第十一章三角形专题训练用转化思想求角度数
方法技巧:将多边形的内角和转化为三角形的内角和,起到了由未知到已知、由难到易的作用。
例1、如图,∠A =300,∠B = 500,∠C = 200,求∠ADC的度数。(用多种方法)
方法一:延长AD交BC于E。
方法二:作射线BD。
方法三:连AC。
方法四:过D作EF∥BC交AB于E。
方法五:过A作AE∥DC交BC的延长线于E 。
方法六:过C作CE∥AD交BA的延长线于E。
例2、如图,AB∥CD,∠ABE = 1100,∠C = 300,求∠BEC的度数。
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??= ?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
经典练习题相似三角形 一.解答题(共30小题) 1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC. 2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF; (2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD 的长. 3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.
求证:△ABC∽△FDE. 4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD. 5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点. (1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形; (2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立; (3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.
6.如图,E是?ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明. 7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. (1)填空:∠ABC=_________ °,BC= _________ ; (2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.
8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问: (1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 (2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似若存在,求t的值;若不存在,请说明理由. 9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.
专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断; 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形; 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数; 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式; 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式; 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、(浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文) 已知函数. (1).求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2).当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】(1)π, (2) 【解析】 (1) ,π=T , 单调递增区间为; (2) ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、(河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文)试卷)已知 中,角 所对的边分别是 ,
且,其中是的面积,. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】 (1);(2). (2),所以,得①, 由(1)得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、(湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+)- b(ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数. (1)求f(x)的解析式并写出单增区间; (2)当x∈,f(x)+m-2<0恒成立,求m取值范围. 【答案】 (1),单调递增区间为; (2).
2015 高考数学专题十四:数形结合思想 ( 教师版含 14 年高考试题
2015 高考数学专题十四:数形结合思想 (教师版含 13 、 14 年高考题) 数形结合的思想在每年的高考中都有所体现,它常用来:研究方程根的情况,讨论函数的值域 (最值 )及求变量的取值范围等.对这类内容的选择题、填空题, 数形结合特别有效.从今年的高考题来看,数形结合的重点是研究“以形助数”,但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强,应引起重视,复习中应提高用数 形结合思想解题的意识,画图不能太草,要善于用特殊数或特殊点来精确确定 图形间的位置关系. 1.应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图; (2)函数及其图象; (3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象; (4)方程 ( 多指二元方程 ) 及方程的曲线; (5)对于研究距离、角或面积的问题,直接从几何图形入手进行求解即可; (6)对于研究函数、方程或不等式 (最值 )的问题,可通过函数的图象求解 (函数 的零点、顶点是关键点 ),做好知识的迁移与综合运用. 热点一利用数形结合思想讨论方程的根 例 1 (2014 ·山东)已知函数 f(x) =| x- 2| +1 ,g (x) =kx ,若方程 f (x) =g (x) 有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 () 11 A.(0 , )B.( ,1) 22 C. (1,2) D .(2 ,+∞) 答案B 解析先作出函数 f (x )= |x -2| +1 的图象,如图所示, 当直线 g ( x )= kx 与直线 AB 平行时斜率为 1 ,当直线 g ( x )=kx 过 A 点时斜率
