我们从近自由电子近似(NFE)和紧束缚近似(TB)

第四章电子结构的紧束缚近似

第四章：电子结构的紧束缚近似 紧束缚近似是能带结构计算的一种经验方法，1928年，布洛赫提出紧束缚近似的方法，将晶体中的电子态用原子轨道的线性组合展开。紧束缚近似能够给出任何类型晶体(金属、半导体和绝缘体>电子占据态的合理描述，对于半导体，最低的导带态，也可以很好近似。 4.1基本理论 4.1.1分子轨道： 原子中s、p、d轨道的电子云分布如图1所示， 。常见的轨道类型

4.1.1简单晶格： 首先考虑简单格子构成的晶体，每个原胞只有一个原子，假定原子的轨道 用表示，其中为量子数，晶体中其它原子的对轨道波函数表示为 。由晶体中所有原子的相应轨道建立以为博士的晶体的布洛赫和， 表示为：b5E2RGbCAP <4-1）其中，N为晶体原胞数。在紧束缚近似中，以为波失的晶体电子波函数，用 所有以为波失的布洛赫和展开，表示如下： p1EanqFDPw <4-2） 式中，为展开式系数，可以通过标准的矩阵对角化程序求出。晶体的哈密顿量为如下形势： <4-3）晶体的能量本征值和本征失<展开式系数）可以有下列行列式方程给出： <4-4）

式中为由布洛赫和构建的晶体哈密顿矩阵元， 为晶体布洛赫之间的交叠积分。这样求晶体的的电子态 就主要转化为求上述<4-4）式中的哈密顿矩阵元和交叠积分，可以通过对原胞实空间进行具体积分求得，但计算复杂，计算代价高。通常，紧束缚近似方法中矩阵元是通过半经验的方法给出。DXDiTa9E3d 4.1.2半经验方法 在半经验方法中，首先假定原子轨道具有高度局域性，这样以不同原子为中心的原子轨道之间的交叠积分为零，又由于，相同原子的不同轨道正交，这样，式<4-4）中的交叠积分。剩下的主要是计算哈密顿矩阵元： RTCrpUDGiT <4- 5）考虑到晶体哈密顿量的平移对称性，以及针对任意，<4-5）式在遍历后 取值相等，可以令,表达式乘N,这样就可以去掉求和项，<4-5）化简 为：5PCzVD7HxA <4-6）与上一章提到的经验赝势类似，可以进一步假定晶体周期势可以表示为晶体内 以原子位置为中心的所有球对称的类原子势之和，晶体中的哈密顿量写成如下形势:jLBHrnAILg

固体物理答案

（1） 共价键结合的特点？共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？ 饱和性和方向性 饱和性：由于共价键只能由为配对的电子形成，故一个原子能与其他原子形成共价键的数目是有限制的。N<4，有n 个共价键；n>=4，有（8-n ）个共价键。其中n 为电子数目。方向性：一个院子与其他原子形成的各个共价键之间有确定的相对取向。 （2） 如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征？ 电离能：使原子失去一个电子所必须的能量其中A 为第一电离能，电离能可表征原子对价电子束缚的强弱；亲和势能：中性原子获得电子成为-1价离子时放出的能量，其中B 为释放的能量，也可以表明原子束缚价电子的能力，而电负性是用来表示原子得失电子能力的物理量。故电负性可用电离能加亲和势能来表征。 （3） 引入玻恩-卡门条件的理由是什么？ 在求解原子运动方程是，将一维单原子晶格看做无限长来处理的。这样所有的原子的位置都是等价的，每个原子的振动形式都是一样的。而实际的晶体都是有限的，形成的键不是无穷长的，这样的链两头原子就不能用中间的原子的运动方程来描述。波恩—卡门条件解决上述困难。 （4） 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是一个声学波的声子数目多？ 对同一振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低的声子数目多？ 温度一定，一个声学波的声子数目多。 对于同一个振动模式，温度高的声子数目多。 （5） 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化？ 不能。长声学波代表的是原胞的运动，正负离子相对位移为零。 （6）晶格比热理论中德拜（Debye ）模型在低温下与实验符合的很好，物理原因 是什么？爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么？ 在甚低温下，不仅光学波得不到激发，而且声子能量较大的短声学波也未被激发，得到激发的只是声子能量较小的长声学格波。长声学格波即弹性波。德拜模型只考虑弹性波对热容德贡献。因此，在甚低温下，德拜模型与事实相符，自然与实验相符。 爱因斯坦模型过于简单，假设晶体中各原子都以相同的频率做振动，忽略了各格波对热容贡献的差异，按照爱因斯坦温度的定义可估计出爱因斯坦频率为光学支格波。在低温主要对热容贡献的是长声学支格波。 （7）试解释在晶体中的电子等效为经典粒子时，它的有效质量为什么有正、有负、无穷大值？带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？ m F m F m F l +=* m v F m v F m v F l ?+?=??* ])()[(1 ])()[(1电子给予晶格德外力给予电子德晶格给予电子德外力给予电子德－＝＋p p m p p m m p ????=?* 当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动量时，有效质量为正； 当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动量时，有效质量为负； 当电子从外场获得的动量等于电子传递给晶格的动量时，有效质量为无穷。 （8）为什么温度升高，费米能级反而降低？体积膨胀时，费米能级的变化？ 在温度升高时，费米面以内能量离约范围的能级上的电子被激发到之上约范围的能级。故费米球体积V 增大，又电子总数N 不变，则电子浓度减小，又，则费米半径变小，费米能级也减小。当体积膨胀时，V 增大，同理费米能级减小。 （9）什么是p 型、N 型半导体？试用能带结构解释。

