线性代数练习册 答案
第一章 行列式习题答案
二、三阶行列式及n 阶行列式的定义部分习题答案
1.计算下列二阶行列式 （1）
2311
2
=； （2）
cos sin 1sin cos θθθ
θ
-=；
（3）
111112122121
2222
a b a b a b a b ++++1122112211221122a a a b b a b b =+++
1221122112211221a a a b b a b b ----
（4）
1112111221
22
21
22
a a
b b a a b b +
1122112212211221a a b b a a b b =+--
2.计算下列三阶行列式
（1）1
03
1
2126231-=--； (2)11
1213
22233233
a a a a a a a 112233112332a a a a a a =-()1122332332a a a a a =- （3）a
c b
b
a c c
b
a
3
3
3
3a b c abc =++- 3.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）3214； （2）614235.
123t =+= 112217t =++++=
（3）()
()
()
123
225
24212n n n n ---
当n 为偶数时，2n k =，排列为 1
43
42
521
22
21
22341
2
k
k k k k k
k k --+++-
[]1122(1)(1)t k k k =+++++-+-+L [](1)(2)21k k +-+-+++L ()()()()()22
(1)1313142
n k k k k k k n 轾+++++++++-=-=-犏臌L
其中11(1)(1)k k +++-
+-
L 为1434252122k k k k --+ 的逆序
数；k 为21k +与它前面数构成的逆序数；(1)(2)21k k -+-+++L 为
23,25,,2(21)k k k k +++-L 与它们前面数构成的逆序数的和；
()()()()()()113131k k k k ++++++++-L 为2k ，22,24,,2k k --L
与它们前面数构成的逆序数的和. 当n 为奇数时，21n k =+，排列为 1
42
3
4521
22
23
22541
2
k k
k k k k
k k ++++++
()1122t k k =+++++++L [](1)21k k ++-+++L
()()()22
13323432
n k k k k k k n +轾++++?+=+=-
臌
L
其中1122k k ++++++L 为14234521
22k k k k +++ 的逆序数；
(1)21k k +-+++L 为23,25,,2(21)k k k k ++++L 与它们前面数构成的逆序数的
和；()()()3323k k k k +++?+L 为2,22,,2k k -L 与它们前面数构成的逆序数的
和.
4.确定,i j ，使6元排列2316i j 为奇排列.
解：4,5i j ==，()()23162431655t i j t ==为奇排列. 5.写出4阶行列式中含有1321a a 的项. 解：13213244a a a a ；13213442a a a a - 6.按定义计算下列行列式：
（1）
001002003004
000(4321)
(1)
2424t =-=
（2）
0000000000
00
a
c d b (1342)
(1)
abcd abcd t =-=
7. 求1230312()1231
2
2x x f x x x
x
-=
的展开式中4x 和3x 的系数.
4
x 的系数为6-；含3
x 的项只有(
4231)
(1)
(3)3t x x x
-?创，所以3
x 的系数为
(4231)
(1)
3(3)119
t -?创= 行列式的性质与展开部分习题答案 1.计算下列行列式：
（1）2008
19861964
2009
198719652010
19881966； 解：32
21
20081986196411101
11
r r r r D --=
=
(2)
1
2312
31
2
3
111a a a a a a a a a +++；
解：231232
32
3
1
(1)111
1a a D a a a a a a a =
+++++各列加到第一列后提取公因式
2131
23
12331
(1)0
10
1r r r r a a a a a a --=+++123(1)a a a =+++ （3）41
23
2013
20111601160111011103
1
2
3
5
r r D +--=
=
--
213
314
1
16116
(1)
1110273
5
8
18
r r r +++--=-=
-20=-
（4）21
1201110111611261112112211
1
1
c c D ---=
=
----
31
41
1
01100
(1)
2612
61162
2
1
2
23c c -+=-=--=--. （5）0
010
010
1
D αβ
αβαβαβαβαβαβ
++=
++.
()
4010
10
1
1
D αβ
αβαβαβ
αβαβαβαβαβαβ
αβ
+=++-+++
()()()32212
D D D D D a b a b a b a b a b a b 轾=+-=++--臌4
322
34
a
a b a b
a b b =++++
2.证明：
（1）01
1=++++=
c
b a
d
b a d c
d a c b d c b a D １１
；
证明：将D 的各列都加到最后一列再提出公因式有
1111(1)
01
1
11a b c d a b b c a d b c D a b c d c
d a b c
d d a
b c
d
a
++=
=++++=++１１１１
（2）3
3
()ax by ay bz az bx
x y z ay bz
az bx ax by a b y z x az bx
ax by ay bz z x
y ++++++=++++. 证明：左式12ax
ay az
by
bz bx
ay bz
az bx ax by ay bz az bx ax by D D az bx
ax by
ay bz
az bx
ax by
ay bz
=+++++++=+++++++
31
1r br x
y z x y z D a ay bz
az bx ax by a ay bz
az bx ax by az bx
ax by
ay bz
az
ax
ay
-=+++=++++++23
2
2
3
r br x
y z x
y z x y z a
ay bz az bx ax by a ay az ax a y z x z
x
y
z
x
y
z
x
y
-=+++== 类似有1323
3
2
2(1)
r r r r y z x x y z D b
z x y y z x x
y
z
z
x y ←?→←?→==-, 所以3
3
()ax by ay bz az bx
x
y z ay bz
az bx ax by a b y z x az bx
ax by
ay bz
z
x
y
++++++=++++ 3.计算n 阶行列式
（1）n D =a
b
b
b
b a b b
b b a b
b b b a ...
