广东省东莞市2015届高三数学理小综合专题练习:解析几何

2015届高三理科数学小综合专题练习——解析几何

资料提供:东华高级中学老师

一、选择题

1.直线10x ay ++=与圆()2

2

14x y +-=的位置关系是

A. 相交

B. 相切

C. 相离

D. 不能确定 2.直线012=++y x 被圆25)1()2(22=-+-y x 所截得的弦长等于( ) A.52 B.53 C.54 D.55

3.设P 是椭圆116

252

2=+y x 上的一点,21,F F 是焦点,若?=∠3021PF F ,则21PF F ?的面积为( ) A.

3

3

16 B.)32(16- C. )32(16+ D.16 4.与曲线

1492422=+y x 共焦点,且与曲线164362

2=-y x 共渐近线的双曲线方程为( ) A .

191622=-x y B .191622=-y x C .116922=-x y D .116

922=-y x 5.设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ,过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点M ,若M F F 21?为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( ) A.2

2

B.12-

C.22-

D.

212-

二、填空题

6.直线210kx y k +++=必经过的点是 .

7.P 为圆12

2

=+y x 上的动点,则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 .

8.已知抛物线)0(22

>=p px y 的准线与直线03=-+y x 以及x 轴围成三角形面积为8,则p =

__________________.

9.若动圆M 与圆2)4(:2

2

1=++y x C 外切,且与圆

广东省东莞市2015届高三数学理小综合专题练习:解析几何

2)4(:222=+-y x C 内切,则动圆圆心M 的轨迹方程________.

10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b

y a x 和椭圆19162

2=+y x 有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 _________ .

三、解答题

11.已知椭圆)0,0(1:2222>>=+b a b

y a x E 的离心率3

2e =

,并且经过定点1 (3,)2P (1)求椭圆 E 的方程;

(2)问是否存在直线m x y +-=,使直线与椭圆交于B A , 两点,满足OA OB ⊥,若存在求 m 值,若不存在说明理由.

12.椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>过点3(1,)2A ,离心率为1

2,左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的

直线交椭圆于,A B 两点. (1)求椭圆C 的方程; (2)当2F AB ?的面积为122

7

时,求直线的方程.

13.无论m 为任何实数,直线m x y l +=:与双曲线)0(12:

22

2>=-b b

y x C 恒有公共点. (1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围;

(2)若直线l 过双曲线C 的右焦点F ,与双曲线交于Q P ,两点,并且满足→

=FQ FP 5

1,求双曲线

C 的方程.

14.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,

直线01=++y x 与以椭圆C 的右焦点为圆心,以b 2为半径的圆相切.

(1)求椭圆的方程.

(2)若过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于B A ,两点,交y 轴于M 点,且

BF MB AF MA 21,λλ==求证:21λλ+为定值

15.已知抛物线y x C 4:2=的焦点为F ,过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点;椭圆E 的中

心在原点,焦点在x 轴上,点F 是它的一个顶点,且其离心率2

3=e . (1)求椭圆E 的方程;

(2)经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ,切线1l 与2l 相交于点M .证明:MF AB ⊥;

(3) 椭圆E 上是否存在一点M ',经过点M '作抛物线C 的两条切线MA ''、MB ''(A '、B '为切点),使得直线A B ''过点F ?若存在,求出抛物线C 与切线MA

''、MB ''所围成图形的面积;若不存在,试说明理由.

2015届高三理科数学小综合专题练习——解析几何参考答案

1.A

2.C

【解析】圆心到直线的距离为51

21222=+++=

d ,故弦长等于545522222=-=-d r

B

F

A

M

x

y

O

3.B

【解析】由椭圆焦点三角形面积公式得0

215tan b S =,又

3233133

1)3045tan(15tan 000-=+-

=

-=,所以)32(1615tan 0

2-==b S

4.A

【解析】与曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线可设为1643622=-λλy x ,又曲线149242

2=+y x 的焦点在y 轴上且为)5,0(±,所以25)36(64,0=-+-<λλλ,因此41

-=λ,双曲线方程为

19

1622=-x y 5.B

【解析】因为M F F 21?为等腰直角三角形,所以12FF FM =,即22b c a

=得222

2ac b a c ==-,两边同除以2c 整理成二次方程标准形式2

210e e +-=,所以2121()e e =-=--或舍去

6.()2,1--

【解析】将直线方程化简为:()120y k x +++=,由1020y x +=??+=?解得1

2y x =-??=-?

,所以所求直线必

经过点()2,1--. 7.1.

【解析】圆心()0,0到直线01043=--y x 的距离10215

d -==>,直线与圆相离,点P 到直线的距离的最小值为1d r -=. 8.2

【解析】作图可知该三角形为等腰直角三角形则有:21(3)22

p

+=8, 解得p =2或p =-14(舍去)

9.2

2

x -214y =1(x≥2)

【解析】设动圆M 的半径为r ,则由已知|MC 1|=r +2,|MC 2|=r -2, ∴|MC 1|-|MC 2|=22.又C 1(-4,0),C 2(4,0),

∴|C 1C 2|=8.∴22<|C 1C 2|.根据双曲线的定义知,点M 的轨迹是以C 1(-4,0)、 C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支.∵a =2,c =4,∴b 2

=c 2

-a 2

=14.

∴点M 的轨迹方程是2

2

x -214y =1(x≥2).

10.

=1

【解析】由题得,双曲线的焦点坐标为(,0),(﹣,0),

c=:且双曲线的离心率为2×==?a=2.?b 2=c 2﹣a 2

=3,

双曲线的方程为=1.