53 三维近自由电子近似及Brillouin区

5.3 三维近自由电子近似及Brillouin 区 一.三维简立方晶格中的近自由电子近似计算 1. 前提晶体为立方体 边长为 L 体积为V L 3 原胞数N 晶格常数a 有V Na 3 由Bloch 定理知电子的波函数r k i k k e r u r r r r r r r ?=ψ)()( 由Born-Karman 边界条件[)(r u k r r 自然满足] ??? ??ψ=ψψ=ψψ=ψ) ,,()0,,(),,(),0,(),,(),,0(L y x y x z L x z x z y L z y k k k k k k r r r r r r 1=L k i x e 等 得L n k L n k L n k z z y y x x π=π=π=2,2,2 量子数z y x n n n ,,为整数状态k r 点 在r k 空间均匀分布平均每个点占有体积3 3388Na V π= π 2. 在r k 空间作倒格子 (1).倒格子基矢→→→π=π=π=010 2012,2,2k a b j a b i a b r r r 仍为简立方格 子倒格子原胞体积3 3 8*a π=? (2).每个倒格子原胞所含的状态点数N Na a =π÷π3 3 3388 即原胞数 (3).考虑电子自旋每个倒格子原胞所含的电子状态数2 N 3. 用近自由电子近似法计算在r k 空间即倒格子空间电子能量跃变位 置 (1).零级近似 r k i k k Ae r m k E r r r r r r h ?=ψ=)(,2)0(2 2 )0( (2).微扰修正 ∑≠′′ ′?′==′=k k k k k k k k k k E E H E H E r r r r r r r r r r ) ()0(2 )2()1(,0 (注方俊鑫书用2k k H ′′ r r 法 黄书用> ′=<′′k r V k H k k r r r r r )(模方一样) 0≠′′k k H r v 的条件 n G k b n b n b n k k a n j a n i a n k k r r r r r r r r ?=++?=π+π+π?=′→→→)()222(332211030201其中n 1 n 2 n 3为整数不同时为零n G r 为倒格矢

紧束缚近似理论

§5-4 紧束缚近似理论 原子结合为原子时，电子的状态发生了根本性的变化，电子从孤立原子的束缚态变为晶体中的共有化状态。电子状态变化的大小取决于电子在某原子附近所受该原子势场的作用与其它诸原子势场作用的相对大小。 若原子所处原子势场的作用较之其它原子势场的作用要大得多，例如对于原子中内层电子，或晶体间距较大时，上面讨论的近自由电子近似就不适用，这时共有化运动状态与束缚态之间有直接联系，即紧束缚近似理论。 紧束缚理论的实质是把原子间相互作用影响看成微扰的简并微扰方法，微扰后的状态是N 个简并态的线性组合，即用原子轨道()i m ?-r R 的线性组合来构成晶体中的电子共有化运动的轨道(,)ψk r ，也称原子轨道线性组合法，简写为LCAO 。 5．4．1 原子轨道线性组合 设晶体中第m 个原子的位矢为： 112233m m m m =++R a a a ……………………………………………………………………………（5-4-1） 若将该原子看作一个孤立原子，则在其附近运动的电子将处于原子的某束缚态()i m ?-r R ，该波函数满足方程： 22()()()2m i m i i m V m ?ε???-?+--=-???? r R r R r R ………………………………………………（5-4-2） 其中()m V -r R 为上述第m 个原子的原子势场，i ε是与束缚态i ?相对应的原子能级。如果晶体为N 个相同的原子构成的布喇菲格子，则在各原子附近将有N 个相同能量i ε的束缚态波函数i ?。因此不考虑原子之间相互作用的条件下，晶体中的这些电子构成一个N 个简并的系统：能量为i ε的N 度简并态()i m ?-r R ，m=1，2，…，N 。 实际晶体中的原子并不是真正孤立、完全不受其它原子影响的。由于晶体中其它诸原子势场的微扰，系统的简并状态将消除，而形成由N 个能级构成的能带。根据以上的分析和量子力学的微扰理论，我们可以取上述N 个简并态的线性组合 (,)()()m i m m a ψ?= -∑k r k r R ………………………………………………………………………（5-4-3） 作为晶体电子共有化运动的波函数，同时把原子间的相互影响当作周期势场的微扰项，于是晶体中电子的薛定谔方程为： 22()()()2U E m ψψ??-?+=???? r r r …………………………………………………………………（5-4-4） 其中晶体势场U (r )是由原子势场构成的，即 ()()()n l n U V U = -=+∑r r R r R …………………………………………………………………（5-4-5）