........................； 各行加到第一行后提取公因式有：
[]111...1...(1).....................
n b
a b b D a n b b
b a b b
b
b
a
=+-[]211
111 (10)
0...0(1)0
0...0 0
...
n r br r br a b a n b a b a b
---=
+---L
[]()
1
(1)n a n b a b -=+-- （2）1
212121
2
n n
a n a n D n a ++=
+
12(0)n a a a ≠ .
21121
2
11121212121
1
210012000
n
n n
r r n r r r n
r r a a n
n
a na a a n a a a a a a a a a a --
---++
++
+--==
--
1112221
211n
n n n i i a na i a a a a a a a a =????
=++++
=+ ? ????
?
∑
4.利用范德猛行列式计算：
1111123414916182764D =
.
22223
3
3
3
11111234(21)(31)(41)(32)(42)(43)1212341
2
3
4
==------=
克拉默法则部分习题答案
1.用克拉默法则解线性方程组
（1）122313223(0)0bx ax ab cx bx bc abc cx ax ì-=-????-+= í??+=???
；
解：0
2350
b
a D c
b ab
c c a
-=-=-，2
120
23500ab a D bc c b a bc a
--=-= 2
220
350
b ab D b
c b ab c c
a
-==-，2
20250
b
a a
b D
c bc abc c
--=-=-
123,,x a x b x c =-==
（2）1234123412341
23432125323348246642
x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??
+-+=??-++-=?
?--+=?.
解：1
32125321734826
1
6
4
D --=
=----,1132135323444822
1
6
4
D --=
=----
21
1212332034826
2
6
4
D --=
=---,3131125321734426
1
2
4
D =
=---,132125338534846
1
6
2D --=
=---
12342,0,1,5x x x x =-===
2.当λ为何值时，齐次线性方程组
??
?
??=+=+-=++0
0 0433221321x x x x x x x λλλ(1) 仅有零解；(2) 有非零解．
解：3
4
10(1)(3)0
1
D l
l
l l l
=-=--， （1）1l 1且3l 1时0D 1，该齐次线性方程组只有零解。
（2）要使该齐次线性方程组有非零解，则1l =或3l =时。经验证，1l =时方程组有非
零解，1231,1x x x ===-就是一组非零解. 3l =时方程组有非零解，1233,1,3x x x ===-就是一组非零解.
第一章自测题与答案 第一章自测题
一.判断题（每题3分，共15分）
1.
1423142332413241
000000000
a a a a a a a a =-. ( 错 )
2.在四阶行列式4ij D a = 中，23a 的余子式23M 与代数余子式23A 互为相反数. ( 对 )
3.11
121311121321
222321222331323331
32331,1,a a a b b b a a a b b b a a a b b b ==-则111112121313
2121
222223233131
3232
3333
0a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++=+++.（错） 4.11
121321
222331
32
33
1a a a a a a a a a =,则132333
12223211
21
31
1a a a a a a a a a =. （ 错）
5. 21
241644
16423620718816011601122
2
1
2
2
2
1
2
r r D +-=
=?---- . （ 对 ）
二.填空题（每题4分，共16分）
1.已知11
1213
21
222331
32
33
1a a a a a a a a a =-，则 2212
12
121222*********
1213
2
11121311
121321
222331
32
33
31
32
33
31
32
33
22424442r c r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ?
?
←?→==
-= 2.已知111213
21
222331
32
33
2a a a a a a a a a =，则 12131113111221
22
23
2131223223332223212321220a a a a a a a a a a A a A a A a a a a a a -+=-+=
121311131112212223
32
33
31
33
31
32
a a a a a a a a a a a a a a a -+()()()()2121222223232121222223232a A a A a A a A a A a A =-+-+-=-++=-
3. 由行列式确定的多项式x
x x x x x f 1
1
12231111234-=
）（中3
4x x ，的系数分别为 8,-6
含3
x 的项为(2134)
3
(1)
3126t x x x x -创?-
4.123
231183
1
2
=- 三 .计算下列行列式（各10分，共40分）
1.2164106210112
212D -=
--；
解41
22
164106210112
1310r r D +-=
()
12
1
6211112
13
10
+-=-2131
21620
73230
25
14
r r r r ++-=-= 2.2
22
2
222
2222
2111111111111a a a b b b D c c c d d
d -+-+=
-+-+（）（）（）（）（）（）（）
（）；
解：1232
2222
21211212112121
1
21
211
c c c c a a a b b b D c c c
d d
d ---++-++=
-++-++13
2222
221122110221
12
211
c c a a b b c c d
d +++=
=++
3.2n a
b
a b D b a
b
a
=
；
解：按第一行展开后再按最后一行展开，有
()211
2
122
222
22
(1)
(1)
n n
n n n a
b a
b a b a b D a
b
b a
b a
b
a
b
a
-++--=+--
即有()2
2
22(1)
n n D a b D
-=-，所以
(
)
()
(
)
(
)
2
1
22
2
2
22
22
22(1)2(2)2n n
n n n D a b
D a b
D a b
D a b
---=-=-==-=-
4. 12121
2
n n n n a a a a a a D a a a λλλ
++=
+
.
解：211
1212
122
0000
n n
r r n n n r r c c c n a a a a a a a a D λλλλλλ
λλ
--++++++++-=
=
-
()1
12n n a a a λλ
-++++
四．（10分）设ij
n
D a =为n 阶行列式， ij
n
B a =-,ij
n
G ka =（k 为非零数）,
1.讨论,B D 的关系；
2. 讨论,G D 的关系.
