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复合函数单调区间的求法

复合函数单调区间的求法

复合函数单调区间的求法

一、基础知识回顾

1.复合函数的定义:如果y 是u 的函数,记为y=f(u),u 又是x 的函数,记为u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集不为空,则确定了一个y 关于x 的函数 ,这时y 叫x 的复合函数,其中x 叫做 ,u 叫 ,y 叫 ,y=f(u)叫外层函数,u=g(x)叫 .

2.常见基本初等函数的单调区间:

(1)一次函数y=kx+b(k ≠0) 定义域: ;

当k 时,函数单调递增区间: ;

当k 时,函数单调递减区间: .

(2)反比例函数()0≠=k x

k y 定义域: ; 当k 时,函数单调递减区间: ;

当k 时,函数单调递增区间: ;

(3)二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0) 定义域: ;

开口向 (a 0) 单调递增区间: ;单调递减区间: . 开口向 (a 0) 单调递增区间: ;单调递减区间: .

(4)指数函数()10≠>=a a a y x

且 定义域: ;

当 a 时,函数单调递减区间: ;

当a 时,函数单调递增区间: .

(5)对数函数y=log a x(a >0,a ≠1) 定义域: ;

当 a 时,函数单调递减区间: ;

当a 时,函数单调递增区间: . (6)幂函数x y = 定义域: ;单调递增区间 .

总结复合函数单调性的规律: .

注:求函数的单调区间首先求函数的 .

二、实践演练

例:求下列函数的单调区间.

(1)34y 2-+-=x x

(2)3422-+-=x x y 变式 34221-+-=x x y )

( (3))34(22

log -+-=x x y 变式 )34(21

2log -+-=x x y (4)34y 2-+-=x x 变式 3422

-+-=x x y 拓展 1.讨论函数)34(2log -+-=x x a y 的单调区间.

2.已知函数()a ax x y --=221log 在()

31,-∞-上是增函数,求实数a 的取值范围. 总结 求复合函数单调区间的步骤:

复合函数知识总结及例题

复合函数问题 一、复合函数定义: 设y=f(u)的定义域为A ,u=g(x)的值域为B ,若A ?B ,则y 关于x 函数的y=f [g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题: (1)、已知f x ()的定义域,求[]f g x ()的定义域 思路:设函数f x ()的定义域为D ,即x D ∈,所以f 的作用范围为D ,又f 对g x ()作用,作用范围不变,所以D x g ∈)(,解得x E ∈,E 为[]f g x ()的定义域。 例1. 设函数f u ()的定义域为(0,1),则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析:函数f u ()的定义域为(0,1)即u ∈()01,,所以f 的作用范围为(0,1) 又f 对lnx 作用,作用范围不变,所以01<

复合函数单调性的判断

复合函数单调性的判断))((x g f y = 以上规律还可总结为:“同向得增,异向得减”或“同增异减”. 1求函数y=2 1log (4x-x 2)的单调区间. 2、 求函数()2 31x y =的单调性及最值 3.在区间(-∞,0)上为增函数的是 A. ) (log 21x y --= B.x x y -=1 C.y =-(x +1)2 D.y =1+x 2 3、求函数)12(log )(2 1+=x x f 的单调区间. 4、(1)函数3422)(-+-=x x x f 的递增区间为___________; (2)函数)34(log )(2 2 1-+-=x x x f 的递减区间为_________ 5、设函数)(x f 是减函数,且0)(>x f ,下列函数中为增函数的是 ( ) (A ))(1 x f y -= (B ))(2x f y = (C ))(log 2 1x f y = (D )2 )]([x f y =

