《数学物理方程》习题参考答案(A)
《数学物理方程》
1.判断方程的类型，并将其化成标准形式：
021222
2=??+??+??y u
y
u y x u . 解：??
?
??==><<>-=-≡?.0,0. ,00,.0,022
112
12时，抛物型当椭圆型时当时，双曲型
当y y y y a a a
①当0 ,0)()(22=+dx y dy 即 ,0])([)(22=--dx y dy 就是 0))((=---+dx y dy dx y dy . 积分之，得 c y x =-±2，此即两族相异的实特征线. 作可逆自变量代换?? ???--=-+=,2, 2y x y x ηξ 则 .1 ,1 ,1 ,1y y y y x x -=??--=??=??=??ηξηξ ,2 ,2222222ηηξξηξηηξξ??+???+??=????+??=????+????=??u u u x u u u y u x u x u ),(1η ξ??+??- -=??u u y y u ). 1 )(2()(121 ] 1)1( 1)1([1)()(12122222222222322y u u u u u y y y u y u y u y u y u u y y u -??+???-??+??+??---=-??+ --???++ -???- --??--+??+??--=??ηηξξ ηξηξηηξξηξ 将这些偏导数代入原方程，得 附注：若令? ??=-?-==0 ,2 ,ηηξξηξu u y x 碰巧（双曲型的另一标准形） ，这是巧合. ②当0>y 时，所给方程为椭圆型，其特征方程为 0)()(22=+dx y dy 即 .0))((=-+dx y i dy dx y i dy 其特征线为 )2 ( 2c ix y c y i x =±=±或. 作可逆自变量代换 ? ? ?==,2 ,y x ηξ 则 , 1 , 0 , 0 ,1y y y x x =??=??=??=??ηξηξ , 1 , η ξ??=????=??u y y u u x u . 1121 , 2 2222222ηηξ??+??-=????=??u y u y y y u u x u 将这些偏导数代入原方程，得 , 021212222=??+??+??-??η ηηξu y u u y u , 0 2222=??+??∴ηξu u 此即（0>y 时）所求之标准形. ③0=y 时，原方程变为 , 02122=??+??y u x u 已是标准形了（不必再化）. 2.化标准形： . 0222222222222=???+???+???+???+??+??t z u t x u z x u y x u z u x u 解： u Lu )2222(434131212 321δδδδδδδδδδ+++++≡. 这是 ?????? ???? ? ??????????=?????? ? ??=t z y x 4321δδ δδδ 的二次型，于是 , u A Lu T δδ= 其中 01 011 1010001 1111?????? ? ? ?=A 为实对称矩阵.则?可逆矩阵M ，使 T MAM B = 为对角形. 令 , 'δδT M = 其中 , '4'3'2'1''''' ??????? ??=????????? ? ? ??????????=δδδδδt z y x 则 u B u MAM Lu T T T '''')()(δδδδ==. M 的找法很多，可配方，可从矩阵入手等. 取 ,1100011000 1100011-=??? ???? ??---=N M , 10 001100111011 11)(1?????? ? ? ?==-T T M N . , 1 ''''''?? ????? ??===? ????? ? ??==-t z y x M MX X N t z y x X N T δδ 则 . )( )( 2222'2'2'2'2' ''t u z u y u x u u B u MAM u A Lu T T T T ??-??+??-??====δδδδδδ 这是超双曲型方程的标准形式. 习题二 1.决定任意函数法： (1).求解第一问题(0))(0) ( ). (),( , 002ψ?ψ?=??? ??======-x u x u u a u at x at x xx tt . 解：所给方程为双曲型，其特征线为 c at x =±. 令?? ?-=+=, , at x at x ηξ 则可将方程化为 0=ξηu . 其一般解为 )()(),(21at x f at x f t x u -++= （其中21,f f 为二次连续可微函数）. 由定解条件有 )0()0()0()0( ). ()2()0(), ()0()2(212121ψ?ψ?==+??? ?=+=+f f x x f f x f x f . 则 ?? ?? ? -=-=????-=-=).0()2()(),0()2()( ),0()()2(),0()()2(12211221f Y Y f f X X f f x x f f x x f ψ?ψ? 故 )()(),(21at x f at x f t x u -++= ). 0()2()2()]0()0([)2 ()2( 21?ψ?ψ?--++=+--++=at x at x f f at x at x (2).求解第二问题 ))0()0( ( ). (),( ,1010 02????=??? ??=====x u x u u a u t at x xx tt 解：泛定方程的一般解为 )()(),(21at x f at x f t x u -++= 由定解条件有 (0))(0)(0)( ).()()(), ()0()2(021121 021???=+?? ?=+=+f f x x f x f x f x f 则 ),0()2 ()(201f x x f -=? ).0()2 ()()()()(201112f x x x f x x f +-=-=??? 故 )()(),(21at x f at x f t x u -++= ).()2 ()2(100at x at x at x -+--+=??? (3).证明方程 22222)1(])1[(t u h x a x u h x x ??-=??-?? 的解可以写成 )]()([1 ),(21at x f at x f x h t x u -++-= . 由此求该方程满足Cauchy 条件 ???====)(), (0 0x u x u t t t ψ? 的解. 解：令 ),,()(),(t x u x h t x v -= 则 ),(t x v 满足方程 xx tt v a v 2=. )()(),( 21at x f at x f t x v -++=∴. 故 )]()([1 ),(21at x f at x f x h t x u -++-= . 因),(t x v 满足 ??? ??≡-=≡-====), ()()(),()()( ,10002x x x h v x x x h v v a v t t t xx tt ψ??? 由D'Alembert 公式，得 ?+- +-++=at x at x d a at x at x t x v ααψ??)(21 )]()([21),( )]())(()())([(2 1 00at x at x h at x at x h ---+++-=??+αα?αd h a at x at x ?+--)()(211 故 ),(1 ),(t x v x h t x u -= []? ?????-+---+++--=?+-at x at x d h a at x at x h at x at x h x h αα?α??)()(21 )())(()())((211100 即为所求之解. 2.Poisson 公式及应用： (1).若),,,(t z y x u u =是初值问题 ??? ??+=+=>++=== )()( , )()(),0( )(002z y u y g x f u t u u u a u t t t zz yy xx tt ψ? 的解，试求解的表达式. 解：III II I u u u u ++=（线性叠加原理），其中III II I ,,u u u 分别满足如下的初值问题： .0 ),(),0( )(:002I ??? ??==>++===t t t zz yy xx tt u x f u t u u u a u u ).( ),(),0( )(:002II ??? ??