,那么P 点到左焦点的距离为 ( ) .A 5.7 .B 5.13 .C 5.1 .D 5.1或5.13 例3 已知双曲线12 22 =-y x 的焦点为21,F F ,点M 在双曲线上,且021=?MF MF ,则点M 到x 轴的距离为 ( ) .A 34 .B 35 .C 3 32 .D 3 例 4 已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x ,若过右焦点F 且倾角为?30的直线与双 专题四 解析几何专题 【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容,其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线.由于平面向量可以用坐标表示,因此以坐标为桥梁,可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系,平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路,为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材.解析几何问题着重考查解析几何的基本思想,利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质.解析几何试题对运算求解能力有较高的要求.解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理,关注解题方向的选择及计算方法的合理性,适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇,关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查,关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查.在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法;一道综合解答题,以圆或圆锥曲线为依托,综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用,这道解答题往往是试卷的把关题之一. 【考点透析】解析几何的主要考点是:(1)直线与方程,重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等;(2)圆与方程,重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系,以及坐标法思想的初步应用;(3)圆锥曲线与方程,重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质,圆锥曲线的简单应用,曲线与方程的关系,以及数形结合的思想方法等. 【例题解析】 题型1 直线与方程 例1 (2008高考安徽理8)若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为( ) A .[ B .( C .[33 D .(33 - 分析:利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式,通过解不等式解决. 解析:C 设直线方程为(4)y k x =-,即40kx y k --=,直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点,圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤,得222141,3 k k k ≤+≤,选择C 点评:本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识.高考试卷中一般不单独考查直线与方程,而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查. 例2.(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线 平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 百读文库CHENyx2011 woaiwojia直线的倾斜角和斜率 一、教学目标 (一)知识教学点 知道一次函数的图象是直线,了解直线方程的概念,掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式. (二)能力训练点 通过对研究直线方程的必要性的分析,培养学生分析、提出问题的能力;通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系,培养学生的知识转化、迁移能力. (三)学科渗透点 分析问题、提出问题的思维品质,事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想. 二、教材分析 1.重点:通过对一次函数的研究,学生对直线的方程已有所了解,要对进一步研究直线方程的内容进行介绍,以激发学生学习这一部分知识的兴趣;直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,是研究两条直线位置关系的重要依据,要正确理解概念;斜率公式要在熟练运用上多下功夫.2.难点:一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点.由于以后还要专门研究曲线与方程,对这一点只需一般介绍就可以了. 3.疑点:是否有继续研究直线方程的必要? 三、活动设计 启发、思考、问答、讨论、练习. 四、教学过程 (一)复习一次函数及其图象 已知一次函数y=2x+1,试判断点A(1,2)和点B(2,1)是否在函数图象上.初中我们是这样解答的: ∵A(1,2)的坐标满足函数式, ∴点A在函数图象上. ∵B(2,1)的坐标不满足函数式, ∴点B不在函数图象上. 现在我们问:这样解答的理论依据是什么?(这个问题是本课的难点,要给足够的时间让学生思考、体会.) 讨论作答:判断点A在函数图象上的理论依据是:满足函数关系式的点都在函数的图象上;判断点B不在函数图象上的理论依据是:函数图象上的点的坐标应满足函数关系式.简言之,就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系. (二)直线的方程 引导学生思考:直角坐标平面内,一次函数的图象都是直线吗?直线都是一次函数的图象吗? 一次函数的图象是直线,直线不一定是一次函数的图象,如直线x=a连函数都不是.一次函数y=kx+b,x=a都可以看作二元一次方程,这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应. 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;反之,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解.这时,这个方程就叫做这条直线的方程;这条直线就叫做这个方程的直线. 上面的定义可简言之:(方程)有一个解(直线上)就有一个点;(直线上)有一个点(方程)就有一个解,即方程的解与直线上的点是一一对应的. 显然,直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念. (三)进一步研究直线方程的必要性 通过研究一次函数,我们对直线的方程已有了一些了解,但有些问题还没有完全解决,如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究. (四)直线的倾斜角 一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角,叫做这条直线的倾斜角,如图1-21中的α.特别地,当直线l和x轴平行时,我们规定它的倾斜角为0°,因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 解析几何练习题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于( ) A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3.若直线,直线与关于直线对称,则直线的斜率为 ( ) A . B . C . D . 4.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O(0,0),A(1,3),点B 在x 轴的正半轴上,则直线AB 的方程为( ) A .y -1=3(x -3) B .y -1=-3(x -3) C .y -3=3(x -1) D .y -3=-3(x -1) 5.直线对称的直线方程是 ( ) A . B . C . D . 6.若直线与直线关于点对称,则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l A . B . C . D . 7.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为3 1,则m ,n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y 2=1的位置关系是( ) A 相切 B 直线过圆心 C .直线不过圆心但与圆相交 D .相离 9.圆x 2+y 2-2y -1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是( ) A.(x -2)2 +(y+3)2 =1 2 B.(x -2)2+(y+3)2=2 C.(x +2)2 +(y -3)2 =1 2 D.(x +2)2+(y -3)2=2 10.已知点在直线上移动,当取得最小值时,过点引圆的切线,则此切线段的长度为( ) A . B . C . D . 11.经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点,则 弦AB 所在直线方程为( ) A .50x y --= B .50x y -+= C .50x y ++= D .50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则高三数学解析几何专题
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