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【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)空间向量在立体几何中的应用理北师大版

第七节空间向量在立体几何中的应用

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1．理解直线的方向向量与平面的法向量．

2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系． 3．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．

4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．

1．

2.(1)当两条直线l 1与l 2共面时，我们把两条直线交角中，范围在[0，π

2]内的角叫作两直

线的夹角．

(2)当直线l 1与l 2是异面直线时，在直线l 1上任取一点A 作AB ∥l 2，我们把直线l 1和直线AB 的夹角叫作异面直线l 1与l 2的夹角，其夹角θ∈(0，π

]．

(3)已知直线l 1与l 2的方向向量分别为s 1，s 2.

当〈s 1，s 2〉≤π

2时，直线l 1与l 2的夹角等于〈s 1，s 2〉；

当

＜〈s 1，s 2〉≤π时，直线l 1与l 2的夹角等于π－〈s 1，s 2〉． 3．平面间的夹角

如图所示，平面π1与π2相交于直线l ，点R 为直线l 上任意一点，过点R ，在平面π1

上作直线l 1⊥l ，在平面π2上作直线l 2⊥l ，则l 1∩l 2＝R .我们把直线l 1和l 2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．

已知平面π1和π2的法向量分别为n 1和n 2，

当0≤〈n 1，n 2〉≤π

时，平面π1与π2的夹角等于〈n 1，n 2〉；

当

<〈n 1，n 2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n 1，n 2〉． 4．直线与平面的夹角

平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．

设直线l 的方向向量为s ，平面π的法向量为n ，直线l 与平面π的夹角为θ，则sin θ＝|cos 〈s ，n 〉|＝|s 2n |

|s ||n |

5．点到平面的距离的向量求法

如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B 到平面α的距离d ＝

|AB ―→2n |

|n |

1．在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标． 2．两向量的夹角的范围是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢？

提示：两向量的夹角范围是[0，π]；两异面直线所成角的范围是?

????0，π2；直线与平面所

成角的范围是?

?????0，π2；二面角的范围是[0，π]，注意以上各角取值范围的区别．

1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α

C ．l α

D ．l 与α斜交

解析：选B ∵a ＝(1,0,2)，n ＝(－2,0，－4)∴n ＝－2a ，即a ∥n .∴l ⊥α.

2．若平面α、β的法向量分别为n 1＝(2，－3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥β

C ．α、β相交但不垂直

D ．以上均不正确

解析：选C ∵n 12n 2＝23(－3)＋(－3)31＋53(－4)≠0，∴n 1与n 2不垂直，∴α与β相交但不垂直．

3．已知AB

＝(2,2,1)，AC ＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量为( )

A.? ????13，－23，23

B.? ????－13，2

3，－23

C ．±? ????13，－23，23 D.? ????23，1

，－23

解析：选C 设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则

????

2x ＋2y ＋z ＝0，4x ＋5y ＋3z ＝0，即y ＋z ＝0.令z ＝2，则y ＝－2，x ＝1. 即n ＝(1，－2,2)．故其单位法向量n 0＝±n |n |＝±? ????1

，－23，23.

4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面

角的余弦值为________．

解析：

以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，

则A 1(0,0,1)，E ? ????1，0，12，D (0,1,0)，∴1A D ＝(0,1，－1)，1A E ＝? ??

??1，0，－12，设平面A 1ED 的法向量为n 1＝(1，y ，z )，则????

y －z ＝0，1－1

z ＝0，∴?????

y ＝2，

z ＝2.

∴n 1＝(1,2,2)，∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝2331＝2

故所成的锐二面角的余弦值为2

答案：23

5．正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是______．

解析：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz .

设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a,0,0)，P ?

???

0，－a 2，a 2，

则CA ＝(2a,0,0)，AP ＝?

????－a ，－a 2，a 2，CB

＝(a ，a,0)，

设平面PAC 的一个法向量为n ，可求得n ＝(0,1,1)，则

cos 〈CB ，n 〉＝CB n CB n

＝a 2a 2

22＝12，∴〈CB ，n 〉＝60°， ∴直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°.

答案：30°

[例1] 如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．

求证：

(1)CM ∥平面PAD ；

(2)平面PAB ⊥平面PAD . [自主解答]

以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .∵PC ⊥平面ABCD ，

∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，

∴BC ＝23，PB ＝4，∴D (0,1,0)，B (23，0,0)，A (23，4,0)，P (0,0,2)，M ? ????3

，0，32.

∴DP ＝(0，－1,2)，DA ＝(23，3,0)，CM ＝? ????

，0，32.

(1)法一：令n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的一个法向量，

则0,·

0,DP DA ??=??=??n n

即???

－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，∴???

z ＝1

2y ，x ＝－3

y ，令y ＝2，得n ＝(－3，

2,1)．

∵n 2CM ＝－3332＋230＋133

＝0，∴n ⊥CM ，

又CM ?平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .

法二：∵PD ＝(0,1，－2)，PA

＝(23，4，－2)，

令CM ＝x PD ＋y PA

，则?????

＝23y ，0＝x ＋4y ，

32＝－2x －2y ，

方程组有解为????

x ＝－1，y ＝1

，

∴CM ＝－PD ＋14

PA .由共面向量定理知CM 与PD 、PA

共面，

又∵

CM ?平面PAD ，∴CM ∥平面PAD .