==>++===y u y g u t u u u a u u t t t zz yy xx tt ? ).( ,0),0( )(:002III ??? ??==>++===z u u t u u u a u u t t t zz yy xx tt ψ 由Poisson 公式，可得 ????= M at S dS f t a t u ])( 41 [2I ξπ )].()([2 1 ])(21[at x f at x f d f a t at x at x -++=??=?+-ξξ .)(21 )( 41.)(21)]()([21 ])( 41 [)( 412III 22II ????????+-+-==+-++=??+= M at M at M at S at z at z at y at y S S d a d t a u d a at y g at y g dS g t a t dS t a u ζζψζζψπηη?ηπη?π 故 III II I ),,,(u u u t z y x u ++= .)(21 )(2a 1 )]()([21 )]()([21 ??+- +-++-+++-++=at z at z at y at y d a d at y g at y g at x f at x f ζζψηη? (2).求解初值问题 ?? ? ??+==>-+++=== . ,00),(t )(2)(2002yz x u u z y u u u a u t t t zz yy xx tt 解： II I u u u +=，其中 I u ： ?? ? ??+==>++=== . ,0 0),(t )(2002yz x u u u u u a u t t t zz yy xx tt II u ： ??? ??==>-+++=== .0 ,00), (t )(2)(002t t t zz yy xx tt u u z y u u u a u 由poisson 公式，得 322 22I 31)()( 41t a t yz x dS t a u M at S ++=+= ??ηζξπ. 由Duhamel 原理，得 . )( ])(2)( 41 [ );,,,(20 20 II )(t z y d dS t a d t z y x w u M t a S t t -=--==????-τζητπτττ 故 23 22 )(3 1)(),,,(t z y t a t yz x t z y x u -+++= 即为所求. 3.降维法： ??? ??==>++=== .0 ,00),(t ),,()(002t t t yy xx tt u u t y x f u u a u 解：把所给初值问题的解),,(t y x u 看作),,,(t z y x 空间中的函数，即与y x ,平面垂直的直线上的函数值都相等：),,(),,,(* t y x u t z y x u =，则 ),,,(* t z y x u 应形式的满足 ?? ???==>+++=== .0 ,00),(t ),,()(0*0* ***2*t t t zz yy xx tt u u t y x f u u u a u 由推迟势可得 dV r a r t f a t z y x u at r ??? ≤-= ) ,,( 41 ),,,(2 *ηξπ ττηξτπτττηξπττd dS f t a d dS t f a t S t S M t a M t a ]),,([1 41]),,([ 410202) ()(??????---= -= τηξτηξττηξτπτd y x t a d d t a f t a t y x M t a ])()()( )(),,(2[1 412 2 2 2 2),()9------∑-=??? - τηξτη ξτηξπτd y x t a d d f a t x M t a ]) ()()( ),,([ 210 2 222) ,() (??? ∑-----=-. 此即所求初值问题解的积分表达式. 习题三 1.求解特征值问题 ? ??=+=<<=+ . 0)()( ,0)0(), (0 0)()("' 'l X l X X l x x X x X λ 解：该特征值问题要有解0≥?λ. 0>λ时，记2 ωλ=，则 x B x A x X ωωsin cos )(+=. x B x A x X ωωωωcos sin )(' +-=. 1(*) 由 0)0(' =X ，有 0=B .从而 x A x X A ωcos )(,0=≠. 由 0sin cos ,0)()(' =-=+l A l A l X l X ωωω有. ωω=l cot . 此即确定 ω（从而确定λ）的超越方程. 由图解法，曲线 ωω==y l y cot 和 有无穷个交点，其横坐标 <<<< ==n n n ωλ 便是非0特征值，相应的特征函数为 2(*) ,2,1 , cos )( ==n x A x X n n n ω .)( , )( 0' A x X B Ax x X =+==时，λ由0)0(' =X ，有0=A .由0)()(' =+l X l X ， 有 0=B .此时只有平凡解 0)(≡x X . 综上，所求特征值问题的解 ),2,1( , cos )( ==n x A x X n n n ω. 其中n ω为超越方程 ωω=l cot 的正根. 附注：下证特征函数系{}∞=1cos n n x ω是],0[l 上的正交系： 事实上，设x x X n n ωcos )(=和x x X m m ωcos )(= 分别是相应于不同特征值2n n ωλ=和2m m ωλ=的特征函数，即)(x X n 和)(x X m 分别满足 ). ()(,0)0( ,0)()(:)(' '" ???+==+l X l X X x X x X x X n n n n n n n λ (1) ???=+==+. 0)()(,0)0( ,0)()(:)(' ' "l X l X X x X x X x X m m m m m m m λ (2) 则 []0 )()2()()1(0 =?-??dx x X x X l n m , 即 [] ?-+-= l m n m n n m m n dx x X x X x X x X x X x X " " )()()())()()()((0λλ dx x X x X l m n m n ?-=0 )()()(λλ 若,m n λλ≠则 ),2,1,( 0)()(0 ==? m n dx x X x X l m n . 即在],0[l 上，不同特征值所对应的特征函数彼此正交. 2.用分离变量法求波动方程混合问题 ?? ???≤≤==>==><<+=== ),0( , ),0( ),( ,),0(), 0 ,0( 2002 2l x x u x u t t t l u t t u t l x g u a u t t t x xx tt 的形式解，其中g 为常数. 解：(1).边界条件齐次化：令 ),,(),(),(t x Q t x v t x u +=使 ?????====, , 20t Q t Q l x x x （这不是定解问题） ，则取 2)(),(t t l x t x Q +-=即可. 这时),(t x v 满足 ?? ? ??≤≤--==>==><<-+===).0( )( , 0),( 0),( ,0),0( ),0 ,0( 2200t 2l x l x x v x v t t l v t v t l x g v a v t t x xx tt (2).“拆”——由线性叠加原理：II I v v v +=，其中 ?? ???+-====><<=== ., ,0),(),0(),0,0( :2002I l x x v x v t l v t v t l x v a v v t t t x xx tt ??? ??====><<-+=== .0,0 ,0),(),0(), 0,0( 2:002II t t t x xx tt v v t l v t v t l x g v a v v (3).用分离变量法求得 l x n l at n b l at n a t x v n n n 2 )12(cos 2 )12(sin 2 )12(cos ),(1I πππ-????? ? -+-=∑∞ =. 其中 ??--=l l n d l n d l n a 0 022)12(cos 2)12(cos 1ξπξ ξξπξ， ξπξ ξξξπξπd l n l d l n l a n b l l n 2)12(cos )(2)12(cos 2 )12(1 2 2-+---= ??. .,2,1 =n (n n b a ,都可算出来). (4).