GCT数学公式1
一、数和代数式
1、复数：
z=a+ib ，a,b 是实数，i 是虚数单位，1-=i 满足i 2=-1。a,b 分别称为复数z 的实部和虚部。a-ib 称为z 的共轭复数，即ib a z -=。复数的三角表示式和指数表示式：)sin (cos θθi r z +=或θi re z =。其中22b a z r +==称为复数z 的模或绝对值，θ称为复数z 的辐角，a
b =θtan 。i 2=-1,i 3=-i,i 4=1。 2、代数式及其运算：
常用公式：和的平方2222)(b ab a b a ++=+ 差的平方2222)(b ab a b a +-=- 和与差之积22))((b a b a b a -=-+ 和的立方3223333)(b ab b a a b a +++=+
差的立方3223333)(b ab b a a b a -+-=-
立方和3322))((b a b ab a b a +=+-+
立方差3322))((b a b ab a b a -=++-
如果方程02=++c bx ax 的两个根是x 1和x 2，则有因式分解公式
))((212x x x x a c bx ax --=++。
3、整式的除法：
对任意两个实系数的多项式)(x f 和)(x g ，一定存在实系数的多项式)(x Q 和)(x R ，使得)()()()(x R x g x Q x f +=。)(x f 处以)(x g ，得到的商式是)(x Q ，余式是)(x R 。 4、分式：
设)(x f 和)(x g 是两个整式，形如
)
()
(x g x f 的式子称为分式或有理式。 分子和分母有一个以上的公因式时可以约分，不能约分的分式称为既约分式。
5、根式：
n
a 称为根式，n 称为根指数，a 称为根底数。在实数范围内，负数不能
开偶次方，一个正数开偶次方有两个方根，其绝对值相等，符号相反。 二、集合、映射和函数 1、集合：
自然数集-N ，整数集-Z ，有理数集-Q ，实数集R ，复数集-C ，正整数集-Z +，正实数集R +。
如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，记作A ?B(包含于)。 含有n 个元素的有限集共有2n 个子集。 2、映射和函数
(1)设A 、B 是两个集合，如果按照某个对应法则f ，对于A 中任何一个元素，在B 中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应称为集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。
对于映射f ：A →B ，若a ∈A ，B 中与之对应的元素是b ，称b 为a 的象，a 为b 的原象。
(2)设A 、B 是R 的非空子集，映射f ：A →B 称为A 到B 的函数，记作y=f(x)，x ∈A ，其中x 称为自变量，y 是函数值，y ∈B 。A 称为函数f(x)的定义域，函数值的集合｛y|y=f(x), x ∈A ｝称为函数f(x)的值域，值域包含于B 。
一次函数：设a ≠0,y=ax+b 。或f(x)= ax+b 。 二次函数：设a ≠0, f(x)= ax 2+bx+c 。
函数的图像是指坐标平面上点(x,y)的集合｛x,y|y=f(x), x ∈A ｝。例如一次函数的图像是直线，二次函数的图像是抛物线，其中a>0时抛物线开口向上，a<0时抛物线开口向下，抛物线的对称轴是直线a
b
x 2-
=，顶点
坐标是???? ?
?--a b ac a b 4422，。如果042
>-ac b ，抛物线和x 轴有两个交点，横坐标是方程的两个实根；如果042=-ac b ，抛物线和x 轴有一个交点，横坐标是方程的重根；如果042<-ac b ，抛物线和x 轴没有交点。
(3)反函数：需特别注明函数的定义域。如不是一个一一对应，则反函数不存在。
(4)函数的单调性、奇偶性和周期性：
函数在其定义域的某个子集I 上满足：对任意x 1,x 2∈I ，当x 1
函数在其定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x))，就称函数f(x)是偶函数(或奇函数)。偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点O 中心对称。
如果存在一个非零常数T ，使函数y=f(x)当x 取定义域内任何一值x 时，都有f(x+T)=f(x)，称y=f(x)为周期函数。
(5)幂函数、指数函数和对数函数：
幂函数：n x y =，常数n ∈Q ，当n>0时，图像过(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)上是增函数；当n<0时，图像过(1，1)，在(0，+∞)上是减函数。幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点。
指数函数：x a y =(a>0, a ≠1)，x ∈R 。图像在x 轴上方，过(0，1)点。当a>1时，x a y =是R 上的增函数；当0 对数函数：x y a log =(a>0, a ≠1)，x ∈(0，+∞)。图像在y 轴的右方，过(1，0)点，当a>1时，x y a log =是增函数；当0 N M MN a a a log log )(log += N M N M a a a log log )( log -= M n M a n a log log = M n M a n a log 1 log = a M M b b a log log log = 1log =a a M a M a =log 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，以10为底的对数称为常用对数，分别记为lnx 和lgx 。 三、代数方程和简单的超越方程 1、一元二次方程的性质 (1)一元二次方程的形式是02=++c bx ax ，其中a ，b ，c ∈R ，a ≠0， ac 4b 2-=?