初一数学讲义(学生版) - 初一数学基础知识讲义

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2、 绝对值的意义：. (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的 ... 初一

第一讲 和绝对值有关的问题

一、 知识结构框图：

二、 绝对值的意义：

(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；

③零的绝对值是零。

也可以写成： ()()()

||0a a a a a a ???

=??-??当为正数当为0当为负数

三、 典型例题

例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：

则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b

例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）

A ．是正数

B ．是负数

C ．是零

D ．不能确定符号

例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；

（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．无穷多个 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．

()()()()()()

1111

112220072007ab a b a b a b ++++

++++++

例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：

（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离

可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ .

第二讲：代数式的化简求值问题

一、知识链接

1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容. 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化

3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。

二、典型例题

例1．若多项式(

)

x y x x x mx 5378522

2

2

+--++-的值与x 无关，

求()[]

m m m m +---45222的值.

例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式63

5-++cx bx ax 的值。

例3．当代数式532

++x x 的值为7时,求代数式2932

-+x x 的值.

例4． 已知012

=-+a a ，求200722

3

++a a 的值.

例5．（实际应用）A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？

例6．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bc

bc

ac ac ab ab c c b b a a x +

++++=

， 则 12

3+++cx bx ax 的值是_______ 。

例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在

射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…． （1）“17”在射线 ____上，

“2008”在射线___________上．

（2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的 代数式表示为__________________________．

A B

D

C E

F

O 1 7 2 8 3

9 4 10 5

11 6 12

例8． 将正奇数按下表排成5列:

第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9

第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25

根据上面规律，2007应在

A ．125行,3列 B. 125行,2列 C. 251行,2列 D . 251行,5列

例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，

结果为k n 2（其中k 是使k

n

2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：

若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________．

第三讲：与一元一次方程有关的问题

一、典型例题

例1．若关于x 的一元一次方程2332

x k x k

--+=1的解是x=-1，则k 的值是（ ） A ．27 B ．1 C ．-13

11

D ．0

例2．若方程3x-5=4和方程03

31=--x

a 的解相同，则a 的值为多少？

例3.（方程与代数式联系）

a 、

b 、

c 、

d 为实数，现规定一种新的运算 bc ad d c b a -=.

（1）则2121-的值为 ；（2）当

185

)1(4

2

=-x 时，x = .

26

13

44

11 第一次

F ② 第二次

F ① 第三次

F ② …

例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面

高为h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）

A ．

b a a + B ．b a b + C ．h a b + D ．h a h

+

例5． 小杰到食堂买饭，看到A 、B 两窗口前面排队的人一样多，就站在A 窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A 窗口队伍转移到B 窗口后面重新排队，将比继续在A 窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。

（提示）题中的等量关系为：小李在A 窗口排队所需时间=转移到B 窗口排队所需时间+

2

1

课外知识拓展：

一、含字母系数方程的解法：

思考：b ax =是什么方程？

在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a ≠0，所以b ax =不是一元一次方程 我们把它称为含字母系数的方程。 例6．解方程b ax =

例7．问当a 、b 满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx ：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。 例 8． 解方程11x x a b

a b ab

--+-=

二、含绝对值的方程解法

例9． 解下列方程523x -=

例10． 解方程

215

13

x --= 例11． 解方程 121

x x -=-+ 不考虑瓶子的厚度.

第四讲：图形的初步认识

基本要求：

1．如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（ ）

A ．①②③

B ．②③④

C ．①③④

D ．①②④

较高要求：

2．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的 一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是( ) A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 10

3．一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对 两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c= （ ） A ．40 B.38 C.36 D. 34

4．下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ ）

9．下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是( )

A ．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C ．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 13．对右面物体的视图描绘错误的是 （ ）

（四）新颖题型

16. 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为 .

1

2

3

6 4

5

c 84

25b

a

A ．

B ．

C ． D

．

第五讲：线段和角

一、知识结构图

直线

线段

直线性质

射线

线段的比较和画法

线段的中点

线段性质

两点间的距离

角

角的分类

角的比较、度量和画法

相关角

角平分线 平角 直角 锐角 周角

钝角

余角和补角

定义

性质

同角（或等角） 的补角相等

同角（或等角） 的余角相等

二、典型问题：

（一）数线段——数角——数三角形

问题1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？

问题2．如图，在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ，则图中小于平角的角共有（ ）个 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

拓展： 在∠AOB 内部从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？

（二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义：

文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点

图形语言：M

B

A

几何语言： ∵ M 是线段AB 的中点 ∴ 1

2

AM BM AB ==

，22AM BM AB == 典型例题：

1．由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ ）

（A ）AP=

21AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=2

1

AB 2．若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AC AB 2

1

=；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ．

其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

3．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ．

4．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（ ）

A 2（a-b ）

B 2a-b

C a+b

D a-b （三）与角有关的问题

1． 已知：一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=600，∠B OC =200，

则∠A OC =____________度（分类讨论）

2． A 、O 、B 共线，OM 、ON 分别为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线，猜想∠ MON 的度数，试证明你的结论．

3．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF

∠，

求BOD ∠的度数．

4．如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， （1）若∠A = 60°，求∠O ；

（2）若∠A =100°，∠O 是多少？若∠A =120°，∠O 又是多少？ （3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三角形的内角和等于180°）

5．如图，O 是直线AB 上一点,OC 、OD 、OE 是三条射线,则图中互补的角共有（ B ）对 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