解：11
12111
121(1)
1,2,,21222212221
21
2(1)
(1)i n n r i n
n n n
n
ij
n
n n nn
n n nn
a a a a a a a a a a a a B a D a a a a a a ?-=------=-=
=
-=----
1()
11
121111211,2,,21222212221
21
2
i r n n k
i n
n n n
n
ij
n
n n nn n n nn
ka ka ka a a a ka ka ka a a a G ka k
k D ka ka ka a a a ?===
=
=
五.（10分）1
110211213211
2
1
1
D --=
-,求21222324A A A A +++.
解：2122232421222324111011111111713211
2
1
1A A A A A A A A -+++=?+?+?+?=
=--
六.（7分）设齐次线性方程组为1231231
230, 0, 20.
ax x x x bx x x bx x ++=??
++=??++=?
用克拉默法则解讨论,a b 应取何值时，方程组(1) 仅有零解；(2) 有非零解．
解：11
1
1(1)1
21
a
D b b a b
==- 当0,1b a ≠≠时0D ≠，方程组只有零解； 要使方程组有非零解，必有0,b =或1a =.
当0b =时，方程组有非零解.事实上，1231,1,1x x a x ==-=-就是一组非零解.
当1a =时，方程组有非零解.事实上，1231,0,1x x x ===-就是一组非零解.
第二章 矩阵及其运算习题答案
矩阵的运算部分习题答案
1. 已知0
3203010,42
1
112
1
2
A B 骣骣-鼢
珑=? 珑鼢珑鼢---桫
桫，且2X A B X +=-（）,求X .
解：2
1001
(2)22
11
3X B A 骣÷
?=-= ?
÷÷?-桫
2.计算
（1）()1,2,1T
a =,求T a a ，T a a ,T a a a 及()
101
T
a a . 解：()11,2,1261T a a 骣÷?÷?÷?÷==?÷?÷?÷÷?桫；()112121,2,1242112
1
T a a 骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢==珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫 ()66126T T a a a a a a a 骣÷
?÷?÷?÷===?÷?÷?÷÷?桫
， 利用结合律：()
()()()()()101
T
T T T T
T
T
T
a a
a a a a a a a a a a a a a a
=
=
L L
100
100
6
6
T
T
a a
a a
==100121624212
1骣÷
?÷?÷?÷=?÷?÷?÷÷
?桫
（2）()1112112
2221
211a a b x x
y
a a
b y b b
c ???? ? ? ? ? ? ?????
. 解：原式()111211222212,,1x a x a y b a x a y b b x b y c y ??
?
=++++++ ? ???
()()()111211222212a x a y b x a x a y b y b x b y c =++++++++ 2
2
1112221222a x a xy a y b x b y c =+++++
（3）1
00
100A λλλ??
?
= ? ???
，求n A . 解：01
00
100
A E A λλλλ??
?==+ ? ??
?,其中001000100
0A ??
?= ? ??
?
由于矩阵的乘法没有交换律，一般来讲二项式定理不成立，但是由于
()()0
00E A A E A λλλ==，
所以()()()
()
1
2
1
2
20000E+A n
n
n n n
n n
n n n A E C E A C E A C A λλλλ--==++++
而2
30
000
01000,,,(3)00
0k
A A O A O k ?? ?===≥ ? ??
? ， 所以1n =时，n
A =1
00100
λλλ?? ? ? ??
?
2n ≥时，()()()()
1
2
1
2
2
000E+A n
n
n n n
n n A
E C E A C E A λλλλ--==++
1
2
2
00
(1)
2
n n n n n E n A A λλ
λ
---=++
1
2
1(1)20
00n
n n n n n
n n n n λλ
λ
λ
λ
λ
----?? ? ?= ? ? ? ??
?
（4）cos sin sin cos n
θθθ
θ-??
???
解：2
2222cos sin cos sin 2sin cos sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθθ
θθθθθ??---??
= ?
? ?-??
?
?cos 2sin 2sin 2cos 2θ
θθθ-??
=
??
?
假设cos sin cos sin sin cos sin cos k
k k k k θθθθθθθθ--??
??
=
?
???
??
1
cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos sin cos k k k k k θθθθθ
θθ
θθθθ
θ+---??
????
=
?
?
?
??????
cos cos sin sin cos sin sin cos cos(1)sin(1)cos sin sin cos cos cos sin sin sin(1)cos(1)k k k k k k k k k k k k θθθθθθθθθ
θθθθθθθθθθ
θ---+-+????
==
?
?
+-++????
由数学归纳法知cos sin cos sin sin cos sin cos n
n n n n θ
θθθθθθθ--??
??
=
?
?????
3. 31121212
3A 骣÷?÷?÷?÷=?÷?÷?÷÷?桫
, 1
1121010
1B 骣-÷
?÷?÷?÷=-?÷?÷?÷÷
?桫
,求,AB BA 及AB BA -. 解：6224
00
610;41081
243
4AB BA 骣骣-鼢珑鼢珑鼢珑鼢==珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑-桫桫
，2
22200442AB BA 骣-÷
?÷?÷?÷-=?÷?÷?÷÷
?--桫
4.12
3A 骣÷?÷?
÷?÷=?÷?÷?÷÷?桫
，20001100
1B 骣÷
?÷?÷?÷=?÷?÷?÷÷
?桫
,3()25f x x x =-+，求()f A 及()f B 解：3
4()259
26f A A A E 骣÷?÷?÷?÷=-+=?÷?÷?÷÷
?桫； 3
9
00()2504100
4f B B B E 骣÷
?÷?÷?÷=-+=?÷?÷?÷÷
?桫
5.已知三个线性替换为：112321233233y x x x y x x x y x x ì=-+????=++í??=+???，11221233
1232z y y z y y y z y y y ì=-?