7、下列函数中,在区间]0,(-∞上是增函数的是 ( ) (A )842+-=x x y (B ))(log 21x y -=(C )1 2+- =x y (D )x y -=1 20.函数 342-+-=x x y 的单调增区间是 A.[1,3] B.[2,3] C.[1,2] D.(-∞,2] 21.函数y= 在区间[4,5]上的最大值是_______,最小值是_______。 21.若函数f (x )在R 上是减函数,那么f (2x -x 2 )的单调增区间是 A.(-∞,1] B.[-1,+∞) C.(-∞,-1] D.[1,+∞) 31.函数y =log a 2(x 2 -2x -3)当x <-1时为增函数,则a 的取值范围是 A.a >1 B.-11或a <-1 例7.若f(x)=log a (3-ax)在[0,1]上是减函数,则a 的取值范围是_______。 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是_____ 例6.已知函数f(x)= (x 2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围是_______。 分析如下: 令u=x 2-ax+3a ,y= u 。 因为y= u 在(0,+∞)上是减函数 ∴ f(x)= (x 2-ax+3a)在[2,+∞)上是减函数 u=x 2-ax+3a 在[2,+∞)上是增函数,且对任意x∈[2,+∞),都有u >0。

利用导数求函数的单调区间

利用导数求函数的单调区间 一学习目标: 1结合实例,找出函数的单调性与导数的关系; 2会利用导数研究函数的单调性,会求简单函数的单调区间。 二重点、难点: 重点:求函数的单调区间. 难点:求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习; 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的,同时又为导数的应用学习奠定了基础,所以他在教材中起着承前启后的重要作用;(可以看看这一课题的前后章节来写) 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么?函数的单调区间怎样求? 2.讨论以下问题 (1)求函数y=x的导数,判断其导数的符号; (2)求函数y=x2的导数,判断其导数的符号. 3.根据上述问题,思考导数的符号与函数的单调性之间的关系,并加以总结: 设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导: 如果在(a,b)内,______________,则f(x)在此区间是增函数; 如果在(a,b)内,______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结,思考一下,函数在某个区间上是单调递增函数,是不是其导数就一定大于零呢?如果函数在某个区间上是单调递减函数,是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下?

小测验: 1.当0>x 时,()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间(讲授学案)——冯秀转 题型:求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意:求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. (小结)求函数单调区间的步骤: 练习:求()x e x x f 2=的单调区间。

复合函数的概念和性质

复合函数的概念和性质 一、知识点内容和要求: 理解复合函数的概念,会求复合函数的单调区间 二、教学过程设计 (一)复习函数的单调性 引例:函数y=f(x)在上单调递减,则函数(a>0,且a≠1)增减性如何? (二)新课 1、复合函数的概念 如果y是a的函数,a又是x的函数,即y=f(a),a=g(x),那么y关于x的函数y=f[g(x)] 叫做函数y=f(x)和a=g(x)的复合函数,其中a是中间变量,自变量为x,函数值y。 例如:函数是由复合而成立。 函数是由复合而成立,a是中间变量。 2、复合函数单调性 由引例:对任意a,都有意义(a>0且a≠1)且。 对任意, 当a>1时,单调递增,当0<a<1时,单调递减。 ∵当a>1时, ∵y=f(u)是上的递减函数∴ ∴ ∴是单调递减函数 类似地, 当0<a<1时, 是单调递增函数 一般地, 定理:设函数u=g(x)在区间M上有意义,函数y=f(u)在区间N上有意义,且当X∈M时,u∈N。有以下四种情况: (1)若u=g(x)在M上是增函数,y=f(u)在N上是增函数,则y=f[g(x)]在M上也是增函数;

(2)若u=g(x)在M上是增函数,y=f(u)在N上是减函数,则y=f[g(x)]在M上也是减函数;(3)若u=g(x)在M上是减函数,y=f(u)在N上是增函数,则y=f[g(x)]在M上也是减函数;(4)若u=g(x)在M上是减函数,y=f(u)在N上是减函数,则y=f[g(x)]在M上也是增函数。即:同增异减。 注意:内层函数u=g(x)的值域是外层函数y=f(u)的定义域的子集。 例1、讨论函数的单调性 (1)(2) 解:① 又是减函数 ∴函数的增区间是(-∞,2],减区间是[2,+∞)。 ②x∈(-1,3) 令 ∴x∈(-1,1]上,u是递增的,x∈[1,3)上,u是递减的。 ∵是增函数 ∴函数在(-1,1]上单调递增,在(1,3)上单调递减。 注意:要求定义域 练习:求下列函数的单调区间。 1、(1)减区间,增区间; (2)增区间(-∞,-3),减区间(1,+∞); (3)减区间,增区间;

