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平面向量的数量积习题课

平面向量的数量积习题课
平面向量的数量积习题课

平面向量的数量积 习题课

教学目标

1. 理解平面向量数量积的定义及其几何意义;

2. 掌握数量积的性质,并会运用性质解决有关长度、夹角、垂直等问题;

3. 熟练数量积的坐标运算,会用坐标运算解决数量积的相关问题;

4. 明确坐标运算与定义运算的联系与区别. 教学重点

数量积的性质及其应用 教学难点

数量积性质的应用 教学过程

1.知识点:

1)向量的夹角的定义:

已知两个___________a ,b ,作OA =a ,OB =b ,则_______称作a 和b 的夹角,记作____.

注: ①,a b <

>∈_______________;特别地,,a b <>=___________a b ?⊥;

②规定:_______与任意向量垂直;

③若,0,2a b π??

<>∈ ???,则向量a 和b 的夹角为__________,cos ,a b <>∈_________;

若,,2a b π??

<>∈π ???,则向量a 和b 的夹角为__________,cos ,a b <>∈_________

,0,,2

a b π

<>=π呢?

2)向量在轴上的正射影:如图,已知向量a 和轴l 及其单位向量e ,作出a 在轴l 上的正射

影,并用a 及a 与轴l 的夹角表示出a 在轴l 上的正射影.

3)数量积的定义:a

b =_________________;

内积的几何意义:____与___在_____方向上的正射影的数量的乘积; 注:内积的定义运算需知道两向量的____及两向量的______. 4)内积的性质: ①若e 为单位向量,则a e =_____=_______;

注:cos ,a a b =_________.

②a

b ⊥?_________;

a =_________;

④cos ,a b =___________(0a b ≠);○

5____a b ≤≤_____ 5)内积的坐标运算:已知11=,a x y (),22,b x y =(),则a

b =______________________.

2.典例

题型一:基本运算

例1.

例2.已知=3,1a -(),(1,2)b -=.

求(1)a

b (2)2

+a b ()

(3)()()+a b a b -

变式:

1.

2.

(2)若a ,b 同向,(2,1)c =-,求()b c a ,()

a b c

题型二:长度,夹角问题

例3:

例4: 已知=1,3a (

),3b +=().

(1)求

a b -(2)求向量a ,b 的夹角θ.

若非零向量a ,b 满足

32a b a b ==+,则a 与b 夹角的余弦值为____________.

题型三:垂直问题 例5:

例6:

4.课堂练习

2.已知e 是单位向量,并且满足2a e a e +=-,则向量a 在e 方向上的正射影的数量是

( )

(A )0.5 (B )1 (C )1.5 (D )2

3.设a ,b 是夹角为60°的单位向量,则2+a b 和32a b -的夹角θ为( ) (A)30° (B)60° (C)120° (D)150°

5.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上一

AD BC

点,DC=2BD,则 =___________.

2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量数量积习题课教案 新人教A版必修4.doc

2019-2020学年高中数学第二章平面向量 2.4 平面向量数量积习题课教 案新人教A版必修4 模式 与方 法 讲练结合 教学目的(1)掌握平面向量数量积的坐标表示. (2) 平面向量数量积的应用. 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (3)正确运用向量运算律进行推理、运算. 重点用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 难点平面向量数量积的综合应用 教学内容师生活动及时间分配 知识梳理一、选择题 1.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b =1,则x等于( ) A.-1 B.- 1 2 C. 1 2 D.1 2.设x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c =(2,-4),且a⊥c,b∥c,则|a+b|等于 ( ) A. 5 B.10 C.2 5 D.10 3.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c 满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c等于( ) A. ? ? ?? ? 7 9 , 7 3 B. ? ? ?? ? - 7 3 ,- 7 9 C. ? ? ?? ? 7 3 , 7 9 D. ? ? ?? ? - 7 9 ,- 7 3 4.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=10,则AB → ·AC → 等于( ) A.- 3 2 B.- 2 3 C. 2 3 D. 3 2 二、填空题 课上限时做答10~ 对正确答案 师讲解并引深题的考点, 师生总结见到|2a-b| 这类题,常用做法

典型例题5.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a -b|=10,则|b|=________. 6.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10, 则AB → ·AC → =________. 7.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a与b的 夹角为钝角,则λ的取值范围是__________. 三、解答题 8. (10分)已知a=(1,2),b=(-2,n) (n>1), a与b的夹角是45°. (1)求b; (2)若c与b同向,且a与c-a垂直,求c. 9. (12分)设两个向量e1、e2满足|e1|=2,|e2| =1,e1、e2的夹角为60°,若向量2t e1+7e2 与向量e1+t e2的夹角为钝角,求实数t的取 值范围. 作业:练习卷 (6)题注意夹角 大题可以引导学生利用平 面向量数量积解决,让学生 自己动手、动脑.教师可以 让学生到黑板上板书步骤, 并对书写认真且正确的同 学提出表扬,对不能写出完 整解题过程的同学给予提 示和鼓励.

