最新近三年高考全国卷理科立体几何真题

新课标卷近三年高考题

1、（2016年全国I 高考）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD ，90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．

（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；

（II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．

【解析】

⑴ ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥

∵90AFD ∠=? ∴AF DF ⊥

∵=DF EF F ∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF

∴平面ABEF ⊥平面EFDC

⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=?

∵AB EF ∥

AB ?平面EFDC

EF ?平面EFDC

∴AB ∥平面ABCD

AB ?平面ABCD

∵面ABCD 面EFDC CD =

∴AB CD ∥,∴CD EF ∥

∴四边形EFDC 为等腰梯形

以E 为原点，如图建立坐标系，设FD a =

()()000020E B a ，，，， ()30220

22a C a A a a ?? ? ???，，，， ()020EB a =，，，3222a BC a a ??=- ? ???

，，，()200AB a =-，， 设面BEC 法向量为()m x y z =，，.

00m EB m BC ??=???=??，即11112032022

a y a x ay a z ?=????-+?=?? 111301x y z ===-，，

()

301m =-，， 设面ABC 法向量为()222n x y z =，，

=00n BC n AB ?????=??.即2222

3202220a x ay az ax ?-+=???=? 222034x y z ===，， ()

034n =，， 设二面角E BC A --的大小为θ.

4

219cos 1931316m n

m n θ?-===-+?+? ∴二面角E BC A --的余弦值为21919-

2、（2016年全国II 高考）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54

AE CF ==

，EF 交BD 于点H ．将DEF ?沿EF 折到'D EF ?位置，10OD '=

． （Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．

【解析】⑴证明：∵54AE CF ==，∴

AE CF AD CD

=， ∴EF AC ∥．

∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，

∴EF BD ⊥，∴EF DH ⊥，∴EF D H '⊥．

∵6AC =，∴3AO =；

又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =，

∴1AE OH OD AO =

?=，∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+，∴'D H OH ⊥．

又∵OH EF H =I ，∴'D H ⊥面ABCD ．

⑵建立如图坐标系H xyz -．

()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，

()430AB =uu u r ，，，()'133AD =-uuur ，，，()060AC =uuu r ，，，

设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r ，

由1100n AB n AD ??=??'?=??得430330x y x y z +=??-++=?，取345x y z =??=-??=?

， ∴()1345n =-u r ，，．

同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r

，，， ∴12129575cos 255210n n n n θ?+===?u r u u r u r u u r ， ∴295sin 25

θ=

．

3、（2016年全国III 高考）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面ABCD ，AD BC ，

3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，

2AM MD =，N 为PC 的中点．

（I ）证明MN 平面PAB ；

（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦

值

.

设),,(z y x n =为平面PMN 的法向量，则?????=?=?00PN n PM n ，即?????=-+=-022

5042z y x z x ，可取)1,2,0(=n ， 于是2558|

||||||,cos |=?=

>

4、【2015高考新课标2，理19】

如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11C D 上，114A E D F ==．过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）4515

．

【考点定位】1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角． D D 1 C 1

A 1 E

F A B C

B 1