函数单调性的判定方法

函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数,由函数单调性的定义出发,本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种: 1.1 定义法 首先我们给出单调函数的定义。一般地,设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2,当21x x <时,总有 (1))()(21x f x f ≤,则称f 为D 上的增函数,特别当成立严格不等)()(21x f x f <时,称f 为D 上的严格增函数; (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数,特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时,称f 为D 上的严格减函数。 给出函数单调性的定义,我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤: (1)设元,任取1x ,D x ∈2且21x x <; (2)作差)()(21x f x f -; (3)变形(普遍是因式分解和配方); (4)断号(即判断)()(21x f x f -差与0的大小); (5)定论(即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性)。 例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。 证明:设1x ,),(2+∞-∞∈x ,且21x x <,则

).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ,012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ,即)()(21x f x f >,所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。 例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。 证明:设1x 、),0(2+∞∈x ,且21x x <,则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=, 又210x x <<所以021<-x x ,021>x x , 当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ,此时函数)(x f 为减函数; 当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ,此时函数)(x f 为增函数。 综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数;在区间),(+∞k 内为增函数。 此题函数)(x f 是一种特殊函数(对号函数),用定义法证明时通常需要进行因式分解,由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的,因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时,容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时,定义法是最直 接的方法,也是我们首先考虑的方法,虽说这种方法思路比较清晰,但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法 函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我

函数含参数单调性问题

函数含参数单调性问题 知识点:已知函数在区间上单调或不单调,求解参变量的范围 思路提示: (1) 已知区间函数单调递增或单调递减,转化为导函数恒大于等于或小于等于零,先观 察导函数图像特点,如一次函数最值落在端点,开口向上抛物线最大值落在端点,开口向下抛物线最小值落在端点。 (2) 已知区间函数不单调,转化为导函数存在零点,且零点两侧异号。通常利用分离变 量法求解参数变量范围 类型一:已知单调区间求参数 例1:设.13)1(2 3)(23+++-=ax x a x x f (I )若函数)(x f 在区间(1,4)内单调递减,求a 的取值范围; (II )若函数a x x f =在)(处取得极小值是1,求a 的值,并说明在区间(1,4)内函数)(x f 的单调性.

变式:1.若函数y =3 1x 3-21ax 2+(a -1)x +1在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,试求实数a 的取值范围. 2.设函数∈+++-=a ax x a x x f 其中,86)1(32)(23R. (1)若)0,()(-∞在x f 上为增函数,求a 的取值范围. 3.已知函数32()3 m f x x x x =+-,()m R ∈,且函数()f x 在(2,)+∞上存在单调递增区间,求m 的取值范围;

4.知函数.,33)(2 3R m x x mx x f ∈-+= (1)若函数1)(-=x x f 在处取得极值,试求m 的值,并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的 切线方程; (2)设0

复合函数的单调性完全解析与练习(终审稿)