平面向量数量积练习题

平 面 向 量 数 量 积 练 习 题 一.选择题 1.下列各式中正确的是 ( ) (1)(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), (2)|a ·b |= | a |·| b |, (3)(a ·b )· c = a · (b ·c ), (4)(a +b ) · c = a ·c +b ·c A .(1)(3) B .(2)(4) C .(1)(4) D .以上都不对. 2.在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-= ,则ΔABC 为 ( ) A .正三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .无法确定 3. 已知|a |=6,|b |=3,a·b =-12,则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A .-4 B .4 C .-2 D .2 4.已知||=1,||=2,且(-)与垂直,则与的夹角为 ( ) A .60° B .30° C .135° D .45° 5.设||= 4,||= 3,夹角为60°,则|+|等于 ( ) A .37 B .13 C .37 D .13 6.设x ,y ∈R ,向量a =(x,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则|a +b |等于( ) A. 5 B.10 C .2 5 D .10 7. 已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c 等于( ) A.????79,73 B.????-73,-79 C.????73,79 D.????-79,-73 二.填空题 8.已知e 是单位向量,∥e 且18-=?e a ,则向量a =__________. 9.已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |=________. 10. 已知a =(2,-1),b =(λ,3),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是__________. 三.解答题 11. (10分)已知a =(1,2),b =(-2,n ) (n >1),a 与b 的夹角是45°. (1)求b ; (2)若c 与b 同向,且a 与c -a 垂直,求c .

平面向量的数量积练习题[

§5.3 平面向量的数量积 一、选择题 1.若向量a ,b ,c 满足a ∥b 且a ⊥c ,则c ·(a +2b )=( ) A .4 B .3 C .2 D .0 解析:由a ∥b 及a ⊥c ,得b ⊥c , 则c ·(a +2b )=c ·a +2c ·b =0. 答案:D 2.若向量a 与b 不共线,a ·b ≠0,且c =a -? ?? ?? a ·a a · b b ,则向量a 与 c 的夹角为( ) A .0 B.π6 C.π3 D.π 2 解析 ∵a·c =a·???? ??a -? ????a·a a·b b =a·a -? ?? ?? a 2a· b a·b =a 2-a 2=0, 又a ≠0, c ≠0,∴a⊥c ,∴〈a ,c 〉=π 2 ,故选D. 答案 D 3. 设向量a =(1.cos θ)与b =(-1, 2cos θ)垂直,则cos2θ等于 ( ) A 2 B 1 2 C .0 D.-1 解析 22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴?=∴-+=∴=-=正确的是C. 答案C 4.已知|a |=6,|b |=3,a ·b =-12,则向量a 在向量b 方向上的投影是( ). A .-4 B .4 C .-2 D .2 解析 设a 与b 的夹角为θ,∵a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积,而cos θ= a · b |a ||b |=-2 3 , ∴|a |cos θ=6×? ???? -23=-4. 答案 A

5.若a ,b ,c 均为单位向量,且a ·b =0,(a -c )·(b -c )≤0,则|a +b -c |的最大值为( ). A.2-1 B .1 C. 2 D .2 解析 由已知条件,向量a ,b ,c 都是单位向量可以求出,a 2=1,b 2=1,c 2=1,由a ·b =0,及(a -c )(b -c )≤0,可以知道,(a +b )·c ≥c 2=1,因为|a +b - c |2=a 2+b 2+c 2+2a ·b -2a ·c -2b ·c ,所以有|a +b -c |2=3-2(a ·c +b ·c )≤1, 故|a +b -c |≤1. 答案 B 6.已知非零向量a 、b 满足|a |=3|b |,若函数f (x )=1 3x 3+|a |x 2+2a·b x +1 在x ∈R 上有极值,则〈a ,b 〉的取值范围是( ) A.? ? ????0,π6 B.? ? ???0,π3 C.? ?? ?? π6,π2 D.? ?? ?? π6,π 解析 ∵f (x )=13x 3+|a |x 2 +2a·b x +1在x ∈R 上有极值,∴f ′(x )=0有两不 相等的实根,∵f ′(x )=x 2+2|a |x +2a·b ,∴x 2+2|a |x +2a·b =0有两个不相等的实根,∴Δ=4|a |2-8a·b >0,即a·b <12|a |2,∵cos 〈a ,b 〉=a·b |a ||b |, |a |=3|b |,∴cos 〈a ,b 〉<1 2|a |2|a ||b |=3 2,∵0≤〈a ,b 〉≤π, ∴π 6<〈a ,b 〉≤π. 答案 D 7.如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量的数量积中最大的是 ( ).