(2)取AP 的中点E ，则E (3，2,1)，BE

＝(－3，2,1)，∵PB ＝AB ，∴BE ⊥PA .

又∵BE 2DA ＝(－3，2,1)2(23，3,0)＝0，∴BE ⊥DA

∴BE ⊥DA ，又PA ∩DA ＝A ，PA ，DA 平面PAD ，∴BE ⊥平面PAD ，又∵BE 平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD . 【方法规律】

1．用向量证明平行的方法

(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．

(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行． (3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量； ②转化为线面平行、线线平行问题． 2．用向量证明垂直的方法

(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．

(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．

(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．

如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．

求证：

(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF . 证明：

(1)以C 为坐标原点，CD ，CB ，CE 所在直线为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系，设AC ∩BD ＝N ，连接NE .则点N ，E 的坐标分别为? ??

??2

2，22，0，(0,0,1)．

∴NE ＝? ????－22，－22，1.又点A ，M 的坐标分别是(2，2，0)，? ??

??2

2，22，1，

∴AM ＝? ??

－22，－22，1.∴NE ＝AM 且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .

又∵NE 平面BDE ，AM ?平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .

(2)由(1)知AM ＝? ????

－22，－22，1，∵D (2，0,0)，F (2，2，1)，

∴DF ＝(0，2，1)．∴AM 2DF ＝0.∴AM ⊥DF .同理可证AM ⊥BF .

又DF ∩BF ＝F ，DF ，BF 平面BDF ，∴AM ⊥平面BDF .

1．利用向量求空间角是每年的必考内容，题型为解答题，难度适中，属中档题． 2．高考对空间角的考查常有以下两个命题角度：

(1)求直线与平面所成的角； (2)求二面角．

[例2] (1)(20132新课标全国卷Ⅰ) 如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.

①证明：AB ⊥A 1C ；

②若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB ＝CB ，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值． (2)(20132四川高考) 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，D ，D 1分别是线段BC ，B 1C 1的中点，P 是线段AD 的中点．

①在平面ABC 内，试作出过点P 与平面A 1BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD 1A 1；

②设①中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角A -A 1M -N 的余弦值． [自主解答] (1)①证明：取AB 的中点O ，连接OC ，OA 1，A 1B . 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，

故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，OC ，OA 1 平面OA 1C ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C 平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .

②由①知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．

以O 为坐标原点，OA ，1OA ，OC 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，|OA

|为单位长，

建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)．

则BC ＝(1,0，3)，1BB ＝1AA ＝(－1，3，0)，1A C

＝(0，－3，3)．

设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的一个法向量，则10,·0,BC BB ??=??=??n n 即??

x ＋3z ＝0，

－x ＋3y ＝0.

可取n ＝(3，1，－1)．故cos 1,A C n ＝11A C A C ??n n

＝－10

所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为

(2)①如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC .

由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD . 因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .

又AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交，所以直线l ⊥平面ADD 1A 1

②设A 1A ＝1.如图，过A 1作A 1E 平行于B 1C 1，以A 1为坐标原点，分别以1A E ，11A D ，1A A

的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点A 1重合)．

则A 1(0,0,0)，A (0,0,1)．

因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点，故M ? ????32，12，1，N ? ?

??－32，12，1，

所以1A M ＝? ??

??32，12，1，1A A ＝(0,0,1)，NM

＝(3，0,0)．

设平面AA 1M 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则

1111,,A M A A ?⊥??

⊥??n n 即11110,

·0,A M A A ??=??=??n n 故有?????

x 1，y 1，z 1 2? ????32，12，1＝0， x 1，y 1，z 1 2 0，0，1 ＝0，

从而?????

x 1＋12y 1＋z 1＝0，

z 1＝0.

取x 1＝1，则y 1＝－3，所以n 1＝(1，－3，0)．

设平面A 1MN 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则

2,,A M NM ?⊥??⊥??n n 即2120,0,A M NM ??=??

?=??n n 故有?????

x 2，y 2，z 2 2? ????32，12，1＝0， x 2，y 2，z 2 2 3，0，0 ＝0，

从而?????

x 2＋12y 2＋z 2＝0，

3x 2＝0.

取y 2＝2，则z 2＝－1，所以n 2＝(0,2，－1)．

设二面角A -A 1M -N 的平面角为θ，又θ为锐角，

则cos θ＝??????n 12n 2|n 1|2|n 2|＝??

???? 1，－3，0 2 0，2，－1 235＝155

故二面角A -A 1M -N

的余弦值为

利用向量求空间角问题的常见类型及解题策略

(1)求直线与平面所成的角．求直线l 与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n 与直线l 的方向向量a 的夹角，则sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|.

(2)求二面角．①分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角；②分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．

1. 如图所示，已知三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝1

AB ，N 为AB 上

一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．

(1)证明：CM ⊥SN ；

(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．

解：(1)证明：设PA ＝1，以A 为原点，射线AB 、AC 、AP 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．

则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2，0,0)，M ? ????1，0，12，N ? ????12，0，0，S ? ??

??1，12，0. 则CM ＝? ????1，－1，12，SN ＝? ????－12

，－12，0，所以CM 2SN ＝－12＋1

2＋0＝0.

所以CM ⊥SN .

(2) NC ＝? ??

??－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，

所以·0,·0,CM NC ?=?=?a a 则?

