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函数周期性结论总结

函数周期性结论总结

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① f(x+a)=-f(x) T=2a

② f(x+a)=±)

(1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b|

④f(x)为偶函数,且关于直线x=a 对称,T=2a

证明:f(x+2a)=f(-x)=f(x)

⑤f(x)为奇函数,且关于直线x=a 对称,T=4a

证明:f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a

⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数,用递推的方法来证明。

f(x+a)=f(x+2a)+f(x)

f(x+2a)=-f(x-a) 换元:令x-a=t 那么x=a+t

f(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a

⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称,T=2|a-b|

证明:f(a+x)=f(a-x)

f(b+x)=f(b-x)

f(2b-x)=f(x)

假设a >b (当然假设a <b 也可以同理证明出)

T=2(a-b)

现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可

f(x+2a-2b)

=f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)]

=f(2b-x)

=f(x)

⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称,T=2a-2b(a >b)

证明:根据奇函数对称中心可知:f(a+x)=-f(a-x)

f(b+x)=-f(b-x) f(2b-x)=-f(x) f(x+2a-2b)

=f[a+(x+a-2b)]

=-f[a-(x+a-2b)]

=-f(2b-x)

=f(x)

——北师大集宁附中 王志敏老师 关于直线x=a 对称 关于直线x=b 对称

函数周期性结论总结

精品文档 . 函数周期性结论总结 ① f(x+a)=-f(x) T=2a ② f(x+a)=±) (1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明: 令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x) 根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b ④f(x)为偶函数,且关于直线x=a 对称,T=2a 证明:f(x+2a)=f(-x)=f(x) 证明:因为 偶函数,所以 f(-x)=f(x) 因为 关于x=a 对称 所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质)设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以 周期T=2a) ⑤f(x)为奇函数,且关于直线x=a 对称,T=4a 证明:f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a 证明:由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得:f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得: f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数,用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x) f(x+2a)=-f(x-a) 换元:令x-a=t 那么x=a+t f(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称,T=2|a-b| 证明:f(a+x)=f(a-x) f(b+x)=f(b-x) f(2b-x)=f(x) 假设a >b (当然假设a <b 也可以同理证明出) T=2(a-b) 现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可 f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x) =f(x) ⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称,T=2a-2b(a >b) 证明:根据奇函数对称中心可知:f(a+x)=-f(a-x) f(2b-x)=-f(x ) f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)] =-f(2b-x) =f(x) 关于直线x=a 对称 关于直线x=b 对称

函数的单调性知识点总结与题型归纳

函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地,设函数()f x 的定义域为I : (1)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数; (2)如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 (1)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (2)定义法步骤; ①取值:设12,x x 是给定区间内的两个任意值,且12x x < (或12x x >); ②作差:作差12()()f x f x -,并将此差式变形(注意变形到能判断整个差式符号为止); ③定号:判断12()()f x f x -的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论; ④下结论:根据定义得出其单调性. (3)复合函数的单调性: 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”) 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =,在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数在这个区间上具有单调性,区间D 叫做()y f x =的单调区间. 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图. (1)从左向右看,图形是如何变化的? (2)在哪些区间上升哪些区间下降? 解:(1)从左向右看,图形先下降,后上升,再下降; (2)在区间[0,4]和[14,24]下降,在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞,+∞)上,随着x 的增大,f (x )的值随着怎么变化?

函数周期性公式大总结

竭诚为您提供优质文档/双击可除函数周期性公式大总结 篇一:函数周期性结论总结 函数周期性结论总结 ①f(x+a)=-f(x)T=2a ②f(x+a)=±1T=2af(x) ③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明:令x=x-b得 f(x-b+a)=f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式 f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T=-b+a即a-b ④f(x)为偶函数,且关于直线x=a对称,T=2a 证明:f(x+2a)=f(-x)=f(x) 证明:因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称 所以f(a+x)=f(a-x)(对称性质)设x=x+a所以 f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数,且关于直线x=a对称,T=4a 证明:f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a 证明:由于图像关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)令x=x+a得:f(x+2a)=f(-x)又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)