解三角形专题 1.在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1,3 a b B π ===,则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,S 表示ABC ?的面积,若 () 2 2214 S b c a = +-,则A ∠=( ) A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3.在ABC ?中,若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=,则该三角形的形状是( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中,内角为钝角, , , ,则 ( ) A. B. C. D. 5.在中,若,,则的周长为( )C A . B . C. D . 6. 在锐角中,角、、所对的边分别为,且、、成等差数列, 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________. 8.在中,角,,所对的边分别为,,,且,,则的最小值为 . 9.在 中,内角,,所对的边分别为,,,已知 . (1)求角的大小; (2)若的面积,为边的中点,,求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab
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相似三角形练习题 1.如图所示,给出下列条件: ①;②;③;④. 其中单独能够判定的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图,已知,那么下列结论正确的是() A.B.C.D. 3. 如图,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论: (1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面积与△CAB的面积之比为 1:4.其中正确的有:() A.0个B.1个C.2个D.3个 4.若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为() A.1∶4B.1∶2C.2∶1D.1∶ 5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值() D B C A N M O
A.只有1个 B.可以有2个 C.有2个以上但有限 D.有无数个 6.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是边AB、AD 的中点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是() A.△AOM和△AON都是等边三角形 B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D.四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 7.如图,在方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平 移方法中,正确的是() A.先向下平移3格,再向右平移1格 B.先向下平移2格,再向右平移1格 C.先向下平移2格,再向右平移2格 D.先向下平移3格,再向右平移2格 8.在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm,则它的宽约为() A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 9.小明在一次军事夏令营活动中,进行打靶训练,在用枪瞄准目标点B 时,要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图4所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A′,若OA=0.2米,OB=40米, AA′=0.0015米,则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 () A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米 10、在比例尺为1︰10000的地图上,一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是()
三角求值与解三角形专项训练 1三角公式运用 【通俗原理】 1?三角函数的定义:设 P(x,y),记 xOP R , r |0P| ~y", 则sin y ,cos r x , ,ta n r 弘0) 2 .基本公式: 2 2 sin c os 1,tan sin cos 3 ?诱导公式: 其中 由tan -及点(a,b)所在象限确定 a ② asin bcos a cos b sin . a 2 b 2 cos( 4 ?两角和差公 式: si n( ) sin cos cos sin , cos( ) cos cos msin sin , tan( ) tan tan 1 mtan gtan 5.二倍角公式: si n2 2si n cos , cos2 cos 2 sin 2 2cos 2 1 1 2sin 2 1 tan 2 6 .辅助角公式:① asin bcos 、、a 2 b 2 sin(
其中由tan b及点(a , b)所在象限确定 a 【典型例题】 1.已知R,证明:sin(-) cos
4 ?求cos15o tan 15o的值. 、 3 5 ?证明:cos3 4cos 3cos 【跟踪练习】 1 ?已知sin( ) 3 ,求cos( )的值. 2 ?若(0,—), tan 2,求sin cos 的值. 2 3 ?已知sin()1 , sin() 2,求芽的值.
3 5 6
1 2?若sin2 2,求tan 的值. 三角求值与解三角形专项训练 2.解三角形 A, B, C 的对边分别为a,b,c ,①A B C ② cos2A cos2B A B . 7.解三角形的三种题型:①知三个条件 (知三个角除外),求其他(角、边、面积、周长等 ② 知两个条件,求某个特定元素或范围; ③ 知一边及其对角,求角、边、周长、面积的范围或最值 . 【典型例题】 1 .在△ ABC 中,若acosA bcosB ,试判断△ ABC 的形状. 2 a b 2 2 c 2bccosA 2 2 2 b 2 2 2 2accosB .变形: b c a a c cosA ,其他同理可得 2bc 2 c 2 a b 2 2abcosC 3 .余弦定理: 1 ?三角形边角关系:在 △ ABC 中, ②若a b c ,则a b c ;③等边对等角,大边对大角 2 .正弦定理: a b c sin A sinB sinC 变形:a 2RsinA , b 2Rsin B,c 2R ( R 是厶ABC 外接圆的半径). 2Rsi nC 1 4 .三角形面积公式: S A ABC absi nC 2 5.与三角形有关的三角方程:① si n2A bcsin A 2 acs in B . 2 sin2B A B 或 2A 2B ; 6 .与三角形有关的不等式:① a b si nA sin B cosA cosB .