2金属自由电子气的Drude模型

上讲回顾 ?固体的微观定义 *固体中的原子在其平衡位置附近作微小振动 ?贯穿课程的主线→ *周期性→波在周期性结构中的运动 10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型1

本讲内容：建模→推演→比较→修正?如何用在1900年左右可以理解和接受的假设、 前提和经典理论，在微观层次上建立研究金属 宏观性质的模型，解释实验观察到的金属的良 好导电和导热现象 *对已知现象，用已有知识，抓住要点 *困难之处施展腾挪手段 #一时搞不清楚的相互作用，用近似和假定绕过去?自由电子近似、独立电子近似、弛豫时间近似*用该模型研究金属的电导、热导→ #成功地解释Wiedemann-Franz定律 *对比实验，分析该模型的局限，提出模型改进之道10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型2

第2讲、金属电子气的Drude模型 1.已知的金属性质 2.模型的建立——基本假定及其合理性分析 3.金属电导率 4.金属热传导 5.Wiedemann-Franz定律 6.Hall效应和磁阻 7.Drude模型的局限 10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型3

1、已知的金属性质 模型建立的依据 10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型4

为什么研究固体从金属开始？ ?金属最基本物质状态之一，元素周期表中有2/3是金属元素，应用很广泛，当时对金属的了解 比其他固体多 *比如，电导、热导、光泽、延展等性能很早开始就 被广泛应用 *区分非金属，实际上也是从理解金属开始 ?当时已经知道很多其他固体所没有的金属性质*这些性质很多已经有应用，亟需知道其之所以有这 些性质的原因 10.107.0.68/~jgche/金属电子气的Drude模型5

固体物理习题解答

《固体物理学》部分习题解答 补充：证明“晶体的对称性定律”。 证明：晶体中对称轴的轴次n并不是任意的,而是仅限于 n=1,2,3,4,6这一原理称为“晶体的对称性定律”。 现证明如下: 设晶体中有一旋转轴n 通过某点O,根据前一条原理必有一平面点阵与你n 垂直,而在其中必可找出与 n垂直的属于平移群的素向量a,将a作用于O得到A 点将-a作用于O点得到A’点:若a= ,则L( )及L(- )必能使点阵复原,这样就可得点阵点B,B’,可得向量BB’,显然BB与a平行,因为空间点阵中任意互相平行的两个直线点阵的素向量一定相等,因而向量BB’的长度必为素向量a的整数倍即: BB’= ma 由图形关系可得: = 即 m=0,±1,±2 m n -2 -1 p 2 -1 - 3 0 0 4 1 6 2 1 2p 1 所以 n=1,2,3,4,6 综上所述可得结论:在晶体结构中,任何对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重,二种,三重,四重或六重等五种,而不可能存在五重和七重及更高的其它轴次,这就是晶体对称性定律。

晶体的对称性定律证明 : 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 。 解 由倒格子定义2311232a a b a a a π?=?? 3121232a a b a a a π?=?? 12 3123 2a a b a a a π?=?? 体心立方格子原胞基矢123(),(),()222 a a a a i j k a i j k a i j k =-+ +=-+=-+ 倒格子基矢2311230 22()()22 a a a a b i j k i j k a a a v π π?==?-+?+-?? 2 02()()4a i j k i j k v π =?-+?+- 2()j k a π=+ 同理31212322()a a b i k a a a a ππ?==+?? 3 2()b i j a π=+ 可见由123,,b b b 为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢 123()/2 ()/2()/2 a a j k a a k i a a i j =+=+=+ 倒格子基矢2311232a a b a a a π?=?? 12()b i j k a π = -++