6．互为余角的两个角 （ ）

（A ）只和位置有关 （B ）只和数量有关

（C ）和位置、数量都有关 （D ）和位置、数量都无关

7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ ）

A.12（∠1＋∠2）

B.12∠1

C.12（∠1－∠2）

D.1

2

∠2 A

D

B

M

C

N

A

B

C

N

M O

D

C

B

A

F

E

D

C

B

A

第六讲：相交线与平行线

一、知识框架

相交线

两条直线相交

邻补角、对顶角

对顶角相等

两条直线被第三条直线所截

同位角、内错角、同旁内角

平行线

平行公理

平 移

判 定

性 质

垂线及性质 点到直线的距离

二、典型例题

1.下列说法正确的有( )

①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图所示,下列说法不正确的是( )

A.点B 到AC 的垂线段是线段AB;

B.点C 到AB 的垂线段是线段AC

C.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;

D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 3.下列说法正确的有( )

①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ ）

A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30°

B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130°

D

C

B

A

A B

1 E

F 2 C

P

D

l 3

l 2l 1 O

3

4l 3

l 2l 11

2 C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130° D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130°

5．如图，若AC ⊥BC 于C ，CD ⊥AB 于D ，则下列结论必定成立的是（ ） A. CD>AD B.ACBD D. CD

6．如图,已知AB ∥CD,直线EF 分别交AB,CD 于E,F,EG ?平分∠BEF,若∠1=72°,

则∠2=______.

7．如图,AB ∥EF ∥CD,EG ∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( ) ?A.6个 B.5个 C.4个 D.3个

8．如图，直线l 1、l 2、l 3交于O 点，图中出现了几对对顶角，若n 条直线相交呢？ 9. 如图，在44?的正方形网格中，321∠∠∠，，的大小关系是_________．

10. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想)

12．如图，若AB//EF ，∠C= 90°，求x+y-z 度数。

13．已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012

， 求证：∠=∠E F

1

2

3

第七讲：平面直角坐标系

一、知识要点：

1、特殊位置的点的特征

（1）各个象限的点的横、纵坐标符号

（2）坐标轴上的点的坐标：x 轴上的点的坐标为)0,(x ,即纵坐标为0;

y 轴上的点的坐标为),0(y ，即横坐标为0;

2、具有特殊位置的点的坐标特征 设),(111y x P 、),(222y x P

1P 、2P 两点关于x 轴对称?21x x =，且21y y -=; 1P 、2P 两点关于y 轴对称?21x x -=，且21y y =; 1P 、2P 两点关于原点轴对称?21x x -=，且21y y -=。

3、距离

（1）点A ),(y x 到轴的距离：点A 到x 轴的距离为|y |；点A 到y 轴的距离为|x |； （2）同一坐标轴上两点之间的距离：

A )0,(A x 、

B )0,(B x ，则||B A x x AB -=；A ),0(A y 、B ),0(B y ，则||B A y y AB -=；

二、典型例题

1、已知点M 的坐标为（x ，y ），如果xy<0 , 则点M 的位置( ) (A)第二、第三象限 (B)第三、第四象限 (C)第二、第四象限 (D)第一、第四象限

2．点P （m ，1）在第二象限内，则点Q （-m ，0）在（ ）

A ．x 轴正半轴上

B ．x 轴负半轴上

C ．y 轴正半轴上

D ．y 轴负半轴上 3．已知点A （a ，b ）在第四象限，那么点B （b ，a ）在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 4．点P （1，-2）关于y 轴的对称点的坐标是（ ） A ．（-1，-2） B ．（1，2） C ．（-1，2） D ．（-2，1）

5．如果点M （1-x ，1-y ）在第二象限，那么点N （1-x ，y-1）在第 象限， 点Q （x-1，1-y ）在第 象限。

7．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别为（0，0），

A 9

A 10A 5

A 4A 7A 6

A 8

A 3A 2

A 1

o

y

x

（5，0），（2，3）则顶点C 的坐标为（ ）

A ．（3，7）

B ．（5，3）

C ．（7，3）

D ．（8，2） 8．已知点P （x , x ），则点P 一定 （ ）

A ．在第一象限

B ．在第一或第四象限

C ．在x 轴上方

D ．不在x 轴下方

9．已知长方形ABCD 中，AB=5，BC=8，并且A B ∥x 轴，若点A 的坐标为（－2，4），则点C 的坐标为____________________________________________________________________。

10．三角形ABC 三个顶点的坐标分别是A （-4，-1），B （1，1），C （-1，4），将三角形ABC 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ） A ．（2，2），（3，4），（1，7） B ．（-2，2），（4，3），（1，7） C ．（-2，2），（3，4），（1，7） D ．（2，-2），（3，3），（1，7） 11．“若点P 、Q 的坐标是（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则线段PQ 中点的坐标为（

122x x +12

2

y y +，）．”

已知点A 、B 、C 的坐标分别为（-5，0）、（3，0）、（1，4），利用上述结论求线段AC 、BC 的中点D 、E 的坐标，

并判断DE 与AB 的位置关系．

13．如图，三角形AOB 中，A 、B 两点的坐标分别为（-4，-6），

（-6，-3），求三角形AOB 的面积 ．

14．如图，四边形ABCD 各个顶点的坐标分别为 （–2，8），（–11，6），（–14，0），（0，0）。 （1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的?

（2）如果把原来ABCD 各个顶点纵坐标保持不变，

横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？

15．如图，已知A 1(1,0)、 A 2（1，1）、A 3（-1，1）、A 4（-1，-1）、 A 5（2，-1），…，则点A 2007的坐标为______________________.

