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广东省东莞市2015届高三数学理小综合专题练习：解析几何

2015届高三理科数学小综合专题练习——解析几何

资料提供：东华高级中学老师

一、选择题

1．直线10x ay ++=与圆()2

14x y +-=的位置关系是

A. 相交

B. 相切

C. 相离

D. 不能确定 2．直线012=++y x 被圆25)1()2(22=-+-y x 所截得的弦长等于（） A.52 B.53 C.54 D.55

3．设P 是椭圆116

252

2=+y x 上的一点，21,F F 是焦点，若?=∠3021PF F ，则21PF F ?的面积为（） A.

16 B.)32(16- C. )32(16+ D.16 4．与曲线

1492422=+y x 共焦点，且与曲线164362

2=-y x 共渐近线的双曲线方程为（） A ．

191622=-x y B ．191622=-y x C ．116922=-x y D ．116

922=-y x 5．设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点M ，若M F F 21?为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（） A.2

B.12-

C.22-

212-

二、填空题

6．直线210kx y k +++=必经过的点是．

7．P 为圆12

=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为．

8．已知抛物线)0(22

>=p px y 的准线与直线03=-+y x 以及x 轴围成三角形面积为8，则p ＝

__________________.

9．若动圆M 与圆2)4(:2

1=++y x C 外切，且与圆

2)4(:222=+-y x C 内切，则动圆圆心M 的轨迹方程________．

10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 和椭圆19162

2=+y x 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 _________ ．

三、解答题

11．已知椭圆)0,0(1:2222>>=+b a b

y a x E 的离心率3

2e =

，并且经过定点1 (3,)2P （1）求椭圆 E 的方程；

（2）问是否存在直线m x y +-=，使直线与椭圆交于B A , 两点，满足OA OB ⊥,若存在求 m 值，若不存在说明理由．

12．椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>过点3(1,)2A ，离心率为1

2，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的

直线交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当2F AB ?的面积为122

时，求直线的方程.

13．无论m 为任何实数，直线m x y l +=:与双曲线)0(12:

2>=-b b

y x C 恒有公共点. （1）求双曲线C 的离心率e 的取值范围；

（2）若直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线交于Q P ,两点，并且满足→

→

=FQ FP 5

1，求双曲线

C 的方程.

14．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，

直线01=++y x 与以椭圆C 的右焦点为圆心，以b 2为半径的圆相切．

（1）求椭圆的方程．

（2）若过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于B A ,两点，交y 轴于M 点，且

BF MB AF MA 21,λλ==求证：21λλ+为定值

15．已知抛物线y x C 4:2=的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中

心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率2

3=e ．（1）求椭圆E 的方程；

（2）经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：MF AB ⊥；

（3）椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线MA ''、MB ''（A '、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出抛物线C 与切线MA

''、MB ''所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．

2015届高三理科数学小综合专题练习——解析几何参考答案

1．A

2．C

【解析】圆心到直线的距离为51

21222=+++=

d ，故弦长等于545522222=-=-d r

3．B

【解析】由椭圆焦点三角形面积公式得0

215tan b S =，又

3233133

1)3045tan(15tan 000-=+-

-=，所以)32(1615tan 0

2-==b S

4．A

【解析】与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线可设为1643622=-λλy x ，又曲线149242

2=+y x 的焦点在y 轴上且为)5,0(±，所以25)36(64,0=-+-<λλλ，因此41

-=λ，双曲线方程为

1622=-x y 5．B

【解析】因为M F F 21?为等腰直角三角形，所以12FF FM =,即22b c a

=得222

2ac b a c ==-，两边同除以2c 整理成二次方程标准形式2

210e e +-=，所以2121()e e =-=--或舍去

6．()2,1--

【解析】将直线方程化简为：()120y k x +++=，由1020y x +=??+=?解得1

2y x =-??=-?

，所以所求直线必

经过点()2,1--. 7．1.

【解析】圆心()0,0到直线01043=--y x 的距离10215

d -==>，直线与圆相离，点P 到直线的距离的最小值为1d r -=. 8．2

【解析】作图可知该三角形为等腰直角三角形则有：21(3)22

+＝8，解得p ＝2或p ＝－14（舍去）

9．2

x －214y ＝1(x≥2)

【解析】设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2， ∴|MC 1|－|MC 2|＝22．又C 1(－4,0)，C 2(4,0)，

∴|C 1C 2|＝8．∴22<|C 1C 2|．根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、 C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a ＝2，c ＝4，∴b 2

＝c 2

－a 2

＝14．

∴点M 的轨迹方程是2

x －214y ＝1(x≥2)．

10．

【解析】由题得，双曲线的焦点坐标为（，0），（﹣，0），

c=：且双曲线的离心率为2×==?a=2．?b 2=c 2﹣a 2

=3，

双曲线的方程为=1．

11．【解析】（1）由题意：32

c e a =

=且22

3114a b +=，又222

c a b =- 解得：2

4,1a b ==，即：椭圆E 的方程为2

214

x y += （2）设1122(,),(,)A x y B x y

22221

4()40584404

x y x m x x mx m y x m

?+=??+--=?-+-=??=-+? （*）所以21212844

,55

m m x x x x -+== 22

212121212844()()()55m y y m x m x m m x x x x m m -=--=-++=-+24

m -=

由0OA OB OA OB ⊥??=

得2211221212444210

(,)(,)0,0,0,555

m m x y x y x x y y m --=+=+==±

又方程（*）要有两个不等实根，22(8)45(44)0,55m m m ?=--?->-<<

m 的值符合上面条件，所以210

m =±

12．【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点3(1,)2A ，所以2219

14a b +=①，又因为

离心率为12，所以1

2c a =，所以2234

b a =②，解①②得224,3a b ==.