????

x －y ＋z 2＝0，－12

x ＋y ＝0，

令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)．

因为|cos 〈a ，SN 〉|＝????????－1－1

23322＝22，所以SN 与平面CMN 所成的角为45°. 2. 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，

AD ＝3，AA 1＝2.E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB ＝FB ＝1.

(1)求二面角C -DE -C 1的正切值；

(2)求直线EC 1与FD 1所成角的余弦值．解：

(1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA

分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标

系，则D (0,3,0)，D 1(0，3,2)，E (3，0,0)，F (4,1,0)，C 1(4，3,2)，

于是DE ＝(3，－3,0)，1EC ＝(1,3,2)，1FD

＝(－4,2,2)．

设n ＝(x ，y,2)为平面C 1DE 的一个法向量，

则有1,,

DE EC ?⊥??⊥??n n ????

3x －3y ＝0，x ＋3y ＋232＝0?x ＝y ＝－1，∴n ＝(－1，－1,2)， ∵向量1AA

＝(0,0,2)与平面CDE 垂直，

∴n 与1AA

所成的角θ为二面角C -DE -C 1的平面角或其补角．

∵cos θ＝11

AA AA ??n n ＝

－1 30＋－1 30＋2321＋1＋430＋0＋4＝6

3，由图知二面角C -DE -C 1的平面角为锐角，∴tan θ＝22

. 故二面角C -DE -C 1的正切值为

. (2)设直线EC 1与FD 1所成的角为β，则 cos β＝1111

EC FD EC FD ?? ＝??????

13 －4 ＋332＋23212＋32＋223 －4 2＋22＋22＝2114. 故直线EC

1与FD 1所成角的余弦值为

[例3] 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点

E 在线段AB 上．过点E 作E

F ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝60°.

(1)求证：EF ⊥PB ；

(2)试问：当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -FC -B 的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由．

[自主解答] (1)证明：在Rt △ABC 中，∵EF ∥BC ，∴EF ⊥AB .∵EF ⊥EB ，EF ⊥EP ，又∵EB ∩EP ＝E ，EB ，EP 平面PEB ，∴EF ⊥平面PEB . 又∵PB 平面PEB ，∴EF ⊥PB .

(2)在平面PEB 内，经点P 作PD ⊥BE 于点D ，由(1)知EF ⊥平面PEB ，∴EF ⊥PD ，

又∵BE ∩EF ＝E ，BE ，EF 平面BCFE ，∴PD ⊥平面BCFE . 在平面PEB 内过点B 作直线BH ∥PD ，则BH ⊥平面BCFE .

如图所示，以B 为坐标原点，BC ，BE ，BH

的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．设PE ＝x (0

又∵AB ＝BC ＝4，∴BE ＝4－x ，EF ＝x .在Rt △PED 中，∠PED ＝60°，

∴PD ＝32x ，DE ＝12x ，∴BD ＝4－x －12x ＝4－3

x ，

∴C (4,0,0)，F (x,4－x,0)，P ?

???0，4－32x ，32x .

从而CF ＝(x －4,4－x,0)，CP ＝?

????－4，4－32x ，32x .

设n 1＝(x 0，y 0，z 0)是平面PCF 的一个法向量，

∴1

1·0,·0,CF CP ?=??=??n n 即?

????

x 0 x －4 ＋y 0 4－x ＝0，－4x 0＋? ????4－32x y 0＋32xz 0＝0，

∴??

x 0－y 0＝0，

3y 0－z 0＝0，

取y 0＝1，得n 1＝(1,1，3)是平面PFC 的一个法向量．又平面BFC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)．

设二面角P -FC -B 的平面角为α，则cos α＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝??

???

?n 12n 2|n 1||n 2|＝155

因此当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -FC -B 的平面角的余弦值为定值，且定值为

155

. 11·

0,·

0,CF CP ?=??=??n n

[互动探究]

保持本例条件不变，求平面PCF 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值．

解：设平面PBE 的一个法向量为n 2，平面PCF 与平面PBE 所成的锐二面角为β，则n 2＝

(1,0,0)，cos β＝|cos 〈n 1，n 2

〉|＝?????

?n 12n 2|n 1||n 2|＝15＝55.

【方法规律】

利用向量解决探索性问题的方法

(1)与平行、垂直有关的探索性问题的解题策略是将空间中的平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决．

(2)与角有关的探索性问题的解题策略是将空间角转化为与向量有关的问题．

等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD DB ＝CE EA ＝1

(如图

1)．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1-DE -B 成直二面角，连接A 1B 、A 1C (如图2)．

图1 图2 (1)求证：A 1D ⊥平面BCED ；

(2)在线段BC 上是否存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．

解：

(1)证明：因为等边△ABC 的边长为3，且AD DB ＝CE EA ＝1

，

所以AD ＝1，AE ＝2.在△ADE 中，∠DAE ＝60°，

由余弦定理得，DE ＝12＋22

－231323cos 60°＝ 3.

因为AD 2＋DE 2＝AE 2

，所以AD ⊥DE .折叠后有A 1D ⊥DE .

因为二面角A 1-DE -B 是直二面角，所以平面A 1DE ⊥平面BCED . 又平面A 1DE ∩平面BCED ＝DE ，A 1D 平面A 1DE ，A 1D ⊥DE ，所以A 1D ⊥平面BCED .