21

D A

C B 第八讲：与三角形有关的线段

一、相关知识点

1．三角形的边

三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边

即：△ABC 中，a+b>c,b+c>a,c+a>b （两点之间线段最短） 由上式可变形得到： a>c －b ，b>a －c ，c>b －a 即有：三角形的两边之差小于第三边

2． 高:由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 3． 中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线 4． 角平分线：三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线.

二、典型例题

（一）三边关系

1．已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么a 的取值范围是( ) A.1

2．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m 和5m 的木棒。如果要求第三根木棒的长度是整数小颖有几

种选法？可以是多少？

3：已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线 求证：AD+BD>

1

2

（AB+AC ）

（二）三角形的高、中线与角平分线

问题：（1）观察图形，指出图中出现了哪些高线？ （2）图中存在哪些相等角？ 注意基本图形：双垂直图形

4．如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ， 垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （∠C 除外）相等的角的个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

5．如图，⊿ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ， DF ⊥CE ，求∠CDF 的度数。

2

1

A

B

C

D

6．⊿ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O 。

（1）若∠ABC = 40°，∠ACB = 50°，则∠BOC = 。 （2）若∠ABC +∠ACB =116°，则∠BOC = 。 （3）若∠A = 76°，则∠BOC = 。 （4）若∠BOC = 120°，则∠A = 。 （5）你能找出∠A 与∠BOC 之间的数量关系吗？

8．已知: BE, CE 分别为 △ABC 的外角 ∠ MBC, ∠NCB 的角平分线, 求: ∠E 与∠A 的关系

9．已知: BF 为∠ABC 的角平分线, CF 为外角∠ACG 的角平分线,

求: ∠F 与∠A 的关系

D C

B E

A

E

D

C B A

D

E C

B A

第九讲：与三角形有关的角

一、相关定理

（一）三角形内角和定理：三角形的内角和为180° （二）三角形的外角性质定理：

三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和 三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 （三）多边形内角和定理：n 边形的内角和为（n-2）*180° 多边形外角和定理：多边形的外角和为360°

二、典型例题

1．如图,在△ABC 中,∠B=∠C,∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED,求∠CDE 的度数.

2．如图：在△ABC 中，∠C >∠B ，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC 求证：∠EAD ＝

1

2

（∠C －∠B ）

3．已知：CE 是△ABC 外角∠ACD 的角平分线，CE 交BA 于E 求证：∠BAC>∠B

4．多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350°，求多边形的边数。

5．科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图4中的 步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ）

A. 6米

B. 8米

C. 12米

D. 不能确定

第十讲：二元一次方程组

一、相关知识点

1、 二元一次方程的定义：

经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。

2、二元一次方程的标准式： ()00,0ax by c a b ++=≠≠

3、 一元一次方程的解的概念：

使二元一次方程左右两边的值相等的一对x 和y 的值，叫做这个方程的一个解。

4、 二元一次方程组的定义：

方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。 5、 二元一次方程组的解：

使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

二、典型例题

1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）

Ａ．123x y =??+=?，． Ｂ．10x y x y +=??-=?，． Ｃ．10x y xy +=??=?，．Ｄ．21y x x y =??-=?，．

2．有这样一道题目：判断31x y =??=?，是否是方程组2502350

x y x y +-=??

+-=?，的解？ 小明的解答过程是：将3x =，1y =代入方程250x y +-=，等式成立．所以31x y =??=?，是方程组2502350

x y x y +-=??

+-=?，的解．

小颖的解答过程是：将3x =，1y =分别代入方程250x y +-=和2350x y +-=中，得250x y +-=，

2350x y +-≠．所以31x y =??=?，不是方程组2502350

x y x y +-=??+-=?，

的解．

你认为上面的解答过程哪个对？为什么？

3．若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=1；y=kx-9有公共解，那么k 的取值应是（ ） A 、k=-4 B 、k=4 C 、k=-3 D 、k=3

4．解方程组()

()

6310

132100

2m n m n -+=???

+-=?? 5．已知方程组??

?=+=-9.30531332b a b a 的解是???==2.13.8b a ，则方程组()()()()???=-++=--+9

.30152313

1322y x y x 的解是（ ）

A ．???==2

.13

.8y x B ．???==2.23.10y x C ．???==2.23.6y x D ．???==2.03.10y x

6．45

13453x y x y ?+=????-=??

7．解方程组()

()

:3:21353

2x y x y =???

-=?? 8．解三元一次方程组

(1)

(2)(3)++=??

-=-??+=+?

x 2y z 8x y 1x 2z 2y 3 9．字母系数的二元一次方程组。当a 为何值时，方程组21

33ax y x y +=??+=?

有唯一的解

11．为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A 、B 两套楼房，A 套楼房在第3层楼，B 套楼房在第5层楼，B 套楼房的面积比A 套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房价相同。第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍。为了计算两套楼房的面积，小亮设A 套楼房的面积为x 平方米，B 套楼房的面积为y 平方米，根据以上信息列出下列方程组，其中正确的是（ ） A ．??

?=-=241.19.0x y y x B ．???=-=249.01.1y x y x C ．???=-=241.19.0y x y x D ．?