复合函数的单调性完全 解析与练习 文稿归稿存档编号:[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

课题:函数的单调性(二) 复合函数单调性 北京二十二中刘青 教学目标 1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理. 2.会求复合函数的单调区间. 3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集. 教学重点与难点 1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间. 2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集. 教学过程设计 师:这节课我们将讲复合函数的单调区间,下面我们先复习一下复合函数的定义. 生:设y=f(u)的定义域为A ,u=g(x)的值域为B ,若AB ,则y 关于x 函数的y=f [g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数,u 叫中间量. 师:很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间. (教师把所学过的函数均写在黑板上,中间留出写答案的地方,当学生回答得正确时,由教师将正确答案写在对应题的下边.) (教师板书,可适当略写.) 例求下列函数的单调区间. 1.一次函数y=kx+b(k ≠0). 解当k >0时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间;当k <0时,(-∞,+∞)是这个函数的单调减区间. 2.反比例函数y=x k (k ≠0). 解当k >0时,(-∞,0)和(0,+∞)都是这个函数的单调减区间,当k <0时,(-∞,0)和(0,+∞)都是这个函数的单调增区间. 3.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0). 解当a >0时(-∞,-a b 2)是这个函数的单调减区间,(-a b 2,+∞)是它的单调增区间; 当a <0时(-∞,-a b 2)是这个函数的单调增区间,(-a b 2,+∞)是它的单调减区间; 4.指数函数y=ax(a >0,a ≠1). 解当a >1时,(-∞,+∞)是这个函数的单调增区间,当0<a <1时,(-∞,+∞)是这个函数的单调减区间. 5.对数函数y=log a x(a >0,a ≠1). 解当a >1时,(0,+∞)是这个函数的单调增区间,当0<a <1时,(0,+∞)是它的单调减区间. 师:我们还学过幂函数y=x n (n 为有理数),由于n 的不同取值情况,可使其定义域分几种情况,比较复杂,我们不妨遇到具体情况时,再具体分析. 师:我们看看这个函数y=2x 2+2x+1,它显然是复合函数,它的单调性如何

函数的单调性·典型例题精析

2.3.1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y=|x2+2x-3| (2)y (3)y = = x x x x x 2 2 2 11 23 - -- --+ || 解(1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4. 先作出f(x)的图像,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y=|x2+2x-3|的图像,如图2.3-1所示. 由图像易得: 递增区间是[-3,-1],[1,+∞) 递减区间是(-∞,-3],[-1,1] (2)分析:先去掉绝对值号,把函数式化简后再考虑求单调区间. 解当x-1≥0且x-1≠1时,得x≥1且x≠2,则函数y=-x. 当x-1<0且x-1≠-1时,得x<1且x≠0时,则函数y=x-2. ∴增区间是(-∞,0)和(0,1) 减区间是[1,2)和(2,+∞) (3)解:由-x2-2x+3≥0,得-3≤x≤1. 令u==g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.在x∈[-3,-1] 上是在x∈[-1,1] 上是. 而=在≥上是增函数. y u0 u ∴函数y的增区间是[-3,-1],减区间是[-1,1]. 【例2】函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[-1,+∞]上是增函数,求实数a的取值范

围. 解 当a =0时,f(x)=x 在区间[1,+∞)上是增函数. 当≠时,对称轴= , 若>时,由>≤,得<≤. a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a a --??? ?? 若a <0时,无解. ∴a 的取值范围是0≤a ≤1. 【例3】已知二次函数y =f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x =3的抛物线,试比较大小: (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与 解 (1)∵y =f(x)的图像开口向下,且对称轴是x =3,∴x ≥3时,f(x)为减函数,又6>4>3,∴f(6)<f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴=,∴=,而< <,函数在≥15 时为减函数. ∴>,即>.f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数= ≠在区间-,上的单调性.f(x)(a 0)(11)ax x 2 1 - 解 任取两个值x 1、x 2∈(-1,1),且x 1<x 2. ∵-= ∵-<<<,+>,->,-<,-<.∴ >f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 100 12121221a x x x x x x x x x x x x ()()()() ()()()() 122112 22 12 12 122112 22 111111+---+--- 当a >0时,f(x)在(-1,1)上是减函数. 当a <0时,f(x)在(-1,1)上是增函数. 【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)=-x 3+1在(-∞,+∞)上是减函数. 证 取任意两个值x 1,x 2∈(-∞,+∞)且x 1<x 2. ∵-=-++这里有三种证法:当<时,++=+->当≥时,++>f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0 2112221212 1212 1222 122 121212 1222证法一