由Duhamel 原理： ττd t x w t x v t ? =0 II ),,(),(, 其中),,(τt x w 满足 ??? ??-====><<=== . 2 , 0 ,0),( ,0),0( ),,(0 2g w w t l w t w t l x w a w t t t x xx tt ττ τ 用分离变量法求得 ∑∞ =---=1 2 )12(cos 2)( )12(sin ),,(n n l x n l t a n c t x w πτπτ. 其中 ξπξ ξπξπd l n g d l n l a n c l l n 2)12(cos )2(2)12(cos 2 )12(1 2----= ??. ,3,2,1 =n (n c 可算出). 综上： ),(),(),(),(),(),(II I t x Q t x v t x v t x Q t x v t x u ++=+=. 习题四 1.用分离变量法求热方程混合问题 ??? ??===><<-== )( ,0),(),0(),0,0( 0 22x u t l u t u t l x u b u a u t xx t ? 的形式解. 解：这是齐次方程、齐次边界条件情形，直接分离变量： 令 )()(),(t T x X t x u =，代入泛定方程，得 ),( )(22'"λ-=+=a b T a T X X 从而 0)()()( , 0)()(2'"=++=+t T b a t T x X x X λλ. 由边界条件，得 ,0)()0(==l X X 于是，特征值问题为 ?? ?==<<=+ 0.)((0)) (0 , 0)()("l X X l x x X x X λ 特征值 2)( l n n πλ=， 特征函数为 x l n x X n π sin )(=，),2,1( =n . 而 )1,2,(n )(])[( 2 2 ==+-t b l an n n e A t T π. 取 11 ])[( (*) . sin ),(2 2x l n e A t x u n t b l an n π π∑∞ =+-= 利用 ]0[ sin l x l n ，在? ?? ? ??π上的正交性，可定出 ?==l n n d l n l A 0),2,1( sin )(2 ξπξ ξ?. 2(*) 1(*),2(*)给出所求混合问题的形式解. 附注：若令 ),( ),,(),(2t x v t x v e t x u t b 则-=满足 ??? ??===><<==== ).( ,0),0,0( 0 02x v v v t l x v a v t l x x xx t ? 用分离变量法求得 l x n e A t x v t l an n n sin ),(2 )( 1 ππ-∞ =∑=. 而n A 同2(*)，这恰与上面结果一致. 习题五 用Fourier 变换法求初值问题 ?? ?=>++== .0), 0( ),(20 2t xx t u t t x f tu u a u 的形式解. 解：方程和初始条件两端关于x 做Fourier 变换(视t 为参数),并记 ),(~)],([ , ),(~)],([t f t x f F t u t x u F ξξ==. 则原问题化为常微分方程的初值问题： ?????=>++-= )( .0)0,(~), 0( ),(~~ 2~~22为参数ξξξξu t t f u t u a dt u d 其解为 ττξξτξτξd e f e e e t u a t t a t 2 222220 ),(~),(~???=?--. 故 )],(~[),(1 t u F t x u ξ-= τ τξττξττξτξττξτξτξd e f F e e d e f e F e d e f e e e F t a t t a t t t t a t a t t ?? ?-----------???=???=?? ???????=0 1 )(0 1 01 ]),(~[]),(~[),(~) (2 22 2 2222 222222 ττπτττd e t a F x f F F e e t t a x t ]]) (21[)],([[0 ) (41 222 2 ?-- ---??= ττπτττd e t a x f F F e e t t a x t ]]) (21*),([[0 ) (4122 2 ?-- ---?= τξτ τξπ τξτ d d e t f e a e t t a x t ]1),([20 ) (4)(22 2??---∞ ∞ ---= 即为所求. 习题六 1.求边值问题??? ? ???≤≤=≤≤==<≤≤<≤=++=== )(0 )( ),0( 0),20 ,0( 01102αθθρπαθρρρραθθθθρρρf u l u u l u u u l 的形式解. 解：用分离变量法：令 )()(θρΘ=R u ，代入泛定方程可得 )( " ' "2λρρ=Θ Θ-=+R R R ， 因而 0)()("=Θ+Θθλθ， 0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R （Euler 方程）. 由边界条件 00 ====αθθu u ，得 0)()0(=Θ=Θα.于是特征值问题为 ,0)()0(), 0( 0)()("? ? ?=Θ=Θ<<=Θ+Θααθθλθ 特征值 2)( α π λn n =，特征函数为 )1,2,( sin )( ==Θn n n θα π θ. 而 Euler 方程 0' " 2 =-+R R R λρρ 的解 α π α π ρ ρ ρn n D C R - +=)(. 为保证有界性应取 0=D ，从而 ),2,1( )( ==n C R n n n α π ρρ. 取 ∑∑∞ =∞ ==Θ= 1 1sin )()(),(n n n n n n n C R u α πθ ρθρθραπ . 1(*) 由边界条件 )(θρf u l ==，应有 ∑∞ ==1 sin )(n n n n l C f α πθ θα π . 由 ? ?? ? ?? απθn sin 在 ],0[α上的正交性，可得 ),2,1( sin )( 2 == ? n d n f l C n n ?α π? ?αα α π . 2(*) 1(*) ,2(*)给出所求问题的形式解. 2.用Green 函数法求解上半平面Dirichlet 问题 ?? ? ??∞→+=>=+=. ),( ),0( 0220有界时，u y x x f u y u u y yy xx 解：根据二维Poisson 方程Dirichlet 问题 ?? ?=∈-=+? ),( D.),( ),,(2y x f u y x y x u u D yy xx πρ 解的积分表达式 P P D D dl n M P G P f dxdy M M G M y x u M u ??- ==? ???) ,() (21 ),()(),()(00000π ρ （其中0M 是D 内任一点，P n 是边界D ?上点P 的外法线方向）. 其中 满足而 ),( ),,(1ln ),(0000 M M g M M g r M M G MM -= ?? ? ???∈=∈=?).( 1ln ),g(),( 0),(00 0D P r M P D M M M g PM M ),(0M M G 称为Green 函数，找),(0M M G 的问题归结为“特定装置下”找感应电荷所产 生的电势),(0M M g - . 对上半平面0>y 而言，若在0M 处放置单位正电荷，它在M 处产生的电势为0 1ln MM r ， 则感应电荷应放在0M 关于0=y 的对称点'0M 处，电量为 -1，它于M 处产生的电势为 ' 1ln MM r -，从而Green 函数为 ' 1ln 1ln ),(0MM MM r r M M G -= 2 020202 0)()(ln )()(ln y y x x y y x x ++-+-+--=. 故所求解为 ?? ? ?∞ ∞-=∞ ∞ -=∞ ∞ -=∞ ∞-+-= ??= -??-=??- =.)