求最小函数依赖集例题

基于闭包的求最小函数依赖集算法

定义:如果函数依赖集F满足下列条件,则称F为最小函数依赖集或最小覆盖。

① F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性;

② F中不存在这样一个函数依赖X→A,使得F与F-{X→A}等价;

③ F中不存在这样一个函数依赖X→A,X有真子集Z使得F-{X→A}∪{Z→A}与F等价。

算法:计算最小函数依赖集。

输入一个函数依赖集

输出 F的一个等价的最小函数依赖集G

步骤:① 用分解的法则,使F中的任何一个函数依赖的右部仅含有一个属性;

② 去掉多余的函数依赖:从第一个函数依赖X→Y开始将其从F中去掉,然后在剩下的函数依赖中求X的闭包X+,看X+是否包含Y,若是,则去掉X→Y;否则不能去掉,依次做下去。直到找不到冗余的函数依赖;

③ 去掉各依赖左部多余的属性。一个一个地检查经过第②步去掉了多余依赖后的函数依赖左部非单个属性的依赖。例如XY→A,若要判Y为多余的,则以X→A代替XY→A是否等价?若A属于(X)+,则Y是多余属性,可以去掉。

注:以下题目中有些步骤(如判断左部单属性的依赖是否为多余依赖的步骤)作者嫌麻烦就省略掉了

例题1:已知关系模式R,U={A,B,C,D,E,G},

F={AB→C,D→EG,C→A,BE→C,BC→D,CG→BD,ACD→B,CE→AG},求F的最小函数依赖集。

解1:利用算法求解,使得其满足三个条件

① 利用分解规则,将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖,得F为:

F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}

② 去掉F中多余的函数依赖

A.设AB→C为冗余的函数依赖,则去掉AB→C,得:

F1={D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→B,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}

计算(AB)F1+:设X(0)=AB

计算X(1):扫描F1中各个函数依赖,找到左部为AB或AB子集的函数依赖,因为找不到这样的函数依赖。故有X(1)=X(0)=AB,算法终止。

(AB)F1+= AB不包含C,故AB→C不是冗余的函数依赖,不能从F1中去掉。

B.设CG→B为冗余的函数依赖,则去掉CG→B,得:

F2={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B,CE→A,CE→G}

计算(CG)F2+:设X(0)=CG

计算X(1):扫描F2中的各个函数依赖,找到左部为CG或CG子集的函数依赖,得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。

计算X(2):扫描F2中的各个函数依赖,找到左部为ACG或ACG子集的函数依赖,得到一个CG→D函数依赖。故有X(2)=X(1)∪D=ACDG。

计算X(3):扫描F2中的各个函数依赖,找到左部为ACDG或ACDG子集的函数依赖,得到两个ACD→B和D→E函数依赖。故有X(3)=X(2)∪BE=ABCDEG,因为X(3)=U,算法终止。

(CG)F2+=ABCDEG包含B,故CG→B是冗余的函数依赖,从F2中去掉。

C.设CG→D为冗余的函数依赖,则去掉CG→D,得:

F3={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,ACD→B,CE→A,CE→G}

计算(CG)F3+:设X(0)=CG

计算X(1):扫描F3中的各个函数依赖,找到左部为CG或CG子集的函数依赖,得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CGA=ACG。

计算X(2):扫描F3中的各个函数依赖,找到左部为ACG或ACG子集的函数依赖,因为找不到这样的函数依赖。故有X(2)=X(1),算法终止。(CG)F3+=ACG。

(CG)F3+=ACG不包含D,故CG→D不是冗余的函数依赖,不能从F3中去掉。

D.设CE→A为冗余的函数依赖,则去掉CE→A,得:

F4={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,ACD→B,CE→G}

计算(CG)F4+:设X(0)=CE

计算X(1):扫描F4中的各个函数依赖,找到左部为CE或CE子集的函数依赖,得到一个C→A函数依赖。故有X(1)=X(0)∪A=CEA=ACE。

计算X(2):扫描F4中的各个函数依赖,找到左部为ACE或ACE子集的函数依赖,得到一个CE→G函数依赖。故有X(2)=X(1)∪G=ACEG。

计算X(3):扫描F4中的各个函数依赖,找到左部为ACEG或ACEG子集的函数依赖,得到一个CG→D函数依赖。故有X(3)=X(2)∪D=ACDEG。

计算X(4):扫描F4中的各个函数依赖,找到左部为ACDEG或ACDEG子集的函数依赖,得到一个ACD→B函数依赖。故有X(4)=X(3)∪B=ABCDEG。因为X(4)=U,算法终止。

(CE)F4+=ABCDEG包含A,故CE→A是冗余的函数依赖,从F4中去掉。

③ 去掉F4中各函数依赖左边多余的属性(只检查左部不是单个属性的函数依赖)由于C→A,函数依赖ACD→B中的属性A是多余的,去掉A得CD→B。

故最小函数依赖集为:

F={AB→C,D→E,D→G,C→A,BE→C,BC→D,CG→D,CD→B,CE→G}

例题2:已知R(U,F)

U={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j},F={ abd->e,ab->g,b->f,c->j,cj->i,g->h }

求R(U,F)的最小函数依赖集

解:分三步:

1.将F中的所有依赖右边化为单一元素

此题F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,cj->i,g->h};已经满足

2.去掉F中的所有依赖左边的冗余属性.

作法是属性中去掉其中的一个,看看是否依然可以推导

此题:abd->e,去掉a,则(bd)+不含e,故不能去掉,同理b,d都不是冗余属性

ab->g,也没有

cj->i,因为c+={c,j,i}其中包含i所以j是冗余的.cj->i将成为c->i

F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};

3.去掉F中所有冗余依赖关系.

做法为从F中去掉某关系,如去掉(X->Y),然后在F中求X+,如果Y在X+中,则表明X->Y是多余的.需要去掉.

此题如果F去掉abd->e,F将等于{ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h},而

(abd)+={a,d,b,f,g,h},其中不包含e.所有不是多余的.

同理(ab)+={a,b,f}也不包含g,故不是多余的.

b+={b}不多余,c+={c,i}不多余

c->i,g->h多不能去掉.

所以所求最小函数依赖集为 F={abd->e,ab->g,b->f,c->j,c->i,g->h};

例题3:关系R({A,B,C,D,E,F},f)满足下列函数依赖:

AB->C

C->A

BC->D

ACD->B

BE->C

CE->FA

CF->BD

D->EF

找出该依赖集的最小依赖集

1:.将F中的所有依赖右边化为单一元素

AB->C C->A BC->D ACD->B BE->C CE->F CE->A CF->B CF->D

D->E D->F

2:去掉F中所有冗余依赖关系.做法为从F中去掉某关系,如去掉(X->Y),然后在F 中求X+,如果Y在X+中,则表明X->Y是多余的.需要去掉.

去掉AB->C 得到AB+={} 所以AB->C 不是冗余的函数依赖

再依次去掉1中其余的函数依赖,计算去掉依赖左边属性的必包,发现

ACD->B,CE->A,CF->D是冗余的函数依赖,

AB->C C->A BC->D BE->C CE->F CF->B D->E D->F

3:去掉F中的所有依赖左边的冗余属性.作法是属性中去掉其中的一个,看看是否依然可以推导

没有

所以{AB->C C->A BC->D BE->C CE->F CF->B D->E D->F}为f的最小依赖集

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