代换x=x+2a得: f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数,用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x) f(x+2a)=-f(x-a)换元:令x-a=t那么x=a+t f(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称,T=2|a-b| 证明:f(a+x)=f(a-x) f(b+x)=f(b-x) f(2b-x)=f(x)假设 a>b(当然假设a<b也可以同理证明出) T=2(a-b) 现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可 ⑧f(x)的图像关于(a,0)(b,0)对称,T=2a-2b(a> b)f(x+2a-2b)=f[a+(x+a-2b)]关于直线x=a对称 =f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b-x)=f(x) 证明:根据奇函数对称中心可知:f(a+x)=-f(a-x) f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)]

函数的单调性知识点总结及练习

2.3 函数的单调性 学习目标: 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会用定义判断函数的单调性,会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值. 重点难点:函数单调性的应用 一、知识点梳理 1.函数单调性定义:对于给定区间D 上的函数f(x),若对于任意x 1,x 2∈D, 当x 1 f(x 2),则称f(x)是区间D 上的减函数,D 叫f(x)单调递减区间. 2.函数单调性的判断方法: (1)定义法.步骤是: ①任取x 1,x 2∈D ,且x 1

若内外两函数的单调性相反时,则()y f g x =????在x 的区间D 内单调递减. 3.常见结论 若f(x)为减函数,则-f(x)为增函数 ; 若f(x)>0(或<0)且为增函数,则函数) (1x f 在其定义域内为减函数. ( 二、例题精讲 题型1:单调性的判断 1.写出下列函数的单调区间 (1),b kx y += (2)x k y =, (3)c bx ax y ++=2. * 2.求函数22||3y x x =-++的单调区间. # 3.判断函数f (x )=1 x 2-4x 的增减情况.

函数单调性和奇偶性总结复习

课次教学计划(教案)课题函数的单调性和奇偶性 教学目标1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念,掌握增(减)函数的证明和判别2.结合具体函数,了解奇偶性的含义;学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义,能熟练判别函数的奇偶性 教学策略 重点难点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数 教学策略:讲练结合,查漏补缺 函数的单调性 1.例1:观察y=x2的图象,回答下列问题 问题1:函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的,说明什么??随 着x的增加,y值在增加。 问题2:怎样用数学语言表示呢? ?设x1、x2∈[0,+∞],得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1f(x2). 那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间,在单调区间上增函数的图象是上升 的,减函数的图象是下降的。 注意:(1)函数的单调性也叫函数的增减性;(2)注意区间上所取两点x1,x2的任意性; (3)函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。 3.例2.己知函数f(x)=-x2+2x+3,⑴画出函数的图象;⑵根据图象写出函数f(x)的单调区间;⑶利用定义证明函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1]上是增函数;⑷当函数f(x)在区间(一∞,m]上是增函数时,数m的取值围.

函数周期性的几个重要结论

2、()()f x a f x b +=+ ?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) (1 )(x f a x f =+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1 )(x f a x f - =+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、) (1) (1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 3= 7、 1)(1 )(+- =+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 2= 8、) (1) (1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2 , )2()(,0p T p px f px f p =-=>则 推论:偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y = 周期a T 2= 推论:奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y = 周期a T 4= 抽象函数的对称性

1若函数y=f(x)关于直线x=a轴对称,则以下三个式子成立且等价: (1)f(a+x)=f(a-x) (2)f(2a-x)=f(x) (3)f(2a+x)=f(-x) 2 若函数y=f(x)关于点(a,0)中心对称,则以下三个式子成立且等价: (1)f(a+x)=-f(a-x)(2)f(2a-x)=-f(x)(3)f(2a+x)=-f(-x) 易知,y=f(x)为偶(或奇)函数分别为性质1(或2)当a=0时的特例 函数的周期性 若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。 ①f(x+a)=f(x-a) ②f(x+a)=-f(x) ③f(x+a)=1/f(x) ④f(x+a)=-1/f(x) 函数的对称性与周期性 性质5 若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b| 性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b| 性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=4|a-b|

三角函数·函数的周期性

三角函数·函数的周期性 教学目标 1.使学生理解函数周期性的概念,并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性. 2.使学生掌握简单三角函数的周期的求法. 3.培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力,提高学生的判断能力和论证能力. 教学重点与难点 函数周期性的概念. 教学过程设计 师:上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象.今天我们将利用正弦函数图象,研究三角函数的一个重要性质.请同学们观察y=sinx,x ∈R的图象: (老师把图画在黑板左上方.) 师:通过观察,同学们有什么发现? 生:正弦函数的定义域是全体实数,值域是[-1,1].图象有规律地不断重复出现. 师:规律是什么? 生:当自变量每隔2π时,函数值都相等.