???=-+í??=+-???，11232123
2w z z z w z z z ì=-+??í?=--?? 求从123,,x x x 到12,w w 的线性替换.
解：11223311111101
3y x y x y x 骣骣骣-鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 =珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 鼢 珑 桫桫
桫；1122331
1021111
1z y z y z y 骣骣骣-鼢
珑 鼢 珑
鼢 珑 鼢 =-珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 鼢 珑 -桫
桫桫
；1122311
1121z w z w z 骣÷
?骣骣÷-?÷÷÷???÷÷= ???÷÷÷?÷?÷?÷--桫
桫?÷÷?桫
111222
3
31
101
1111
111521*********
7
11
101
3x x w x x w x x 骣骣骣骣--鼢鼢
珑珑骣骣骣鼢鼢---珑珑鼢鼢÷
鼢?珑珑珑鼢鼢÷=?= ?珑珑珑鼢鼢÷鼢?珑鼢珑珑÷鼢鼢----桫
桫桫珑珑鼢鼢鼢鼢珑珑-桫
桫
桫桫
所以11232123
5437w x x x w x x x ì=--?
?í
?=-+-?? 6.如果AB BA =,则称矩阵B 与A 可交换,求与A 可交换的矩阵具有的形式. 120000
...
n a a A a ?? ?
?= ? ???
其中当j i ≠时j
i a a ≠(,1,2,,)i j n = .
解：设1112121
22212
n n n n nn b b b b b b B b b b 骣÷
?÷?÷?÷?÷?÷=?÷?÷÷?÷?÷?÷
?桫
L L L L L L L
，则 11
121111
11211212222112222212
1222000000...n n n n n n nn n n n n n n n n b b b a b a b a b b b b b b b AB b b b b a a a a b a a a b a a 骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢==珑鼢珑鼢鼢珑鼢珑鼢?骣÷?÷?鼢珑桫
?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?÷??÷?桫L L L L L L L
L M M O M L L L L L L L
L
11121111
1212122212122212122212
1
2
000000...n n n n n n n nn n n n n
n n n a b b b a b b a b b b b a a a a a a b b b BA b b b b b b a a a 骣÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷?÷?÷
?骣骣鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑鼢==珑鼢珑鼢鼢珑鼢珑鼢珑鼢珑桫
桫÷?桫
L L L L L L L L L L L L L
M O M L
L
L M
利用同型矩阵相等当且仅当对应位置元素相等有i ij j ij a b a b =，由于j i ≠时j i a a ≠ 所以j i ≠时0ij b =，故11
22000
000
nn b b B b 骣÷
?÷?÷?÷?÷?÷=?÷?÷÷?÷?÷?÷
?桫
L O M M O O L
即与主对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换的矩阵必为对角矩阵. 7.如果()12
A B E =
+,证明:2
A A =当且仅当2
B E =.
证明：()12
A B E =
+，()2
2
1
24
A B B E =
++
所以2A A =当且仅当()()2
11
22
4
B E B B E +=
++
当且仅当()()222B E B B E +=++，当且仅当2B E =.
8.设,A B 都是n 阶对称矩阵，证明：AB 仍是对称矩阵当且仅当AB BA =. 证明：由已知,T T A A B B ==，所以()T
T T
AB B A BA ==
而AB 是对称矩阵当且仅当()T
AB AB =，所以AB 是对称矩阵当且仅当AB BA =. 9.设n 维列向量a 满足12
T
a a =
，2,T T B E C E a a a a =+=-,
证明：1）B 是对称矩阵；2）B C E =. 证明：1）()
()
()
2222T
T
T
T T
T
T
T
T
T
B E E
E E a a
a a
a
a
a a =
+
=+=+=+
所以B 是对称矩阵. 2）()()()()222T
T
T
T
T
T BC E E E a a
a a
a a
a a
a a
a a =
+
-
=
+--
()1222
T
T T T T E E E a a
a a a a a a a a 骣轾÷?=+-=+-=÷?犏÷?臌桫 10. 已知A 是3阶方阵,且2A =-,计算(1)2A ；(2) A A ；(3)
2A O E
A
-.
解：(1)3
2216A A ==-；(2) ()3
2216A A A A =-=-= （3）
3
3
2(1)
2
322A O A A A A E
A
-=-=-?=-
可逆矩阵部分习题答案
1.求下列矩阵的逆矩阵： （1）121
3A -??
=
?-??
； 解：1
*
3
21
11A
A A -??
== ???
（2）cos sin sin cos A θθθ
θ-??
=
???
；
解：()
()()()1*
cos sin cos sin 1
sin cos sin cos A A A θθθθθθθ
θ----??
??=
==
? ?---????
(3)12
3A ??
?
=
? ??
?
； 解：1
12
13A ?? ? ? ?= ? ? ??
?
(4)12
12(0)n
n λλλλλλ?? ?
?≠ ? ??
?
.
解：1
11
2
2
11
1n n λλλλλλ-?? ? ??? ? ? ?
?= ? ? ? ? ??
?
? ??
?
2.设1111231
00,23411
114
3A B ????
? ?
== ? ? ? ?-?
??
?
,求矩阵X 使得AX B =. 解：1
1
1
111
231
0023411
114
3X A B --??
??
? ?== ? ? ? ?-?
?
?
?
0201232
341101234010212
11
4
31
1??????
? ? ?=-=- ? ?
? ? ? ?---?
?????