??=-=249.01.1x y y

x

12．某水果批发市场香蕉的价格如下表：

购买香蕉数 （千克） 不超过20千克

20千克以上但不超过

40千克 40千克以上

每千克价格

6元 5元

4元 张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付出264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？

第十一讲：一元一次不等式

一、知识链接：

1．不等式的基本性质

性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。 若a>b ，则a+c>b+c （a-c>b-c ）。

性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 若a>b 且c>0，则ac>bc 。

性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 若a>b 且c<0，则ac

2．同解不等式：如果几个不等式的解集相同，那么这几个不等式称为同解不等式。

3．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式，未知数的次数是1，系数不为0. 4.一元一次不等式的标准形式 ：0ax b +>（0a ≠）或0ax b +<（0a ≠）。 5．一元一次不等式组的解集确定

若a>b 。即“大大取大” “小小取小” “大小小大取中间” “大大小小取不了”

二、典型例题：

1．下列关系不正确的是（ ）

A ．若b a >，则a b <

B ．若b a >，c b >，则c a >

C ．若b a >，d c >，则d b c a +>+

D ．若b a >，d c >，则d b c a ->- 2．已知y x >且0

A ．y x >-

B ． y a x a 2

2> C ．a y a x +-<+- D ．y x ->

3．下列判断不正确的是（ ）

A ．若0>ab ，0

B ．若0>>b a ，则b

a 11< C ．若0>a ，0<

b ，则0<-b b a D ．若b a <，则b

a 1

1> 4．若不等式ax ＞b 的解集是x ＞a

b

，则a 的范围是（ ）

A 、a≥0 B、a≤0 C、a ＞0 D 、a ＜0 5．解关于x 的不等式 ()2355mx m x

m ->+≠

6．解关于x 的不等式()21a x a -<+。 7

．若不等式()21350m x x x ->+-<和是同解不等式，求m 的值。

8．不等式组???≥-->+0

21

372x x x 的解集为________________.

9．若不等式组841

x x x m

+<-??

≥?的解是x>3，则m 的取值范围是（ ）

A ．3m ≥

B ．3m ≤

C ．3m =

D ．3m <

10． 关于x 的不等式组23(3)1324

x x x x a <-+??

?+>+?? 有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）

A ．11542a -<≤-

B ．11542a -≤<-

C ．11542a -≤≤-

D ．115

42

a -<<-

11．已知关于x 、y 的方程组21

21

x y a x y a -=+??+=-?的解适合不等式21x y ->，求a 的取值范围.

12．解下列不等式（1）5x ≤ （2）2x >

思考题：解下列含绝对值的不等式。 （1）213x -< （2）

21

43

x -≥

第十二讲：一元一次不等式（组）的应用

一、典型例题

1．m 取什么样的负整数时，关于x 的方程1

12

x m -=的解不小于－3.

2．已知x 、y 满足()2

2210x y a x y a -++--+=且31x y -<-，求a 的取值范围.

3．比较2

31a a -+和2

25a a +-的大小

4．若方程组 的解为x 、y ，且2

5．若2(a -3)＜

32a -，求不等式()5

4-x a ＜x -a 的解集

6．阅读下列不等式的解法，按要求解不等式.

七年级上学期复习资料--数学计算题150道

一高初中部2017-2018级七12班上学期复习资料数学计算题150道整理人：陈佳宁计算题 1. 计 2. 解方 程： （2） （3） 3. 计 4. 计 5. 计算与化简（每题4分，共计12 （1） （2） （3） 6. 计 （1） （2） 7. 计 算： （2） 8. 计 9. 计 10. 计算 题： （2）

（3） 11. 脱式计算（能简算的要简 （1） （2） （3） （4） 12. （2） 13. 计算下列各 题 （2） （3） 14. 计 15. 计 16. 计 17. 计 （1） （2） 18. 计 （1） （2）

19. 计算：| 20. 计 算： （2） （3） （4） 21. 计 算： （2） 22. 计 23. 计 24. 计 （1）（2）25. 计 （1） （2） 26. 计 27. 计 28. 计 29. （1）计算： （2）用简便方法计算： 30. 计

31. 计算： （1） （3） 32. 计算： （2） （3） （4）33. 计 （1） （2）34. 计 （1） （2） （3） 35. 计 36. 计算： （1） （3） （4）37. 计 （1） （2）

38. 计 39. 计 算： （2） 40. 计 算： （2） 41. 计 算： （2） （3） （4） 42. 计 算： （2） 43. 计 算： （2） 44. 把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来。 ，，，，。 45. （2） （3） （4） 46. 计

（1） （2） 47. 计 48. （1）计 （2）计算： （3）计算： （4）计算： 49. 把下列各数填入相应的大括号 、、正数：、、、、、、 。 。 负数：整数：非负数：负分数：。。 。 。 50. 计 51. 下面各题怎样简便就怎样算。 （2） （3） （4） （5） （6） 52. 计 53. 计 54.

2015初中数学基础知识讲义—有理数

一、正数和负数的定义 0的数叫做正数。根据需要有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写。 -”的数叫做负数。负数前面的负号“-”不能省略。 eg ：-a 不一定是负数，因为字母a 可以表示任何数，当a 是正数时，-a 是负数；当a 表示负数时，-a 则是一个正数，而不是负数；当a 表示0时，-a 就是在0前面加上一个负号，仍是0,0不分正负。 (2)具有相反意义的量 正数和负数表示具有相反意义的量。若用正数表示某种意义的量，则负数就表示与其相反的量，反之亦然。 常见的表示相反意义的量：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、升高和下降。 (3)0的意义（重点理解）0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。0的意义已经不仅是表示“没有”。 1、(2013山东德州)－1, 0， 0.2，7 1 ， 3 中正数一共有 个 2、（2013广西玉林市）既不是正数也不是负数的数是 3、（2013浙江丽水）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（ ） A .－3℃ B .－2℃ C .+3℃ D .+2℃ 4、（2014浙江宁波）杨梅开始采摘啦！每框杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，则这4框杨梅的总质量是（ ） (1)正整数、0 注：（1）正整数、0 （2 （3）对于小数，只有能化成分数的小数才是有理数。 初中数学基础知识讲义—有理数