师:正弦函数的这种性质叫周期性.我们将会发现,不但正弦函数具有这种性质,其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质,因此我们就把它作为今天研究的课题:函数的周期性.(老师在黑板左上方写出课题) 师:我们先看函数周期性的定义.(老师板书) 定义对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期. 师:请同学们逐字逐句的阅读定义,找出定义中的要点. 生:首先T是非零常数,第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f (x+T)=f(x). 师:找得准!那么为什么要这样规定呢? 师:如果T=0,那么f(x+T)=f(x)恒成立,函数值当然不变,没有研究价值;如果T为变数,就失去了“周期”的意义了.“每一个值”的含义是无一例外. 师:除这两条外,定义中还有一个隐含的条件是什么? 生:如果x属于y=f(x)的定义域,则T+x也应属于此定义域. 师:对.否则f(x+T)就没有意义. 师:函数周期性的定义有什么用途? 生:它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据. 师:下面我们看例题. (老师板书) 例1 证明y=sinx是周期函数. 生:因为由诱导公式有sin(x+2π)=sinx.所以2π是y=sinx是一个周期.故它就是周期函数. 例2

高中数学 函数周期性总结

函数的周期性 一、周期函数的定义 对于函数()f x ,如果存在一个非零常数....T ,使得当x 取定义域内的每一个值.... 时,都有()()f x T f x +=, 那么函数()f x 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明:(1)T 必须是常数,且不为零; (2)对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。 二、常见函数的最小正周期 正弦函数 y =sin (ωx +φ)(w>0)最小正周期为T= ωπ2 y=cos (ωx+φ)(w>0)最小正周期为T= ω π 2 y =tan (ωx +φ)(w>0)最小正周期为T= ω π y =|sin (ωx +φ)|(w>0)最小正周期为T= ω π f(x)=C(C 为常数)是周期函数吗?有最小正周期吗? 三、抽象函数的周期总结 1、)()(x f T x f =+ ?)(x f y =的周期为T 2、)()(x b f a x f +=+ )(b a < ?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) ()(x f c a x f =+ (C 为常数) ?)(x f y =的周期为a T 2= 5 ) (1) (1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 6、 1)(1 )(+- =+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 4= 7、) (1) (1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4= 8、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 6= 9、)1()()2(++=++++n x f n x f n x f ;(它是周期函数,一个周期为6) 10、)(x f y =有两条对称轴a x =和b x =()b a < ?)(x f y = 周期)(2a b T -= 11、)(x f y =有两个对称中心)0,(a 和)0,(b ?)(x f y = 周期)(2a b T -=

(完整版)利用函数单调性比大小-第二章总结

【第二章计算题类型】 计算: (1)2lg2+lg31+12lg0.36+13lg8; (2)23×612×332. (3)lg2·lg 52 +lg0.2·lg40. (利用函数单调性比大小)★常考类型★ 1-1.设120.7a =,120.8b =,c 3log 0.7=,则( ). A. c > B. b a c >> C. c a b >> D. b c a >> 1-3.设a =log 132,b =log 13 3,c =? ????120.3,则( ) A .a成立的x 的取值范围是( ). A. 3(,)2+∞ B. 2(,)3+∞ C. 1(,)3+∞ D.1 (,)3 -+∞ 1-5.设1a >,函数()log a f x x =在区间[]2a a ,上的最大值与 最小值之差为1 2,则a =( ). B. 2 C. D. 4 1-6. 函数y=log a x 在[2,4]上的最大值比最小值大1,求a 的值。 1-7. 若a>0且a ≠1,且log a 4 3<1,则实数a 的取值范围是( )。 A.043或01 1-8. 若实数a 满足log a 2>1,则a 的取值范围为________. 【恒过定点问题★常考类型★】 2-1.函数y =a x +1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ). A.(0,1) B. (1,0) C.(2,1) D.(0,2) 2-2. 若a >0且a ≠1,则函数y =a x -1-1的图像一定过点___。 2-3.函数y= log a (x+1)-2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点 。 2-4. 已知函数y =3+log a (2x +3)(a >0且a ≠1)的图象必经 过点P ,则P 点坐标________. 2-5. 函数f (x )=log a (3x -2)+2(a >0且a ≠1)恒过定点_______。 (幂函数的解析式求值)★常考类型★ 3-1.如果幂函数()f x x α=的图象经过点2 ,则(4)f 的值等于( ). A. 16 B. 2 C. 116 D. 12 3-2. 幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2,则(8)f 的值为 (指数型函数应用题——人口计算) 4-1. 世界人口已超过56亿,若千分之一的年增长率,则两年增长的人口可相当于一个( ).