11.【解析】(1)由题意:32

c e a =

=且22

3114a b +=,又222

c a b =- 解得:2

2

4,1a b ==,即:椭圆E 的方程为2

214

x y += (2)设1122(,),(,)A x y B x y

22

22221

4()40584404

x y x m x x mx m y x m

?+=??+--=?-+-=??=-+? (*) 所以21212844

,55

m m x x x x -+== 22

2

212121212844()()()55m y y m x m x m m x x x x m m -=--=-++=-+24

5

m -=

由0OA OB OA OB ⊥??=

得2211221212444210

(,)(,)0,0,0,555

m m x y x y x x y y m --=+=+==±

又方程(*)要有两个不等实根,22(8)45(44)0,55m m m ?=--?->-<<

m 的值符合上面条件,所以210

5

m =±

12.【解析】(1)因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点3(1,)2A ,所以2219

14a b +=①,又因为

离心率为12,所以1

2c a =,所以2234

b a =②,解①②得224,3a b ==.

所以椭圆的方程为:22

143

x y += (2)①当直线的倾斜角为

2π时,33

(1,),(1,)22

A B ---, 21211122

323227ABF S AB F F ?=

?=??=≠,不适合题意。

②当直线的倾斜角不为

2

π

时,设直线方程:(1)l y k x =+, 代入22

143x y +=得:2222(43)84120k x k x k +++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ,则2122843

k x x k -+=+,212241243k x x k -=+,

2222

21212121212222211

8412()4()4()22

4343

121

122

43

7

ABF k k S AB F F y y F F k x x x x k

k k k

k k ?--∴=?=-?=+-=-=+++=+

4221718011k k k k ∴+-=∴=∴=±,

所以直线方程为:10x y -+=或10x y ++=

13.【解析】(1)联立?????=-+=1222

2b

y x m

x y ,得02)(22

222=-+-b m x x b , 即0)(24)2(2

222=+---b m xm x b

当22

=b 时,0=m ,直线与双曲线无交点,矛盾

所以22

≠b .所以2≠e .

因为直线与双曲线恒有交点,0≥?恒成立

即0)2(8)2(81622222≥-+-+b b m b m .所以222m b -≥,所以2≥e ,

综上2>

e .

(2))0,(c F ,直线l :c x y -=,

?????=--=1222

2

b

y x c x y ,022)2(222222=-++-b c b y cb y b 所以???

????--=--=+222222

22212221b b c b y y b cb y y 因为→→

=FQ FP 51,所以2151y y =,整理得,52)

2(92

222

42b c b b b c -=- 因为02

>b ,所以2

2

2b c =-,5

1

)2(922

2=-+b b ,所以72=b 所以双曲线17

2:2

2=-y x C .

14. 【解析】(1)由题意:以椭圆C 的右焦点为圆心,以

2b 为半径的圆的方程为

2222)(b y c x =+-,

∴圆心到直线01=++y x 的距离=

d b c 22

1=+ ①

∵椭圆)0(1:22

22>>=+b a b y a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c,

代入①式得b=1

∴22==b a 故所求椭圆方程为.

1222

=+y x

(2)由题意:直线L 的斜率存在,所以设直线L 方程为1)-k(x y =,则F(1,0) , M(0,-k) 将直线方程代入椭圆方程得:(

)022421222

2

=-+-+k x k x

k

设()11,y x A ,()22,y x B 则2

22122

21212

2,214k

k x x k k x x +-=+=+ ① 由,,21BF MB AF MA λλ==∴),1(111x x -=λ),1(222x x -=λ 即:1111x x -=

λ 2

2

21x x -=λ 10分 2

121212122112121211x x x x x x x x x x x x +---+=-+-=+λλ=2

2211214

k k +-+=-4 ∴421-=+λλ

15. 【解析】解:(1)设椭圆E 的方程为 22

221(0)x y a b a b

+=>>,半焦距为c .

由已知条件,得)1,0(F ,∴??

?

??

??+===222231

c b a a c

b

解得 1,2==b a .所以椭圆E 的方程为:14

22

=+y x . (2)显然直线l 的斜率存在,否则直线l 与抛物线C 只有一个交点,不合题意, 故可设直线l 的方程为 1+=kx y ,112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠, 由??

?=+=y

x kx y 41

2

消去y 并整理得 2

440x kx --=,

∴ 421-=x x . ∵抛物线C 的方程为241x y =

,求导得1

2

y x '=, ∴过抛物线C 上A 、B 两点的切线方程分别是

)(21111x x x y y -=

-, )(2

1

222x x x y y -=-, 即 2114121x x x y -= , 2

224

121x x x y -=,

解得两条切线1l 、2l 的交点M 的坐标为)4,2(2121x x x x +,即)1,2

(2

1-+x x M , ∴

122121(

,2)(,)2x x FM AB x x y y +?=-?--0)4

141(2)(212

1222122=---=x x x x

∴MF AB ⊥.

(3)假设存在点M '满足题意,由(2)知点M '必在直线1-=y 上,又直线1-=y 与椭圆E 有唯一交点,故M '的坐标为)1,0(-'M ,

设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为:)(2

1

000x x x y y -=-,其中点),(00y x 为切点. 令1,0-==y x 得,)0(2

1

4110020x x x -=-

-, 解得20=x 或20-=x , 故不妨取)1,2(),1,2(B A '-',即直线B A ''过点F .

综上所述,椭圆E 上存在一点)1,0(-'M ,经过点M '作抛物线C 的两条切线A M ''、B M ''(A '、B '为切点),能使直线B A ''过点F .

此时,两切线的方程分别为1y x =--和1-=x y .

抛物线C 与切线A M ''、B M ''所围成图形的面积为

222320

01114

2(1)2()

41223

S x x dx x x x ??

=--=-+=

????

? .

相关推荐
相关主题
热门推荐