知识点011 一元二次方程2012

一、选择题

1. （2012广西桂林，9，3分）关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k 的值（ ）

A.k<1

B.k>1

C.k<—1

D.k>—1

考点解剖：本题考查的是一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程的根的情况得到判别式的大小是解题的关键.

解题思路：根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，解所得的不等式即可得到答案.

解答过程：解：关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0有两个不相等的实数根，所以△＞0，即是4－4k ＞0，解之得k ＜1，故正确答案为A.

答案：A

规律总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．特别要注意此关系只有一元二次方程才有，即它的前提条件是a ≠0.

关键词： 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的判别式

2. （2012贵州安顺，4，3分）已知1是关于x 的一元二次方程（m －1）x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是（ ）

A ．1

B ．―1

C ．0

D ．无法确定

考点解剖：本题考查了一元二次方程的概念，以及方程的根，掌握基本概念是解决本题的关键．

解题思路：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到时一元二次方程，所以还要其二次项系数要不能等于0．

解答过程：解：由题意得，(m -1)+1+1=0，解得m =-1，此时m -1=-2≠0，∴m =-1．故选B ．

规律总结：若题中出现含参数的方程的根，则直接代入方程，得到一个关于参数的方程，从中求出参数值，但要注意题目中的隐含条件，像本题中方程是一元二次方程，所以二次项系数要注意不能为0．

关键词：一元二次方程的概念 一元二次方程的解

3. （2012湖南常德，15，3分）若一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ）

A ．m ≤－1

B ．m ≤1

C ．m ≤4

D ．m ≤2

1 考点解剖：本题考查了根据一元二次方程的判别式，求字母的取值范围．掌握一元二次方程根的判别式的情况是解题的关键．

解题思路：根据一元二次方程有实数根，可知b 2－4ac ≥0，可得关于m 的不等式，求解即可．

解答过程：因为一元二次方程有实数根，所以b 2－4ac ≥0，

所以4－4m ≥0．解得m ≤1．

故选B ．

规律总结：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当b 2－4ac >0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac<0时，一元二次方程没有实数根；当b 2－4ac ≥0时，一元二次方程有实数根，反之也成立．

关键词：一元二次方程 判别式

4. （2012湖南株洲，7，3分）已知关于x 的一元二次方程2

0x bx c -+=的两根分别为121,2x x ==-，则b 与

c 的值分别为（ ）

A ．1,2b c =-=

B ．1,2==-b c

C ．1,2==b c

D ．1,2b c =-=-

考点解剖：考查一元二次方程解的应用．方程的解即是使方程左右两边相等的未知数的值，因此，已知方程解，可以直接把未知数用这个值代入，得一新的方程，可求字母参数的值，因此，这也是命题的重要知识点．

解题思路：思路一：本题可把两个根直接代入原方程，列出方程组，求出b 、c ；思路二：也可利用一元二次方程的根与系数的关系直接求，两相比较，第二种思路简单．

解答过程：根据要根与系数的关系有：1(2)()1(2)b c

+-=--???-=?，所以b =–1，c =–2，故选D

规律总结：（1）方程的解适合方程，即把解代入方程，方程成立（2）一元二次方程根与系数的关系是简便解题常用的方法．

关键词：方程解的应用、一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系 方程思想

5. （2012江苏淮安，7，3分）方程x 2-3x=0的解为（ ）

A ．x=0

B ．x=3

C ．x 1=0，x 2=-3

D ．x 1=0，x 2=3

考点解剖：本题考查了一元二次方程的解法.根据代数式的特点是解题的关键.

解题思路：根据因式分解法将x 2-3x 分解为x(x-3)，则x(x-3)=0，即可求出这个方程的解．

解答过程：解：因为x 2-3x=0，所以x(x-3)=0，所以x=0或x-3=0，所以x 1=0，x 2=3．故选D ．

规律总结：常用一元二次方程的解法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．因式分解法是解一元二次方程的一种特殊方法，它的理论依据是：两个因式积等于0的条件是这两个因式中至少有一个等于0，即若a ·b=0，则a=0或b=0．解法步骤为：①将方程化为0))((=++d cx b ax 的形式；②求0=+b ax 及0=+d cx 的解． 关键词：因式分解法． 6.（2012江西南昌，10，3分）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x －a =0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）

A ．1

B ．－１

C ．

41 D ．4

1- 考点解剖：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．

解题思路：一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个相等实数根，可得Δ=b 2－4ac =0，把一元二次方程x 2+2x －a =0各项系数代入判别式，得到关于a 的方程，即可求解．