() () (21 ) () (21 )(21 ),(2200 00 00dx y x x x f y dx y G x f dx y G x f dx n G x f y x u y y y ππ π π 匀变速直线运动的规律及其应用 一、匀变速直线运动的位移与时间的关系 匀变速直线运动位移—时间关系式:201x v t at 2 =+ 匀变速直线运动的两个基本关系式: ①速度—时间关系式:v=v 0+at ②位移—时间关系式:201x v t at 2 =+ (2)公式中的x,v 0,a 都是矢量,应用时必须选取统一的方向为正方向. 二、匀变速直线运动的位移与速度的关系 匀变速直线运动的位移与速度的关系：as V V t 2202=- (1)不含时间,应用很方便.(2)公式中四个矢量 也要规定统一的正方向. 【活学活用】已知O,A,B,C 为同一直线上的四点,AB 间的距离为l 1,BC 间的距离为l 2.一物体自O 点由静止出发,沿此直线做匀加速运动,依次经过A,B,C 三点.已知物体通过AB 段与BC 段所用的时间相等.求O 与A 的距离. 解： 三、匀变速直线运动的规律 1.几个重要推论：①平均速度公式0t v v v .2 += ②任意两个相邻的相等的时间间隔T 内的位移差相等，即Δx=x Ⅱ-x Ⅰ=x Ⅲ-x Ⅱ=…=x N -x N-1=aT 2 .③中间时刻的瞬时速度0t t 2 v v v 2+=.即匀变速直线运动的物体在一段 时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间的平均速度，等于初速度、末速度和的一半. ④中点位置的瞬时速度220t x 2 v v v 2 += 2.初速度为零的匀加速直线运动的六个比例关系:(T 为时间单位) A 、把一段过程分成相等的时间间隔 1）从运动始算起，在1T 末、2T 末、3T 末、……….nT 末的速度的比为： V 1：V 2：V 3：…：V n = 1：2：3：…：n 2）从运动开始算起，在前1T 内、前2T 内、前3T 内、………..nT 内的位移的比为： x 1：x 2：x 3：…：x n = 12：22：32：…：n 2 3）从运动开始算起，第1个T 内、第2个T 内、第3个T 内…第n 个T 内位移的比为： x 1：x 2：x 3：…：x n = 1：3：5：…（2n-1） B 、把一段过程分成相等的位移间隔 1）从运动开始算起，前位移X 、前位移2X 、前位移3X ……、前位移nX 末的速度之比为： V 1：V 2：V 3：…：V n = 1：2： 3：…：n 2）从运动开始算起，前位移X 所用时间、前位移2X 所用时间、前位移3X 所用时间……、前位移nX 所用时间之比为： t 1：t 2：t 3：…：t n = 1：2： 3：…：n 热传导方程及MATLAB 在其的应用 摘要：数学物理方程主要是偏微分方程，热传导方程是最为典型的数学物理方程之一。为了对热传导方程有个清晰地理解，论文重新阐述了热传导方程的推导。同时，求解热传导方程的方法也有很多种，但所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，不能直观地表达出其物理意义，为了使这些公式中的物理图像展现出来，论文对MATLAB 在其的应用作了些浅略的探讨。 关键字：数学物理方程 热传导方程 数学物理方程是指在物理学、力学、程 2 2 2 2 2 22 2 2 ( ) u u u u t x y z a ????= + + ????、热传导方程 u t ?= ?斯方程 2 2 2 2 2 2 0u u u x y z ???+ + =???是最为典型的三个方程。 在参考相关文献的基础上，本论文主要对热传导方程及MATLAB 在其的应用做一个简要的介绍。 物体温度分布不均匀，物体内部必然会产生热应力，热应力过于集中，物体就会产生裂变，从而破坏物体原有的形状和结构，工程技术中称此现象为热裂。在建造大坝时，混凝土释放的水化热使大坝的温度分布极不均匀；在浇铸铸件过程中，散热条件不同，会导致铸件各点间温度变化的梯度过大……。此外，还有好多可以产生热裂的现象。为有效防止热裂，就必须清楚物体各点的温度分布情况。[1] 一、热传导方程的导出 物理方程是实际上是寻求不同定解问题的解，而定解问题有定解条件和泛定方程组成。不同的物理问题可能得到同一类方程，但因定 解条件不同，因而就可能得到不同的定界问题。 （一）热传导方程泛定方程的推导 在三维空间中，考虑一均匀、各向同性的物体，物体内部由于温度分布不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象称为热传导。 构建物体热传导物理模型时，我们必须基于两个方面。一是能量守恒定律：物体内部的热量增加等于通过物体的边界流入的热量与物体内部的热源所产生的热量的总和，即： 2 1 Q Q Q Q -= +入 内 其中(1,2)i i Q =表示在i t 时刻物体内部的热量，Q 入表示在12t t ????，时刻内通过边界流入物体的热量，Q 内表示在12t t ????，时刻内物体内部热源产生的热量。 二是热传导傅里叶定理：考察某物体G 的热传导问题时，以函数 ( u x (,,,)x y z 处及t 时刻的温度。在物体内任意 沿法向n 方向，物体在无穷小时段d t 内，流过 d t 、热量通过的面积ds 及温度沿 (,,)u dQ k x y z dsdt n ?=-? 其中，(,,)k x y z 称为物体在(,,)x y z 处的热传导系数，它应该取正值； u n ?? 称为温度的法向导数，它表示温度沿法向n 的方向的变化率；等式中 的负号表示热量是由高温向低温流动，而温度梯度gradu n ? 是由低温 第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=?????∈-∈===0 ] ,2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变力t F ωsin 0的作用而振动。”则该定解问题为( B )。 A ．?????===<<-=-===0 ,0,0)0(,)(sin 0000 2 t l x x xx tt u u u l x x x t F u a u ρ δω u x h 2 /l 0 u 图〈1〉 高中物理直线运动试题经典及解析 一、高中物理精讲专题测试直线运动 1．货车A 正在公路上以20 m/s 的速度匀速行驶，因疲劳驾驶，司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B 时，两车距离仅有75 m ． （1）若此时轿车B 立即以2 m/s 2的加速度启动，通过计算判断：如果货车A 司机没有刹车，是否会撞上轿车B ；若不相撞，求两车相距最近的距离；若相撞，求出从货车A 发现轿车B 开始到撞上轿车B 的时间． （2）若货车A 司机发现轿车B 时立即刹车（不计反应时间）做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s 2（两车均视为质点），为了避免碰撞，在货车A 刹车的同时，轿车B 立即做匀加速直线运动（不计反应时间），问：轿车B 加速度至少多大才能避免相撞． 【答案】（1）两车会相撞t 1=5 s ；（2）222 m/s 0.67m/s 3 B a =≈ 【解析】 【详解】 （1）当两车速度相等时，A 、B 两车相距最近或相撞． 设经过的时间为t ，则：v A =v B 对B 车v B =at 联立可得：t =10 s A 车的位移为：x A =v A t= 200 m B 车的位移为： x B = 2 12 at =100 m 因为x B +x 0=175 m 数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。 §7.1数学物理方程的导出 一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。 （一） 三类典型的数学物理方程 （1）波动方程： 0 :) ,(:) ,(:22 2222 22==??-??=?-??→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.） （2）输运方程： 0 :).(:) ,(:2 2 2 2 ==??-??=?-??→f 无外源时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。 （3）Laplace 方程： . 0(:0 :) .程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==?=?