按数的种类分 按有理数的性质分 有理数? ??? ?????????? ???负分数正分数分数负整数正整数整数0 有理数?? ?????? ?? ?????负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数0 注：（1）有理数的分类必须按同一标准，不漏、不重。（2）0 （3）0（4）0 （5）0 1、下列个数中：13 30.70125 ---，，，，，中负分数有 个；负整数有 个； 自然数有 个 2、（宁波）下列各数是正整数的是（ ） A ．－1 B ．2 C ．0．5 D ． 1 3 3、（上海）如下列分数中，能化为有限小数的是（ ） (A) 13 (B) 15； (C) 17； (D) 1 9 4、（东阳县） 7 3 是（ ） A ．负整数 B ．有理数 C ．整数 D ．负数 三、数轴的概念 (1)规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 (2)数轴的画法（重点） 画数轴时，关键要体现数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 (3)数轴上的点与有理数的关系（重点、难点） 一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个长度单位；表示数-a 的点在原 点的左边，与原点的距离是a 个长度单位。 (4)利用数轴比较大小（重点、难点） 1 、数轴上的数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大 2、有理数大小比较法则：（1）正数都大于0 （2）负数都小于0 （3）正数大于负数 1、如下图所示，数轴中正确的是（ ） 2、（重庆潼南）如图，数轴上A ，B 两点分别对应实数a 、b ， a 、b 的大小关系为 3、（2013江苏泰州市）如图，数轴上的点P 表示的数是－1，将点P 向右移动3个单位长度得B －1 0 1 A C D b A B

七年级数学下学期期末复习计划.doc

七年级数学下学期期末复习计划 七年级数学下学期期末复习计划篇1 一、复习目标：针对全班的学习程度，初步把复习目标定为尽力提高全班学生学习成绩，让优生率达到40%，及格率达到90%，不同层次的学生设定不同的目标，把平均分提高到100分以上。全班学生80%能掌握基础知识，运用基础知识解决实际问题。 二、复习策略：先分后总的复习策略，先按章复习，后汇总复习; 边学边练的策略，在复习知识的同时，紧紧抓住练这个环节; 环节检测的策略，每复习一个环节，就检测一次，发现问题及时解决; 仿真模拟的复习策略，在总复习中，进行几次仿真测试，来发现问题，并及时解决问题，促进学生学习质量的提高。及时总结归纳的策略，对于一个知识环节或相联系的知识点，要及时进行归纳与总结，让学生系统掌握知识，提高能力。 三、复习措施： 1、理清知识脉络：全书按四个环节处理，运用表格形式，把各章的内容并列展示出来，形成系统的知识表，理清各章知识之间的逻辑关系，形成一个清晰的知识脉络，便于学生系统掌握基础知识，把握全书的脉结构。 2、按章节串讲一遍：按全书的章节从前到后再认真解释一遍，在第一轮学习中，没有注视到的，和在学习练习中发现问题的知识环节要仔细地讲一篇，让学生形成更细的更准确的知识点。串讲时，采用边讲边提问的方式进行，这样有助于学生深入思考，认真记忆。 3、抓住重点习题：在串讲的每一个环节之后，一定要做些练习，在备课过程中，把书中或练习册中的重点练习加以强化，发现学生不懂的地方要反复训练，直到掌握为止。对于一些优生要给予较为有难度的练习，而对于一般的学生重点还是基础性的

习题，做到分层对应，有针对性地复习。 4、章节小测：小测在复习中很有必要，能及时巩固复习知识，同时也是发现问题的重要手段，在每天个知识环节之后，都要进行小测，小测要有针对性，让学生掌握什么，掌握到什么程度，达到什么目标。对于一些难以掌握的知识点或一些掌握不好的学生要反复训练，直至掌握为止。 5、难点强化：难点是复习的重点，把书中的难点进行整合归类，通过专项训练和反复练习的方式，把难点的内容温习好。采用个别辅导的形式，对一些有难点的学习进行特殊的训练，特殊的要求，并把难点归类分析，形成习题进行强化性的复习。 6、专项训练：对于一些大部分学生掌握不好的知识点，采取专项讲解和专项训练的方式进行复习，讲解知识点，解答方法，进行专项的测试来完成专项复习的目的。 7、系统强化：主要是通过考试的形式来强化和巩固已学的知识点，整合全章的内容，全面系统地整合知识点，以上级考试文件为准绳，把握新课标，全面考查学生的知识水平，在测试中发现问题要重点进行讲解与训练。 复习是为了更有效地提高学生的知识，拓宽学生的视野，而并非为了考试，所以，复习要全面周到，既能突出重点，又能全面掌握数学基础知识，提高应用数学的能力。使学生在最短的时间内有效提高学习成绩。 七年级数学下学期期末复习计划篇2 由备课组统一整理各章的单元ppt、再由各老师根据每单元的实际情况进行修改，理、归纳各节、板块知识，注意回归教材，通过找规律、抓特点，对所学知识进行归纳和总结，使之条理化和系统化，内化成自己的知识体系，重点概念进行专项复习，扎实掌握基础知识和基本技能。不放过每一个疑点，不遗漏每一个重点，不忽视每一个考点。 二、专项练习强化能力训练，主动查漏补缺。