固体物理模拟试题参考答案

模拟试题参考答案 一、名词解释 1．基矢、布拉伐格子 为了表示晶格的周期性，可以取任一格点为原点，由原点到最近邻的格点可得三个独立的矢量a 1、a 2、a 3，则布拉伐格子中的任一格点的位置可以由原点到该格点的矢量R l （332211a a a l l l R l ++=，l 1、l 2、l 3为整数）来表示，这样常称a 1、a 2、a 3 为基矢。 由于整个晶体可以看成是基元（组成晶体的最小单元）的周期性重复排列构成，为了研究晶体的周期性，常常把基元抽象成一个点，这些点称为格点（或结点），由这些格点在空间周期性的重复排列而构成的阵列叫布拉格点阵（或布拉伐格子）。 2．晶列、晶面 在布拉伐格子中，所有格点均可看成分列在一系列相互平行的直线上，这族直线称之为晶列，—个布拉伐格子可以有无限多族方向不同的晶列。布拉伐格子中的所有格点也可看成分列在一系列相互平行的平面上，这族相互平行的平面称为晶面。一个布拉伐格子也可以看成有无限多族方向不同的晶面。为了标志各个不问族的晶面。 3、格波与声子 晶格振动模式具有波的形式，称为格波。 在简谐近似下格波矢相互独立的，这样晶格振动的能量是量子化的，声子就是格波的能量量子，它不是真实存在的粒子，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。 4．能带 晶体中的电子，在零级近似中，被看成是自由电子，能量本征值0k E 作为k 的函数，具有抛 物线的形式。晶格周期起伏势的微扰，使得k 状态与2k n a π+（n 为任意整数）状态相互作用，这个作用的结果使得抛物线在2n a π处断开而形成一个个的带，这些就称为能带。 5．Bloch 函数 晶体中电子的波函数具有这样的形式，()()ik r r e u r ψ?= ，其中()()n u r R u r += 是具晶格周 期性的函数。此处的()r ψ 就是Bloch 函数。因此，Bloch 函数是一个平面波和一个晶格周期 函数的乘积 6．施主，N 型半导体 在带隙中提供带有电子的能级的杂质称为施主。主要含施主杂质的半导体，导电几乎完全依靠由施主热激发到导带的电子。这种主要依靠电子导电的半导体，称为N 型半导体。

第一章金属自由电子气体模型

第一章金属自由电子气体模型 1．1 （1）在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W 等于系统内能的增加dU ，即 PdV W dU -== , 式中P 是电子气的压强。由上式可得 V U P ??- = 。 在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由教材（1.1.25）式得 F N U εε5 3 0= = 其中3 2 2 2 22 322??? ? ??==V N m m k F F πε 由此可计算压强： V V N V V U P N F N 325300εεε=??? ????-=??? ????-=??- = (2) 由热力学可知，压缩系数的定义是：单位压强引起的体积的相对变化，即 T P V V ??? ????- =1κ 而体弹性模量等于压缩系数的倒数， T V P V K ??? ????-== κ1 故体弹性模量为： () V V V N m N V V V V P V K T T 9109103253320 13 2 3 2 220επε= ? =??? ????-=??? ????-=-- 1．2 He 3 的自旋为1/2，是费米子，其质量24 10 5-?≈m g.在密度3 081.0-?=cm g ρ的液 体He 3 中，单位体积中的He 3 数目为： 3283221062.11062.1--?≈?≈= m cm m n ρ 其费米能为： () 3 2 22 2 2322n m m k F F πε == 将n,m 值带入；得到： J F 23 10 8.6-?≈ε

其费米温度为： ()K K k T B F F 9.410 38.1108.623 23 ≈??≈=--ε 1．3 由教材（1.2.20）式知单位体积的自由电子气体内能： ()()2 2 06 T + =B k g F επμμ 则1mol 自由电子气体的内能为： ()()?? ????T +=??? ??=B 22061K g n n N n N U F A A επμμ 自由电子气体的摩尔热容量为 (利用了教材（1.1.29）式)： ()??? ? ??== ??? ????=F B A F V e T T R T K N g n T U C 2322 2πεπ ………… ① 又知低温下金属钾的摩尔电子热容量 321008.22-?=??? ? ??= T T T R C F e π K ≈?19726F T 由 ① 式可知：费米面上的态密度： ()3 1462 32221073.71008.2333---??≈??===m J RK n T RK nC T K N nC g B B e B A e F πππε （其中取：3 28 104.1-?=m n ） 1．4 ⑴ 3223231042.864 95.811002.6--?≈???== cm cm A Z N n m A ρ ⑵ s ne m m ne 14221071.21 -?≈=?==ρ ττσρ ⑶ ()()eV J n m n k m k F F F F 71012.1323218322 232222 2≈?== ??? ??? == -πεπε ()1631 2 1057.13-??===s m n m m k v F F π ⑷ m v l F F 8 1025.4-?==τ

§5-3近自由电子近似理论

§5-3 近自由电子近似理论 这是能带理论中一个简单模型。该模型的基本出发点是晶体中的价电子行为很接近于自由电子，周期势场的作用可以看作是很弱的周期性起伏的微扰处理。仅管模型简单，但给出了周期场中运动的电子本征态的一些最基本特点。 5．3．1模型与零级近似 这个模型的基本思想是：模型认为金属中价电子在一个很弱的周期场中运动（如图5-3-1），价电子的行为很接近于自由电子，又与自由电子不同。这里的弱周期场设为()V x ? ，可以当作微扰来处理，即： (1)零级近似时，用势场平均值V 代替弱周期场V (x )； (2)所谓弱周期场是指比较小的周期起伏[()]()V x V V x -=?做为微扰处理。 为简单起见，我们讨论一维情况。 零级近似下，电子只受到V 作用，波动方程及电子波函数，电子能量分别为： 2000020220 2()2ikx k k d V E m dx x k E V m ψψψψ-+===+……………………………………（5-3-1） 由于晶体不是无限长而是有限长L ，因此波数k 不能任意取值。当引入周期性边界条件，则k 只能取下列值：2k l Na π = ，这里l 为整数 可见，零级近似的解为自由电子解的形式，故称为近自由电子近似理论。 5．3．1微扰计算 根据量子力学的微扰理论，可以知道： () V r 图5-3-1 单电子的周期性势场