→ 稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。 §7.2定解条件 定解条件包含初始条件与边界条件。 （1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。 例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）,而Laplace 方程没有初始条件。 （2） 三类边界条件 第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3 二阶线性偏微分方程分类 判别式 , ,0,,0, ,022112 1222112 12 22112 12抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=?<-=?>-=? 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的. 匀变速直线运动典型例题 等时间问题 例1：如图是用打点计时器打出一系列点的纸带，纸带固定在一个做匀加速直线运动的小车后面，A、B、C、D、E为选好的计数点．相邻计数点间的时间间隔为0.04s．由图上数据可从纸带上求出小车在运动中的加速度a=______m/s2以及打 =______m/s． 点计时器打下C 点时小车的瞬时速度v c 例2．已知O、A、B、C为同一直线上的四点，AB间的距离为l1，BC间的距离为l2，一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点，已知物体通过AB段与BC段所用的时间相等。求O与A的距离。 例3，如图所示，有若干相同的小钢球，从斜面的某一位置每隔0.1s释放一颗，在连续释放若干颗钢球后，对斜面上正在滚动的若干小球摄下照片如图，测得AB=15 cm，BC=20 cm，试求： (1)拍照时B球的速度； (2)A球上面还有几颗正在滚动的小球？ 例4．调节水龙头，让水一滴滴流出，在下方放一盘子，调节盘子高度，使一滴水滴碰到盘子时，恰有另一滴水滴开始下落，而空中还有两滴正在下落中的水滴，测出水龙头到盘子的距离为h，从第一滴开始下落时计时，到第n滴水滴落在盘子中，共用去时间t，则此时第（n+1）滴水滴与盘子的距离为多少？当地的重力加速度为多少？ 等位移问题 例1．一物体做匀加速直线运动，通过一段位移△x所用的时间为t1，紧接着通过下一段位 移△x 所用时间为t 2。则物体运动的加速度为（ ） A. 1212122()()x t t t t t t ?-+ B.121212()()x t t t t t t ?-+ C.1212122()()x t t t t t t ?+- D.121212() () x t t t t t t ?+- 例2, 一个做匀加速直线运动的物体，先后经过A 、B 两点时的速度分别是v 和7v ，经过AB 的时间是t ，则下列判断中正确的是 A ．经过A 、B 中点的速度是4v B ．经过A 、B 中间时刻的速度是4v C ．前 时间通过的位移比后 时间通过的位移少1.5vt D ．前位移所需时间是后位移所需时间的2倍 等比例问题 例1：完全相同的三木块并排固定在水平面上，一颗子弹以v 水平射入，若子弹在木块中做匀减速直线运动，恰好 射穿三块木块，则子弹依次在每块木块中运动的时间之比为（ ） 例2：一列火车有n 节相同的车厢，一观察者站在第一节车厢的前端，当火车由静止开始做匀加速直线运动时，（ ） A ．每节车厢末端经过观察者时的速度之比是1∶2∶3∶…∶n B ．在连续相等时间里，经过观察者的车厢节数之比是1∶3∶5∶7∶…∶(2n －1) C ．每节车厢经过观察者所用的时间之比是 1∶( －1)∶( －)∶…∶( － ) D ．如果最后一节车厢末端经过观察者时的速度为v ，那么在整个列车通过观察者的过 程 中，平均速度是 速度时间、位移时间图像问题 例1、 a 、b 、c 三个质点都在x 轴上做直线运动，它们的位移－时间图象如图所示。下列说法正确的是（ ） A. 在0－t 3时间内，三个质点位移相同 B. 在0－t 3时间内，质点c 的路程比质点b 的路程大 C ．质点a 在时刻t 2改变运动方向，质点c 在时刻t 1改变运动方向 D ．在t 2－t 3这段时间内，三个质点运动方向相同 E ．在0－t 3时间内，三个质点的平均速度大小相等 例2.（2009年海南物理卷8）甲乙两车在一平直道路上同向运动，其v-t 图像如图所示，图中ΔOPQ 和ΔOQT 的面积分别为s 1和s 2（s 2>s 1）初始时，甲车在乙 高等数学物理方程 一、课程编码：1800005 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理论物理、凝聚态物理 三、先修课程：常微分方程、复变函数、数学物理方法 四、教学目标 通过本课程的学习使研究生 1. 了解数学物理方程的物理基础； 2. 了解数学物理方程的基本内容和最新发展概况； 3. 了解数学物理的基本方法和一些必要的技巧； 4. 掌握求解最重要的边值或边值初值问题的关键步骤和方法以及对解的检验。 五、教学方式 课堂讲授。 六、主要内容及学时分配 1. 偏微分方程的分类 10 学时1.1 一般概念 1.2 柯西问题、柯西-柯娃列夫斯卡娅定理 1.3 柯西问题的推广、特征的概念（*） 1.4 含一个未知函数的二阶方程在一点的标准型及其分类 1.5 两个自变量的二阶偏微分方程在一点的邻域内的标准型 2. 双曲型方程 20 学时2.1 （一维）波动方程的导出（物理起源）及定解条件 2.2 其他双曲型方程（*） 2.3 （一维）波动方程的柯西问题及其传播波法 2.4 （一维）波动方程的混合问题及其分离变量法 2.5 高维波动方程的柯西问题 3. 椭圆型方程 21 学时3.1 拉普拉斯方程（包括物理起源、定解条件、曲线坐标系下的拉氏方程等） 3.2 调和函数的一般性质（包括格林公式、极值原理、解的唯一性与稳定性等） 3.3 最简单区域的边界问题的分离变量法 3.4 源函数 3.5 势论与积分方程 3.6 双调和方程（*） 4. 抛物型方程 8 学时4.1 热传导方程的物理起源 4.2 定解问题的提法 4.3 热传导方程的求解 4.4 极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性 5. 特殊函数与正交多项式 5 学时5.1 特殊函数的方程及边界问题的提法 5.2 柱函数（*） 数学物理方程考点 一. 分离变量法：知识点见课本1618P P - 1.已知初边值问题： 2000 0,0,0 00,sin 2tt xx x x x l t t t u a u x l t u u x u u l π====? ?-=<<>?? ==?? ?==?? （1） 求此问题的固有函数（特征函数）与固有值（特征值）； （2） 求此初边值问题的解。 解：（1）令 (,)()()u x t X x T t = （1.1），其中(,)u x t 不恒零，将其代入方程得到： '' 2 '' ()()()()0X x T t a X x T t -= 将该式分离变量并令比值为λ-有： ''''2 ()() ()() T t X x a T t X x λ==- 则有： '' 2 ()()0T t a T t λ+= （1.2） '' ()()0X x X x λ+= （1.3） 由原初边值问题的边界条件知： 方程（1.3）满足边界条件 ' (0)0,()0X X l == （1.4） ()I 当0λ<时，方程（1.3）的通解为 12()X x C C e =+，由边界条件（1.4） 知： 1200 C C C C +=???-=?? ? 120 C C =?? =? ()0X x ∴ = 由（1.1）知：(,)0u x t =，0λ<应舍去； ()II 当0λ=时，方程（1.3）的通解为 12()X x C C x =+，由边界条件（1.4）知： 120 C C =?? =? 同理0λ=应舍去； ()III 当λ>0时，则方程的通解为： 12X()x C C =+ 由边界条件(0)0X =知：10C = 即 2()X x C = 又由'()0X l = 知：0C = ， 令20C ≠ ，则0= 高一物理必修一 匀变速直线运动经典及易错题目和答案 1．如图甲所示，某一同学沿一直线行走，现用频闪照相机记录了他行走过程中连续9个位置的图片，仔细观察图片，指出在图乙中能接近真实反映该同学运动的v－t图象的是（A） 2．