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高中数学北师大版必修三模拟方法——概率的应用课时检测Word版含答案

第三章 §3

一、选择题

1．在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是( )

A ．0.5 B.0.4 C ．0.004 D.不能确定

[答案] C

[解析] 由于取水样的随机性，所求事件A ：“在取出2 mL 的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比，即2

500

＝0.004.

2.如图所示，ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )

A.π4

B.1－π

C.π8

D.1－π8

[答案] B

[解析] 根据几何概型概率公式所得求概率为P ＝阴影部分面积S 长方形ABCD

＝2－12π·12

2＝1－π

4.故选

3.如图，在地面上放置一个塑料圆盘，吉克将一粒玻璃球丢到该圆盘中，则玻璃球落在A 区域内的概率是( )

A.12

B.18

C.14

D.1

[答案] A

[解析] 玻璃球丢在该圆盘内，玻璃球落在各个区域内是随机的，也是等可能的，并且在该圆盘的任何位置是无限多种，因此该问题是几何概型．由于A 区域占整个圆形区域面积的48，所以玻璃球落入A 区的概率为12

4．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为( )

A.25

B.15

C.45

D.310

[答案] B

[解析] 可以判断属于几何概型．记正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间为事件A ，那么正方形的边长为[5,7]内，则事件A 构成的区域长度是7－5＝2(cm)，全部试验结果构成的区域长度是10 cm ，则P (A )＝210＝1

5．在5万km 2的某海域里有表面积达40km 2的大陆架储藏着石油．若在这海域里随意选定一点钻探，则钻到石油的概率是( )

A.11 250

B.1250

C.18

D.1125 [答案] A

[解析] P ＝4050 000＝1

1 250

6.将一个长与宽不等的矩形沿对角线分成四个区域(如右图)，并涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动．对该指针在各区域停留的可能性下列说法正确的是( )

A ．一样大

B ．蓝白区域大

C ．红黄区域大

D ．由指针转动圈数决定 [答案] B

[解析] 由题意可知这是一个几何概型问题，因为指针自由转动时，指向哪个区域是等可能的，但由于矩形的长与宽不等，显然蓝白相对的角度比红黄相对的角度大些，据几何概型概率公式，可知指针落在蓝白区域的概率要大于指针落在红黄区域的概率．

二、填空题

7．(2015·重庆文，15)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．

[答案] 23

[解析] 方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的充要条件是????

Δ＝4p 2

－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，

x 1x 2＝3p －2>0，

即2

3)＋(5－2)

5－0

＝23；故填：2

3. 8．点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________.

[答案] 23

[解析] 如图，

点B 可落在优弧CAD ︵

上，其弧长为2，由几何概型知概率为23.

三、解答题

9．已知单位正方形ABCD ，在正方形内(包括边界)任取一点M ，求： (1)△AMB 面积大于等于1

4的概率；

(2)AM 的长度不小于1的概率．

[解析] (1)如图，取BC 、AD 的中点E 、F ，连接EF ，当M 在CEFD 内运动时，△ABM 的面积大于等于1

4，由几何概型定义得P ＝S 矩形CDFE S 正方形

＝12.

(2)如图，以AB 为半径作圆弧，M 在阴影部分时，AM 的长度大于等于1，由几何概率

的意义知P ＝S 阴影S 正方形

＝1－14×π×12＝1－π

10．用橡皮泥做成一个直径为6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm 的概率．

[解析] 设“砂粒距离球心不小于1 cm ”为事件A ，球心为O ，砂粒位置为M ，则事件A 发生，即OM ≥1 cm.

设R ＝3，r ＝1，则 n ＝4π3R 3，m ＝4π3R 3－4π

3r 3.

∴P (A )＝m n ＝1－(r R )3＝1－127＝2627.

故砂粒距离球心不小于1 cm 的概率为26

一、选择题

1．在区间[－1,1]上随机地任取两个数x 、y ，则满足x 2＋y 2<1

4的概率是( )

A.π16

B.π

8 C.π4 D.π2

[答案] A

[解析] 由于在区间[－1,1]上任取两数x ，y 有无限种不同的结果，且每种结果出现的机率是均等的，因此，本题为几何概型．

由条件知－1≤x ≤1，－1≤y ≤1，∴点(x ，y )落在边长为2的正方形内部及边界上，即Ω＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，∴μΩ＝4.记事件A ＝“x 2＋y 2<14”，则μA ＝π

4，∴P (A )

＝μA μΩ＝π

，故选A. 2.(2015·山东文，7)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 1

2????x ＋12≤1”发生的概率为( )

A.34

B.23

C.13

D.14

[答案] A

[解析] 由－1≤log 12(x ＋12)≤1得，log 122≤log 12(x ＋12)≤log 1212，12≤x ＋12≤2,0≤x ≤3

2，所

以，由几何概型概率的计算公式得，P ＝3

2－02－0＝3

，故选A.

二、填空题

3．在直角坐标系xOy 中，设集合Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤1,0≤y ≤1}，在区域Ω内任取一点P (x ，y )，则满足x ＋y ≤1的概率等于________．

[答案] 1

[解析] 集合Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤1,0≤y ≤1}所表示的平面区域是边长为1的正方形及其内部的点，如图所示，其面积为1，点P 所表示的平面区域为等腰直角三角形及其内部的点，其直角边长为1，面积为12，则满足x ＋y ≤1的概率为P ＝12

4．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)及取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿，卖油翁的技巧让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为 1 cm 的正方形孔．若你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好落入孔中的概率是________(油滴的大小忽略不计)．

[答案]

9π

[解析] S 正方形＝1 cm 2，S 圆＝π(32)2＝9π

4(cm 2)，∴P ＝S 正方形S 圆＝49π.

三、解答题

5．(1)向面积为6的△ABC 内任投一点P ，求△PBC 的面积小于2的概率． (2)在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，求△PBC 的面积大于S

4的概率．

[解析] (1)取△ABC 边BC 上的高AE 的三等分点M ，过点M 作BC 的平行线，当点P 落在图中阴影部分时，△PBC 的面积小于2，故概率为1－

491＝5

(2)据题意基本事件空间可用线段AB 的长度来度量，事件“△PBC 的面积大于S

4”可用

距离A 长为34AB 的线段的长度来度量，故其概率为34|AB ||AB |＝3

6.设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．

[解析] 记A ＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如右图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则小等边三角形的边长为43－23＝23，由几何概型的概率公式得P (A )＝3

4×(

23)23

×4(3)2＝1

7.如图所示，面积为S 的正方形ABCD 中有一个不规则的图形M ，可按下面方法估计M 的面积：在正方形ABCD 中随机投掷n 个点，若n 个点中有m 个点落入M 中，

则M 的面积的估计值为m n ·S ，假设正方形ABCD 的边长为2，M 的面积为1，并向正方形ABCD 中随机

投掷10 000个点，求落入M 中的点的数目．

[解析] 记“点落入M 中”为事件A ，则有P (A )＝S M

S ABCD ＝1

，

所以向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，落入M 中的点的数目为： 10 000×1

＝25 00.

也可由S ′＝m

·S 直接代入，即S ′＝1，S ＝4，n ＝10 000，

所以m ＝S ′·n S ＝1×10 000

4＝2 500.

答：落入M 中的点的数目为2 500.