首先计算能量的一级修正： (1) 0* 00*00 [()]L k k k k k E k V k V dx V x V dx ψψψψ=?=?=-?? 0*00*00 ()0L L k k k k V x dx V dx V V ψψψψ=-=-=??…………………………………………（5-3-7） 因此有能量的一级修正为零，必须根据（5-3-4）计算二级修正： 因为0*00 ()()() L k k k V k k V x V k k V x k V x dx ψψ''''?=-==? ……………………………（5-3-8） 代入波函数表达式并按原胞划分，可得： 1(1)()()00 11()()N L n a i k k x i k k x na k V k e V x dx e V x dx L Na -+''----'?==∑??…………………………………（5-3-9） 这里令x na ξ=+，则()()()V x V na V ξξ=+=，因此有： 1()()001()()N a i k k na i k k k V k k V x k e e V d Na ξξξ-''----''?==∑?……………………………………（5-3-10） 整理上式为：1 ()()00 11 ()()N a i k k i k k a n k V k e V d e a N ξξξ-''----??'?=????∑?………………………………（5-3-11） 下面分为两种情况讨论： （1）当2k k n a π '-=?时，有 1 ()0 1()1N i k k a n e N -'--=∑，则设201()in a a n k V k e V d V a πξξξ-??? '?==???? ? 所以二级修正为：2 2 (2) ' ' 2 022 2[()]2n k k k k k k V k V E n E E k k m a π' ' ' '?==--+ ∑∑……………………………（5-3-12） （2）2k k n a π '-≠? 时，有 ()1 ()()0 111()01i k k Na N i k k a n i k k a e e N N e '---'--' ---= =-∑，则有2 (2)' 00k k k k k V k E E E ' ' '?==-∑ 所以，在周期势场的情况下，计入能量的二级修正后晶体中电子的能量本征值为： 零级近似 一级修正 二级修正 2 2 0(1)2 (2)' 000(1)' 0002()()() k k k k k k ikx k k k k k k k E V m E k V k k V k E E E x k V k x x E E ψψψ' ' '' ' =+=?'?=-= '?=-∑∑电子波函数 一级修正 零级近似 微扰理论重要公式 能量本征值 （5-3-2） （5-3-3） （5-3-4） （5-3-5） （5-3-6）

固体物理答案

1.“晶格振动”理论是半经典理论。 答：晶体中的格点表示原子的平衡位置，晶格振动便是指原子在格点附近的振动。 晶格振动的研究是从晶体热力学性质开始的杜隆-珀替定理总结了固体热容量在室温和更高的温度适合而在较低的温度下固体的热容量开始随温度的降低而不断降低，从而进一步发展出了量子热熔理论。但是经典晶格振动理论知识局限于固体的热学性质，故是半经典理论。首先只能求解牛顿方程，并引入了格波，而且每个格波的能量可用谐振子能量来表示。之后进行了量子力学修正，量子力学修正体现在谐振子能量不用经典谐振子能量表示式，而用量子谐振子能量表示式。 2.声学波和光学波的区别。长光学支格波与长声学支格波的本质差别。格波支数的关系。 定性地讲，声学波描述了元胞质心的运动，光学波描述了元胞内原子的相对运动。描述元胞内原子不同的运动状态是二支格波最重要的区别。 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 独立的波矢q 总点数＝晶体的总胞数N ； 格波总个数＝晶体原子振动自由度数，3nN 个； 格波总支数＝3n ，其中3 支声学波，3(n-1)支光学波。 3.金属的比热与温度的联系。 低温时，由德拜模型，V C 随温度下降而快速下降。当温度趋于零时，V C 亦趋于零。比热随温度的下降速 度T3。 高温时，比热与温度的关系更加符合爱因斯坦模型。比热与温度的一次方呈正比。 当温度T 极大时 3V B C Nk ≈，恰为经典理论的结果。这是因为在高温区，振子的能量近似B k T ，而当B k T 远大于能量量子（?ω）时，量子化效应可以忽略。 4.导体、半导体和绝缘体能带结构的基本特征。 5.费米分布函数的物理意义。费米能级。接触电势差。 费米能级的物理意义是，该能级上的一个状态被电子占据的几率是1/2。 费米能级是绝对零度时电子的最高能级，当f （E ）=1/2时，得出的E 的值对应的能级为费米能级 接触电势差：两种不同的金属相互接触时在它们之间产生的电势差。 其数值决定于金属的性质和接触面的温度。因不同金属的功函数(电子逸出金属表面所需的功)不同而产生。 与功函数的关系：Va-Vb=1/e(Φb -Φa) 产生接触电势差的原因是：⑴两种金属电子的逸出功不同。⑵两种金属的电子浓度不同。若 A 、 B 两种金属的逸出功分别为Va 和Vb ，电子浓度分别为Na 和Nb ，则它们之间的接触电势差为Vab=Va-Vb+(kT/e)×ln(Na/Nb) 式中的k 为玻尔兹曼（Boltzmann ）常数，e 是电子电量，T 是金属的绝对温度。几种金属依次连接时，接触电势差只与两端金属的性质有关，与中间金属无关。 6.晶体结合的基本类型。 7.金属自由电子论的假设与结果。 解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。 3 cT c VD =