在军事演习中，某空降兵从飞机上跳下，先做自由落体运动， 在t 1时刻，速度达较大值v 1 时打开降落伞，做减速运动，在t 2 时 刻以较小速度v 2 着地。他的速度图像如图所示。下列关于该空降 兵在0～t 1或t 1 ～t 2 时间内的的平均速度v的结论正确的是（B） A． 0～t 1 1 2 v v< B． 0～t1 2 1 v v> C． t 1～t 2 12 2 v v v + < D． t1～t2， 2 2 1 v v v + > 3．在下面描述的运动中可能存在的是（ACD）A．速度变化很大，加速度却很小 B．速度变化方向为正，加速度方向为负 C．速度变化很小，加速度却很大 D．速度越来越小，加速度越来越大 t 00 t t t 4. 如图所示，以8m/s匀速行驶的汽车即将通过路口，绿灯还有2 s将熄灭，此时汽车距离停车线18 m 。该车加速时最大加速度大小为2m/s2，减速时最大加速度大小为5m/s2。此路段允许行驶的最大速度为11.5m/s，下列说法中正确的有（CA） A．如果立即做匀加速运动且不超速，则汽车可以在绿 灯熄灭前通过停车线 B．如果立即做匀加速运动并要在绿灯熄灭前通过停车 线，则汽车一定会超速 C．如果立即做匀减速运动，则在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线 D．如果在距停车线5m处开始减速，则汽车刚好停在停车线处 5．观察图5-14中的烟和小旗，关于甲乙两车的相对于房子的运动情况，下列说法中正确的是（ (AD ） A．甲、乙两车可能都向左运动。 B．甲、乙两车一定向右运动。 C．甲车可能运动，乙车向右运动。 D．甲车可能静止，乙车向左运动。（提示：根据相对速度来解题） 6.物体通过两个连续相等位移的平均速度分别为v 1=10m/s，v 2 =15m/s ，则物体在整个运动 理工大学数学系 第一章：偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式：2211 (,,,,,,)0n u u u F x u x x x ???=???L L 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量，12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数 偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线 性PDE 和完全非线性PDE 。 二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）： 2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y ?????+++++=?????? （一般形式 记为 PDE （1）） 目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类 (,) (,)x y x y ξξηη=?? =? 非奇异 0x y x y ξξηη≠ 根据复合求导公式最终可得到： 22211122222 20u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη ?????+++++=??????其中： 22111112221211 122222221112 22()2()()()2()A a a a x x y y A a a a x x x y x y y y A a a a x x y y ξξξξξηξηηξξη ηηηη ?????=++???????????????=+++?????????? ?????=++?????? 考虑22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=????如果能找到两个相互独立的解 (,)z x y φ= (,)z x y ψ= 那么就做变换(,) (,)x y x y ξφηψ=?? =? 从而有11220A A == 在这里要用到下面两个引理： 引理1：假设(,)z x y φ=是方程22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=???? (1)的特解，则关主部 《数学物理方程讲义》课程教学大纲第一部分大纲说明 一、课程的作用与任务 本课程教材采用的是由高等教育出版社出版第二版的《数学物理方程讲义》由姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编写 《数学物理方程讲义》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课。数学物理方程是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，使学生掌握三类典型方程定解问题的解法，重点介绍一些典型的求解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。本课程涉及的内容在流体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。它将直接影响到学生对后续课的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。数学物理方程又是一门公认的难度大的理论课程。 二、课程的目的与教学要求 1 了解下列基本概念: 1) 三类典型方程的建立及其定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法，定解条件的物理意义。 2) 偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问 题的叠加原理。 3) 调和函数的概念及其基本性质(极值原理、边界性质、平均值定理)。 2 掌握下列基本解法 1) 会用分离变量法解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、 圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题;会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题; 2) 会用行波法(达郎贝尔法)解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理 意义;了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用; 3) 会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问 题; 4) 了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用; 5)掌握二阶线性偏微分方程的分类 二、课程的教学要求层次 教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。 第二部分学时、教材与教学安排一、学时分配 本课程共3学分，讲授54学时(包括习题课)学时分配如下: 项目内容学时电视学时 IP课学时 第一章方程的导出和定解条件 6 第二章波动方程 14 第三章热传导方程 14 第四章位势方程 14 第五章二阶线性偏微分方程的分类 6 合计 54 二、教学安排 高中物理直线运动试题经典 一、高中物理精讲专题测试直线运动 1．货车A 正在公路上以20 m/s 的速度匀速行驶，因疲劳驾驶，司机注意力不集中，当司机发现正前方有一辆静止的轿车B 时，两车距离仅有75 m ． （1）若此时轿车B 立即以2 m/s 2的加速度启动，通过计算判断：如果货车A 司机没有刹车，是否会撞上轿车B ；若不相撞，求两车相距最近的距离；若相撞，求出从货车A 发现轿车B 开始到撞上轿车B 的时间． （2）若货车A 司机发现轿车B 时立即刹车（不计反应时间）做匀减速直线运动，加速度大小为2 m/s 2（两车均视为质点），为了避免碰撞，在货车A 刹车的同时，轿车B 立即做匀加速直线运动（不计反应时间），问：轿车B 加速度至少多大才能避免相撞． 【答案】（1）两车会相撞t 1=5 s ；（2）222 m/s 0.67m/s 3 B a =≈ 【解析】 【详解】 （1）当两车速度相等时，A 、B 两车相距最近或相撞． 