所以椭圆的方程为：22

143

x y += （2）①当直线的倾斜角为

2π时，33

(1,),(1,)22

A B ---, 21211122

323227ABF S AB F F ?=

?=??=≠，不适合题意。

②当直线的倾斜角不为

时，设直线方程:(1)l y k x =+，代入22

143x y +=得：2222(43)84120k x k x k +++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122843

k x x k -+=+,212241243k x x k -=+,

2222

21212121212222211

8412()4()4()22

4343

121

122

ABF k k S AB F F y y F F k x x x x k

k k k

k k ?--∴=?=-?=+-=-=+++=+

4221718011k k k k ∴+-=∴=∴=±，

所以直线方程为：10x y -+=或10x y ++=

13．【解析】（1）联立?????=-+=1222

y x m

x y ，得02)(22

222=-+-b m x x b ，即0)(24)2(2

222=+---b m xm x b

当22

=b 时，0=m ，直线与双曲线无交点，矛盾

所以22

≠b ．所以2≠e ．

因为直线与双曲线恒有交点，0≥?恒成立

即0)2(8)2(81622222≥-+-+b b m b m .所以222m b -≥，所以2≥e ，

综上2>

e ．

（2）)0,(c F ,直线l ：c x y -=，

?????=--=1222

y x c x y ，022)2(222222=-++-b c b y cb y b 所以???

????--=--=+222222

22212221b b c b y y b cb y y 因为→→

=FQ FP 51，所以2151y y =，整理得，52)

2(92

222

42b c b b b c -=- 因为02

>b ，所以2

2b c =-，5

)2(922

2=-+b b ，所以72=b 所以双曲线17

2:2

2=-y x C .

14．【解析】（1）由题意：以椭圆C 的右焦点为圆心，以

2b 为半径的圆的方程为

2222)(b y c x =+-,

∴圆心到直线01=++y x 的距离=

d b c 22

1=+ ①

∵椭圆)0(1:22

22>>=+b a b y a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， b=c,

代入①式得b=1

∴22==b a 故所求椭圆方程为.

1222

=+y x

（2）由题意：直线L 的斜率存在，所以设直线L 方程为1)-k(x y =,则F(1,0) , M(0,-k) 将直线方程代入椭圆方程得：(

)022421222

=-+-+k x k x

设()11,y x A ，()22,y x B 则2

22122

21212

2,214k

k x x k k x x +-=+=+ ① 由,,21BF MB AF MA λλ==∴),1(111x x -=λ),1(222x x -=λ 即：1111x x -=

λ 2

21x x -=λ 10分 2

121212122112121211x x x x x x x x x x x x +---+=-+-=+λλ=2

2211214

k k +-+=-4 ∴421-=+λλ

15. 【解析】解：（1）设椭圆E 的方程为 22

221(0)x y a b a b

+=>>，半焦距为c .

由已知条件，得)1,0(F ，∴??

??+===222231

c b a a c

解得 1,2==b a .所以椭圆E 的方程为：14

=+y x . （2）显然直线l 的斜率存在，否则直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合题意，故可设直线l 的方程为 1+=kx y ，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠，由??

?=+=y

x kx y 41

消去y 并整理得 2

440x kx --=，

∴ 421-=x x . ∵抛物线C 的方程为241x y =

，求导得1

y x '=， ∴过抛物线C 上A 、B 两点的切线方程分别是

)(21111x x x y y -=

-， )(2

222x x x y y -=-，即 2114121x x x y -= ， 2

224

121x x x y -=，

解得两条切线1l 、2l 的交点M 的坐标为)4,2(2121x x x x +，即)1,2

1-+x x M ， ∴

122121(

,2)(,)2x x FM AB x x y y +?=-?--0)4

141(2)(212

1222122=---=x x x x

∴MF AB ⊥.

（3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1-=y 上，又直线1-=y 与椭圆E 有唯一交点，故M '的坐标为)1,0(-'M ，

设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为：)(2

000x x x y y -=-，其中点),(00y x 为切点. 令1,0-==y x 得，)0(2

4110020x x x -=-

-，解得20=x 或20-=x ，故不妨取)1,2(),1,2(B A '-'，即直线B A ''过点F .

综上所述，椭圆E 上存在一点)1,0(-'M ，经过点M '作抛物线C 的两条切线A M ''、B M ''（A '、B '为切点），能使直线B A ''过点F .

此时，两切线的方程分别为1y x =--和1-=x y .

抛物线C 与切线A M ''、B M ''所围成图形的面积为

222320

01114

2(1)2()

41223

S x x dx x x x ??

=--=-+=

????

? .