函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全

函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性:对于函数 )(x f y =,如果存在一个不为零的常数 T ,使得当x 取定义域内的每一个值时,都有 )()(x f T x f =+都成立,那么就把函数)(x f y =叫做周期函数,不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义(略),请用图形来理解。 3、 对称性: 我们知道:偶函数关于y (即x=0)轴对称,偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于(0,0)对称,奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展答案是肯定的 探讨:(1)函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证:设点),(11y x 在 )(x f y =上, 通过)2()(x a f x f -=可知,)2()(111x a f x f y -==,即点)(),2(11x f y y x a =- 也在上,而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成:)()(x b f x a f -=+,函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x += -++= 对称 (2)函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证:设点),(11y x 在 )(x f y =上,即)(11x f y =,通过b x f x a f 2)()2(=+-可知, b x f x a f 2)()2(11=+-,所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-,所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上,而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成:c x b f x a f =-++)()(,函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 (3)函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称,即关于任一个x 值,都有两个 y 值与其对应,显然这不符合函数的定义,故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0,则 有可能会出现关于 b y =对称,比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性: (1)函数 )(x f y =满足如下关系系,则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+=+或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+ 或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+(等式右边加负号亦成立)

函数奇偶性、对称性与周期性有关结论

函数奇偶性、对称性与周期性 奇偶性、对称性和周期性是函数的重要性质,下面总结关于它们的一些重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、几个重要的结论 (一)函数)(x f y =图象本身的对称性(自身对称) 2、)2()(x a f x f -=?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 3、)2()(x a f x f +=-?)(x f y =的图象关于直线a x =对称。 4、)()(x b f x a f -=+?)(x f y =的图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 5、b x a f x a f 2)()(=-++?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 6、b x a f x f 2)2()(=-+?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 7、b x a f x f 2)2()(=++-?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称。 8、c x b f x a f 2)()(=-++?)(x f y =的图象关于点),2 (c b a +对称。 (二)两个函数的图象对称性(相互对称)(利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称。 2、函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 3、函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 4、函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线0)()(=--+x b x a 对称 即直线2 a b x -=对称 5、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于X 轴对称。 6、函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称。 7、函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称

函数单调性教案(经典总结)

【课题】函数的单调性 【教学类型】新知课 【教学目的】 1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法. 2.通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力. 3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程.【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明. 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性.【教学方法】教师启发讲授,学生探究学习. 【教学手段】多媒体教学设备、黑板. 【教学过程】 一、创设情境,引入课题 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据: 引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考. 以上数据表明,记忆保留量y是时间t的函数. 艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾 浩斯遗忘曲线”,如图. 问题:观察“艾宾浩斯遗忘曲线”,你能发 现什么规律?图像上有什么特征? 二、归纳探索,形成概念 对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,

初中同学们就有了一定的认识,但是没有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1.借助图象,直观感知 问题1:分别作出函数x y x y x y x y 1,,2,22= =+-=+=的图象,并且观察自变量变化时,函数值有什么变化规律? 预案: (1)函数1+=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而增大;函数2+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小. (2)函数2x y =在),0[+∞上 y 随x 的增大而增大,在)0,(-∞上y 随x 的增大而减小. 引导学生进行分类描述 (增函数、减函数).同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数的局部性质. 问题2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案:如果函数()f x 在某个区间上随自变量x 的增大,y 也越来越大,我们说函数()f x 在该区间上为增函数;如果函数()f x 在某个区间上随自变量x 的增大,y 越来越小,我们说函数()f x 在该区间上为减函数. 教师指出:这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观,描述性的认识. 2.探究规律,理性认识 通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确,需要结合解析式进行严密化、精确化的研究. 引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量21,x x . 3.抽象思维,形成概念