(完整版)平面向量的数量积练习题.doc

平面向量的数量积 一.选择题 1. 已知 a ( 2,3), b ( 1, 1),则 a ?b 等于 ( ) A.1 B.-1 C.5 D.-5 r r r r r r r r 2.向量 a , b 满足 a 1, b 4, 且 a b 2 ,则 a 与 b 的夹角为( ) A . B . 4 C . D . 2 6 3 r r 60 0 r r ) 3.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 ,那么 a 3b ( A . 7 B . 10 C . 13 D . 4 4 .若平面向量 与向量 的夹角是 ,且 ,则 ( ) A . B . C . D . 5. 下面 4 个有关向量的数量积的关系式① 0 ?0 =0 ②( a ?b ) ?c = a ?( b ? c ) ③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | ≦ a ?b ⑤ | a ?b | | a | ?| b | 其中正确的是( ) A . ① ② B 。 ① ③ C 。③ ④ D 。③ ⑤ 6. 已知 | a |=8 , e 为单位向量,当它们的夹角为 时, a 在 e 方向上的投影为( ) 3 A . 4 3B.4 C.4 2 3 D.8+ 2 7. 设 a 、 b 是夹角为 的单位向量,则 2a b 和 3a 2b 的夹角为( ) A . B . C . D . 8. 已知 a =(2,3) , b =( 4 ,7) , 则 a 在 b 上的投影值为( ) A 、 13 B 、 13 C 、 65 D 、 65 5 5 9. 已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b 与 a 3b 垂直时 k 值为 ( ) A 、 17 B 、 18 C 、 19 D 、 20

8.2.3 向量的数量积(含答案)

【课堂例题】 例1.已知(1,0),(2,2)a b =-=-,夹角为θ. 求,,|32|,a b a b b θ?-在a 方向上的投影. 例2.已知三点(1,0),(2,3),(6,7)A B C --,求证:ABC ?是直角三角形. 例3.已知向量(2,3)a =-,点A 的坐标是(2,1)-,向量AB 与a 垂直,且213AB =点B 的坐标. 课堂练习 1.已知(3,4),(5,12)a b =-=,求夹角θ. 2.已知(1,2),(3,4),(5,0)A B C ,求BAC ∠的正弦值. 3.已知向量(3,3),(2,5)a b ==-,求a 在b 方向上的投影. 4.已知点(1,1)A 绕点(5,3)B 旋转90到点C ,求C 的坐标.

【知识再现】 非零向量1122(,),(,)a x y b x y ==,夹角为θ(以下均用坐标填空) 1.a b ?= ; ||a = ;cos θ= ; 2.a b ⊥的充要条件是 . 【基础训练】 1.已知向量(3,4),(5,12)a b ==-, 则a b ?= ,||a b -= ,a 与b 的夹角θ= , a 在 b 方向上的投影= . 2.已知a 为非零向量,(3,4)b =,且a b ⊥,则a 的单位向量0a 的坐标是 . 3.已知(1,2),(3,4),(5,0)A B C ,则cos ABC ∠= . 4.已知向量(3,3),(6,7)a k b k ==--,根据下列条件,分别写出实数k 的值. (1)a b ⊥: ; (2)//a b : ; (3),a b 的夹角为钝角: . 5.已知向量(5,12),(4,6)a b ==,求向量a b +与23a b -的夹角. 6.已知位置向量(2,2),(3,3),(1,0)OA OB OC ==-=-,试判断ABC ?的形状. 7.已知(3,5),,||2a b a b =⊥=,求向量b 的坐标.

(完整版)平面向量数量积练习题.docx

§8.2 向量的数量积 【知识梳理】 夹角公式的应用。 【基础练习】 1、若a b0 ,则a与b的夹角的取值范围 是。 2 、| a | 10,| b | 36, a b180 ,a与b的夹角是。 3、已知a( m,2),b( 3,5), 若a与b的夹角为钝角,实数m 的取值范围为。 【例题精选】 例 1、已知a(2, 1),b(m,m 1),若a 与 b 的夹角为锐角,求实数m 的取值范围。 r r r rr r 例 2、已知a、b都是非零向量,且a3b 与 7a5b r r r r 垂直, a4b与 7a2b 垂直, r r 求a 与 b 的夹角。

