平面向量的数量积习题课

平面向量的数量积 习题课

教学目标

1. 理解平面向量数量积的定义及其几何意义;

2. 掌握数量积的性质,并会运用性质解决有关长度、夹角、垂直等问题;

3. 熟练数量积的坐标运算,会用坐标运算解决数量积的相关问题;

4. 明确坐标运算与定义运算的联系与区别. 教学重点

数量积的性质及其应用 教学难点

数量积性质的应用 教学过程

1.知识点:

1)向量的夹角的定义:

已知两个___________a ,b ,作OA =a ,OB =b ,则_______称作a 和b 的夹角,记作____.

注: ①,a b <

>∈_______________;特别地,,a b <>=___________a b ?⊥;

②规定:_______与任意向量垂直;

③若,0,2a b π??

<>∈ ???,则向量a 和b 的夹角为__________,cos ,a b <>∈_________;

若,,2a b π??

<>∈π ???,则向量a 和b 的夹角为__________,cos ,a b <>∈_________

,0,,2

a b π

<>=π呢?

2)向量在轴上的正射影:如图,已知向量a 和轴l 及其单位向量e ,作出a 在轴l 上的正射

影,并用a 及a 与轴l 的夹角表示出a 在轴l 上的正射影.

3)数量积的定义:a

b =_________________;

内积的几何意义:____与___在_____方向上的正射影的数量的乘积; 注:内积的定义运算需知道两向量的____及两向量的______. 4)内积的性质: ①若e 为单位向量,则a e =_____=_______;

注:cos ,a a b =_________.

②a

b ⊥?_________;

a =_________;

④cos ,a b =___________(0a b ≠);○

5____a b ≤≤_____ 5)内积的坐标运算:已知11=,a x y (),22,b x y =(),则a

b =______________________.

2.典例

题型一:基本运算

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例1.

例2.已知=3,1a -(),(1,2)b -=.

求(1)a

b (2)2

+a b ()

(3)()()+a b a b -

变式:

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1.

2.

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(2)若a ,b 同向,(2,1)c =-,求()b c a ,()

a b c

题型二:长度,夹角问题

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例3:

例4: 已知=1,3a (

),3b +=().

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(1)求

a b -(2)求向量a ,b 的夹角θ.

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若非零向量a ,b 满足

32a b a b ==+,则a 与b 夹角的余弦值为____________.

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题型三:垂直问题 例5:

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例6:

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4.课堂练习

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2.已知e 是单位向量,并且满足2a e a e +=-,则向量a 在e 方向上的正射影的数量是

( )

(A )0.5 (B )1 (C )1.5 (D )2

3.设a ,b 是夹角为60°的单位向量,则2+a b 和32a b -的夹角θ为( ) (A)30° (B)60° (C)120° (D)150°

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5.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上一

AD BC

点,DC=2BD,则 =___________.

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