函数周期性总结

函数的周期性 1.周期函数的定义 对于函数()f x ,如果存在一个非零常数....T ,使得当x 取定义域内的每一个值....时,都有()()f x T f x +=,那么函数()f x 就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期。 说明:(1)T 必须是常数,且不为零; (2)对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。 问题1 ①若常数T (≠0)为f (x)周期,问nT( n ∈ N)为f (x)周期吗?为什么? ②周期函数的周期有多少个?(是有限个还是无限个)? 2 常见函数的最小正周期 正弦函数 y =sin (ωx +φ)(w>0)最小正周期为T= ωπ2 y=cos (ωx+φ)(w>0)最小正周期为T= ω π 2 y =tan (ωx +φ)(w>0)最小正周期为T= ω π y =|sin (ωx +φ)|(w>0)最小正周期为T= ωπ f(x)=C(C 为常数)是周期函数吗?有最小正周期吗? y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题 结论:有的周期函数没有有最小正周期 3抽象函数的周期总结 1、)()(x f T x f =+ ?)(x f y =的周期为T 2、)()(x b f a x f +=+ )(b a < ?)(x f y =的周期为a b T -= 3、)()(x f a x f -=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 4、) ()(x f c a x f =+ (C 为常数) ?)(x f y =的周期为a T 2= 5 )(1) (1)(x f x f a x f +-=+ ?)(x f y =的周期为a T 2= 7、 1 )(1)(+-=+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 4= 8、)(1) (1)(x f x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ?)(x f y =的周期为a T 6=

高中数学知识点;抽像函数周期性公式(基础知识总结)

高中数学抽线函数周期性难题解题技巧(名师总结) 今天跟同学们分享一个专题就是抽象函数怎么想周期,同学们抽象等式给到我们的时候有的时候,有得时候让我们找周期性、找对称中心、看奇偶函数等等一系列的问题,同学内题型还是比较困扰同学们的,今天就给同学分享一下抽象函数找周期性的问题!今天通过4个例题的讲解,同学们在遇到这类题型的时候,就知道是找抽象函数周期行的题型! 函数周期性技巧原理讲解: 首先这是定义是对每一位同学基本的要求,你必须要要掌握,同学们考试的时候给我们的周期式肯定不会这样简单,比如说f(x+8)=f(x)那么一目了然就知道周期式8,同学们这类题的考察本质是函数周期,那么它一定不会给那么简单地式子,而他会隐身给周期的解析式;接下来老师会分享四个抽象等式的式子,同学能够完全记住,在以后做题的时候才能节约时间; 接下看一下不等式的两种出现方式;

同学先讲两个f()型的题型,两个f()型我们要找到周期原本的定义,那怎么来找出周期的本质定义了,这里来看老师的具体讲解,怎样来理解; 接下来;老师会由浅入深给同学讲一些难点,能够做到循序渐进;

接下来要注意了,重点来了,这个式子两两个都是复杂,

同学们分享到这里,同学以后做题的时候对函数周期的了解、掌握不仅仅局限于定义式,而是这四个你都要记住,这里重要说一个知识点:第二个式子与第三个式子其实是一个类型的, 二式m为正、三式前面有负号,这里正负其实没有关系,只要是这种形式那么周期一定等于a的2倍:第四式是绝对值括号内部相减,绝对值括号内x+a-x-b,这个时候正x、负x约掉就是绝对值a减b或者b减a, 接下来要解决这样的问题,就要掌握什么样的情况想周期、什么情况想奇偶性、什么情况想对称轴、什么情况想对称中心,要解决这些问题老师给同学们总结了一句话,这句话是非常重要的。只要把这句话掌握清楚明白周期一眼就能看出来; 此类抽象等式:当f()内x前系数相同时一定想周期!