称为方程的判别式。如果0>?，方程有两个不相等的实根；如果 0=?，方程有一个实根；如果0 复根。 (2)方程的根x 1和x 2满足关系a b x x -=+21，a c x x =21。 2、解一元代数方程 (1)配方法： (2)公式法：04b 2 >-ac ，a ac b b x 2421---=，a ac b b x 2422-+-= 04b 2=-ac ，21x x = 04b 2 <-ac ，a i ac b b x 2421---=，a i ac b b x 2422-+-= (3)分解因式法：分解为多个整式之积。 四、不等式 1、不等式的概念和性质 基本的不等式： (1)对一切a ∈R ，有0a 2≥； (2)对一切a ，b ∈R ，有ab b 2a 22≥+； (3)对任意0a ≥，0b ≥，有 ab b ≥+2 a ； (4)对一切a ， b ∈R ，有b a b a b +≤+≤-a ，称为三角不等式。 2、解不等式 02>++c bx ax 和02<++c bx ax ， 设0a >，记判别式ac 4b 2-=?。 (1)设0>?，方程的两个实根是x 1，x 2，设x 1 (2)设0=?，方程的两个实根是x 1=x 2，不等式的解集分别是(-∞，x 1)∪( x 1，+∞)、?； (3)设0 1、等差数列 通项式：d n a a n )1(1-+= 前n 项和公式：2 )(1n n a a n S +=或d n n na S n 2) 1(1-+ = 2、等比数列 通项式：11-=n n q a a 前n 项和公式：q q a S n n --=111或q qa a S n n --=11 六、排列、组合、二项式定理和古典概率 1、排列和组合 排列公式：)! (!m n n P m n -= ，组合公式：)!(!! m n m n C m n -= 组合的两个基本性质：m n n m n C C -=，11-++=m n m n m n C C C 2、二项式定理 对任意的n ∈Z +有：r r n n r r n n b a C b a -=∑=+0 )( 0)(b a + (1) 1)(b a +………………1 1 2)(b a +……………1 2 1 3)(b a +…………1 3 3 1 4)(b a +………1 4 6 4 1 5)(b a +……1 5 10 10 5 1 6)(b a +…1 6 15 20 15 6 1 这是著名的“杨辉三角形”。 如果a=b=1，可得n n r r n C 20=∑= 3、古典概率问题 如果事件A 和B 互斥，则P(A ∪B)= P(A)+ P(B)，即事件A 和B 分别发生的概率之和。 如果事件A 和B 相互独立，则P(A ∩B)= P(A)·P(B)，即两个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积。 独立重复试验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率为：k n k k n n p p C k P --=)1()(。 七、常见几何图形 1、常见平面几何图形 扇形面积22 1 r S α=；弧长r l α=；等弧上的圆周角、圆心角相等；直径上的圆周角为直角。 两相似平面图形若面积之比是r 2，则它们的边长(或高)之比为r ，反之亦然。 2、常见空间几何图形 (1)正棱锥体：体积h F V '=3 1；侧面积F n S ''= (2)正圆锥体：体积h r V 23 1π=；侧面积22h r r S +=π；展开扇形的圆心角2 2 2h r r += πθ (3)球：体积33 4r V π=；侧面积24r S π= 八、三角学的基本知识 1、三角函数 (1)正玄函数r y =αsin ； 余玄函数r x =αcos ； 正切函数x y =αtan ； 余切函数y x = αcot ； 正割函数x r =αsec ； 余割函数y r =αcsc ； (2)同角函数的关系：1sin csc =αα； 1cos sec =αα； αααcos sin tan = ； α α αsin cos cot =； 1cos sin 22=+αα； αα22sec tan 1=+； (3)设k ∈Z ，对一切α∈(-∞，∞)有诱导公式： (4)诱导公式还有： ααπ cos )2 sin(=-； ααπ sin )2 cos(=- ααπ cot )2 tan( =-； ααπ tan )2 cot( =- (5)三角函数的图像和性质： 正玄函数最小正周期为π2的奇函数； 余玄函数最小正周期为π2的偶函数； 正切函数最小正周期为π的奇函数； 余切函数最小正周期为π的奇函数； 2、两角和与差的三角函数 (1)两角和与差公式： βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( ±= ± (2)倍角与半角公式： αααcos sin 22sin =； ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； α α α2 tan 1tan 22tan -= ； 2cos 12 sin αα -= ； 2 cos 12cos α α+=； α α α cos 1cos 12 tan +-= ； αααααcos 1sin sin cos 12tan +=-=； 3、解斜三角形 (1)正玄定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===，R 为△AB C 外接圆的半径。 (2)余玄定理：A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= (3)三角形面积公式：C ab B ac A bc S ABC sin 2 1sin 2 1sin 2 1===? 4、反三角函数 x y arcsin =，定义域是[-1，1]，值域是[2 π - ，2 π]，它是一个增函数， 也是奇函数。 