例3、 ABC 中,A(4,1) ,B(7,5),C( 4,8),判断 ABC 的形状。 例 4、如图,已知 OAB 的面积为 S,且OA AB 2 ,(1)若 1

【课堂练习】 1、ABC 中, A(1,2),B(2,3),C(2,5),则ABC 是三角形。 、已知 a (1, 3), b ( 3 1, 31),求 a 与 b 的 2 夹角是多少? 3、已知 a ( 3 , 5 ), b( 3, 1 ),求 a2b 与 a b 33 的夹角是多少? r r 4、若a与b的夹角为θ,且a =(3,3) ,2b a( 1,1) ,求θ。

【课后练习】 1、已知| a | r3r r3r 3,| b | 4 ,向量 a 4 b 与 a 4 b 的 位置关系为() (A) 平行(B) 垂直(C) 夹角为 3 (D)不平行也不垂直 2、在△ABC 中,AB(1,1), AC(2, k) ,若△ABC 为直角三角形,求实数k 的值。 r r 3、已知| a |1,| b | 2 ,(1)若a∥b,求a b;(2) r r b |; 若 a 与 b 的夹角为60°,求| a r r r r r (3)若a b 与 a 垂直,求a 与 b 的夹角。

2017-2018学年必修4《平面向量数量积习题课》练习含解析

18 平面向量数量积习题课 时间:45分钟 满分:80分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题:(每小题5分,共5×6=30分) 1.已知平面向量a =(1,-3),b =(4,-2),λa +b 与a 垂直,则λ=( ) A .-1 B .1 C .-2 D .2 答案:A 解析:a =(1,-3),b =(4,-2),∴λa +b =λ(1,-3)+(4,-2)=(λ+4,-3λ-2),∵λa +b 与a 垂直,∴λ+4+(-3)(-3λ-2)=0,∴λ=-1,故选A. 2.设向量a ,b 均为单位向量,且|a +b |=1,则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D.3π4 答案:C 解析:∵|a +b |=1,∴|a |2+2a ·b +|b |2=1,∴cos 〈a ,b 〉=-12,∴〈a ·b 〉=2π3 . 3.已知向量a =(3,4),b =(6,t ),若a 与b 的夹角为锐角,则实数t 的取值范围是( ) A .(8,+∞) B.? ????-92,8 C.? ????-92,+∞ D.? ?? ?? -92,8∪(8,+∞) 答案:D 解析:由题意,得a ·b >0,即18+4t >0,解得t >-9 2.又当t =8时,两向量同向,应去掉, 故选D. 4.如图,在四边形ABCD 中,∠B =120°,∠ C =150°,且AB =3,BC =1,C D =2,则AD 的长所在的区间为( ) A .(2,3) B .(3,4) C .(4,5) D .(5,6) 答案:C 解析:由向量的性质,知AD →=AB →+BC →+CD →,其中AB →与BC →的夹角为60°,BC →与CD → 的夹角为30°,AB →与CD →的夹角为90°,于是|AD →|2=|AB →+BC →+CD →|2=|AB →|2+|BC →|2+|CD →|2+

(完整版)平面向量的数量积练习题(含答案)

平面向量的数量积 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分,共20分) 1. (2012·辽宁)已知向量a =(1,-1),b =(2,x ),若a ·b =1,则x 等于 ( ) A .-1 B .-12 C.12 D .1 2. (2012·重庆)设x ,y ∈R ,向量a =(x,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则|a +b |等于( ) A. 5 B.10 C .2 5 D .10 3. 已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c 等于( ) A.? ????79,73 B.? ????-73,-79 C.? ????73,79 D.? ?? ??-79,-73 4. 在△ABC 中,AB =3,AC =2,BC =10,则AB →·AC →等于 ( ) A .-32 B .-23 C.23 D.32 二、填空题(每小题5分,共15分) 5.已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |=________. 6.在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB →·AC →=________. 7. 已知a =(2,-1),b =(λ,3),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是__________. 三、解答题(共22分) 8. (10分)已知a =(1,2),b =(-2,n ) (n >1),a 与b 的夹角是45°. (1)求b ; (2)若c 与b 同向,且a 与c -a 垂直,求c . 9. (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1、e 2的夹角为60°,若向量2t e 1+7e 2与 向量e 1+t e 2的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.