设经过的时间为t ，则：v A =v B 对B 车v B =at 联立可得：t =10 s A 车的位移为：x A =v A t= 200 m B 车的位移为： x B = 2 12 at =100 m 因为x B +x 0=175 m 直线运动 1．欲估算飞机着陆时的速度，假设飞机停止运动前在平直跑道上做匀减速运动，飞机在跑道上滑行的距离为s，从着陆到停下来所用的时间为t，则飞机着陆时的速度为（） A．s t B． 2s t C． 2 s t D． s t 到 2s t 之间的某个值 2．一个物体从塔顶上自由下落，在到达地面前最后1 s内通过的位移是25m，（g取10 m/s2），则塔高为（） A．20m B．25m C．45m D．85m 3.汽车以大小为20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后，获得的加速度的大小为5m/s2，那么刹车后2s内与刹车后6s内汽车通过的路程之比为（）A．1 : 1 B．3 : 1 C．4 : 3 D．3 : 4 4.物体以速度v匀速通过直线上的A、B两点，所用时间为t；现在物体从A点由静止出发， 小为a2）至（）A．v m C．a1 52的加速度 6 行至B 测得AB ＝2.6ｍ．肇事汽车的刹车性能良好， 问： （1）该肇事汽车的初速度v A是多大? （2）游客横过马路的速度是多大? 7．从斜面上的某一位置每隔0.1 s 无初速地释放一颗，在连续释放若干小钢球后，对准斜面上正在滚动的若干小球拍摄到如图所示的照片，测得AB=15cm ，BC=20cm ，求：（1）小钢球的加速度=a ？（2）拍摄照片时，B 球的速度=B v ？（3）拍摄时=CD s ?（4）A 球上面 滚动的小球还有几颗? 8.公路上一辆汽车以速度v 1=10m/s 匀速行驶,汽车行至A 点时,一人为搭车,从距公路30m 的C 处开始以v 2=3m/s 的速度正对公路匀速跑去,司机见状途中刹车,汽车做匀减速运动,结果车和人同时到达B 点,已知AB =80m ,问:汽车在距A 多远处开始刹车,刹车后汽车的加速度 有多大? 9.一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s 后警车发动起来，井以2.5m/s 2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h 以内．问： (1）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？ (2）警车发动后要多长时间才能追上货车？ 10.4×100m 接力赛是奥运会上最为激烈的比赛项目，有甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现，甲短距离加速后能保持9m/s 的速度跑完全程．为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记，在某次练习中，甲在接力区前s 0 处作了标记，当甲跑到此标记时向乙发出起跑口令，乙在接力区的前端听到口令时立即起跑（忽略声音传播的时间及人的反应时间），已知接力区的长度为L =20m ，设乙起跑后的运动是匀加速运动。若s 0 =16m ，乙的最大速度为8m/s ，并能以最大速度跑完全程，要使甲、乙能在接力区完成交接棒，则乙在听到口令后加速的加速度最大为多少？ 科普： 《定性与半定量物理学》赵凯华 《边缘奇迹：相变和临界现象》于渌 《QED: A Strange Theory about Light and Matter》Feynman 《大宇之形》丘成桐 《Gauge Fields, Knots and Gravity》Baez 《趣味力学》别莱利曼 《趣味刚体力学》刘延柱（小书，挺有意思） 考研习题集用超星图书里的那本清华大学编写的普通物理学考研辅导教材(大约这个名字) 数学分析： 书目： 《数学分析教程》常庚哲 《数学分析新讲》张筑生 《数学分析》卓里奇 《数学分析八讲》辛钦 《数学分析讲义》陈天权 《数学分析习题课讲义》谢惠民等 《数学分析习题集》北大版？ 《特殊函数概论》王竹溪 线性代数Linear Algebra 内容：行列式、矩阵代数、线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n元实二次型等。 书目： 《高等代数简明教程》蓝以中 《Linear Algebra and Its Applications》Gilbert Strang 《Linear Algebra and Its Applications》Peter D. Lax 《Linear Algebra and Its Applications》David C. Lay 力学Mechanics 先修课程：高等数学 内容：质点运动学、质点动力学、动量定理和动量守恒定律、功和能及碰撞问题、角动量、刚体力学、固体的弹性、振动、波动和声、流体力学、相对论简介。 书目： 《力学》赵凯华 《力学》舒幼生 《经典力学》朗道 《An Introduction To Mechanics》Daniel Kleppner、Robert Kolenkow 狭义相对论：《狭义相对论》刘辽 《The Principle of Relativity》Einstein 广义相对论：《Einstein Gravity in a Nutshell》Zee 《Spacetime and Geometry》Carroll 《数学物理方程》习题精练5 (椭圆型方程的边值问题) 内容 1.分离变量法 2.调和函数的性质与极值原理 3.Dirichlet 问题的Green 函数法 1. 分离变量法 (1)Poisson 方程边值问题的“特解法” Poisson 方程描述稳恒场的分布情况，对于Poisson 方程的边值问题，虽不像波动方程和热传导方程那样有所谓的Duhamel 原理，但若能找到Poisson 方程的一个特解，常可把它转化成Laplace 方程的边值问题来求解，这便是所谓的“特解法”. 今有边值问题 (*)??????∈=∈=+?D y x y x u D y x y x f u u D yy xx ),( ),,(),( ),,(? 设),(y x w 是Poisson 方程的一个解(特解)，),(y x u 是所给边值问题的解.令 ),(),(),(y x w y x v y x u +=， 则),(y x v 满足如下的边值问题 (**)??????∈-=∈=+??D y x w y x v D y x v v D D yy xx ),( ,),(),( ,0? 亦即),(y x v 是域D 上的调和函数.这样，就把Poisson 方程的边值问题(*)转化成Laplace 方程的边值问题(**).对于特殊的区域D ，我们还可以用分离变量法来求解(**). 例1 求解Poisson 方程的边值问题 ??? ? ?=<+-=+=+.0)( ,2 22222a y x yy xx u a y x xy u u 解 ①先寻求Poisson 方程的一个特解),(y x w . 显然，xy xy y x -=+- ?)](12 1[33 ，于是得到一个特解为 θθρcos sin 12 1 )(121)(121),(42233-=+-=+-=xy y x xy y x y x w . 令 θθθρ2sin 24 1 cos sin 1214-=-=+=v v w v u ， 则新的未知函数v 满足如下的定解问题： 高中物理直线运动解题技巧及经典题型及练习题(含答案) 一、高中物理精讲专题测试直线运动 1．质量为2kg的物体在水平推力F的作用下沿水平面做直线运动，一段时间后撤去F，其运动的图象如图所示取m/s2，求： （1）物体与水平面间的动摩擦因数； （2）水平推力F的大小； （3）s内物体运动位移的大小． 【答案】（1）0.2；（2）5.6N；（3）56m。 【解析】 【分析】 【详解】 （1）由题意可知，由v-t图像可知，物体在4～6s内加速度： 物体在4～6s内受力如图所示 根据牛顿第二定律有： 联立解得：μ=0.2 （2）由v-t图像可知：物体在0～4s内加速度： 又由题意可知：物体在0～4s内受力如图所示 根据牛顿第二定律有： 代入数据得：F=5.6N （3）物体在0～14s内的位移大小在数值上为图像和时间轴包围的面积，则有： 【点睛】 在一个题目之中，可能某个过程是根据受力情况求运动情况，另一个过程是根据运动情况分析受力情况；或者同一个过程运动情况和受力情况同时分析，因此在解题过程中要灵活 处理．