函数周期性结论总结57669

函数周期性结论总结 ① f(x+a)=-f(x) T=2a ② f(x+a)=±) (1x f T=2a ③ f(x+a)=f(x+b) T=|a-b| 证明: 令x=x-b 得 f(x-b+a)=f(x-b+b) f(x-b+a)=f(x) 根据公式f(x)=f(x+T)=f(x+nT) 得 T=-b+a 即a-b ④f(x)为偶函数,且关于直线x=a 对称,T=2a 证明:f(x+2a)=f(-x)=f(x) 证明:因为 偶函数,所以 f(-x)=f(x)?因为 关于x=a 对称 所以 f(a+x)=f(a-x) (对称性质)设 x=x+a 所以 f(x+2a)=f(x) 所以 周期T=2a) ⑤f(x)为奇函数,且关于直线x=a 对称,T=4a 证明:f(x+2a)=f(-x)=-f(x) 根据①可知T=2·2a=4a 证明:由于图像关于直线x=a 对称、所以f(a+x)=f(a-x) 令x=x+a 得:f(x+2a)=f(-x) 又f(x)= - f(-x)故f(x)= - f(x+2a) 代换x=x+2a 得: f(x+2a)= - f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的周期为4a ⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a) 有三层函数,用递推的方法来证明。 f(x+a)=f(x+2a)+f(x) f(x+2a)=-f(x-a) 换元:令x-a=t 那么x=a+t f(t+3a)=-f(t) 根据①可知T=6a ⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b 对称,T=2|a-b| 证明:f(a+x)=f(a-x) f(b+x)=f(b-x) 假设a >b (当然假设a <b 也可以同理证明出) T=2(a-b) 现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可 f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =f[a-(x+a-2b)] =f(2b-x) =f(x) ⑧f(x)的图像关于(a,0) (b,0)对称,T=2a-2b(a >b) 证明:根据奇函数对称中心可知:f(a+x)=-f(a-x) f(2b-x)=-f(x ) f(x+2a-2b) =f[a+(x+a-2b)] =-f[a-(x+a-2b)] =-f(2b-x) =f(x) 关于直线x=a 对称 关于直线x=b 对称

函数的单调性题型归纳

函数的单调性 一、教学目标:理解函数单调性的定义,会用函数单调性解决一些问题. 二、教学重点:函数单调性的判断和函数单调性的应用. 三、教学过程: (一)主要知识: 1、函数单调性的定义; 2、判断函数单调性(求单调区间)的方法: (1)从定义入手(2)从导数入手(3)从图象入手(4)从熟悉的函数入手 (5)从复合函数的单调性规律入手注:先求函数的定义域 3、函数单调性的证明:定义法;导数法。 4、一般规律 (1)若f(x),g(x)均为增函数,则f(x)+g(x)仍为增函数; (2)若f(x)为增函数,则-f(x)为减函数; (3)互为反函数的两个函数有相同的单调性; (4)设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是 减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数。 (二)主要方法: 1.讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集; 2.判断函数的单调性的方法有:(1)用定义;(2)用已知函数的单调性;(3)利用函数的导数. 3.注意函数的单调性的应用;4.注意分类讨论与数形结合的应用. (三)例题分析: 例1.(1)求函数2 0.7log (32)y x x =-+的单调区间; (2)已知2()82,f x x x =+-若2()(2)g x f x =-试确定()g x 的单调区间和单调性. 解:(1)单调增区间为:(2,),+∞单调减区间为(,1)-∞, (2)2 2 2 ()82(2)(2)g x x x =+---4228x x =-++,3 ()44g x x x '=-+, 令 ()0g x '>,得1x <-或01x <<,令 ()0g x '<,1x >或10x -<< ∴单调增区间为(,1),(0,1)-∞-;单调减区间为(1,),(1,0)+∞-. 例2.设0a >,()x x e a f x a e = + 是R 上的偶函数. (1)求a 的值;(2)证明()f x 在(0,)+∞上为增函数. 例3.若()f x 为奇函数,且在(,0)-∞上是减函数,又(2)0f -=,则()0x f x ?<的解集为 (,2)(2,) -∞-+∞ . 例4.已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数,对定义域内的任意12,x x 都有 1 21 2()()()f x x f x f x ?=+,且当 1x >时()0,(2)1f x f >=, (1)求证:()f x 是偶函数;(2)()f x 在(0,)+∞上是增函数;(3)解不等式2 (21)2f x -<. 解:(1)令121x x ==,得(1)2(1)f f =,∴(1)0f =,令121x x ==-,得∴(1)0f -=, ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-?=-+=,∴()f x 是偶函数. (2)设210x x >>,则221111 ()()()()x f x f x f x f x x -=? -22111 1 ()( )()( )x x f x f f x f x x =+-=

高中数学周期函数、公式总结、推导、证明过程

高中数学涉及周期的公式,例题,证明 1

2 以上基本是高中阶段遇到的各种周期公式及其变形的总结。 解周期问题,两种方法:1.列举多个数据,找寻规律和周期;2.通过抽象函数直接得到周期。 1. 已知f(X)是R 上不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有xf (x +1)=(x +1)f(x),则f [f (5 2)]= 解:令x=0,f(0)=0; 令x =?1 2,f (?1 2)=0; 令x =1 2,f (32)=0; 令x =3 2,f (5 2)=0; ∴ f [f (52)]=f (0)=0 2. 定义在R 上的函数f(x)满足f (x )={log 2(1?x ),x ≤0 f (x ?1)?f (x ?2),x >0,则f(2009)= 解:整理f (x )=f (x ?1)?f (x ?2), 得到f (x ?1)=f (x )+f (x ?2) 令x=x+1得到,f (x )=f (x +1)+f (x ?1) 由公式6知道周期为6,即f (x +6)=f(x),x>0 f(2009)=f (334×6+5)=f(5)。 由公式f (x )=f (x ?1)?f (x ?2)