向量的数量积经典例题(含详细答案)

向量的数量积经典例题(含详细答案) 1.已知3,4a b ==r r ,,a b r r 的夹角为120o . 求(1)a b r r g ,()() 22a b a b +?-r r r r ;(2)23a b +r r 2.已知向量a r 、b r 的夹角为2,||1,||23 a b π==r r . (1)求a r ·b r 的值 (2)若2a b -r r 和ta b +r r 垂直,求实数t 的值. 3.已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=r r (1)若a b ⊥r r ,求2a b +r r ; (2)若0m =,求a b +r r 与a b -r r 夹角的余弦值. 4.已知向量(2,1),(3,2),(3,4)a b c =-=-=r r r , (1)求()a b c ?+r r r ; (2)若()a b c λ+r r r ∥,求实数λ的值.

5.已知||2a =r ,||b =r (23)()2a b a b -+=r r r r . (1)求a b ?r r 的值; (2)求a r 与b r 所成角的大小. 6.已知()1,2a =r ,()3,4b =-r (1)若ka b +r r 与2a b -r r 共线,求k ; (2)若ka b +r r 与2a b -r r 垂直,求k . 7.已知2,3a b ==r r ,a r 与b r 的夹角为60?,53c a b =+r r r ,3d a kb =+r r r , (1)当c d v P v 时,求实数k 的值; (2)当c d ⊥r u r 时,求实数k 的值.

平面向量数量积练习题

平面向量数量积练习题 .选择题 1?下列各式中正确的是 ( ) (1)(入a) b=X a ()=a - b), (2) |a b |= | a | | -b |, (3) (a b) c= a (b c), (4) (a+b) c = a c+b c A ? (1) (3) B ? (2) (4) C . (1) (4) D ?以上都不对? LUU/ UUV LUU/ UUU 2. 在 A ABC 中若(CA CB)?(CA CB) 0,则 A ABC 为 ( ) A ?正三角形 B ?直角三角形 C ?等腰三角形 D ?无法确定 3. 已知|a|= 6, |b|= 3, a b =- 12,则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A . - 4 B . 4 C .- 2 D . 2 4. 已知|a |=1,|b |= 2, 且(a — b )与a 垂直,则a 与b 的夹角为 ( ) A . 60° B . 30° C . 135° D . 45° 5. 设 4, |b |= 3,夹角为 60°,则 |a + b | 等于( ) A . 37 B . 13 C . .37 D . .13 6 .设 x , y € R ,向量 a = (x,1), b = (1, y), c = (2, — 4),且 a 丄c , b // c ,则 |a + b|等于( ) A. .5 B. .10 C . 2 , 5 D . 10 7. 已知向量 a = (1,2), b = (2, — 3).若向量 c 满足(c + a) / b , c ± (a + b),贝U c 等于( ) 7 二.填空题 8.已知e 是单位向量,a // e 且a e 18,则向量a = _____________ 9 .已知向量 a , b 夹角为 45 °,且 |a|= 1, |2a — ,贝U |b|= _____ . 10. ____________________________________________________________________________ 已知a = (2, — 1), b =(入3),若a 与b 的夹角为钝角,贝U 入的取值范围是 ______________________ 三.解答题 11. (10 分)已知 a = (1,2), b = (— 2, n) (n>1), a 与 b 的夹角是 45 ° (1) 求 b ; 7 一 9 - D 7 一 9 7 一 3 G 7 一 9 - 7 一 3? - B

平面向量的数量积优秀教案第一课时

2.4《平面向量的数量积》教案(第一课时) 教材分析: 教材从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的5个重要性质,运算律。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来,这样为解决三角形的有关问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题。 教学目标: 1.掌握平面向量数量积的定义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 教学重点: 平面向量的数量积定义. 教学难点: 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学方法: 1. 问题引导法 2. 师生共同探究法 教学过程: 一.回顾旧知 向量的数乘运算定义:一般地,实数λ与向量的积是一个向量,记作λ, 它的长度和方向规定如下: (1)= (2)当λ>0时,λ的方向与a 方向相同,当λ<0时, λ的方向与a 方向相反 特别地,当0=λ或=时,=λ 向量的数乘运算律:设a ,b 为任意向量,λ,μ为任意实数,则有: ① λ(μ)=()λμ ② (λ+μ)=μλ+ ③ λ(+)=λλ+ 二.情景创设 问题1. 我们已经学习了向量的加法,减法和数乘,它们的运算结果都是向量,