3.设,A B 满足2ABA BA E =-,其中1
2
1A ??
?
=-
? ??
?
,求B . 解：2ABA BA E =-两端右乘1A -得12AB B A -=-，所以()1
2A E B A --=-
即有()
1
1
1
1
11
24
2
11B A E A
-----???? ? ?=--=-
-- ? ? ? ?-?
?
?
?
1
11
1114
2
8
111-??????
? ? ?
? ? ?=--
-
=-
? ?
? ? ? ?-?
??
??
?
4.设A 是n 阶方阵,且满足25A A E O -+=, 利用定义证明:3A E -可逆，并求
()1
3A E --.
证明：由于25A A E O -+=，所以25A A E -=-， 故()()2
325665A E A E A A E E E E --=-+=-+=
所以()
()1325A E A E E ??
--=????
，所以3A E -可逆，且()()11325A E A E --=- 5. 设A 是n 阶方阵,且k
A O =（k 为正整数），利用定义证明：E A -可逆，且
()
1
21
k E A E A A A
---=++++
证明：由于()(
)2
1
k k
E A E A A A E A
E --++++=-= ,所以E A -可逆，
且()
1
21
k E A E A A A
---=++++
6. 设A 是3阶方阵，且2A =-,求(1) 1A -；（2）*A ；（3）1
*
2A
A
-+.
解：（1）1112
A A
-=
=-；
（2）由于*
1
1
2A A A
A
--=
=-，所以()3
*112242A A -?
?
=-=--
= ??
?
（3）由于*
1
2A A
-=
-，
所以(
)
()
3
1
*
1
1
1
1
27222332
A
A A A
A
A
-----+=+-=-=-=
分块矩阵及其运算部分习题解答
1.将10000
100
00101
1
1A ?? ?
?= ?
?
??,10001200
10411
1
2
0B ??
?-
?= ? ?--??
进行适当分块，并计算,,T A B AB A +. 解：令11
12112122122221220
0,,,,1
1A A A A E A O A A E A A ????
=====
? ???
?? 11
121112212221
221
01
04
1,,,,1
21
12
0B B B B B O B B B B ????????
=====
? ? ? ?---???????? 111211
121111
1212212221
22
2121
22222
000130010510
2
1A A B B A B A B A B A A B B A B A B 骣÷?÷?
÷?骣骣骣÷++-?÷鼢 珑 ?÷鼢 =+==
珑
?÷鼢 珑 鼢 ?÷++桫桫桫÷?÷?÷?÷
?桫+ 11
1211
122
11
11
21222122
2122122
211121
221
0001200104111
2
0A A B B E O B O B O A A B B A E B B B A B B B A 骣÷?÷?
÷?骣骣骣骣骣÷-?÷鼢鼢 珑珑 ?÷鼢鼢 ====珑珑 ?÷鼢鼢 珑珑 鼢鼢 ?÷+桫桫
桫桫
桫÷?÷?÷?÷
?-桫 其中21110
010
0111202A B 骣骣骣鼢
珑 =鼢= 珑 鼢 珑
鼢 珑-桫
桫
桫,211121
01
1
0021
1
11A B B 骣骣骣鼢 珑 +=?
?
珑 鼢
珑 鼢 ---桫桫桫
(分块方法不唯一)
2. 1A A O ??
= ???
,()12,B B B =,都是n 阶方阵，
其中1A 为()m n m n ?<矩阵，O 为()n m n -?零矩阵，1B 为()n m m n ?<矩阵，2B 为()n n m ?-矩阵，求T A ,AB 及B A . 解：(
)
1
T
T A
A O =
；()111
1212,A A B A B AB B B O O
O ????== ?
?????,()11211,A B A B B B A O ??
== ???
3.设n 阶矩阵A 和s 阶矩阵B 都可逆，求
（1）1
A
O O
B -??
???
； （2） 1
O
A B
O -??
???
.
解：（1）因为1
1
11n S E O A
O A O A A
O
O E O
B O
B O
B B ----????????== ? ? ?
? ? ?
????
?
???, 所以1
11A
O A O O B O B ---????= ?
? ???
?
?
；
（2）因为1
11
1n
S E O O
A O B
A A O
O E B
O A O O
B B ----????????== ?
? ?
? ? ?
????
?
??? 所以1
1
1O A O B
B O A O ---????= ?
? ???
?
?
4. 利用分块矩阵求下列矩阵的逆矩阵 （1）1
0002
10000230
1
2A ?? ?
?= ?
???，求1A -； （2）00250013
11001
1
0A ??
?
?= ? ?-??
，求1A -. 解：(1)1
122102
3,,2
112A O A A A O A ??????
===
? ? ?????
??,由于1210,10A A =≠=≠，所以12,A A 都可逆，且1
*
1*
1
1221210231
1,2112A A A A A A ---????=
=== ? ?--????
， 所以11
11210002
100
0230
1
2A O A
O
A ---??
?-?? ?== ?
?-?? ?-??
. （2）11222
51
1,,1
311O
A A A A A O ??????
===
? ? ?-????
??,由于1210,20A A =≠=-≠， 所以12,A A 都可逆，且1
*
1*
1
1221235111
11,121
12A A A A A A -----????
=
===- ? ?--????
， 所以1
1
21
1
11002211
0022350012
0O A A
A O ---?? ? ???
?-== ? ???
?- ? ?-??
.
