第二章 函数
训练9 函数与映射
基础巩固 站起来,拿得到!
1.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是( )
答案:D
解析:由函数的定义可知.
2.若f(x)=x
x 1-,则方程A.
2
1 D.-2
答案:A
解析:由f(4x)=x,得
x
x 414-3.
B.f(x)=1,g(x)=
x
x
D.f(x)=|x|,g(x)=??
?<->0
,0,x x x x
.
4.设y ≤2},给出下列四个图形,其中能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个 答案:C
解析:由图象及函数的定义域与值域可知②③正确. 5.如果映射f:A →B 的象的集合是Y ,原象的集合是X,那么X 与A 的关系是_______________;Y 与B 的关系是__________________. 答案:X=A Y ?B 解析:由函数定义易知.
6.设函数f(x)=??
?
??≥<<--≤+,2,2,21.,1,22x x x x x x 若f(x)=3,则x=_______________.
答案:3
解析:分别讨论???=≥???=<<-???=+-≤.
32,23,2132,
12x x x x x x 或或
7.在下列各个条件下求f(x):
.
∴f(t)=f(2x+1)=x 2
-3x+1=(
2
1-t )2
-32
2
1-t +1=
4
2
t
-2t+
4
11.
∴f(x)=
4
2
x
-2x+
4
11.
(2)设t=x
1≠0,则x=t
1.
∴f(t)=
1)
1(11
2
2-=
-t t
t t
.
∴f(x)=12-x x
(x ∈R 且x ≠0,x ≠±1).
(3)∵f(x+x 1)=x 2
+21x =(x+x 1)2-2,
∴f(x)=x 2
-2,x ∈(-∞,-2)∪[2,+∞].
能力提升 踮起脚,抓得住!
8.下面三个对应(Z 为整数集);(1)Z 中的元素x 与2x 对应;(2)Z
中
的元素x 与x 2
-1对应,其中Z 到Z 的映射有( )
A.0个
B.1个
C.2个 答案:C
解析:根据A 中元素任意性,B 中元素唯一性知(1)(3)对. 9.确定函数y=x 2+1的对应关系是( )
A.f:R →R
B.f:(0,+∞)→(0,+
C.f:R →(0,+∞)
D.f:R →[1,+∞) 答案:D
解析:函数y=x 2+1的定义域是R ,对任意的x ∈R ,有y=x 2+1≥1,即y ∈[1,+∞).
10.设A 到B 的映射f 1:x →2x+1,B 到C 的映射f 2:y →y 2
-1,则A 到C 的映射f 3是____________. 答案:z →4z 2+4z
解析:x →2x+1,(2x+1)2-1=4x 2+4x,即z →4z 2+4z. 11.下列对应:
(1)A=R +,B=R ,对应法则是“求平方根”.
(2)A={x|-3≤x ≤3},B={y|0≤y ≤1},对应法则是“平方除以9”.
对应法则f:x →y=(-1)x (x ∈A,y ∈B).
平面α内的矩形},对应法则是“作圆内接矩形”. 其中将是映射的序号全部填上) ,可一对一或多对一的对应,但不能是一对多的对应. 12.b
ax +为常数,a ≠0)满足f(2)=1,f(x)=x 有唯一解,求函数f(x)的解析式
和f [f(-3)]的值. 解:∵f(2)=1,∴1=
b
a +22,即2a+b=2. ①
又∵f(x)=x 有唯一解,即b
ax x +=x 有唯一解,∴x 2
b
ax b ax +--)1(=0.
解之,得x 1=0,x 2=a
b -1, ∵有
唯一
的
解
,
∴
x 1=x 2=0,
得
b=1.
②
由①②得a=2
1,b=1.
∴f(x)=
221
2
1+=
+x x x x .
故f [f(-3)]=f(1
6--)=f(6)=
2
3.
13.已知函数f(x)、g(x)同时满足条件:对一切实数x 、y 都有g(x-y)=g(x)2g(y)+f(x)2f(y);f(-1) =-1,f(0)=0,f(1)=1.试求g(0),g(1),g(2)的值. 解:由g(x-y)=g(x)2g(y)+f(x)2f(y)知, g(x)=g(x-0)=g(x)2g(0)+f(x)2f(0),又f(0)=0,
故g(x)=g(x)2g(0)?g(0)=1〔g(x)不恒为零,否则g(0)=g(1-1)=g 2
(1)+f 2
(1)=0?f(1)=0与f(1)=1矛盾〕.
又g(-x)=g(0-x)=g(0)2g(x)+f(0)2f(x)=g(x)?g(-1)=g(1), 又g(0)=g(1-1)=g 2(1)+f 2(1)=1?g(1)=0〔f(1)=1〕,则g(-1)=g(1)=0. g(2)=g [1-(-1)]=g(1)2g(-1)+f(1)2f(-1)=-1. 拓展应用 跳一跳,够得着!
14.已知定义域为R 的函数
f(x)>0,若f(1)= 2
1,则f(-2)
等于( )
A.2
B.4 D.
4
1
答案:B
解析:由f(a+b)=f(a)2又f(2)=f(1+1)=f 2
(1)=
4
1,
f(2-2)=f(2)2f(-2)=f(0)=1?f(-2)=)
2(f =4.
15.设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f:A →B 满足f(a)=f(b)+f(c),则映射f:A →B 的个数有_______个.
答案:7
解析:(1)当A 中元素都对应0时,满足f(a)=f(b)+f(c),有一种映射.
(2)当A 中元素对应B 中的两个元素时,满足f(a)=f(b)+f(c),有四种映射:1=1+0,1=0+1, -1=-1+0,-1=0+(-1).
(3)当A 中元素对应B 中三个元素时,满足f(a)=f(b)+f(c),有两种映射:0=1+(-1),0=(-1)+1.
∴满足条件的映射共有7个.
16.如图所示,等腰梯形的两底分别为AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,直线MN ⊥AD,交AD 于M,交折线ABCD 于N,设AM=x,试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示成x 的函数,并求此函数的定义域.
解:过B 、C 分别作边AD 的垂线,垂足分别为H 和G ,则AH=2
a ,AG=
2
3a,当M 位于H 左侧
时,AM=x,MN=x.故y=S △AMN =
2
1x 2
(0≤x<
2
a );
当M 位于H 、G 之间时,y=S 梯形ABNM =2
1(AM+BN)2MN=
2
1(x+x-2
a )22
a =
2
1ax-8
1a 2
(
2a ≤x<23a ); 当M 位于G 、D 之间时,y=S 梯形ABCD
-S △DMN =2
2a a +22
a 2-
2
1
≤x
≤2a). 故y=????
????
?
-
+-<≤-<≤4522
1,
232
,
8
121,20,21
2
22
2
a ax x a x a a ax a x x
其定义域为[0,2a ],