那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢?这种新的运算结果又是什么呢? 三.学生活动 联想:物理中,功就是矢量与矢量“相乘”的结果。 问题2. 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ,那么力F 所做的功为多少? W 可由下式计算:W =|F |·|s |cos θ,其中θ是F 与s 的夹角. 若把功W 看成是两向量F 和S 的某种运算结果,显然这是一种新的运算,我们引入向量数量积的概念. 四.建构数学 1.向量数量积的定义 已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是θ,则数量|a ||b |cos θ叫a 与b 的数量积,记作a ·b ,即有a ·b =|a ||b |cos θ 说明:(1)向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量,符号由夹角决定 (2)θ是a 与b 的夹角;范围是0≤θ≤π,(注意在两向量的夹角定义中,两向量 必须是同起点的.) 当θ=0时,a 与b 同向;a ·b =|a ||b |cos0=|a ||b | 当θ=π2 时,a 与b 垂直,记a ⊥b ;a ·b =|a ||b |cos 2 π=0 当θ=π时,a 与b 反向;a ·b =|a ||b |cos π=-|a ||b | (3)规定· a =0;a 2=a ·a =|a |2或|a (4)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替 2. 向量数量积的运算律 已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a ·b =b · a (交换律) ②(λa )· b =λ (a ·b )=a · (λb ) (数乘结合律) ③(a +b )·=a ·+b · (分配律) ④(a ·b )c ≠a (b · c ) (一般不满足结合律) 五.例题剖析 加深对数量积定义的理解 例1 判断正误,并简要说明理由.

平面向量的数量积习题(精品绝对好)

平面向量的数量积(20131119)作业 姓名 成绩 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分,共20分) 1. (2012·辽宁)已知向量a =(1,-1),b =(2,x ),若a ·b =1,则x 等于 ( ) A .-1 B .-1 2 C.12 D .1 2. (2012·重庆)设x ,y ∈R ,向量a =(x,1),b =(1,y ),c =(2,-4),且a ⊥c ,b ∥c ,则|a +b |等于( ) A. 5 B.10 C .2 5 D .10 3. 已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c 等于( ) A.???? 79,73 B.????-73,-79 C.????73,79 D.????-79 ,-7 3 4. 在△ABC 中,AB =3,AC =2,BC =10,则AB →·AC → 等于 ( ) A .-3 2 B .-23 C.23 D.3 2 二、填空题(每小题5分,共15分) 5.已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |=1,|2a -b |=10,则|b |=________. 6.在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =3,BC =10,则AB →·AC →=________. 7. 已知a =(2,-1),b =(λ,3),若a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是__________. 三、解答题(共22分) 8. (10分)已知a =(1,2),b =(-2,n ) (n >1),a 与b 的夹角是45°. (1)求b ; (2)若c 与b 同向,且a 与c -a 垂直,求c . 9. (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|=2,|e 2|=1,e 1、e 2的夹角为60°,若向量2t e 1+7e 2与向量e 1+t e 2的 夹角为钝角,求实数t 的取值范围.

平面向量数量积运算专题(附标准答案)

平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC =3BE ,DC =λDF .若AE →·AF →=1,则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1,P A ,PB 为该圆的两条切线,A ,B 为切点,那么P A →·PB →的最小值为( ) A.-4+ 2 B.-3+ 2 C.-4+2 2 D.-3+2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →,|OA →|=3,则OA →·OB →=________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ,b 满足|a |=22 3 |b |,且(a -b )⊥(3a +2b ),则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3,|a |=2,|b |=3,则2a -b 与a +2b 的夹角的余弦 值等于( )

A.126 B.-126 C.112 D.-1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若AO →=12(AB →+AC →),则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ,|a |=1,|b |=2,且a 与b 的夹角为120°,则|2a +b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ADC =90°,AD =2,BC =1,P 是腰DC 上的动点,则|P A →+3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1,e 2是平面单位向量,且e 1·e 2=1 2.若平面向量b 满足b ·e 1=b ·e 2 =1,则|b |=________.

平面向量的数量积 练习题

绝密★启用前 2018年01月19日214****9063的高中数学组卷 试卷副标题 考试围:xxx;考试时间:100分钟;命题人:xxx 题号一二三总分 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷(选择题) 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人得分 一.选择题(共2小题) 1.若向量,满足,,则?=() A.1 B.2 C.3 D.5 2.已知向量||=3,||=2,=m+n,若与的夹角为60°,且⊥,则实数的值为() A.B.C.6 D.4 - z -

第Ⅱ卷(非选择题) 请点击修改第Ⅱ卷的文字说明 评卷人得分 二.填空题(共6小题) 3.设=(2m+1,m),=(1,m),且⊥,则m= . 4.已知平面向量的夹角为,且||=1,||=2,若()),则λ= . 5.已知向量,,且,则= .6.已知向量=(﹣1,2),=(m,1),若向量+与垂直,则m= .7.已知向量,的夹角为60°,||=2,||=1,则|+2|= .8.已知两个单位向量,的夹角为60°,则|+2|= . 评卷人得分 三.解答题(共6小题) 9.化简: (1); (2). 10.如图,平面有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与 的夹角为30°.且||=1,||=1,||=2,若+,求λ+μ的值. - z -