第二章自测题与答案
一判断题（每题3分，共15分）
1.A 是n 阶方阵，如果2A A =,且A E 1, 则A O =； （ 错 ）
2. A 是n 阶方阵,则2
2
()()A B A B A B +-=-； （ 错 ）
3.,A B 是n 阶方阵,且A 可逆，6A X X B =-，则16()X B A E -=--； （ 错 ）
4. ,A B 都是n 阶方阵，则A B A B +=+； （ 错 ）
5.,,A B C 都是n 阶方阵，满足A B A C =,且A 可逆，则B C =. （ 对 ） 二.填空题（每题4分，共20分）
1.α=（1，1，2）,????
? ??--=121β,则=αβ 1-，βα= 11222411
2骣---÷
?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷
?---桫 , ()2009b a =20081121
12(1)22422411
21
1
2
骣骣------鼢珑
鼢珑鼢珑鼢-=珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑------桫
桫；
2.已知???? ?
?-=531
632
A ，???
?
??-=53
1423
B ，且）（）（X B A X +-=-23, 则X =0
1213
1
骣÷
?÷?÷?÷-桫
. 3.1
2
0A 骣÷?÷?
÷?÷=-?÷?÷?÷÷?桫，2()21f x x x =-+，则()f A = 211
1
骣÷?÷?÷?÷?÷?÷?÷÷
?桫 ； 4.设1
1002
100
00210
5
3A ?? ?
?= ?
?
??,则1A -= 1
1002100
00310
5
2-??
?-
? ?- ?-??
； 5.
A 是
3阶方阵,B 是2阶方阵,且2A =-,1B =，则
23A O O
B
=-3
2
232
(3)
72(2)144A B A B -=-=?-=- ；
*
2A
=2
3
*
3
2
2
32A
A ==
三.矩阵计算（10分）： 设1
010
1111
1A ??
?= ? ?-?
?，11001202
3B -??
?= ? ??
?
,求（1）AB ，（2）B A ；（3）T T A B .
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
线性代数期末考试试题
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
西南大学线性代数作业答案
西南大学线性代数作业答案
第一次 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符 号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式2 5 1122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10 2 3 25403--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5．行列式25 11 22 14--x 中，x 的代数余子式是 — 5 。 6．计算00000d c b a = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式 3 811411 02--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）× （—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4 2．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。
3．(7分)已知0010413≠x x x ，求x 的值． 解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2 所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。 解：()211 1 1 010001 1 111111-=--= =λλλλλD 由D=0 得 λ=1 5．用克莱姆法则求下列方程组： ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为 33113 210421711 7021 04 21 911 7018904 2 1 351 1321 5 421231 312≠-=?-?=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算： 81 1 11021 29 42311-=-=D 108 1 103229543112-==D 135 10 13291 5 31213=-=D 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：
(完整版)线性代数行列式第一章练习题答案
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
线性代数练习册第五章题目及答案(本)复习进程
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
线性代数期末考试试卷答案合集
线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。
居于马线性代数第一章答案
1、2222 0a ab a b ab ab ab b =?-?= 2、 22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=?--?=+= 3、 222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b a a bi +=+--=+-=-- 4、3 24 2 123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 5、123 4 561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 6、2 21 4 1 12*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+---- 7、22 22 343222222 11101(1)(1)(1)01001w w w w w w w w w w w w w w w w w w +?---=-=-++=-?--第2行第1行()第3行第1行() 8、33222321 21*2*3322663 x x x x x x x x x x x x x =++---=-+ 9、 1430004 004 00431(1)04342560432432 4321 +-=-=-按第行展开 10、公式： 解： 10100 00 10 010 02000020 10(1)10 080000 800900009 10 +-?按第行展开
11、 31 111111********* 00311*(2)811110020411 1 1 1 2 ----=-=------第行第行第行第行第行第行 12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 13、 5 04211111111210 1121112102 1 143247412041200324153 1 1 11 5 42 0153 ----- =- =----=----------第，行交换 14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变） 根据课本20页公式（1.21），原式012 11 2003*41203 022 = -=-=-（） 15、 12 00340012132*160013 345 1 00 5 1-= =---（）（）=32 16、1234512345 123678910678910 21 3567810*220000********* 0100002400024 01011 00013 -=-=-=-第，行对换 17、根据课本20页公式（1.22） 18、100 12 01*2*33!123 A ===， 所以 3*5*(1)||||3!5!0 A A B B =-=- 19、证： 20、111111112111110 031111100 411 1 1 10 0x x x x x y x y y x y ++----= -+-----第行第行左第行第行第行第行
线性代数复习题及答案
《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件；
《线性代数》模拟试卷B及答案