(2)由(1)的证明，可知ED ⊥DB ，A 1D ⊥平面BCED

以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、DA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，如图．设PB ＝2a (0≤2a ≤3)，作PH ⊥BD 于点H ，连接A 1H 、A 1P ，

则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a .所以A 1(0,0,1)，P (2－a ，3a ，0)，E (0，3，0)．

所以1PA

＝(a －2，－3a,1)．因为ED ⊥平面A 1BD ，

所以平面A 1BD 的一个法向量为DE

＝(0，3，0)．

因为直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为60°，

所以sin 60°＝11PA DE PA DE

?? ＝3a 4a 2

－4a ＋533＝32，解得a ＝5

4. 即PB ＝2a ＝5

，满足0≤2a ≤3，符合题意．

所以在线段BC 上存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为60°，此时PB ＝5

————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————

2个关系——异面直线所成的角及二面角与向量夹角的关系

(1)异面直线所成角与向量夹角的关系

当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．

(2)二面角与向量夹角的关系

设二面角的两个面的法向量分别为n 1，n 2，则〈n 1，n 2〉或π－〈n 1，n 2〉是所求的二面角．这时要借助图形来判断所求角是

锐角还是钝角，确定〈n 1，n 2〉是所求角，还是π－〈n 1，n 2〉是所求角． 3个范围——三种空间角的范围

(1)异面直线所成的角的范围是?

????0，π2；

(2)直线与平面所成角的范围是?

?????0，π2；

(3)二面角的范围是[0，π]．

答题模板(六)

空间向量在立体几何中的应用

[典例] (20132山东高考) (12分)如图所示，在三棱锥P -ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .

(1)求证：AB ∥GH ；

(2)求二面角D -GH -E 的余弦值．

[快速规范审题] 第(1)问

1．审结论，明解题方向

观察所求结论：证明AB ∥GH ――→根据公理4

可证明EF ∥GH . 2．审条件，挖解题信息

观察条件：D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点――→利用三角形中位线及公理4

EF ∥AB ∥DC ――→线面平行的判定理EF ∥平面PCD ――→线面平行的性质定理EF ∥GH .

3．建联系，找解题突破口

EF ∥GH ，EF ∥AB ――→公理4

GH ∥AB . 第(2)问

1．审结论，明解题方向

观察所求结论：求二面角D -GH -E 的余弦值――→利用法向量求解

转化为求平面DGH 和平面EGH 法向量的夹角的余弦值．

2．审条件，挖解题信息

观察条件：BP ，BA ，BQ 两两互相垂直――→建立空间直角坐标系

求平面DGH 的法向量n 和平面EGH 的法向量m .

3．建联系，找解题突破口

求cos 〈m ，n 〉――→确定二面角范围

求二面角D -GH -E 的余弦值．, [准确规范答题]

(1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，

所以EF ∥AB ，DC ∥AB .所以EF ∥DC . ?1分又EF ?平面PCD ，DC 平面PCD ，所以EF ∥平面PCD . ?2分又EF 平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，

所以EF ∥GH . ?3分又EF ∥AB ，所以AB ∥GH . ?4分 (2)在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°. 又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．

以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，

确定各点坐标时易发生错误，造成后续求解错误则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，

D (1,1,0)，C (0，1,0)，P (0,0,2)．所以EQ ＝(－1,2，－1)，FQ

＝(0,2，－1)，DP ＝(－

1，

－1，2)，CP

＝(0，－1，2)． ?6分

设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，

由·0,·

0,EQ FQ ?=?=?m m

得?????

－x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)． ?8分

设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，

由·0,·

0,DP CP ?=??=??n n

得?????

－x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0，取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)， ?10分

所以cos 〈m ，n 〉＝m 2n |m ||n |＝4

. ?11分

易忽视判断二面角D -GH -E 的范围，直接得出二面角D -GH -E 的余弦值为4

的错误答案

因

为二面角D -GH -E 为钝角，所以二面角D -GH -E 的余弦值为－4

. ?12分

[答题模板速成]

利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤：

[全盘巩固]

1. 如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌

△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，PA ＝3

，连接CE 并延长交AD 于F .

(1)求证：AD ⊥平面CFG ；

(2)求平面BCP 与平面DCP 所成锐角的余弦值．

解：(1)证明：在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1，

故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π

，因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ，

从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π

，所以∠FED ＝∠FEA ，

故EF ⊥AD ，AF ＝FD .因为PG ＝GD ，所以FG ∥PA .

又PA ⊥平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，又EF ∩GF ＝F ，EF ，GF 平面CFG ，故AD ⊥平面CFG .

(2)因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，

所以AB ，AD ，PA 两两垂直．

以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C ? ??

??32，32，0，D (0，3，0)，P ? ????0，0，32，故BC ＝? ????12，32，0，CP ＝? ????－32，－32，32，CD ＝? ??

－32，32，0.

设平面BCP 的一个法向量n 1＝(1，y 1，z 1)，

则111111·0,2233·0,22

BC y CP y z ?=+=????=-+=??n n 解得?????

y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝? ?

??1，－

33，23. 设平面DCP 的一个法向量n 2＝(1，y 2，z 2)，

则222223·0,

233

·0,2

CD y CP y z ?=-+=???

?=-+=??n n 解得??

y 2＝3，z 2＝2，即n 2＝(1，3，2)．

从而平面BCP 与平面DCP 所成锐角的余弦值为cos θ＝|n 12n 2|

|n 1||n 2|

＝

4316

28＝

. 2. 如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B

1的中点，点E 在A 1C 1上且DE ⊥AE .