11.如图,平行四边形ABCD中,E、F分别是BC,DC的中点,G为DE,BF的交点,若,试用,表示、、. 12.在平面直角坐标系中,以坐标原点O和A(5,2)为顶点作等腰直角△ABO,使∠B=90°,求点B和向量的坐标. 13.已知=(1,1),=(1,﹣1),当k为何值时: (1)k+与﹣2垂直? (2)k+与﹣2平行? 14.已知向量,的夹角为60°,且||=4,||=2, (1)求?; (2)求|+|. - z -

平面向量的数量积及运算练习题

周周清13平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题: 1、下列各式中正确的是 ( ) (1)(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), (2)|a ·b |= | a |·| b |, (3)(a ·b )· c = a · (b ·c ), (4)(a +b ) · c = a ·c +b ·c A .(1)(3) B .(2)(4) C .(1)(4) D .以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=u u u v u u u v u u u v u u u v ,则ΔABC 为 ( ) A .正三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .无法确定 3、若| a |=| b |=| a -b |, 则b 与a +b 的夹角为 ( ) A .30° B .60° C .150° D .120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a -b )和a 垂直,则a 与b 的夹角为 ( ) A .60° B .30° C .135° D .45° 5、若 2AB BC AB 0?+=u u u v u u u v u u u v ,则ΔABC 为 ( ) A .直角三角形 B .钝角三角形 C .锐角三角形 D .等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 ( ) A .37 B .13 C .37 D .13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b , d =λa -b ,若c ⊥d ,则实数λ的值为( ) A . 7 4 B . 7 5 C . 4 7 D . 5 7 8、设 a ,b ,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则 ( ) ① (a ·b )·c -(c ·a )·b =0 ② | a | -| b |< | a -b | ③ (b ·c )·a -(c ·a )·b 不与c 垂直 ④ (3a +2b ) ·(3a -2b )= 9| a | 2 -4| b | 2 其中真命题是 ( ) A .①② B .②③ C .③④ D .②④ 9.(06陕西)已知非零向量AB u u u r 与AC u u u r 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ??? u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且12 AB AC AB AC ?=u u u r u u u r u u u r u u u r , 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10.(05全国Ⅰ文)点O 是ABC △所在平面内的一点,满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则点O 是

(完整版)平面向量的数量积优秀教案第一课时.docx

2.4 《平面向量的数量积》教案(第一课时) 教材分析: 教材从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍了向量数量积的 5 个重要性质,运算律。向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来,这样为解决三角形的有关问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题。 教学目标: 1.掌握平面向量数量积的定义 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律 教学重点: 平面向量的数量积定义 . 教学难点: 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 教学方法: 1.问题引导法 2.师生共同探究法 教学过程: 一.回顾旧知 向量的数乘运算定义:一般地,实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作 a , 它的长度和方向规定如下: (1)a a (2)当λ >0 时 , a 的方向与a方向相同,当λ<0时, a 的方向与a方向相反特别地,当0 或a0 时,a0 向量的数乘运算律:设 a , b 为任意向量,λ,μ为任意实数,则有: ①λ( μa )=a ② ( λ+μ) a = a a ③λ( a +b )=a b 二.情景创设 问题 1. 我们已经学习了向量的加法,减法和数乘,它们的运算结果都是向量,

那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢?这种新的运算结果又是什么呢? 三.学生活动 联想:物理中,功就是矢量与矢量“相乘”的结果。 问题 2. 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,那么力 F 所做的功为多少? W 可由下式计算: W=| F |·|s|cosθ,其中θ是 F 与 s 的夹角 . 若把功 W 看成是两向量 F 和 S 的某种运算结果,显然这是一种新的运算, 我们引入向量数量积的概念 . 四.建构数学 1.向量数量积的定义 已知两个非零向量 a 与b,它们的夹角是θ,则数量| a ||b|cosθ叫 a 与b的数量积, 记作· ,即有· =| a || b |cosθ a b a b 说明:( 1)向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量,符号由夹角决定 ( 2)是a与b的夹角;范围是0≤θ≤π,(注意在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的.) 当θ= 0 时,a与 b 同向;a·b=| a|| b |cos0=|a|| b | 当θ=π 时,a与 b 垂直,记a⊥ b ;· =|a|| b |cos=0 2 a 2 当θ=π 时, a 与 b 反向; a ·=| a || b |cos=-| a ||b | b (3)规定0·a=0;a2=a·=|a|2或|a|= a a=2 a a (4)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替 2.向量数量积的运算律 已知 a ,b,c和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律: ① a ·b=b·(交换律 ) a ② (λa ) ·b=λ ( a·b )=a·(λb ) (数乘结合律 ) ③ ( a+b ) ·=·+ b ·(分配律 ) c a cc ④ (≠( b· )(一般不满足结合律) a c a c 五.例题剖析 加深对数量积定义的理解 例 1判断正误,并简要说明理由.