体心立方晶格紧束缚近似能带结构的计算机模拟

体心立方晶格紧束缚近似能带结构的计算机模拟 肖瑞春，陶松涛 （安徽师范大学 物理与电子信息学院） 摘 要:利用MA TLAB 对体心立方晶格在紧束缚近似下的s 态能带进行计算机模拟，得到简约布里渊区内不同方向的能带曲线以及不同能量值的等能面的清晰图像，使状态空间的能带结构形态得到了直观的形象展示. 关键字：紧束缚近似；体心立方晶格；能带；等能面 能带理论的主要内容就是确立晶体中的电子能量在状态空间（k 空间）的变化规律——色散关系（能带函数）。晶格能带在状态空间的变化特征往往通过三维等能面、费米面或特定方向的能带曲线来描述。其中，三维等能面、费米面的表达式比较复杂,其几何结构很难想象. 上世纪60年代，人们借助于金属的de Haas-van Alphen 效应的实验数据，绘制了一些金属的费米面的三维图形[1]，受到广泛关注。随着计算技术的发展，人们开发出了许多卓越的分析软件，便于研究涉及大量数据的复杂问题。借助于这软件，人们开始了晶格能带的3D 分析[2]\[3]。本文利用MATLAB 软件，对紧束缚近似下的体心立方晶格的s 态能带在简约布里渊区内不同方向的能带曲线及不同能量值的等能面进行计算机模拟，得到了比较清晰的图像，使状态空间的能带结构形态得到直观展示。如果所得结果与其它实验测量获得的关于碱金属的等能面或费米面的相关信息结合起来，有助于加深对这类晶体能带特点的认识。 1. 紧束缚近似下体心立方晶格的s 态能带 根据能带理论，紧束缚近似下i 态原子能级形成的能带为[4]: ()s 0()s s ik R i s R Nearest E k J J R e ε-?==-- ∑ （1） 其中i ε为孤立原子能级i 的能量，0J 、() s J R 是重叠积分。对体心立方s 态能带，8个近 邻原子的重迭积分() s J R 相同，记为1J ，有（1）式可得: s 01()8cos cos cos 222 s x y z a a a E k J J k k k ε=-- （2） 其中a 为晶格常数，k 为波矢量. 根据Bloch 定理可推知，晶体的电子能带具有周期性，即只要研究清楚一个倒格子原胞（取简约布里渊区）的情况即可. 体心立方晶格的倒格子为面心立方格子（单胞边长 4/a π） 。根据布里渊区的界面方程 102n n G k G ? ??+= ?? ?（G 是倒格矢） （3） 利用MA TLAB 可作出体心立方晶格的简约布里渊区图像，它是一个菱形十二面体，如图1 所示.要掌握体心立方晶格能带结构详情，就是要给出相应能带的等能面在状态空间这样的一个区域内的变化图像. 对方向余弦为cos α、cos β、cos γ的特定的方向，()s E k 可以表示为： 01()8cos cos cos cos cos cos 222s s a a a E k J J k k k εαβγ?????? =--?? ? ? ??????? （4）

2014-2015复习题固体物理

固体物理学复习思考题 1、固体物理的研究对象是什么？ 2、理想晶体和非晶体物理特性有那些区别？ 3、熟悉晶体的晶向指数、密勒指数，Bravis lattice， 原胞、晶胞、原胞基矢、倒格子基矢的物理意义。 4、已知体心立方的Bravis lattice 的基矢为 a1=a/2(j+k-i),a2=a/2(k+i-j),a3=a/2(i+j-k)求其倒空间的基矢b1,b2,b3 ，并分别求出正、倒空间原胞的体积，两者之间满足什么关系？ 5、当电子在电压为V的电场中加速轰击到“靶极”物质上产生的X-Ray的最短波长λmin=?用这种波长的X-Ray测量简单立方晶体（晶格常数为a）时，在衍射角θ位置上观察到一级极强，则该晶面的密勒指数的平方和h2+k2+l2=? 6、晶体学中根据晶体的对称性把晶体分成几个晶系？共 有多少个Bravis lattices? 晶体的宏观对称性包含多少个点群和空间群？ 7、原子结合成晶体时主要有哪四种不同的形式？分别阐 述其特点。 8、什么是原子的电离能和亲和能？原子的负电性与电离 能和亲和能的关系是什么？ 9、什么是晶体的结合能？