(1)证明：平面ADE ⊥平面ACC 1A 1；

(2)求直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值．

解：(1)证明：由正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1，又DE 平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.

而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，AA 1，AE 平面ACC 1A 1，所以DE ⊥平面ACC 1A 1

. 又DE 平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.

(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是

A (0，－1,0)，

B (3，0,0)，

C 1(0,1，2)，

D ? ??

32，－12，2.

易知AB ＝(3，1,0)，1AC ＝(0,2，2)，AD ＝? ????

32，12，2.

设平面ABC 1的一个法向量为

n ＝(x

，y ，z )，则有1·

0,·

20,AB y AC y ?=+=??==??n n

解得x ＝－

y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)．

所以cos 〈n ，AD 〉＝AD

??n n

＝

231033＝105. 故直线AD 和平面ABC 1所成角的正弦值为

105

. 3. (20132重庆高考)如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠

ACB ＝∠ACD ＝

，F 为PC 的中点，AF ⊥PB .

(1)求PA

的长；

(2)求二面角B -AF -D 的正弦值．解：

(1)如图所示，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .

以O 为坐标原点，OB ，OC ，AP

的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间

直角坐标系Oxyz ，则OC ＝CD cos π

＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，

又OD ＝CD sin π

＝3，故A (0，－3,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)．

因PA ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )(z >0)，由F 为PC 边的中点，知F ?

???

0，－1，z 2.

又AF ＝?

????0，2，z 2，PB

＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，

故AF 2PB ＝0，即6－z 2

＝0，z ＝23(舍去－23)，所以|PA |＝2 3.

故PA 的长为2 3.

(2)由(1)知AD ＝(－3，3,0)，AB ＝(3，3,0)，AF

＝(0,2，3)．

设平面FAD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，

由n 12AD ＝0，n 12AF ＝0，得???

－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，

因此可取n 1＝(3，3，－2)．由n 22AB ＝0，n 22AF

＝0，得

3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，

故可取n 2＝(3，－3，2)．

从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 12n 2|n 1|2|n 2|＝1

故二面角B -AF -D 的正弦值为

. 4．(20142新余模拟) 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AC ＝2，BD ＝2

3，E 是PB 上任意一点．

(1)求证：AC ⊥DE ；

(2)已知二面角A -PB -D 的余弦值为

，若E 为PB 的中点，求EC 与平面PAB 所成角的正弦值．

解：(1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，∴PD ⊥AC .

∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC .又BD ∩PD ＝D ，BD ，PD 平面PBD ， ∴AC ⊥平面PBD .∵DE

平面PBD ，∴AC ⊥DE .

(2)在△PDB 中，∵E ，O 分别为PB ，BD 的中点，∴EO ∥PD ，

∴EO ⊥平面ABCD ，分别以OA ，OB ，OE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设

PD ＝t (t >0)，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，C (－1,0,0)，E ?

??0，0，t 2，P (0，－3，t )．

由(1)知，平面PBD 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)，设平面PAB 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，

z )，且AB ＝(－1, 3，0)，AP

＝(－1，－3，t )，则根据

22·

0,·

0,AB AP ?=??=??n n

得???

－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0，令y ＝1，得平面PAB 的一个法向量为n 2＝?

???3，1，23t .

∵二面角A -PB -D 的余弦值为

155，∴|cos 〈n 1，n 2〉|＝155

，即3

4＋12

＝15

5，

解得t ＝23或t ＝－23(舍去)，∴P (0，－3，23)．

设EC 与平面PAB 所成的角为θ，∵EC

＝(－1,0，－3)，n 2＝(3，1,1)，

则sin θ＝|cos 〈EC ，n 2〉|＝23235

＝155，∴EC 与平面PAB 所成角的正弦值为15

5. 如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.

(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；

(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 所成锐角θ的大小．解：

(1)证明：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点，OA ，OB ，1OA

的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．

∵AB ＝AA 1＝2，∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，

∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．

由11A B ＝AB ，易得B 1(－1,1,1)．∵1A C ＝(－1,0，－1)，BD

＝(0，－2,0)， 1BB ＝(－1,0,1)，∴1A C 2BD

＝0，1A C 21BB ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，

又BD ∩BB 1＝B ，BD ，BB 1 平面BB 1D 1D ，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .

(2)设平面OCB 1的一个法向量n ＝(x ，y ，z )．∵OC ＝(－1,0,0)，1OB

＝(－1,1,1)，

∴1·0,·

0,OC OB ?=??=??n n 即????? －x ＝0，－x ＋y ＋z ＝0，∴?????

x ＝0，y ＝－z ，

令y ＝1，得平面OCB 1的一个法向量n ＝(0,1，－1)，

由(1)知，1A C

＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的一个法向量，

∴cos θ＝|cos 〈n ，1A C 〉|＝1232

＝12.又0<θ<π2，∴θ＝π

6. 如图，在多面体A 1B 1-ABC 中，△ABC 和△AA 1C 都是边长为2的正三角形，四边形ABB

1A 1

是平行四边形，且平面A 1AC ⊥底面ABC .