得f(5)=f(4)?f(3)=(f(3)?f(2))?f(3)=?f(2) =?(f(1)?f(0))=?((f(0)?f(?1))?f(0)) =f(?1)=0 ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x?y),x,y∈R,则f(2010)= 3.已知函数f(x)满足f(1)=1 4 思路:消元和赋值。 令x=x,y=1,则f(x)=f(x+1)+f(x?1), 根据公式6知道,f(x+6)=f(x), ∴f(2010)=f(335×6)=f(0)。 令y=0,则4f(x)f(0)=2f(x), ∵ x不恒为零,∴f(0)=1 2 ∴f(2010)=1 。 2 下面两页是周期函数公式的周期推导证明过程,并总结了推导周期过程的一般思路。因为word 输入数学公式太过麻烦,所以手写了出来,以图片的形式奉上。 3

函数的周期性常见结论归类.doc

函数的周期性常见结论归类 四川省苍溪实验中学校 周万勇 一 . 周期函数的定义: 设函数 y f ( x) 的定义域为 D ,若存在常数 T ≠ 0,使得对一切 x ∈ D ,且 x+T ∈ D 时 都有 f ( x T ) f ( x) ,则称 y f ( x) 为 D 上的周期函数,非零常数 T 叫这个函数的周 期。 二 . 常见结论 ( 约定 a>0) ( 1) f (x ) f (x a) ,则 f (x) 的周期 T a ; ( 2) f ( x a) - f ( x) ,或 f (x a) f (x - a) 或 f (x a) 1 ( f (x ) 0) ,或 f ( x ) f (x a) 1 ( f (x) 0), 则 f ( x) 的周期 T 2a ; f ( x a) 1 f (x) ,则 f ( x) 是 f (x) 1 f (x) 以 T 2a 为周期的周期函数 . ( 3) f ( x a) 1 f ( x) ,则 f (x) 是以 T 4a 为周期的周期函数 . 1 f ( x) ( 4) f ( x a) 1 f (x) ,则 f (x) 是以 T 4a 为周期的周期函数 . 1 f (x) ( 5)函数 y f ( x) 满足 f (a x) f (a x) ( a 0 ),若 f ( x) 为奇函数,则其周期 为 T 4a ,若 f ( x) 为偶函数,则其周期为 T 2a . ( 6)若 f (a x ) f (a x) 且 f(x) 是偶函数 , 则 y f (x) 是周期为 4a 的周期函数; 若 f(x) 是奇函数 , 则 y f (x) 是周期为 2a 的周期函数。 ( 7)若函数 f x 在 R 上满足 f (a x ) f a x ,且 f (b x ) f b x (其中 a b ),则函数 y f x 以 2 a b 为周期 . ( 8)若函数 f x 在 R 上满足 f ( a x) f a x ,且 f (b x ) f b x (其 中 a b ),则函数 y f x 以 2 a b 为周期 . ( 9)若函数 f x 在 R 上满足 f (a x ) f a x ,且 f ( b x) f b x (其中 a b ),则函数 y f x 以 4 a b 为周期 . (10) f ( x) (11) f ( x 1 f (x a) (12) f (x) 1 1 ( f ( x) 0) ,则 f (x) 的周期 T 3a ; f (x a) x 2) f ( x 1) f ( x 2) 且 f (a) 1( f (x 1) f ( x 2) 1,0 | x 1 x 2 | 2a) ,或 1 f (x 1) f (x 2) f ( x - a) 则 f ( x) 的周期 T=4a ;(证明方法:令 x 1 x, x 2 a ) f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a) f (x)f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a), 则 f ( x) 的周期 T 5a ; 证明: f (x) f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a) f (x)f (x a) f (x 2a)f (x 3a) f (x 4a) 令 x x a ,则 f (x a) f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a) f (x 5a) f (x a)f (x 2a) f (x 3a) f (x 4a) f (x 5a)

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