高中数学函数单调性的判断方法

高中数学函数单调性的判断方法 单调性是函数的重要性质,它在数学中有许多应用,如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么,有哪些求函数单调性的方法呢? 方法一:定义法 对于函数f(x)的定义域I 内某个区间A 上的任意两个值12,x x (1)当12x x <时,都有12()()f x f x <,则说f(x)在这个区间上是增函数; (2)若当12x x <时,都有12()()f x f x >,则说f(x) 在这个区间上是减函数。 例如:根据函数单调性的定义,证明:函数 在 上是减函数。 要证明函数f (x )在定义域内是减函数,设任意1212,x x R x x ∈<且,则33221221212121()()()()f x f x x x x x x x x x -=-=-++,12x x <因为 210x x ->所以,且在1x 与2x 中至少有一个不为 0,不妨设20x ≠,那么222222121123()24 x x x x x x x ++=++0>,12()()f x f x >所以,故 ()f x 在 (,)-∞+∞上为减函数。 方法二:性质法 除了用基本初等函数的单调性之外,利用单调性的有关性质也能简化解题. 若函数f(x)、g(x)在区间B 上具有单调性,则在区间B 上有: 1. f(x)与c?f(x)当c >0具有相同的单调性,当c <0具有相反的单调性; 2.当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)都是增(减)函数; 3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)?g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数,当两者都恒小于0时也是减(增)函数; 例如,已知f (x )在R 上是减函数,那么-5f (x )为____函数。 这道题很简单,我们根据单调性的性质,很容易就能判断它是增函数。 方法三:同增异减法(处理复合函数的单调性问题) 对于复合函数y =f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域), 可令 t =g(x),则三个函数 y =f(t)、t =g(x)、y =f [g(x)]中, 若有两个函数单调性相同,则第三个函数为增函数;

复合函数的单调性例讲

复 合 函 数 的 单 调 性 例 讲 山西忻州五寨一中 摄爱忠 高考主要考查:①求复合函数的单调区间;②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题. ①“中间变量”是形成问题转化的桥梁. ②函数思想是解决问题的关键. 复合函数定义: 1. 设)(u f y =定义域为A,)(x g u =的值域为B,若A B ?,则y 关于x 的函数)]([x g f y =叫做函 数 f 与 g 的复合函数,u 叫中间变量. 外函数:)(u f y =; 内函数:)(x g u = 复合函数的单调性:同增异减. 2. 若)(x g u = )(u f y = 则)]([x g f y = 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 3.求解复合函数的单调性的步骤如下: (1)求复合函数定义域; (2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数); (3)判断每个常见函数的单调性; (4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围; (5)求出复合函数的单调性。 题型1:内外函数都只有一种单调性的复合型. 例 题1: ◇已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是( )

(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2,+∞) 解:设y= log a u ,u=2-ax ,∵a 是底数,所以a>0, ∵ 函数y=log a u 在u ∈[0,1]上是减函数,而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是减函数, ∴ y= log a u 是u ∈(0, +∞)上的增函数,故a>1,还要使2-ax>0在区间上总成立, 令g(x)= 2-ax ,由{g(0)=2-a ·0>0 g(1)=2-a ·1>0 ,解得a<2,∴1-x ,得 00知函数的定义域为),1()3, (∞+-?--∞∈x , 因y= log 0.5u 在u ∈(0,+∞)上是减函数,而u= x 2 +4x+4在x ∈(-∞,-3)上是减函数, 在(-1,+ ∞)上是增函数,根据复合规律知, 函数y=log 0.5(x 2 +4x+4) 在x ∈(-∞,-3)上是增函数;在x ∈(-1,+ ∞)上是减函数. 变式训练: ◇讨论函数3 4252+-? ? ? ??=x x y 的单调性。 解:函数定义域为R. 令u=x 2 -4x+3,y=0.8u 。 指数函数u y ?? ? ??=52在u ∈(-∞,+∞)上是减函数, u=x 2 -4x+3在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数, ∴ 函数3 4252+-? ? ? ??=x x y 在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数。 这里没有第四步,因为中间变量允许的取值范围是R ,无需转化为自变量的取值范围。 题型3:外函数有两种单调性内函数有一种单调性的复合型. 例 题3:

利用导数求函数的单调区间、极值和最值

精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号____________________ 学员编号: 年 级: 课时数及课时进度:3(3/60) 学员姓名: 辅导科目: 学科教师: 学科组长/带头人签名及日期 课 题 利用导数学求函数单调区间、极值和最值 授课时间: 备课时间: 教学目标 1、能熟练运用导数求函数单调区间、判定函数单调性; 2、能用导数求函数的极值和最值。 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 一、利用导数判定函数的单调性并求函数的单调区间 1.定义:一般地,设函数)(x f y =在某个区间内有导数,如果在这个区间内0)(' >x f ,那么函数)(x f y = 在 为这个区间内的增函数;如果在这个区间内 0)(' x f 解不等式,得x 的范围就是递增区间. ③令 0)('

二、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地,设函数)(x f 在点x 附近有定义,如果对 x 附近的所有的点,都有)( )(0 x f x f <,就说)(0 x f 是函数的一 个极大值,记作()x y f 0=极大值 ,x 0是极大值点 2、极小值 一般地,设函数)(x f 在x 附近有定义,如果对 x 附近的所有的点,都有)( )(0 x f x f >就说)(0 x f 是函数) (x f 的一个极小值,记作 ()x y f 0=极小值 ,x 0是极小值点 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值请注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. (ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, x 1 是极大值点, x 4 是极小值点,而)()( 1 4 x x f f >. (ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 f(x 2)f(x 4) f(x 5) f(x 3) f(x 1) f(b) f(a) x 5 x 4x 3x 2 x 1b a x O y 4、判别()x f 0 是极大、极小值的方法: 若 x 满足 0)(0' =x f ,且在x 0的两侧)(x f 的导数异号,则x 0是)(x f 的极值点,()x f 0是极值,并且如果 )(' x f 在 x 两侧满足“左正右负”,则x 是)(x f 的极大值点,()x f 0 是极大值;如果)(' x f 在x 0两侧满足“左负右正” ,则x 0是)(x f 的极小值点,()x f 是极小值 5、求可导函数)(x f 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 )(' x f

求函数的单调区间

函数的单调区间 单调性是函数的一个重要性质,对函数作图起到决定性的作用,而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领,在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。 一、基础知识: 1、函数的单调性:设()f x 的定义域为D ,区间I D ?,若对于1212,,x x I x x ?∈<,有()()12f x f x <,则称()f x 在I 上单调递增,I 称为单调递增区间。若对于1212,,x x I x x ?∈<,有()()12f x f x >,则称()f x 在I 上单调递减,I 称为单调递减区间。 2、导数与单调区间的联系 (1)函数()f x 在(),a b 可导,那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x ??∈≥, 此结论可以这样理解:对于递增的函数,其图像有三种类 型: ,无论是哪种图形,其上面任意一点的切线斜率均大于零。 等号成立的情况:一是单调区间分界点导数有可能为零,例如:()2f x x =的单调递增区间为[)0+∞,,而()'00f =,另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点,典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0,但是()0,0位于单调区间内。 (2)函数()f x 在(),a b 可导,则()f x 在(),a b 上单调递减 ()',()0x a b f x ??∈≤,

(3)前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号,那么由()' f x在(),a b的单调性呢?如果() f x不 x a b f x ?∈,的符号能否推出() ,() 是常值函数,那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。(这也是求函数单调区间的理论基础) 3、利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域 (2)求出() f x的导函数'() f x (3)令'()0 f x的单调增(或减) f x>(或0 <),求出x的解集,即为() 区间 (4)列出表格 4、求单调区间的一些技巧 (1)强调先求定义域,一方面定义域对单调区间有限制作用(单调区间为定义域的子集)。另一方面通过定义域对x取值的限制,对解不等式有时会起到简化的作用,方便单调区间的求解 (2)在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式,以简化不等式 (3)一般可令'()0 f x>,这样解出的解集就是单调增区间(方便记忆),若() f x不存在常值函数部分,那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤) (4)若'()0 f x是定义域上的增函数, f x>的解集为定义域,那么说明() 若'()0 f x>的解集为?,那么说明没有一个点切线斜率大于零,那么() f x是定义域上的减函数 (5)导数只是求单调区间的一个有力工具,并不是唯一方法,以前学