平面向量的数量积及运算律经典练习题

第十一教时 教材:平面向量的数量积及运算律 目的:掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义,掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用。 过程: 一、复习:前面已经学过:向量加法、减法、实数与向量的乘法。 它们有一个共同的特点,即运算的结果还是向量。 二、导入新课: 1.力做的功:W = |F|?|s|cosθ θ是F与s的夹角 2.定义:平面向量数量积(内积)的定义,a?b = |a||b|cosθ, 并规定0与任何向量的数量积为0 。? 3. 4.注意的几个问题;——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1?两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cosθ的符号所决定。 2?两个向量的数量积称为内积,写成a?b;今后要学到两个向量的外积a×b, 而ab是两个数量的积,书写时要严格区分。 3?在实数中,若a≠0,且a?b=0,则b=0;但是在数量积中,若a≠0,且a?b=0, 不能推出b=0。因为其中cosθ有可能为0。这就得性质2。 4?已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc ? a=c。但是c 如右图:a?b = |a||b|cosβ = |b||OA| b?c = |b||c|cosα = |b||OA| ?ab=bc但a≠c 5?在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c≠a(b?c) 显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般 a与c不共线。 5.例题、P116—117 例一(略) 三、投影的概念及两个向量的数量积的性质: 1.“投影”的概念:作图 定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。 注意:1?投影也是一个数量,不是向量。 2?当θ为锐角时投影为正值; 当θ为钝角时投影为负值; 当θ为直角时投影为0; 当θ = 0?时投影为|b|; 当θ = 180?时投影为-|b|。 2.向量的数量积的几何意义: 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积。 3.两个向量的数量积的性质: 设a、b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量。 1?e?a = a?e =|a|cosθ 2?a⊥b?a?b = 0 3?当a与b同向时,a?b = |a||b|;当a与b反向时,a?b = -|a||b|。 特别的a?a = |a|2或a a a? =| | C θ = 0? θ = 180? O O B B A A O O B O B1 O a b θ A O O B O B1 O a b θ A O O B O (B1) O a b θ

空间向量的数量积运算练习题

课时作业(十五) 一、选择题 1.设a 、b 、c 是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,下列命题:①(a ·b )c -(c ·a )b =0;②|a |=a ·a ;③a 2b =b 2a ;④(3a +2b )·(3a -2b )=9|a |2-4|b |2.其中正确的有( ) A .①② B .②③ C .③④ D .②④ 【解析】 由于数量积不满足结合律,故①不正确,由数量积的性质知②正确,③中|a |2·b =|b |2·a 不一定成立,④运算正确. 【答案】 D 2.已知a +b +c =0,|a |=2,|b |=3,|c |=4,则a 与b 的夹角〈a ,b 〉=( ) A .30° B .45° C .60° D .以上都不对 【解析】 ∵a +b +c =0,∴a +b =-c ,∴(a +b )2=|a |2+|b |2+2a ·b =|c |2 ,∴a ·b =32,∴cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=14. 【答案】 D 3.已知四边形ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,连结AC ,BD ,PB ,PC ,PD ,则下列各组向量中,数量积不为零的是( ) 与BD → 与PB → 与AB → 与CD →

【解析】 用排除法,因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD ,故PA →·CD →=0,排除D ;因为AD ⊥AB ,PA ⊥AD ,又PA ∩AB =A ,所 以AD ⊥平面PAB ,所以AD ⊥PB ,故DA →·PB →=0,排除B ,同理PD →·AB →=0,排除C. 【答案】 A 4. 如图3-1-21,已知空间四边形每条边和对角线都等于a ,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,DC 的中点,则下列向量的数量积等于a 2的是( ) 图3-1-21 A .2BA →·AC → B .2AD →·DB → C .2FG →·AC → D .2EF →·CB → 【解析】 2BA →·AC →=-a 2,故A 错;2AD →·DB →=-a 2,故B 错; 2EF →·CB →=-12a 2,故D 错;2FG →·AC →=AC →2=a 2,故只有C 正确. 【答案】 C 二、填空题 5.已知|a |=2,|b |=3,〈a ,b 〉=60°,则|2a -3b |=________. 【解析】 |2a -3b |2=(2a -3b )2=4a 2-12a ·b +9b 2 =4×|a |2+9×|b |2-12×|a |·|b |·cos 60°=61,

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