(完整版)初一数学培优专题讲义

初一数学基础知识讲义 第一讲和绝对值有关的问题 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b

解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x

学而思初一数学春季班第15讲 名校期末试题点拨 目标满分班 教师版

1 初一春季·第15讲·目标满分班·教师版 概念：① 邻补角、② 对顶角；③ 同位角；④ 内错角；⑤ 同旁内角； ⑥ 平行；⑦ 垂直；⑧ 平行线的距离；⑨ 平移． 考点：① 平行与同位角、内错角、同旁内角（性质与判定） ② 平行于同一直线的两直线平行；同一平面内垂直于同一直线的两直线平行． ③ 两点间线段最短及垂线段最短． 【例1】 ⑴ 如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=?，AE 、CF 平分BAD ∠和BCD ∠．求证：AE CF ∥． ⑵ 已知，如图，12180，，，A E B D ∠=∠∠=∠∠+∠=? 求证：AC CE ⊥. (北师大附中期末) 【解析】 ⑴ 由题意得180DAB DCB ∠+∠=?， 典题精练 思路导航 15 名校期末 试题点拨 题型一：相交线与平行线 F E D C B A 21 E B A D C

2 初一春季·第15讲·目标满分班·教师版 ∵AE 、CF 平分BAD ∠和BCD ∠ ∴90EAB FCB ∠+∠=?， 又∵90FCB CFB ∠+∠=?， 得EAB CFB ∠=∠， 故AE CF ∥． ⑵ 过点C 作DE 的平行线CF , ∵180B D ∠+∠=? ∴∥AB DE , ∴∥∥AB CF DE ∴，A ACF E ECF ∠=∠∠=∠ ∵12，，A E ∠=∠∠=∠ ∴12，ACF ECF ∠=∠∠=∠ ∴1 180902 ACE ACF ECF ∠=∠+∠=??=? 即AC CE ⊥. ① 会用坐标表示点，确定点的位置，理解横坐标和纵坐标的意义． ② 知道象限与轴上的点的坐标的特征． ③ 会求已知点关于x 轴、y 轴和原点的对称点坐标． ④ 会求出平移后对应点的坐标． 【例2】 ⑴ 已知点()0P a ，在y 轴的负半轴上，则点() 21Q a a ---，在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （北京四中测试题） ⑵ 已知点()P x y ，，()Q m n ，，如果0x m +=，0y n +=，那么点P ，Q （ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于过点()00，，()11， 的直线对称 ⑶ 将点()21P m n -+，沿x 轴负方向平移3个单位，得到()112P n m -，，则点P 坐标为 . 典题精练 思路导航 题型二：平面直角坐标系 21 F E B A D C

(完整版)初一上册数学总复习资料

初一数学科总复习 第一章有理数 一、知识要点 本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。有理数的概念可以利用数轴来认识、理解，同时，利用数轴又可以把这些概念串在一起。有理数的运算是全章的重点。在具体运算时，要注意四个方面，一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算。 基础知识： 1、正数（position number）：大于0的数叫做正数。 2、负数（negation number）：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 3、0既不是正数也不是负数。 4、有理数（rational number）：正整数、负整数、0、正分数、负分数都可以写成分数 的形式，这样的数称为有理数。 5、数轴（number axis）：通常，用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。 数轴满足以下要求： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度。 6、相反数（opposite number）：绝对值相等，只有负号不同的两个数叫做互为相反数。 7、绝对值（absolute value）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。记做|a|。 由绝对值的定义可得：|a-b|表示数轴上a点到b点的距离。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 8、有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. （3）一个数同0相加，仍得这个数。 加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。表达式：a+b=b+a。 加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。 表达式：（a+b）+c=a+（b+c）

2017年人教版七年级下册数学总复习讲义

第五章相交线与平行线 1、两条直线相交所成得四个角中,相邻得两个角叫做邻补角,特点就是两个角共用一条边,另一条边互为反向延长线,性质就是邻补角互补;相对得两个角叫做对顶角,特点就是它们得两条边互为反向延长线。性质就是对顶角相等。 2、三线八角:对顶角(相等),邻补角(互补),同位角,内错角,同旁内角。 3、两条直线被第三条直线所截: 同位角F(在两条直线得同一旁,第三条直线得同一侧) 内错角Z(在两条直线内部,位于第三条直线两侧) 同旁内角U(在两条直线内部,位于第三条直线同侧) 4、两条直线相交所成得四个角中,如果有一个角为90度,则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线得垂线,她们得交点称为垂足。 5、垂直三要素:垂直关系,垂直记号,垂足 6、垂直公理:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 7、垂线段最短。 8、点到直线得距离:直线外一点到这条直线得垂线段得长度。 9、平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。 推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c 10、平行线得判定: ①同位角相等,两直线平行。②内错角相等,两直线平行。③同旁内角互补,两直线平行。 11、推论:在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。 12、平行线得性质: ①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两直线平行,同旁内角互补。 13、平面上不相重合得两条直线之间得位置关系为_______或________ 14、平移:①平移前后得两个图形形状大小不变,位置改变。②对应点得线段平行且相等。 平移:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定得距离,图形得这种移动叫做平移平移变换,简称平移。 对应点:平移后得到得新图形中每一点,都就是由原图形中得某一点移动后得到得,这样得两个点叫做对应点。15、命题:判断一件事情得语句叫命题。 命题分为题设与结论两部分;题设就是如果后面得,结论就是那么后面得。 命题分为真命题与假命题两种;定理就是经过推理证实得真命题。 用尺规作线段与角 1.关于尺规作图:尺规作图就是指只用圆规与没有刻度得直尺来作图。 2.关于尺规得功能 直尺得功能就是:在两点间连接一条线段;将线段向两方向延长。 圆规得功能就是:以任意一点为圆心,任意长度为半径作一个圆;以任意一点为圆心,任意长度为半径画一段弧。 第六章实数 一、实数得概念及分类 1、实数得分类

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七年级数学（上）知识点 人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章 有理数 一、知识框架 二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统 称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ????? ????负分数负整数负有理数零正分数正整数 正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0) 0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数 大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.

