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【中考专题】2018年中考常见题型分类：二次函数与最值问题

二次函数与最值问题

1.如图,二次函数y=－x2＋2(m－2)x＋3的图象与x、y轴交于A、B、C三点,其中A(3,0),抛物线的顶点为D.

(Ⅰ)求m的值及顶点D的坐标;

(Ⅱ)当a≤x≤b时,函数y的最小值为7

,最大值为4,求a,b应满足的条件;

(Ⅲ)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?如果存在,求出符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.

解:(Ⅰ)把A(3,0)代入y=－x2＋2(m－2)x＋3,

得－9＋6(m－2)＋3=0,

解得m=3,

则二次函数为y=－x2＋2x＋3,

∵y=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4,

∴顶点D的坐标为(1,4);

(Ⅱ)把y=7

代入y=－x2＋2x＋3中,

得7

=－x2＋2x＋3,

解得x1=－1

2,x2=

又∵函数y的最大值为4,顶点D的坐标为(1,4), 结合图象知－1

≤a≤1.

当a=－1

2时,1≤b≤

当－1

2＜a≤1时,b=

;

(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形,

当x=0时,y=3,

∴点C坐标为(0,3).

当△PDC是等腰三角形时,分三种情况:

①如解图①,当DC=DP时,

由抛物线的对称性知:点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,

∴点P坐标为(2,3);

②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P, 过点D作x轴的平行线交y轴于点H,

过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N,

∵HD=HC=1,PC=PD,

∴HP是线段CD的垂直平分线.

∵HD=HC,HP⊥CD,

∴HP平分∠MHN,

∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N,

∴PM=PN.

设P(m,－m2＋2m＋3),

则m=4－(－m2＋2m＋3),解得m=

∴点P的坐标为(

3－

5＋

)(解图中未标记此点)或(

3＋

5－

);

③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.

综上所述,所求点P的坐标为(2,3)或(

3－

5＋

)或(

3＋

5－

图①图②图③

第1题解图

2.已知抛物线y =ax 2＋bx ＋c (a <0)过(m ,b ),(m ＋1,a )两点,

(Ⅰ)若m =1,c =1,求抛物线的解析式;

(Ⅱ)若b ≥a ,求m 的取值范围;

(Ⅲ)当b ≥a ,m ＜0时,二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最大值－2,求a 的最大值.

解:(Ⅰ)∵m =1,c =1,

∴抛物线的解析式为y =ax 2＋bx ＋1(a <0)过(1,b ),(2,a )两点,

∴1421a b b a b a

++=??++=?, 解得11

a b =-??=?, ∴抛物线的解析式为y =－x 2＋x ＋1;

(Ⅱ)依题意得22(1)(1)am bm c b a m b m c a ?++=??++++=??①②

, 由②－①得b =－am ,

∵b ≥a ,

∴－am ≥a ,

∵a ＜0,

∴m ≥－1;

(Ⅲ) 由(Ⅱ)得b =－am ,

代入①得am 2－am 2＋c =b ,

∴c =b =－am ,

∵b ≥a ,m ＜0,

∴－1≤m ＜0,

∵二次函数y =ax 2＋bx ＋c 有最大值－2, ∴2

44ac b a

-=－2,

∴8

=m2＋4m,

∴8

= (m＋2)2－4,

∵－1≤m＜0,

∴－3≤(m＋2)2－4＜0,

∴a≤－8 3 ,

∴a的最大值为－8 3 .

3.平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2－2m2x＋2交y轴于A点,交直线x=4于B点. (Ⅰ)求抛物线的对称轴(用含m的代数式表示);

(Ⅱ)若AB∥x轴,求抛物线的解析式;

(Ⅲ)若抛物线在A,B之间的部分任取一点P(x p,y p),一定满足y p≤2,求m的取值范围.

∴抛物线的对称轴为直线x=m;

(Ⅱ)当x=0时,y=mx2－2m2x＋2=2,

∴点A(0,2).

∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,

∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,

∴m=2,

∴抛物线的解析式为y=2x2－8x＋2;

(Ⅲ)当m＞0时,如解图①,

∵A(0,2),

∴要使0≤x p≤4时,始终满足y p≤2,只需使抛物线y=mx2－2m2x＋2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.

∴m≥2;

当m＜0时,如解图②,

m＜0时,y p≤2恒成立.

综上所述,m的取值范围为m＜0或m≥2.

第3题解图

4.已知抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),且与y轴交于点C(0,1). (Ⅰ)求抛物线的表达式;

(Ⅱ)若－1≤x≤3,试求y的取值范围;

y2的大小,并说明理由.