10、已知NaCl晶体的一个原胞的库仑能为﹣E, 则其马德隆常数α=？ 11、设离子晶体包含N个原胞，系统的内能可以写成 U=N[-A/r + B/r n ] 其中A=αe2/4πε0 若晶体平衡时两近邻离子的距离为r0，则B=？此时该离子晶体的结合能W=？ 12、什么是格波？格波通常分为哪两种波？每种格波有何特点？ 13、在长波近似的情况下，双原子链的振动中光学波和声学波两种原子的振幅比B/A各为多少？所代表的物理意义是什么？ 14、设原胞中有n个原子，则对一定的波矢q有多少个声学波?多少个光学波? 15、什么是简约波矢？为什么K通常取简约波矢？ 16、简述布洛赫定理。 17、简述导体、非导体和半导体的能带结构。 18、何谓近满带和空穴？空穴是真正的粒子吗？ 19、什么是费米面、费米能、费米动量、费米速度？若固 体中有N个电子（假设把电子看成自由电子）体积为V，则费米波矢K F=？P220

固体物理导论总结第二部分

引子
原子势场(晶体场、晶格场)、光场、电场和磁场 电子在场中的运动状态 电子的波函数和能量 电子的能量分布 0场 自由电子论 近自由电子论 紧束缚电子论 原子强势场 固体与外场的相互作用 电磁场与晶格场的相互作用 平均晶格势场 固体电子论 (能带论) 电子的能谱 固体的能带
晶格场中的载流子与外场交换能量的过程。

波函数的形式
量子力学初步
G 微观粒子的运动状态可用一个复函数 Ψ ( r , t ) G 来描述，函数 Ψ ( r , t ) — 称为波函数。
自由粒子的平面波： K K
Ae
i ( k ?r ? ω t )
K K K i ( p ? r ? Et ) = Ψ (r , t ) = Ae
波函数的统计诠释 物质波： 实验事实： 电子枪发射稀疏到，任何时刻空间
至多一个电子，但时间足够长后， 也有同样结果；

玻恩几率解释：波函数在空间某一点的强度， 即：波函数的模方，和在该点 找到粒子的几率成正比。 波函数统计诠释的数学表示形式： 波函数统计诠释的数学表示形式：
K 2 ?在r处的体积元内找到粒子的几率：dW ∝ Ψ (r , t ) dτ
K 2 dW = C Ψ (r , t ) dτ
dW K K 2 = C Ψ (r , t ) ?几率密度：w(r , t ) = dτ

量子力学的适用范围： 量子力学的适用范围： 体系的作用量 体系的作用量 = = [[长度 长度]] × ×[[动量 动量]]
Δx ? Δp x ≥ h
Δy ? Δp y ≥ h
Δz ? Δpz ≥ h
= [时间] ×[能量] = [角度] ×[角动量]
-34 J.S 判定常数： J.S ----- 普朗克常数 普朗克常数 判定常数：h h=6.626 =6.626× ×10 10-34
Δt ? ΔE ≥ h
体系的作用量与 体系的作用量与h h相比拟时，经典力学不再适用。 相比拟时，经典力学不再适用。

近自由电子近似理论

近自由电子近似理论 这是能带理论中一个简单模型。该模型的基本出发点是晶体中的价电子行为很接近于自由电子，周期势场的作用可以看作是很弱的周期性起伏的微扰处理。仅管模型简单，但给出了周期场中运动的电子本征态的一些最基本特点。 5．3．1模型与零级近似 这个模型的基本思想是：模型认为金属中价电子在一个很弱的周期场中运动（如图5-3-1），价电子的行为很接近于自由电子，又与自由电子不同。这里的弱周期场设为()V x ? ，可以当作微扰来处理，即： (1)零级近似时，用势场平均值V 代替弱周期场V (x )； (2)所谓弱周期场是指比较小的周期起伏[()]()V x V V x -=?做为微扰处理。 为简单起见，我们讨论一维情况。 零级近似下，电子只受到V 作用，波动方程及电子波函数，电子能量分别为： 2000020220 2()2ikx k k d V E m dx x k E V m ψψψψ-+===+ ……………………………………（5-3-1） 由于晶体不是无限长而是有限长L ，因此波数k 不能任意取值。当引入周期性边界条件，则k 只能取下列值：2k l Na π = ，这里l 为整数 可见，零级近似的解为自由电子解的形式，故称为近自由电子近似理论。 5．3．1微扰计算 根据量子力学的微扰理论，可以知道： () V r 图5-3-1 单电子的周期性势场