(1)证明：A 1B ⊥AC ；

(2)在线段BB 1上是否存在点M ，使得过CM 的平面与直线AB 平行，且与底面ABC 所成的角为45°？若存在，请确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：取AC 中点O ，连接A 1O ，BO ，∵△ABC 和△AA 1C 都是正三角形， ∴A 1O ⊥AC ，BO ⊥AC ，∵平面A 1AC ⊥底面ABC ，平面A 1AC ∩底面ABC ＝AC ， ∴A 1O ⊥平面ABC ，又∵BO 平面ABC ，∴A 1O ⊥BO .∴OB ，AC ，OA 1两两垂直．

如图所示，以OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0，1,0)，A 1(0,0，3)，

∴1A B ＝(3，0，－3)，AC ＝(0,2,0)，∴1A B 2AC ＝0，∴1A B ⊥AC

，即A 1B

⊥AC .

(2)假设点M 存在，且BM

＝λ1BB (0≤λ≤1)，

设过CM 且与AB 平行的平面交AA 1于点N ，连接MN ，NC ， ∴AB ∥MN ，∴四边形ABMN 是平行四边形，

则AN ＝BM ，NM ＝AB

，且AN ＝λ1AA ，

又1AA ＝(0,1，3)，∴AN ＝λ1AA

＝(0，λ，3λ)，

∴N (0，λ－1，3λ)，CN ＝(0，λ－2，3λ)，又AB

＝(3，1,0)，∴NM ＝(3，

1,0)，

设平面CMN 的法向量一个为n 1＝(x ，y ，z )，

则11·0,·

0,CN NM ?=??=??n n

∴???

λ－2 y ＋3λz ＝0，3x ＋y ＝0， ∴n 1＝?

????1，－3，λ－2λ为平面CMN 的一个法向量，又平面ABC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，且平面CMN 与底面ABC 所成角为45°， ∴cos 45°＝????

?λ－2λ4＋? ??

?λ－2λ2＝22，解得λ＝－2(舍去)或λ＝23.

∴在线段BB 1上存在点M ，当BM ＝2

BB 1时，平面CMN 与直线AB 平行，且平面CMN 与底面

ABC 所成的角为45°.

[冲击名校]

如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA

1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．

(1)求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；

(2)若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为6

，求k 的值；

(3)现将与四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f (k )，写出f (k )的解析式(直接写出答案，不必说明理由)．

解：

(1)证明：取CD 的中点E ，连接BE .∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ， ∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .

在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2

， ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD .又BE ∥AD ，∴CD ⊥AD . ∵AA 1⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，∴AA 1⊥CD .

又AA 1∩AD ＝A ，AA 1，AD 平面ADD 1A 1，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.

(2)以D 为原点，以DA ，DC ，1DD

的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间

直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k ，3k,1)，A 1(4k,0,1)，

所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA

＝(0,0,1)．

设平面AB 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则由1·

0,·

0,AC AB ?=??=??n n 得???

－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.

取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则

sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝11

AA AA ??n n

＝6k 36k 2

＋13＝6

7，解得k ＝1或k ＝－1(舍)，故所求k 的值为1.

(3)共有4种不同的方案．f (k )＝?????

72k 2＋26k ，0

，36k 2

＋36k ，k >5

[高频滚动]

如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB //DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝

AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．

(1)证明：B 1C 1⊥CE;

(2)求二面角B 1-CE -C 1的正弦值；

(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为2

，求线段AM 的长．解：

高考数学选择题常考考点专练3

高考数学选择题常考考点专练3 21．已知{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，则过点P (3 ，3a ) ，Q （4 ，4a ）的直线的斜率为（） A ．4 B ． 4 1 C ．－4 D ．－14 【标准答案】 A. 解析：依题意，∵{}n a 是等差数列，154=a ，555=S ，∴1522a a +=，设公差为d ，则d=4，又43 443 PQ a a k d -===- 22．直三棱柱ABC —A 1B 1C1的底面ABC 为等腰直角三角形，斜边AB ＝2，侧棱AA 1=1,则该三棱柱的外接球的表面积为（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．5π 【标准答案】B 解析：由于直三棱柱ABC —A 1B 1C1的底面ABC 为等腰直角三角形，把直三棱柱ABC —A 1B 1C1 补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，所以外接球半径为3，表面积为3π. 23. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（） A ．a 2 + a 15 B ． a 2·a 15 C ．a 2 + a 9 +a 16 D ． a 2·a 9·a 16 【标准答案】解析：∵ 17S = 2 ) (17171a a +为一确定常数， ∴ 1a + 17a 为一确定常数，又1a + 17a = 2a + 16a = 29a ， ∴2a + 16a 及9a 为一确定常数，故选C 。说明：本题是一道基础题，若直接用通项公式和求和公式求解较复杂，解答中应用等差数列的性质m a + n a =p a + q a ，结论巧妙产生，过程简捷，运算简单。 24 (理科)记二项式（1+2x ）n 展开式的各项系数和为a n ，其二项式系数和为b n ，则 23lim n n n n n b a b a →∞-+等于（） A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不存在【标准答案】

【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)Word版

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版编辑：__________________ 时间：__________________

一．课标要求： 1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。三．要点精讲 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；A a ∈A b ? （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

艺考生高考数学总复习讲义

2015艺考生高考数学总复习讲义第一章、集合基本运算一、基础知识： 1.元素与集合的关系:用∈或?表示； 2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性. 3.集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集；②按元素特征分；数集，点集。如数集{y |y =x 2},表示非负实数集，点集{(x ，y )|y =x 2}表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线； 4.集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显着规律的无限集，如N +={0，1，2，3，…}； ②描述法：一般格式：{}()x A p x ∈，如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2+1}，…；描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合 ③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N ；正整数集*N N +或；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R; 5．集合与集合的关系:用?，≠?，=表示;A 是B 的子集记为A ?B ；A 是B 的真子集记为A ≠?B 。常用结论：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?；②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；空集是任何非空集合的真子集； ③如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ；如果A B ?，B C ?， A C ?那么. ④n 个元素的子集有2n 个；n 个元素的真子集有2n －1个；n 个元素的非空真子集有2n －2个. 6．交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ，或x ∈B};补集C U A=｛x |x ∈U ，且x ?A ｝，集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论: 注：本章节五个定义 1.子集定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合