《线性代数》模拟试卷B 及答案 一、选择题（每小题3分，共30分） （1）若A 为4阶矩阵，则3A =（ ） (A) 4A (B) 43A (C) 34A (D)3A （2）设A ，B 为n 阶方阵，0A ≠且0AB =，则（ ） (A)0B = (B)0BA = (C)222()A B A B +=+ (D)00A B ==或 （3）A ，B ，C 均为n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ） (A) AB BA = (B)0,00A B AB ≠≠≠则 (C) AB A B = (D) ,AB AC B C ==若则 （4）222()2A B A AB B +=++成立的充要条件是（ ） (A)AB BA = (B) A E = (C)B E = (D)A B = （5）线性方程组(1)22(1)k x y a x k y b -+=??+-=?有唯一解，则k 为（ ） (A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于0 （6）若A 为可逆阵，则1()A *-=（ ） (A)A A (B)A A * (C)1 A A - (D)1 A A -* （7）含有4个未知数的齐次方程组0AX =，如果()1R A =，则它的每个基础解系中解向量的个数为（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
（8）设A 为m n ?矩阵，齐次方程组0AX =仅有零解的充要条件是A 的（ ） (A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关 (C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关 （9）已知矩阵A=3111?? ?-?? ,下列向量是A 的特征向量的是（ ） (A)10?? ??? (B)12?? ??? (C)12-?? ??? (D) 11-?? ??? （10）二次型222123123121323(,,)44224f x x x x x x x x x x x x λ=+++-+为正定二次型，则λ 的取值范围是（ ） (A)21λ-<< (B)12λ<< (C)32λ-<<- (D)2λ> 二、计算题（第1、2小题每题5分，第3、4小题每题10分，共30分） 1、计算行列式 4x a a a a x a a D a a x a a a a x = 。（5分） 2、设321A=315323?? ? ? ??? ，求A 的逆-1A 。（5分）
《线性代数(一)》2011年下半年第一次
《线性代数（一）》2011年下半年第一次作业 一.填空题（4x6=24分） 1.计算3阶行列式 2 311273 8 2 -=- 。 2.已知排列1r46s97t3为奇排列，则r ，s ，t 的取值分别为 。 3.用行列式的性质计算：=++ +1 11 c b a b a c a c b 。 4.设A 为3阶方阵，而且 9A =-， 则 = A A T ； * A A = ； = * * ) (A ； 1 * 4A A --= . （注：* A 为A 的伴随矩阵.） 5.设11140012 5A B ???? == ? ????? ，, 则 = AB ； T B A = ；= 2 A ；n A = 。 6. 设 2 ()53p t t t =-+与矩阵3 162A -??= ?-?? ，则2 2()53p A A A I =-+= 。 二.选择题（4x9=36分） 1. 120 2 1 k k -≠-的充分必要条件是（ ）。 A 、1k ≠- B 、3k ≠ C 、31k k ≠≠-且 D 、31k k ≠≠-或 2、如果11 1213 21 222331 32 33 1a a a D a a a a a a ==，1D =1131 1232 1333 31323321 22 23 441631228652015a a a a a a a a a a a a +--+---，那么 1D =（）。 A 、80 B 、-120 C 、120 D 、60 3.如果30 40 50x ky z y z kx y z +-=?? +=??--=? 有非零解，则（） A 、01k k ==或 B 、01k k ==-或 C 、11k k ==-或 D 、31k k =-=-或
线性代数机械工业出版社第一章答案
线性代数第一章行列式 一、填空题 1.排列631254的逆序数τ(631254)= 8 . 解: τ(631254)=5+2+1=8 2.行列式2 13132 3 21= -18 . 解:D=1?3?2+2×1×3+2×1×3-3?3?3-1?1?1-2?2?2=-18 3、4阶行列式中含1224a a 且带正号的项为_______ 答案：12243341a a a a 分析：4阶行列式中含1224a a 的项有12243341a a a a 和12243143a a a a 而 12243341a a a a 的系数：() (1234)(2431) 41(1)1ττ+-=-= 1224314 a a a a 的系数：()(1234)(2413) 31(1)1ττ+-=-=- 因此，符合条件的项是12243341a a a a 4、2 2 2 111a a b b c c （,,a b c 互不相等）=_______ 答案：()()()b a c a c b --- 分析：2 22 111a a b b c c =222222 ()()()bc ab a c b c ac ba b a c a c b ++---=--- 5.行列式 1 13 6 104 204 710501 λ --中元素λ的代数余子式的值为 42 解析: 元素λ的代数余子式的值为6 42 071 01-3 41+-?）（=(－1) ×7×6×(－1)=42 6.设3 1-2031 2 22 3=D ,则代数余子式之和232221A A A ++=0
解析：232221A A A ++=1×21A +1×22A +1×23A =3 121112 22 -=0 二、 单项选择题 1、设x x x x x x f 1111231 11 2 12)(-= ，则x 3 的系数为（C ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 解： x 3 的系数为 ） （） （）（1-21341234 +=-1 2、 设333231232221 131211 a a a a a a a a a =m ≠0,则33 3231312322 212113 121111423423423a a a a a a a a a a a a ---=（B ） A.12m B. -12m C.24m D. -24m 解：3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a )4(2-?j →33 32 31 23222113 12114-4-4-a a a a a a a a a =-4m 212j j +?→33 32 3131 23222121 13 1211114-24-24-2a a a a a a a a a a a a =-4m 31?j →33 32 3131 23222121 13 121111 4-234-234-23a a a a a a a a a a a a =-12m 3.行列式 k-12 2k-1 ≠0的充分必要条件是（C ） (A.)k ≠-1 (B)k ≠3 (C)k ≠-1且k ≠3(D)k ≠-1或k ≠3 因为原式=(k-1)(k-1)-4≠0 所以k-1≠2且k-1≠-2 所以k ≠-1且k ≠3 所以答案为C 4.行列式 0000 00 a b c d e f g h 中元素g 的代数余子式的值为（B ） （A ）bcf-bde (B)bde-bcf (C)acf-ade (D)ade-acf
线性代数习题及答案(复旦版)1
线性代数习题及答案 习题一 1. 求下列各排列的逆序数. (1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2. 【解】 (1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n 1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n 1)= (1) 2 n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n 1). 2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案. 4. 本行列式4512312 123122x x x D x x x = 的展开式中包含3x 和4 x 的项. 解： 设 123412341234 () 41234(1)i i i i i i i i i i i i D a a a a τ = -∑ ，其中1234,,,i i i i 分别为不同列中对应元素 的行下标，则4D 展开式中含3 x 项有 (2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5x x x x x x x x x ττ-????+-????=-+-=- 4D 展开式中含4x 项有 (1234)4(1)2210x x x x x τ-????=. 5. 用定义计算下列各行列式. (1) 0200 001030000004 ； (2)1230 0020 30450001 . 【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12. 6. 计算下列各行列式.