首先计算能量的一级修正： (1) 0* 00*00 [()]L k k k k k E k V k V dx V x V dx ψψψψ=?=?=-?? 0* 00*00 ()0L L k k k k V x dx V dx V V ψψψψ=-=-=??…………………………………………（5-3-7） 因此有能量的一级修正为零，必须根据（5-3-4）计算二级修正： 因为0*00 ()()() L k k k V k k V x V k k V x k V x dx ψψ''''?=-==? ……………………………（5-3-8） 代入波函数表达式并按原胞划分，可得： 1(1)()()00 11()()N L n a i k k x i k k x na k V k e V x dx e V x dx L Na -+''----'?==∑??…………………………………（5-3-9） 这里令x na ξ=+，则()()()V x V na V ξξ=+=，因此有： 1()()001()()N a i k k na i k k k V k k V x k e e V d Na ξ ξξ-''----''?==∑?……………………………………（5-3-10） 整理上式为：1 ()()00 11 ()()N a i k k i k k a n k V k e V d e a N ξξξ-''----??'?=?? ??∑?………………………………（5-3-11） 下面分为两种情况讨论： （1）当2k k n a π '-=?时，有 1 ()01()1N i k k a n e N -'--=∑，则设201()in a a n k V k e V d V a πξξξ-??? '?==???? ? 所以二级修正为：2 2 (2) ' ' 2 22 2[()]2n k k k k k k V k V E n E E k k m a π' ' ' '?==--+∑∑ ……………………………（5-3-12） （2）2k k n a π '-≠? 时，有 ()1 ()()0 111()01i k k Na N i k k a n i k k a e e N N e '---'-----= =-∑，则有2 (2)' 00k k k k k V k E E E ' ' '?==-∑ 所以，在周期势场的情况下，计入能量的二级修正后晶体中电子的能量本征值为： 零级近似 一级修正 二级修正 22 0(1)2 (2)' 000(1)' 0002()()() k k k k k k ikx k k k k k k k E V m E k V k k V k E E E x k V k x x E E ψψψ' ' '' ' =+=?'?=-= '?=-∑∑ 电子波函数 一级修正 零级近似 微扰理论重要公式 能量本征值 （5-3-2） （5-3-3） （5-3-4） （5-3-5） （5-3-6）

固体物理试题1答案

固体物理试题1——参考答案 一、填空题（每小题2分，共12分） 1、体心立方晶格的倒格子是面心立方点阵，面心立方晶格的倒格子是体心立方点阵。 2、晶体宏观对称操作的基本元素分别是 1、2、 3、 4、6、i、m（2）、4等八种。 3、N 对钠离子与氯离子组成的离子晶体中，独立格波波矢数为 N ，声学波有 3 支，光学波有 3 支，总模式数为 6N 。 4、晶体的结合类型有金属结合、共价结合、离子结合、范德瓦耳斯结合、氢键结合及混合键结合。 5、共价结合的主要特点为方向性与饱和性。 6、晶格常数为a的一维晶体电子势能V(x)的傅立叶展开式前几项(单位为eV)为: , 在近自由电子近似下, 第二个禁带的宽度为 2（eV）。 二、单项选择题（每小题 2分，共 12 分） 1、晶格常数为a的NaCl晶体的原胞体积等于（ D ）. A、B、C、 D、. 2、金刚石晶体的配位数是（ D ）。 A、12 B、8 C、6 D、4. 3、一个立方体的点对称操作共有（ C ）。 A、 230个 B、320个 C、48个 D、 32个. 4、对于一维单原子链晶格振动的频带宽度，若最近邻原子之间的力常数β增大为4β，则 晶格振动的频带宽度变为原来的（ A ）。 A、 2倍 B、4倍 C、 16倍 D、 1倍. 5、晶格振动的能量量子称为（ C ）。 A、极化子 B、激子 C、声子 D、光子. 6、三维自由电子的能态密度，与能量E的关系是正比于（ C ）

A 、 12 E - B 、0E C 、2/1E D 、 E . 三、问答题（每小题4分，共16分） 1、与晶列垂直的倒格面的面指数是什么 解答 正格子与倒格子互为倒格子。正格子晶面 与倒格矢 垂直,则倒格晶面 与正格矢 正交。即晶列 与倒格面 垂直。 2、晶体的结合能、 晶体的内能、 原子间的相互作用势能有何区别 解答 自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量, 或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要 的能量, 称为晶体的结合能。 原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能。 在0K 时, 原子还存在零点振动能. 但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相 比小得多。 所以, 在0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。 3、 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多 而对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多 解答 频率为ω的格波的(平均)声子数为: 11)(/-= T k B e n ωωη. 因为光学波的频率O ω比声学波的频率A ω高, (1/-T k B O e ωη)大于(1/-T k B A e ωη), 所以在温 度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。 设温度T H >T L , 由于(1/-H B T k e ωη)小于(1/-L B T k e ωη), 所以温度高时的声子数目多于温 度低时的声子数目.