2019高考数学备考心得体会语文

高考数学备考心得体会高考数学备考心得体会篇一这一学期的拓展课是“高中数学思想学习的方法好研究”。老师最少的题量为我们分析讲解最典型和常见的题型，帮助我们摆脱题海之苦，提高数学成绩。通过本学期拓展课的学习，我能大概了解、掌握了部分的高中数学的学习方法。多层次、多角度、多交叉、多广度，深度上对知识加以拓展和提高，并且能在平日学习数学的过程中有所拓宽和发展，对课堂内容知识的归纳，总结，梳理等方面有进步，培养了自己对数学学习的兴趣好良好的习惯。在学习到解决数学问题的方法和思路的同时，对一些在课堂上或是平时不懂、迷惑的地方进行探讨，更好地加强了对知识点的理解和应用。例如数学思想中的“分类讨论”，“函数数学在不等式中的应用”，“参数问题”等有了深一步的研究好拓展，便于让我在今后的数学学习中加以应用和解答。臂如：①对于参数问题的学习，我们通过学习不同的例题，通过研究、分析得到解决这一问题的主要方法与途径------分离参数，变换主元等常用的解题方法。②对分类讨论这一问题的研究：引起分类讨论的原因主要是由于存在不确定的元素及公式，概念的分类……，并研究了基本步骤等等。总之进入高中以后，数学学习的方法好内容都有了很大转变，题目的难易程度也比以前有了很大的提高，及时消化吸收新知识，复习巩固旧知识也成了我的困扰。但通过此次学习，我发现数学学习其实是有径可循。对于一些问题要予以归纳总结，并作一些相配套的练习，以达到巩固效果。一学期来，我收获了很多，尤其在学习方法上有了系统的概念，能够更好地高中的数学学习。高考数学备考心得体会篇二一直以来，我都在不断反思、探索，寻觅一条如何才能使学生学好数学，通向高考成功之路。在一段时期的实践中，我发现学生在学习过程中存在着几点问题：

高考文科数学重要考点大全

高考文科数学重要考点大全一考点一：集合与简易逻辑集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。考点二：函数与导数函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数一次和二次函数、指数、对数、幂函数的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。考点三：三角函数与平面向量一般是2道小题，1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、共线等问题是“新热点”题型. 考点四：数列与不等式不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目. 考点五：立体几何与空间向量

高考数学复习：最后三月总体复习方案

高考数学复习：最后三月总体复习方案高考越来越近，谁能更好的利用时间，谁能更好安排复习计划，总体把握，谁就更有可能在最后的时刻脱颖而出。那么，我们怎么样才能把握最后的三个月，抓住最后的黄金复习时间，让自己的数学更上一层楼呢？一、全力夯实双基，保证驾轻就熟目前高考数学试卷，基础知识和基本方法的考查占80％左右的份量，即使是创新题或能力题也是建立在双基之上，只有脚踏实地、一丝不苟地巩固双基，才能占领高考阵地。教材是精品，把握了教材，也就切中了要害。不仅要深刻理解教材中的知识，更要关注教材中解决问题的思想方法，还要全面把握知识体系，保证：⑴不掌握不放过。对照《考试说明》，确定考试范围，认真阅读和理解教材中相关内容，包括每个概念、每个例题、每个注释、每个图形，准确理解和记忆知识点，不留空白和隐患。⑵胸无全书不放过，在掌握知识点的基础上，根据知识的内在联系，构建知识网络，把书学得“由厚变薄”。不防从课本的章节目录入手，进行串联，形成体系。⑶有疑难不放过。为巩固复习效果，发展思维能力，适量的练习是必要的，练习中遇到困难也在所难免，必须找到问题的症结在那里，对照教材，彻底扫除障碍。回归教材、吃透课本，千万不能眼高手低哟。二、重视错题病例，实时忘羊补牢。

错题病例也是财富，它有时暴露我们的知识缺陷，有时暴露我们的思维不足，有时暴露我们方法的不当，毛病暴露出来了，也就有治疗的方向，提供了纠错的机会。由于题海战术的影响，许多同学，拼命做题，期望以多取胜，但常常事与愿违，不见提高，走访了一些同学，普遍觉得困惑他们的是有些错误很顽固，订正过了，评讲过了，还是重蹈覆辙。原因是没有重视错误，或没有诊断出错因，没有收到纠错的效果。建议：建立错题集，特别是那些概念理解不深刻、知识记忆失误、思维不够严谨、方法使用不当等典型错误收集成册，并加以评注，指出错误原因，经常翻阅，常常提醒，警钟长鸣，以绝后患。注意收集错题也有个度的问题，对于那些一时粗心的偶然失误，或一时情绪波动而产生的失误应另作他论。三、加强毅力训练，做到持之以恒。毅力比热情更重要。进入高三，同学们都雄心勃勃。但由于各种因素的影响，有的同学能够坚持不懈，平步青云。有的同学松弛下来，形成知识或方法上的梗阻。影响情绪和信心。阻碍前进的步伐。训练毅力刻不容缓！计划明确，并坚决执行，不寻找借口，做到“今日事今日毕”，决不拖到明天做今天的事，练习也要限时完成，一个小时完成的，决不拖成一个半小时完成，否则将影响后续的学习和