平面直角坐标系------数形结合思想的平台 一、知识点: 1.平面直角坐标系的定义; 2.坐标平面内点的坐标的定义; 3.各象限内及坐标轴上点的坐标的特征; 4.一三(二四)象限角平分线上的坐标特点; 5.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征; 6.一维、二维坐标; 7、点的坐标与点到坐标轴的距离之间的关系, 8、坐标平面内线段长度与线段两端点坐标之间的关系; 9、面积割补法; 10、绝对值的性质; 11、图形面积公式; 12、平移的性质; 二、基本思想方法: 1、思想:数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、算术法。 2、方法:画示意图、平移。 三、典型题目 (一)基础知识训练 称点是点C,则点C所表示的数是.在x轴上,到原 2.(1)请在下面的网格中建立平面直角坐标系,使得A,B两点的坐标分别为(4,1),(1,-2); (2)在(1)的条件下,过点B作x轴的垂线,垂足为点M,在BM的延长线上截取MC=BM. ①写出点C的坐标; ②平移线段AB使点A移动到点C,画出平移后的线段CD,并写出点D 的坐标. (注:本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系,请尝试总结出公式) 3.已知直角坐标平面内两点A(-2,-3)、B(3,-3),将点B向上平移5个单位到达点C,求: (1)A、B两点间的距离; (2)写出点C的坐标; (3)四边形OABC的面积. 4.在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1,0),B (5,0),C(3,3),D(2,4),求四边形ABCD的面积
5.计算图中四边形ABOD的面积. 6.已知点A(-4,-1),B(2,-1) =12.求点C的坐标(写必要的(1)在y轴上找一点C,使之满足S △AB C 步骤); =12的点C有多少个?这些(2)在直角坐标系中找一点C,能满足S △AB C 点有什么特征? 7.如图,每个小正方形的边长为单位长度1. (1)写出多边形ABCDEF各个顶点A、B、C、D、E、F的坐标,说出各点到两坐标轴的距离;并总结坐标平面内的点到坐标轴距离公式。(2)点C与E的坐标什么关系? (3)直线CE与两坐标轴有怎样的位置关系? (4)你能求出图中哪些线段的长度?(总结公式)哪些图形的面积? 8.如图,在△ABC中,已知点A(0,3),B(-2,-3),C(3,-5).(1)在给出的平面直角坐标系中画出△ABC; (2)将△ABC向左平移4个单位,作出平移后的△A′B′C′; (3)点B′到x、y轴的距离分别是多少? 9.如,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知点A(0,a),B(b,b),C(c,a),其中a,b满足关系式|a-4|+(b-2)2=0,c=a+b. (1)求A、B、C三点的坐标,并在坐标系中描出各点; (2)在坐标轴上是否存在点Q,使△COQ得面积与△ABC的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如果在第四象限内有一点P(2,m),请用含m的代数式表示四边形BCPO的面积.
解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳 一、知识点归纳(★☆注重细节,熟记考点☆★) 1.正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径) 变式:12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===()(边化角公式) 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===()(角化边公式) 3::sin :sin :sin a b c A B C =() sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2.正弦定理适用情况: (1)已知两角及任一边; (2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况). 3.余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-=+-=+-= 4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角; (2)已知三边. 注.解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用),统一成边的形式或角的形式. 5.常用的三角形面积公式 (1)高底??=?2 1ABC S ; (2)()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径 (两边夹一角); 6.三角形中常用结论 (1),,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边) (2)sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中,即大边对大角,大角对大边) (3)在ABC ?中,A B C π++=,所以 ①()sin sin A B C +=;②()cos cos A B C +=-; ③()tan tan A B C +=-;④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
# 相似三角形练习题精选 相似三角形 例题: 1、(2007杭州)如图,用放大镜将图形放大,应该属于( ) A.相似 B.平移 C.对称 D.旋转 # 2、(2008天津)如图,已知△ABC 中,EF ∥GH ∥IJ ∥BC ,则图中相似三角形共有 对. 跟踪练习: 1、(2007韶关)如图1,CD 是Rt △ABC 斜边上的高,则图中相似三角形的对数有( ) 对 对 C. 2对 对 2、(2007上海)如图2,E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点,连结AE ,交边CD 于点F .在不添加辅助线的情况下,请写出图中一对相似三角形: . 相似三角形的判定 例题: 1.下列各组图形有可能不相似的是( ). A .各有一个角是50°的两个等腰三角形 B .各有一个角是100°的两个等腰三角形 C .各有一个角是50°的两个直角三角形 D .两个等腰直角三角形 ~ 2、(2007永州)如图,添上条件:_______,则△ABC ∽△ADE 。 3. (2009新疆)如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与ABC △相似的是( ) 4.(2010临沂) 如图,12∠=∠,添加一个条件使 得ADE ?∽ACB ? . 跟踪练习: 1.(2010陕西西安)如图,在ABC ?中,D 是AB 边上一点,连接CD ,要使ADC ?与 ~ ABC ?相似,应添加的条件是 。 (只需写出一个条件即可) 2、(2008 江西南昌)下列四个三角形,与左图中的三角形相似的是( ) 2 1E D C B A A. 图1 D C B A A B D \ F
解三角形 一、选择题 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=60°,c=2,b=1,则a=( ) A.1 B.3 C.2 D.3 2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对的边,则直线l1:sin A·x+ay+c=0与l2:bx-sin B·y+sin C=0的位置关系是( ) A.平行B.重合 C.垂直D.相交但不垂直 3.在△ABC中,若2cos B sin A=sin C,则△ABC的形状一定是( ) A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 4.在△ABC中,已知A∶B=1∶2,∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分,则cos A等于( ) A.1 3 B. 1 2 C.3 4D.0 5.在△ABC中,AC=7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( ) A. 3 2 B. 33 2 C.3+6 2 D. 3+39 4 6.已知锐角三角形三边长分别为3,4,a,则a的取值范围为( ) A.1