函数单调性方法和各种题型

(一)判断函数单调性的基本方法 Ⅰ、定义法: 定义域判断函数单调性的步骤:取值、作差(或商)变形、定号、判断。例1:已知函数f(x)=x3+x,判断f(x)在(-∞,+∞)上的单调性并证明 Ⅱ、直接法(一次函数、二次函数、反比例函数的单调可直接说出): 在公共区间内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数 例2:判断函数y=-x+1+1/x在(0,+∞)内的单调性 Ⅲ、图像法: 说明:⑴单调区间是定义域的子集 ⑵定义x 1、x 2 的任意性 ⑶代数:自变量与函数值同大或同小→单调增函数 自变量与函数相对→单调减函数 例3:y=|x2+2x-3| 练习:

(二) 函数单调性的应用 Ⅰ、利用函数单调性求连续函数的值域(最值) 根据增函数减函数的定义我们可得到如下结论: (1)若 f(x)在某定义域[a,b]上是增函数,则当x=a 时, f(x) 有最小值f(a),当 x=b 时, f(x)有最大值 f(b)。 (2)若 f(x)在某定义域[a,b]上是减函数,则当x=a 时, f(x) 有最大值f(a),当 x=b 时, f(x)有最小值 f(b)。 例1:求下列函数的值域 (1)y=x 2-6x+3, x ∈[-1,2] (2)y=-x 2+2x+2, x ∈[-1,4] 练习题: 1.已知函数f(x)在区间[a,c]上单调减小,在区间[c,b]上单调增加,则f(x)在 [a,b]上的最小值是 ( ) 2.数f(x)=4x 2-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的取值范围是 ( ) 3、( )有函数13+--=x x y 存在、最大值、最小值都不,最小值、最大值,最小值、最大值,最小值、最大值D C B A 4 -44 -00 4 4、](()()的值域为 时,函数当1435,02+-=∈x x x f x ()()][()()]()][5,5,323205,0f c D f f C f f B f f A 、、、、、????? ? ??????????? ?? 5、求函数y=-x-6+ 的值域 x -1

用导数求函数的单调性

用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师:范永德 一、第一段:点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 (1)理解)0(0(x)f <>'时,f(x)在0x x =附近单调性; (2)掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题:用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页,进行自主学习。(约10分钟) 二、第二段:合作探究、启发点拨 1、探究1:怎样从导数的几何意义,判断)0(0(x)f <>'时,f(x)在0x x =附近单调性?点拨:以直代曲 探究2:用导数求函数单调性的步骤 点拨:(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>',判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性,写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x

解:f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)>0,解得:2 1712171+->--',判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 作业:课本第98页 习题3.3A 组1、(3) (4) 2、(3) (4)

高一数学中函数的单调性4种求法

高一数学中函数的单调性非常重要,分析函数的单调性方法有:定义法,图像法,性质法,复合法.下边结合例题加以说明: 1.定义法 例题已知函数y=x^3-x在(0,a]上是减函数,在[a,+)上是增函数,求a的值。 解分析函数在R+上的单调性 任取x1>x2>0 Y1-Y2=(X1^3-X2^3)-(X1-X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2)-(X1-X2) =(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-1) 令y1-y2>0 所以 X1^2+X1X2+X2^2-1>0 因为X1^2+X1X2+X2^2-1>X2^2+X2X2+X2^2-1=3X2^2-1 当3X2^2-1>=0时即X2^2>=1/3 X2>=根号3/3时 y1-y2>0 函数是递增的 同理当3X1^2-1<=0时即X1<=根号3/3时 y1-y2<0 函数是递减的 故函数在R+上的增区间为[根号3/3,+)减区间为(0,根号3/3) 因此 a=根号3/3 一般情况下,用定义求函数的单调区间就是求出使y1-y2>0(<0)的x1,x2的取值范围,要变换不等式,求出x1和x2的范围,就可求出函数的单调区间。 2.图像法 例题求y=x+3/x-1的单调区间 解函数定义域为(-,1)并(1,+) Y=X+3/X-1=X-1+4/X-1=1+4/X-1 由图像可知函数在(-,1)和(1,+0)上递减。 函数的图像是解决这类问题的关键。 3.性质法 性质:增+增=增减+减=减