6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是 a 1 ；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）； （3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0 a . 13．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n . 14．乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方； （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法. 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则解决实际问题. 体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要.激发学生学习数学的兴趣，教师培养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学生学习的主体性地位。

初一数学基础知识讲义

第一讲 和绝对值有关的问题 一、 知识结构框图： 二、 绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： ()()() ||0a a a a a a ??? =??-??当为正数当为0当为负数 三、 典型例题 例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()() ()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++ ++++++ 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离 可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ . 第二讲：代数式的化简求值问题 一、知识链接 1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容. 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 二、典型例题 例1．若多项式( ) x y x x x mx 5378522 2 2 +--++-的值与x 无关， 求()[] m m m m +---45222 的值. 例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式63 5-++cx bx ax 的值。 例3．当代数式532 ++x x 的值为7时,求代数式2932 -+x x 的值. 例4． 已知012 =-+a a ，求200722 3 ++a a 的值.

沪科版七年级上册数学期末复习讲义解析

沪科版七年级（上）期末复习讲义

⑴列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系，注意单位统一，注意设未知数； ①解：设出未知数（注意单位）， ②根据相等关系列出方程， ③解这个方程， ④答（包括单位名称，最好检验）。

⑵一些固定模型中的等量关系： ①数字问题：abc表示一个三位数，则有abc=100a+10b+c（数位上的数字×位数） ②行程问题：基本公式：路程=时间×速度 甲乙同时相向行走相遇时：甲走的路程+乙走的路程=总路程 甲乙同时同向行走追及时：甲走的路程－乙走的路程=甲乙之间距离 ③工程问题（整体1）：基本公式：工作量=工作时间×工作效率 各部分工作量之和=总工作量； ④储蓄问题：本息和=本金+利息；利息=本金×利率×时间 ⑤商品销售问题：商品利润=售价－进价（成本价） 商品利润率=（售价－进价）/进价 ⑥等积变形问题：面积或体积不变 ⑦和、差、倍、分问题：多、少、几倍、几分之几 ⑧按比例分配问题：一般设每份为x如：2:3:4为2x、3x、4x ⑨资源调配问题：资源、人员的调配（有时要间接设未知数） （二）、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结） ⑴模型思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想. ⑵方程思想：用方程解决实际问题的思想（如：按比例分配、线段的长、角的大小等）就是方程思想. ⑶转化（归纳）思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式.体现了化“未知”为“已知”的化归思想. ⑷数形结合思想：如：数轴问题、在列方程解决行程问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性. ⑸分类（整体）思想：如：绝对值、偶次方、点在线段上（延长线上、线段外）、角在角内（外）在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用. 3.3二元一次方程组及其解法 ①由两个一次方程组成的，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组 ②消元法解方程组: 1、二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解（注意格式﹛） 2、代入消元法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 3、加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减（左边－左边＝右边－右边）消去一个未知数的方法，叫做加减消元法，简称加减法（一定要使某个未知数的

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精品资料 人教版七年级数学上册期末总复习 第一章有理数 1.有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；π不是有理数； (2)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (3)自然数? 0和正整数； a＞0 ? a是正数； a＜0 ? a是负数； a≥0 ? a是正数或0 ? a是非负数；a≤ 0 ? a是负数或0 ? a是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a、b互为相反数. (4)相反数的商为-1. （5）相反数的绝对值相等 4.绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数； 注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) |a|是重要的非负数，即|a|≥0； 5.有理数比大小： （1）正数永远比0大，负数永远比0小； （2）正数大于一切负数； （3）两个负数比较，绝对值大的反而小； （4）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （5）-1，-2，+1，+4，-0.5，以上数据表示与标准质量的差，绝对值越小，越接近标准。 6.倒数：乘积为1的两个数互为倒数； 注意：0没有倒数；若ab=1? a、b互为倒数；若ab=-1? a、b互为负倒数. 相反数等于本身的数：0 倒数等于本身的数：1，-1 绝对值等于本身的数：正数和0 平方等于本身的数：0,1 立方等于本身的数：0,1，-1. 7. 有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 10 有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零； （3）几个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.奇数个负数为负，偶数个负数为正。

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第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】

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七年级数学上册期末复习资料 （2021最新版） 作者：______ 编写日期：2021年__月__日 -----------3.1一元一次方程及其解法 ①方程是含有未知数的等式。 ②方程都只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的整式方程叫做一元一次方程。 ③注意判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点： 1）未知数所在的式子是整式（方程是整式方程）；

2）化简后方程中只含有一个未知数；（系数中含字母时不能为零） 3）经整理后方程中未知数的次数是1. ④解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。方程的解代入满足，方程成立。 ⑤等式的性质： 1）等式两边同时加上或减去同一个数或同一个式子（整式或分式），等式不变（结果仍相等）。a=b得：a+(－)c=b+(－)c 2）等式两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式不变。 a=b得：a×c=b×c或a÷c=b÷c（c≠0） 注意：运用性质时，一定要注意等号两边都要同时＋、－、×、÷；运用性质2时，一定要注意0这个数。 ⑥解一元一次方程一般步骤：

去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）→去括号→移项→合并同类项→系数化1； 以上是解一元一次方程五个基本步骤，在实际解方程的过程中，五个 步骤不一定完全用上，或有些步骤还需要重复使用.因此，解方程时， 要根据方程的特点，灵活选择方法.在解方程时还要注意以下几点： ⑴去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含 分母的项；分子是一个整体，去分母后应加上括号； 注意：去分母（等式的基本性质）与分母化整（分数的基本性质）是两个概念，不能混淆； ⑵去括号：遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号不要漏乘括号的项；不要弄错符号（连着符号相乘）；