在这类问题时，加速度是联系运动和力的纽带、桥梁． 2．如图所示，在沙堆表面放置一长方形木块A ，其上面再放一个质量为m 的爆竹B ，木块的质量为M ．当爆竹爆炸时，因反冲作用使木块陷入沙中深度h ，而木块所受的平均阻力为f 。若爆竹的火药质量以及空气阻力可忽略不计，重力加速度g 。求： （1）爆竹爆炸瞬间木块获得的速度； （2）爆竹能上升的最大高度。 【答案】（1()2f Mg h M -2）()2 f M g M h m g - 【解析】 【详解】 （1）对木块，由动能定理得：21 02 Mgh fh Mv -=- ， 解得：()2f Mg h v M -= （2）爆竹爆炸过程系统动量守恒，由动量守恒定律得：0Mv mv -'= 爆竹做竖直上抛运动，上升的最大高度：2 2v H g '= 解得：()2f Mg Mh H m g -= 3．为提高通行效率，许多高速公路出入口安装了电子不停车收费系统ETC ．甲、乙两辆汽车分别通过ETC 通道和人工收费通道(MTC)驶离高速公路，流程如图所示．假设减速带离收费岛口x =60m ，收费岛总长度d =40m ，两辆汽车同时以相同的速度v 1=72km/h 经过减速带后，一起以相同的加速度做匀减速运动．甲车减速至v 2=36km/h 后，匀速行驶到中心线即可完成缴费，自动栏杆打开放行；乙车刚好到收费岛中心线收费窗口停下，经过t 0=15s 的时间缴费成功，人工栏打开放行．随后两辆汽车匀加速到速度v 1后沿直线匀速行驶，设加速和减速过程中的加速度大小相等，求： 数学物理方程习题解 习题一 1，验证下面两个函数： (,)(,)sin x u x y u x y e y == 都是方程 0xx yy u u += 的解。 证明：（1 ）(,)u x y = 因为322 2 22 2222 2222 22 322 222 2222 2222 222222 222222 1 1()22 () 2()()11()22()2()()0()() x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-? ?=- +++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++ 所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。 （2）(,)sin x u x y e y = 因为 sin ,sin cos ,sin x x x xx x x y yy u y e u y e u e y u e y =?=?=?=-? 所以 sin sin 0x x xx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。 2，证明：()()u f x g y =满足方程 0xy x y uu u u -= 其中f 和g 都是任意的二次可微函数。 证明：因为 ()()u f x g y = 所以 ()(),()()()() ()()()()()()()()0 x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??= 得证。 3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。 解：令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ= 所以2 (),()x xx u f u f ξλξλ'''=?=? (),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=?== 将上式带入原方程得2 (43)()0f λλξ''-+= 因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以2 -430 λλ+=从而12 =3,1λλ=， 故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解，12,f f 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有 12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。 4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相 同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x 轴。在杆上任意截取位于 [,]x x x +?的一段微元，杆的截面积为s ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应 变）分别是 (,)u x t x ??与(,)u x x t x ?+??，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ??与()(,)u SE x x x x t x ?+?+??，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：()(,)()(,)u u SE x x x x t SE x x t x x ??+?+?-?? 高一物理必修一匀变速直线运动经典习题及易 错题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高一物理必修一 匀变速直线运动经典及易错题目和答案 1．如图甲所示，某一同学沿一直线行走，现用频闪照相机记录 了他行走过程中连续9个位置的图片，仔细观察图片，指出在图乙中能接近真实反映该同学运动的v －t 图象的是（A ） 2．在军事演习中，某空降兵从飞机上跳下，先做自由落体运动，在t 1时刻，速度达较大值v 1时打开降落伞，做减速运动，在t 2时刻以较小速度v 2着地。他的速度图像如图所示。 下列关于该空降兵在0～t 1或t 1～t 2时间内的的平均速度v 的结论正确的是（B ） A ． 0～t 1 12v v < B ． 0～t 1 21v v > C ． t 1～t 2 122v v v +< D ． t 1～t 2， 2 21v v v +> 3．在下面描述的运动中可能存在的是（ACD ） A ．速度变化很大，加速度却很小 B ．速度变化方向为正，加速度方向为负 C ．速度变化很小，加速度却很大 D ．速度越来越小，加速度越来越大 4. 如图所示，以8m/s 匀速行驶的汽车即将通过路口，绿灯还有2 s 将熄灭，此时汽车距离停车线18 m 。该车加速时最大加速度大小为2m/s 2，减速时最大加速度大小为5m/s 2。此路段允许行驶的最大速度为11.5m/s ，下列说法中正确的有（CA ） 甲 t 00乙 t A B t t v 0v v v A ．如果立即做匀加速运动且不超速，则汽车可以在绿 灯熄灭前通过停车线 B ．如果立即做匀加速运动并要在绿灯熄灭前通过停车线，则汽车一定会超速 C ．如果立即做匀减速运动，则在绿灯熄灭前汽车一定不能通过停车线 D ．如果在距停车线5m 处开始减速，则汽车刚好停在停车线处 5．观察图5-14中的烟和小旗，关于甲乙两车的相对于房子的运动情况，下列说法中正确的是（ (AD ） A ．甲、乙两车可能都向左运动。 B ．甲、乙两车一定向右运动。 C ．甲车可能运动，乙车向右运动。 D ．甲车可能静止，乙车向左运动。（提示：根据相对速度来解题） 6.物体通过两个连续相等位移的平均速度分别为v 1=10m/s ，v 2=15m/s ，则物体在整个运动过程中的平均速度是( B )（本题易错） A.12.5m/s B.12m/s C.12.75m/s D.11.75m/s 7.一辆汽车从车站以初速度为零匀加速直线开去，开出一段时间之后，司机发 现一乘客未上车，便紧急刹车做匀减速运动.从启动到停止一共经历t =10 s ，前进了15m ，在此过程中，汽车的最大速度为（ B ） A ．1.5 m/s B ．3 m/s C ．4 m/s D ．无法确定 甲 乙 图5-14匀变速直线运动的规律及其应用典型例题精讲精练(学生用)
数学物理方程作业
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