x y arccos =，定义域是[-1，1]，值域是[0，π]，它是一个减函数。 x y arctan =，定义域是R ，值域是(2 π - ，2 π)，它是一个增函数，也是奇 函数。 x arc y cot =，定义域是R ，值域是(0，π)，它是一个减函数。 九、平面解析几何 1、平面向量 (1)向量加法： )(2211b a b a b a ++=+，,向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。 向量的加法满足三角不等式：|a+b|≤|a|+|b| 设λ∈R ，则λa=(λa 1，λa 2)，向量λa 的模|λa|=|λ||a| 设点A(a 1，a 2)，B(b 1，b 2)，则)(2211a b a b --=-=，； 距离公式222211)()(a b a b --=， (2)向量的内积：2211cos b a b a b a b a b a +=??=?， 内积满足的运算规律：a b b a ?=?；)()(b a b a ?=?λλ；c b c a c b a ?+?=?+)( a ∥b 的充分必要条件为01221=-b a b a ； a ⊥b 的充分必要条件为02211=+=?b a b a b a (3)设λ=，则P 的坐标λλ++=121x x x ；λ λ++=12 1y y y ；λ=1时，P 为中点。 三角形质心坐标：()()?? ? ??++++3213213 13 1 y y y x x x ， 2、直线 (1)直线的方向向量、倾斜角和斜率 如果非零向量a 与直线l 平行，则称a 为l 的一个方向向量。如果l 与x 轴相交，把x 轴绕交点逆时针旋转到与l 重合时的最小正角α，称为l 的倾斜角；如果l 和x 轴平行或重合，则α=0。如果α≠л/2，k=tan α称为直线l 的斜率。 α∈[0，л)，(cos α，sin α)是直线l 的一个单位方向向量。 (2)直线的方程： 点向式：)()(0102y y a x x a -=-； 点斜式：)()(00x x k y y -=-； 斜截式：b kx y +=；b 为l 的纵截距。 一般式：0=++C By Ax ；其中A ，B 不同时为零，(-B ，A)是直线l 的一个方向向量，(A ，B)是l 的一个法向向量。 (3)两条直线的位置关系： 设不重合的两条直线：01111=++C y B x A l ：，02222=++C y B x A l ： 两条直线相交：方程组有唯一的解，它就是交点坐标。 两条直线平行：l 1∥l 201221=-?B A B A 21k k =? 两条直线垂直：l 1⊥l 202121=+?B B A A 121-=?k k 两条直线的夹角：?? ? ???∈20π θ， 而l 1到l 2的角是指l 1按逆时针绕交点转到与l 2重合时的角φ。 2112212112211tan k k k k B B A A B A B A +-=+-= ?； 2 112212112211tan k k k k B B A A B A B A +-=+-=θ 22 21 2122 22 21 2 1 2121111cos k k k k B A B A B B A A +?++= +?++=? 点到直线的距离：2 2 00B A C By Ax d +++= 3、圆 标准方程：22020)()(r y y x x =-+- 一般方程：022=++++F Ey Dx y x ；满足0422>-+F E D 参数方程：??sin cos 00r y y r x x +=+=； 4、椭圆 定义：F 1，F 2是两定点，2a>| F 1F 2|，点的集合｛M||MF 1|+|MF 2|=2a ｝称为椭圆。 标准方程：122 22=+b y a x ；其中222c a b -=，满足0>>b a 参数方程：??sin cos b y a x ==；；其中0>>b a 图像：F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)为焦点，长轴为2a ，短轴为2b 。 离心率：a c e =；满足10< 准线：c a x l 21-=：，c a x l 2 2=： 性质：点M 在椭圆上的充要条件为： e l M MF l M MF == 的距离 到的距离 到22 11 如果将椭圆平移，使其中心处于(h ，k)的位置，则椭圆方程为 1)()(2 2 22=-+-b k y a h x 5、双曲线 定义：F 1，F 2是两定点， | F 1F 2|>2a>0，点的集合｛M||MF 1|-|MF 2|=2a ｝称为双曲线。 标准方程：122 22=-b y a x ；其中222a c b -=，满足00>>b a ， 参数方程：??tan sec b y a x ==；；其中00>>b a ， 图像：F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)为焦点，实轴为2a ，虚轴为2b 。 离心率：a c e =；满足1>e 准线：c a x l 21-=：，c a x l 2 2=： 性质：点M 在双曲线上的充要条件为： e l M MF l M MF == 的距离 到的距离 到22 11 如果将双曲线平移，使其中心处于(h ，k)的位置，则双曲线方程为 1)()(2 2 22=---b k y a h x 6、抛物线 定义：F 是一定点，l 是一定直线，点的集合｛M||MF 1|=M 到l 的距离｝称为抛物线，F 为焦点，l 为准线。 便准方程：)0(22>=p px y ； )0(22>-=p px y )0(22>=p py x ； )0(22>-=p py x 焦点分别为)02 (， p F 、)02 (，p F -、)2 0(p F ，、)2 0(p F -， 离心率：1== 的距离 到l M MF e 准线：2 p x -=；2p x = ；2p y -=；2 p y = 如果将抛物线平移，使其定点处于(h ，k)的位置，则抛物线方程为 )0)((2)(2>-=-p h x p k y ，其余同。