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新概念学校 2015年暑假小升初数学讲义 康佳俊编著 。

第一章 有理数 1.1正数和负数 一、基础知识 1. 像3、2、0.8这样大于0的数叫做正数。（根据需要，有时也在正数前面加正号“+”。） 2. 像-1、-4、-0.6这样在正数前面加负号“-”的数叫做负数。 3. 0既不是正数也不是负数。 4．带有正号的数不一定是正数，同样带有负号的数不一定是负数。 二、知识题库 1． 将下列各数按要求分类填写 5、0.56、-7、0、 29、－3 2 、100、-0.00001 其中是正数的是（ ），是负数的是（ ）。 2．如果水位上升1.2米，记作 1.2 米；那么水位下降0.8米，记作_______米. 3．甲、乙两人同时从A 地出发，如果向南走48m,记作+48m ，则乙向北走32m ，记为 ， 这时甲乙两人相距 m. ． 4.某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在 ℃~ ℃范围内保存才合适． 5．下列说法不正确的是（ ） A 0小于所有正数 B 0大于所有负数 C 0既不是正数也不是负数 D 0可以是正数也可以是负数 6.—a 一定是负数吗？ 7.在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有 的意义． 8．举出2对具有相反意义的量的例子： 9．某地一天中午12时的气温是7℃，过5小时气温下降了4℃，又过7小时气温又下降了4℃，第二天0时的气温是多少？ 10．某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+10，-5，0，+8，-3，又知道记为0的成绩表示90分，正数表示超过90分，则五名同学的平均成绩为多少分 三、直通中考 [2014年济南市中考] “甲比乙大-2岁”表示的意义是（） A 、甲比乙小2岁 B 、甲比乙大2岁 C 、乙比甲大-2岁 D 、乙比甲小2岁 [2014年山东中考] 某市2014年元旦的最高气温为2℃，最低气温为-8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ） A 、-10℃ B 、-6℃ C 、6℃ D 、10℃ 1.1有理数

秋季七年级上数学讲义

七年级数学上学期讲义第二讲授课时间：2017年9月16日授课时段：13:30—15:00 科目：有理数课时：2课时姓名：授课老师：徐老师 教学过程（内容）备注 例1.下列各对数中，互为相反数的是() A.＋(－8)和－8B．－(－8)和－|－8| C．－(－8)和|＋8|D．－(＋8)和－|－8| “一号一用”，即某个“－”号定为某种用途后，这个“－”号就不能再作他用． 例2.比较两个数的大小：﹣﹣．（填“＞”“＜”或“=”） 例3.数轴上的点A表示的数是-2，(1)向右平移3个单位，表示的数是 ___________ （2）与点A相距5个单位长度的点表示的数是________________ 例4.点M在数轴上距原点4个单位长度，将M向右移动2个单位长度至N 点，点N表示的数 例5.已知a=5，|b|=2，则a+b的值 例6.为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，-4，+13，-10，-12，+3，-13． （1）出车地记为0，最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？ （2）若汽车耗油量为0.1升/千米，这天上午汽车共耗油多少升？ 选择题 2．下面两个数互为相反数的是()

A.12和0.2 B.13和－0.333 C.－2.75和324 D.9和－(－9) 3．一天早晨的气温是7-℃，中午的气温比早晨上升了11℃，中午的气温是（） A ．11℃ B ．4℃ C ．18℃ D ．11-℃ 4.如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重 的角度看，最接近标准的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5.已知两个有理数的和为负数，则这两个有理数（） A ．均为负数 B ．均不为零 C ．至少有一正数 D ．至少有一负数 6．规定向北为正，某人走了+5km 后，又继续走了-10km ，那么他实际上（ ） A ．向北走了15km B ．向南走了15km C ．向北走了5km D ．向南走了5km 7.在数轴上与-1距离等于5个单位的点所表示的数是（） A.6 B.4 C.－6 D.4或－6 8．如果0=+b a ，那么a ，b 两个有理数一定是（ ） A ．一正一负 B ．互为倒数 C ．互为相反数 D ．无法确定 9.有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则a 、b 、a -、b 的大小关系正确的是（） A ．b a a b >->> B ．a a b b ->>> C ．a b b a ->>> D ．b a b a >->> 10.下列说法，其中正确的个数为是（） ①正数和负数统称为有理数；②符号相反的两个数互为相反数③a 一定是正数；④a -一定是负数. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 11.非零有理数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，则a b c abc a b c abc +++所有可能的值为（）. A ．0B ．1或－1 C ．2或－2D ．0或－2 二．填空题 1.比较大小：3-1；π-________3.1432-_____34 -, 2.已知420x y -++=，则x ＝_____，y ＝_____

初一数学上册总复习讲义解析

初一总复习 一、有理数 1. 代数式：用运算符号＋ － × ÷ 连接数及字母的式子称为代数式（单独一 个数或一个字母也是代数式） 2.几个重要的代数式：（m 、n 表示整数） （1）a 与b 的平方差是： a 2-b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2 ； （2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ； （3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇 数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n 、n+1 ； 一、有理数 1.有理数： (1)凡能写成)0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数

(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数 把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数? 0和正整数；a ＞0 ? a 是正数；a ＜0 ? a 是负数； a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数；a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是 0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意： 绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为： ?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； (3) 0a 1a a >?= ； 0a 1a a