解:(Ⅰ)∵抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为(2,5),

∴设抛物线的表达式为:y=a(x－2)2＋5,

把(0,1)代入得:a(0－2)2＋5=1,

a=－1,

∴抛物线的表达式为:y=－(x－2)2＋5=－x2＋4x＋1;

(Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=－1,对称轴为直线x=2,且－1≤x≤3, ∴当x=－1时,y有最小值,最小值为y=－(－1－2)2＋5=－4,

当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,

∴y的取值范围是－4≤y≤5;

∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,

∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,

和(m－b, m2－mb＋n),其中a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.

(Ⅰ)求c的值;

(Ⅱ)求证:抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;

(Ⅲ)当－1≤x≤1时,设抛物线y=ax2＋bx＋c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.

把点(m－b,m2－mb＋n)代入抛物线,得:

a(m－b)2＋b(m－b)＋c=m2－mb＋n

∴a(m－b)2＋b(m－b)=m2－mb,

am2－2abm＋ab2＋bm－b2－m2＋mb=0,

(a－1)m2－(a－1)?2bm＋(a－1)b2=0,

(a－1)(m2－2bm＋b2)=0,

(a－1)(m－b)2=0,

若

∴a=1,

∴抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;

轴距离最大的点的纵坐标为h,

在x轴下方与x轴距离最大的点是(－1,y0),

∴|H|＞|h|,

当b=0时等号成立,

在x轴上方与x轴距离最大的点是(－1,y0),

在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,y0),

∴|H|＞|h|,

6.在平面直角坐标系中,直线l:y=x＋3与x轴交于点A,抛物线C:y=x2＋mx＋n的图象经过点A.

(Ⅰ)当m=4时,求n的值;

(Ⅱ)设m=－2,当－3≤x≤0时,求二次函数y=x2＋mx＋n的最小值;

中考数学中二次函数压轴题分类总结

中考数学中二次函数压轴题分类总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

二次函数的压轴题分类复习一、抛物线关于三角形面积问题例题二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 练习： 1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ．（1）求点E 的坐标；（2）求抛物线的函数解析式；（3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求?BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标； 2. 如图，已知抛物线42 12++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． y x O B N A M E F B y

2018年中考数学真题汇编：二次函数(含答案)

中考数学真题汇编:二次函数一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.

【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1）【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A

中考专项复习：二次函数的应用题型总结解析版

专题10二次函数的应用一．解读考点知识点二次函（1）利润问题数应用（2）几何问题类型（3）抛物线型问题名师点晴利用二次函数的最值确定最大利润、最大面积是二次函数应用最常见的问题. 一般方法是：（1）建模（最重要的就是可以读懂题意），然二次后求二次函数的解析式，解决此类问题的关键是①函数并把x的取值范围求出；认真审题，理解题意，建应用（2）求x= ﹣b 2a 的值；立二次函数的数学模型，的解（3）判断x=﹣b的值在再用二次函数的相关知识 2a 题步不在自变量x的取值范解决②注意自变量的取值骤围 ①在，即相当于求顶点处函数的最大值或最小值 ②不在，可画草图根据二范围．

次函数的增减性来解答．二．考点归纳归纳1：利润问题基础知识归纳： ①每件商品的利润=售价—进价 ②商品的总利润=每件商品的利润×销售量=（售价—进价）×销售量 ③商品的总利润=总收入－总支出 ④商品的利润率==

例1.（2017湖北十堰）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销量为y箱． (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； (2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y=60+10x（1≤x≤12，且x为整数）；（2）超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元. 【解析】试题分析：(1)根据题意，得：y=60+10x，由36?x≥24得x ≤12， ∴1≤x≤12，且x为整数； (2)设所获利润为W，则W=(36?x?24)(10x+60)=?10x2+60x+720=?10(x?3)2+810， ∴当x=3时，W取得最大值，最大值为810，答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元.

二次函数压轴题题型归纳

一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ，直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：（1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。解：当0=m 时，1=x ；当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ；综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。（题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立）小结．．：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a

中考复习：二次函数题型分类总结

【二次函数的定义】（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。【二次函数的对称轴、顶点、最值】（技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k；如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.

2018年山东十七地市数学中考题二次函数解答题

2019年山东十七地市数学中考题二次函数解答题 1．（2018德州）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD 的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD 相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2（2018东营）．（12分）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2018菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．

2021年中考二次函数题型分类复习总结

二次函数考点分类复习知识点一：二次函数的定义考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式。备注：当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数． 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2 －4x+1； ②y=2x 2 ； ③y=2x 2 +4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2 +nx+p ； ⑦y =； ⑧y=－5x 。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2 +2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m 2 +2m －7)x 2 +4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。课后练习：（1）下列函数中，二次函数的是（） A ．y=ax 2+bx+c B 。2 )1()2)(2(---+=x x x y C 。x x y 1 2+ = D 。y=x(x —1) （2）如果函数1)3(2 32++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为知识点二：二次函数的对称轴、顶点、最值 1、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；当0