15.3.1 乘法公式1

平方差公式

教学目标

1.经历探索平方差公式的过程,进一步发展符号感和推理能力。

2.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单计算。

3.认识平方差及其几何背景,使学生明白数形结合的思想。

4.在合作、交流和讨论中发掘知识,并体验学习的乐趣。

5.培养学生灵活运用知识、勇于探求科学规律的意识。

教学重点:体会公式的发现和推导过程,理解公式的本质,并会运用公式进行简单的计算。 教学难点:从广泛意义上理解公式中的字母含义,具体问题要具体分析,会运用公式进行计算。

教学准备

1.为每位学习准备一张正方形纸片(边长为15cm )。

2.教师准备两张正方形(一大一小)纸板和三块矩形纸板。

3.多媒体课件。

教学流程

一、创设问题情境,引导学生观察、设想。

教师发给每个学生一张正方形纸片(边长15cm ),并用多媒体课件与正方形纸板显示正方形。

师:在一块45cm 的正方形纸板上,因为工作的需要,中间挖去一块边长为15cm 的正方形(如图),请问剩下部分的面积有多少平方厘米?

15.3.1  乘法公式1

小组讨论:

1.可以用大正方形面积减去小正方形面积得到。

2.可以把剩下的部分切割成几个矩形来计算。

师:从今天的问题来看,用哪一种方法比较好?你们小组能列出算式吗?

或许有学生能迅速列出算式,得出答案是1800平方厘米。

师:为了容易理解,我现在把小正方形放在大正方形的角落(如图)。

师:刚才我们说过计算面积的方法不止一种,我们现在试着用分割的方法来计算面积。请参照老师的做法,先在你们的纸上画一条虚线,然后把刚才画的小正方形剪下来(或撕去),就像要挖去这部分一样,再沿虚线把小长方形剪下来,并把小长方形拼到大长方形的一边,刚好又变成一个新的长方形(如图)。

15.3.1  乘法公式1

30 15 300

15.3.1  乘法公式1

师:若按照我们刚开始的题目要求,现在新的大长方形的长、宽各是多少?它的面积又是多少呢?

生:大长方形的长是(45+15)cm ,宽是(45-15)cm 。

长方形的面积=(45+15)×(45-15)=60×30=1800(平方厘米)。

师:还记得两种方式的列式吗?

生:第一种方法的式子是 452-152,

第二种方法的式子是(45+15)×(45-15)。

师:两个式子都能求出剩下的面积,它们之间有什么关系呢?

生:相等。

二、交流对话,探求新知。

看谁算得快:

(1)(x +2)(x -2)

(2)(1+3a )(1-3a )

(3)(x +5y )(x -5y )

(4)(-m +n )(-m -n )

师:你们能发现什么规律?

师:再想想看,如果今天的题目换成:“在一块边长为a 厘米的正方形纸板上,因为工作的需要,中间挖去一块边长为b 厘米的小正方形,请问剩下的面积有多少?”我们该怎样列代数式来表示?

生:我们可以用a 2-b 2来表示剩下的面积。

师:还有没有别的方法?

生:也可以用(a+b )(a-b )来表示剩下的面积。

师:今天我们除了要找一个比较方便的方法来求面积外,更重要的是我们能从图形中了解到

(a+b )(a-b )= a 2-b 2这个性质。上一节课我们已经学过多项式的乘法,你能利用计算多项式乘法

的方法,把(a+b )(a-b )的答案计算出来吗?

师:为了节省计算时间,我们(a+b )(a-b )= a 2-b 2作为公式来运用,把这个公式称为“平

方差公式”。

平方差公式:(a+b )(a-b )= a 2-b

2 师:哪一位同学能用语言叙述一下平方差公式?

生:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差。

三、运用新知,体验成功。

1.例1 计算:

(1)(a+3)(a-3)

(2)(2a+3b )(2a-3b )

(3)(1+2c )(1-2c )

(4)11()()44x y x y ---+

解:(1)原式=a 2-32=a 2-9

(2)原式=(2a)2-(3b)2=4a 2-9b

2 (3)原式=12-(2c)2=1-4c 2 (4)原式=222211()416

x y x y --=- 2.巩固深化,拓展思维。 计算:

(1)(2x+3)(2x-3)

(2)(-2x+y )(2x+y )

(3)(-x +2)(-x -2)

(4)(y-x )(-x-y )

说明:在练习时,要特别注意公式的变式训练。讲解时要紧扣公式的特征,找出相等的

“项”和符号相反的“项”,然后用公式。

3.例2 计算:1998×2002。

分析:这是一个数字计算问题,让学生分组讨论如何利用平方差公式进行计算。

在本例教学时不能仅仅着眼于应用公式的化简与计算,要让学生感受构造数学“模型”的乐趣。

4.练习,简便计算:

(1)498×502 (2)999×1001

5.例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪,经统一规划后,南北向要加长2米,而东西向要缩短2米。问改造后的长方形草坪的面积是多少?

(首先要列出表示面积的代数式。)

解:(a+2)(a-2)= a2-4

答:改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米。

6.练习

用一定长度的篱笆围成一个矩形区域,小明认为围成一个正方形区域面积最大,而小亮认为不一定。你认为如何?

四、课堂小结。

1.通过本节课的学习活动,你们认识了什么?是否还有不明白的地方?

2.什么样的式子才能使用平方差公式?记住公式的特点。

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