2020年艺考生高考数学知识点训练题库A部分

2020 年全国卷1 卷高考数学艺考生复习大纲基础点整理 A 部分（集训题目）课题:___ 数学___ 目标: ______________ 姓名: ______________

学校: ______________

① 集合，高考 5 分考点：交集，并集，补集，子集【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．【终极小测摸底细】来源:Z#xx#https://www.wendangku.net/doc/712929249.html,] 1. 【课本典型习题改编】当 ɑ-1=0 时，设集合 A x( x a)(x 3) 0,a R ， B x (x 4)(x 1) 0 ，求 A B ， A B ． 2. 【 2018 高考新课标 1 押题】设集合 A x x 2 4x 3 0 已知集合 xx 2 ，B xx a ，若 A B A ，则实数 a 的取值范围为 4.【基础经典试题】设 U R,A xx 0,B xx -1，则 A (C U B) ( ) C 中的元素的非空子集个数为 ( ) 个。 ,B= x 2x 3 0 ,, 则 3. 【深圳高三质检卷改编】 A ． B ．R C xx 0 D ． 0 5.【改编自 2017 年江西模拟】若集合 A x3 x 0 ,B 1,2,3,4 ,C A B, ，则集合 A ) D ) 3 2

高三数学备考方案

文登一中高三数学备考方案（一）指导思想以加强双基教学为主线，以提高学生综合能力为目标，结合考点，紧扣教材，加强学生对知识的理解、联系、应用，同时结合高考题型强化训练，提高学生的解题能力及应试能力。（二）复习要求一、深入研究教材和《考试说明》，务必明确考试方向高考考试说明是高考法定的命题文件，而教材是命题的主要资源，也是数学复习之本。对于课本的研究应主要从三个方面人手：准确掌握课本中出现的基本知识(主要概念、公式、法则)；基本知识产生的过程以及其蕴涵的研究方法和所运用的数学思想；用好教材中的例、习题，并注意延伸和拓展。特别注意从课本例题中引导学生学习解题规范。特别应该重视的是教材中基本概念的深刻化理解。正确理解和应用数学概念，是数学高考考查的重点之一。因此，在复习时，基本训练一定要以课本中一些例题和习题为素材，不断总结规律，回归概念。对知识要进行分类、整理、综合加工，从而形成一个有序的知识体系。如代数中的“四个二次”（二次三项式，一元二次方程，一元二次不等式，二次函数时），以二次方程为基础、二次函数为主线，通过联系解析几何、三角函数、带参数的不等式等典型重要问题，建构知识，发展能力。研究《考试说明》就要深入了解考试性质、考试要求、考试内容、考试形式与试卷结构、题型示例等五部分内容，探知命题走向。另外，还要研究近几年山东高考试题并关注教研中心对高考试题的评价报告等。进一步明确数学科试题的命题范围，知识要求、能力要求和个性品质要求等。二、整体把握高中数学课程，突出重点知识及其联系《考试说明》指出：对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点。对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。复习过程中，做到整体把握高中三年的数学课程，整体计划一轮、二轮复习计划，重点内容要注意反复训练，有联系的内容要注意交叉和整合不同的知识板块，切勿按教材顺序照本宣科。如导数与函数、方程、不等式的整合，三角与向量的整合等。阶段性测试也要从学科的整体高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题。三、重视对数学思想方法的理解和掌握，注重通性通法《考试说明》强调：对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的

高考数学知识点复习测试题8-

高考数学知识点复习测试题(附参考答案) 一元二次不等式及其解法 ★ 知识梳理 ★ 一.解不等式的有关理论（1）若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；（2）一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；（3）解不等式时应进行同解变形；（4）解不等式的结果，原则上要用集合表示。 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2 >=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ? ? 解一元二次不等式的基本步骤：整理系数，使最高次项的系数为正数；尝试用“十字相乘法”分解因式；（3）计算ac b 42-=? （4）结合二次函数的图象特征写出解集。高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解（注意每个因式的最高次项的系数要求为正数）分式不等式的解法：分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解； ★ 重难点突破 ★ 1.重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；熟练掌握一元二次不等式的解法。 2.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式 3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式. (1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解问题1. 设0>a ，解关于x 的不等式 11 log 2 <-x ax 点拨:11 log 2<-x ax Θ ∴<-<012ax x 由ax x ->10得：x <0或x >1 ()[]()ax x x a x x -+-<-+-<22102210，讨论：（1）当a =2时，得x <0 （2）当a >2时，--<<220a x / （3）当02< 22 或x <0 综上所述，所求的解为:当a =2时，解集为{}x x |<0 当a >2时,解集为??????<<-- 022|x a x . 当02<022|x a x x 或12/ (2)重视函数、方程与不等式三者之间的逻辑关系. 问题2. 已知函数3222)(a b x a ax x f -++=当0)(),,6()2,(,0)(),6,2(<+∞--∞∈>-∈x f x x f x Y 当，求)(x f 的解析式；点拨:据题意：6,221=-=x x 是方程02322=-++a b x a ax 的两根