y=f(x)与y=kf(x) 当k>0 有相同的单调性当k<0有相反的单调性 y=f(x)(y>0)与y=k/f(x) 当k>0 有相反的单调性,当k<0 有相同的单调性 例题求y=x^3+x的单调区间。 解因为y=x是增函数,当x>=0时,y=x^3是递增的,当x<0时,y=x^3是递增的,所以y=x^3是R上的增函数。 由性质可知,函数y=x^3+x的单调区间为R. 4.复合法 u=p(x) y=f(u)复合后的函数为:y=f(p(x))它们的单调性为:同增异减。 例题求y=根号(x-1)(x+1)的单调区间。 解令u=(x-1)(x+1) 则y=根号u 当x>=1时 u=(x-1)(x+1)递增 当x<=-1时 u=(x-1)(x+1)递减 Y=根号u递增 所以原函数的单调增区间为[1,+) 减区间为(-,-1]

函数单调性地判断或证明方法

函数单调性的判断或证明方法. ( 1)定义法。用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值,设,且;②作差,求;③变形(合并同类项、通分、分解因式、 配方等)向有利于判断差值符号的方向变形;④定号,判断的正负符号,当符号不确定时,应分类讨论;⑤下结论,根据函数单调性的定义下结论。 例 1. 判断函数在(-1,+∞ )上的单调性,并证明. 解:设- 10, x2+ 1>0. ∴当 a>0 时, f(x 1) - f(x 2)<0 ,即 f(x 1)0 ,即 f(x 1)>f(x ∴函数 y= f(x) 在 ( - 1,+∞ ) 上单调递减. 2),2), 例 2.证明函数在区间和上是增函数;在上为减函数。(增两端,减中间) 证明:设,则 因为,所以, 所以,

所以 所以 设 则, 因为, 所以 所以 所以 , 同理,可得 (2)运算性质法 . ①在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数, 增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数.(增 +增=增;减 +减 =减;增 -减=增,减 -增=减) ②若. ③当函数 ④ 函数 . 二者有相 反的单调性。 ⑤运用已知结论,直接判断函数的单调性,如一次函数、反比例函数等。( 3)图像法 . 根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。 例 3. 求函数的单调区间。 解:

复合函数的定义域-函数表达式的求法

复合函数的定义域-函数表达式的求法

个性化教学辅导教案 教案课题函数的单调性 教师姓名学生姓名××××上课日期2018.8.3 学科数学适用年级高一教材版本人教版A 学习目标1.掌握用定义法求函数的单调性 2.掌握函数最值的求法 重难点重点:函数的单调性及其几何意义,函数的最大(小)值及其几何意义. 难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性,利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 课前检查作业完成情况:优□良□中□差□建议: 第5 讲复合函数的定义域函数表达式的求法 & 一.复合函数的定义域 1.复合函数的定义: 一般地:若)(u f y=,又)(x g u=,则函数)]([x g f y=叫x的复合函 数,其中)(u f y=叫外层函数,)(x g u=叫内层函数,简言之:复合函数就是:把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.

例如: 2 ()35,()1 f x x g x x =+=+; 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x , 2 2(())3()53(1)538 f g x g x x x =+=++=+ 2.复合函数的定义域 函数))((x g f 的定义域还是指x 的取值范围,而不是)(x g 的取值范围. ① 已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 ② 已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域 方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域 ③ 已知复合函数[()]f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类

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