2013年春-西南大学《线性代数》作业及答案
2013年春 西南大学《线性代数》作业及答案(共5次,已整理) 第一次作业 【单选题】9.下列n 阶(n>2)行列式的值必为0的有： B:行列式非零元素的个数小于n 个。 【单选题】1.有二阶行列式，其第一行元素是（1，3），第二行元素是（1，4），该行列式的值是: B:1 【单选题】2.有二阶行列式，其第一行元素是（2，3），第二行元素是（3，-1），则该行列式的值是：A:-11 【单选题】3.有三阶行列式，其第一行元素是（0，1，2），第二行元素是（-1，-1，0），第三行元素是（2，0，-5），则该行列式的值是：B:-1 【单选题】4.有三阶行列式，其第一行元素是（1，1，1），第二行元素是（3，1，4），第三行元素是（8，9，5），则该行列式的值是：C:5 【单选题】5. 行列式A 的第一行元素是（k,3,4)，第二行元素是(-1,k,0)，第三行元素是(0,k,1)，如果行列式A 的值等于0，则k 的取值应是：C:k=3或k=1 【单选题】6. 6.排列3721456的逆序数是：C:8 【单选题】7. .行列式A 的第一行元素是（-3，0，4），第二行元素是（2，a ，1),第三行元素是（5，0，3），则其中元素a 的代数余子式是：B:-29 【单选题】8.已知四阶行列式D 中第三行元素为（-1，2，0，1），它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D 的值等于. C:-15 【论述题】行列式部分主观题 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式25 1 122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式1 02325 4 3 --中元素-2的代数余子式是 —11 。
北大版 线性代数第一章部分课后答案详解
习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
线性代数模拟试题(4套)
模拟试题一 一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则B A B A +=+.……………………() 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆.……………………………() 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…() 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………() 5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合1、23456. 7、(R 8、若9、设10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为. 三、计算：(每小题8分，共16分) 1、已知4阶行列式1 6 11221212 112401---= D ，求4131211132A A A A +-+.
2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中??? ? ? ??=101020101A ，求矩阵B . 四、(10分)求齐次线性方程组???????=++-=-++=--+-=++-024********* 432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解. 五、(10分)设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为 2六、(10（1（2（3（41. 2、（单 （1）做矩阵53?A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ；
（2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值. 模拟试题二 一、 判断题（正确的打√，不正确的打?）（每小题2分，共10分） （）1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+； （）2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ； （）3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零； （）4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+也是该方程组的解. （）5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。 123、设4、(33α5一； 67、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T 2,,2λ-正交，则λ=； 8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为。 三、计算题（每小题8分，共16分） 1、设矩阵??? ? ??=???? ??--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。
线性代数与概率统计全部答案(随堂 作业 模拟)
1.行列式？ B．4 2.用行列式的定义计算行列式中展开式，的系数。 B．1，-4 3.设矩阵，求=？ B．0 4.齐次线性方程组有非零解，则=？（） C．1 5.设，，求=？（） D． 6.设，求=？（） D． 7.初等变换下求下列矩阵的秩，的秩为？（） C．2 1.求齐次线性方程组的基础解系为（） A． 2.袋中装有4个黑球和1个白球，每次从袋中随机的摸出一个球，并换入一个黑球，继续进行，求第三次摸到黑球的概率是（） D．
3.设A，B为随机事件，，，，=?( ) A． 4.设随机变量X的分布列中含有一个未知常数C，已知X的分布列为 ，则C=?( ) B． 5. 44．，且，则=？（） B．-3 一．问答题 1．叙述三阶行列式的定义。 1.三阶行列式的定义:对于三元线性方程组使用加减消元法.得到 2．非齐次线性方程组的解的结构是什么？ 2.非齐次线性方程组的解的结构:有三种情况,无解.有唯一解.有无穷个解 3．什么叫随机试验？什么叫事件？ 3.一般而言，试验是指为了察看某事的结果或某物的性能而从事的某种活动。一个试验具有可重复性、可观察性和不确定性这3个特别就称这样的试验是一个随机试验。每次试验的每一个结果称为基本事件。由
基本事件复合而成的事件称为随机事件（简称事件）。 4．试写出随机变量X的分布函数的定义。 4.设X是随机变量，对任意市属x，事件｛X
线性代数习题参考答案
第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c
线性代数练习册附答案
第1章 矩阵 习 题 1. 写出下列从变量x , y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵： (1)???==011y x x ； (2) ?? ?+=-=? ?? ?cos sin sin cos 11y x y y x x 2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示，每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况. 3. 设????? ??--=111111111Α，??? ? ? ??--=150421321 B ，求3AB -2A 和A T B . 4. 计算 (1) 2 210013112???? ? ??
(2) ???? ? ??????? ??1)1,,(2 1 22212 11211y x c b b b a a b a a y x 5. 已知两个线性变换 32133212311542322y y y x y y y x y y x ++=++-=+=?????,??? ??+-=+=+-=323 3122 11323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表 示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.
6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ，A 是n 阶方阵，定义f (A )=a 0A m + a 1A m - 1+…+ a m E . 当f (x )=x 2 -5x +3，??? ? ??--=3312A 时，求f (A ). 7. 举出反例说明下列命题是错误的. (1) 若A 2= O ，则A = O . (2) 若A 2= A ，则A = O 或A = E . .