解答过程：∵一元二次方程x 2+2x －a =0有两个相等的实数根，∴Δ＝22－4×1×（－a ）=0，即4+4a =0，解得a =－1．故选B ．

规律总结：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0），Δ=b 2－4ac =0，Δ＞0<=>方程ax 2+bx +c =0有两个不等实数根；Δ=0<=>方程ax 2+bx +c =0有两个相等实数根；Δ＜0<=>方程ax 2+bx +c =0没有实数根．

关键词：一元二次方程，根的判别式，待定系数法． 7. （2012内蒙古呼和浩特，5，3分）已知：1x 、2x 是一元二次方程022

=++b ax x 的两根，且321=+x x ，121=x x ，则b a 、的值分别是（ ）

A.1,3=-=b a

B. 1,3==b a

C. 1,23-=-=b a

D. 1,2

3=-=b a 考点解剖：此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系式是关键.

解题思路：根据一元二次方程根与系数的关系可得到关于a ，b 的方程，求解即可得到答案.

解答过程： 解：根据一元二次方程根与系数的关系可知：3221=-=+a x x ，121==b x x ，所以1,23=-

=b a ，故选择答案D.

规律总结：若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根分别为1x 与2x ，则有a b x x -=+21，a

c x x =21，注意它的前提条件是方程必须要有两个实数根，否则不能成立.

关键词：一元二次方程 一元二次方程的判别式 一元二次方程根与系数的关系

8. （2012山东临沂，7，3分）用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝5时，此方程可变形为( )

A .( x ＋2)2＝1

B .( x －2)2＝1

C .( x ＋2)2＝9

D .( x

－2)2＝9

考点解剖：本题主要考查了配方法．将一个二次式配方的关键是当二次项系数为1时，添加上一次项系数一半的平方这个常数项．配方法是我们分解因式和解一元二次方程的重要方法．

解题思路：由于方程左边关于x 的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可． 解答过程：解：∵ x x 42-=5，∴x x 42-+4=5+4，∴2)2(-x =9．故选D ．

规律总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

关键词：配方法． 9.（2012烟台，8，3分）下列一元二次方程两实数根和为－4的是

A.x 2＋2x －4＝0

B.x 2－4x ＋4＝0

C.x 2＋4x ＋10＝0

D.x 2＋4x －5＝0

考点解剖：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式，正确解题的关键在于不要忽视根的判别式的作用.

解题思路：先利用根的判别式判断方程是否有解，进行初步判断，再利用根与系数的关系求出两根之和 解答过程：设x 1，x 2是方程ax 2＋b x ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，则

A. ⊿>0， x 1＋x 2＝－2

B. ⊿> 0， x 1＋x 2＝4

C. ⊿＜0 ，方程无解

D. ⊿>0 ， x 1＋x 2＝－4， 只有D 符合要求，故选D.

答案：D

规律总结：在运用根与系数的关系解题时，要首先判断方程是否有实根，当⊿≥0时方程有实数根，x 1＋x 2＝a b -；当⊿＜0时方程无实数根，根与系数的关系无法运用.

关键词：一元二次方程 根的判别式 根与系数的关系

10. （2012四川广安，8，3分）已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的

取值范围是（ ）

A ．a >2

B ．a <2

C ．a <2且a ≠1

D ．a <－2

考点解剖：本题考查了一元二次方程根的判别式的知识，根的判别式是判断方程根的情况．

解题思路：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a －1不为0．

解答过程：解：由△＝4－4（a －1）＞0且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1．选C ．

规律总结：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当b 2－4ac >0时，一元二次方程有两个不相等的实根；当当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数；当b 2－4ac <0时，一元二次方程没有实根．反之也成立．若方程有实数根，则b 2－4ac ≥0．由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0．因此本题还是一道易错题．

关键词：二元一次方程根的判别式

11. (2012河北，8，3分)用配方法解方程x 2+4x +1＝0，配方后的方程是

A ．(x +2)2＝3

B ．(x －2)2＝3

C ．(x －2)2＝5

D ．(x +2)2＝5

考点解剖：本题考查了等式的性质和配方法，解题的关键正确理解等式的性质，并熟练掌握配方法的意义和一般方法．

解题思路：方法一：在方程的两边同时加上3，使方程的一边化为完全平方式；方法二：也可以先将方程中的常数项移至方程的另一边，再在方程的两边同时加上4．

解答过程：方法一：在方程的两边同时加上3，得x 2+4x +4＝3，即：(x +2)2＝3；方法二：也可以先将方程中

的常数项移至方程的另一边，得得x 2+4x ＝－1，再在方程的两边同时加上4，得得x 2+4x +4＝－1+4，即：(x +2)

2＝3．