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微分方程数值解课程设计题目

微分方程数值解课程设计题目
微分方程数值解课程设计题目

课程设计题目

1.计算并画出二级二阶、三级三阶和四级四阶Runge-Kutta 方法的绝对稳定区域。

2.用古典隐式格式并结合追赶法计算抛物型方程

2201,00.01(,0)sin()01

(0,)(1,)00u u x t t x u x x x u t u t t π???= <<<

的近似解。其中0.1,0.001h k ==。并与解析解

2sin t u e

x ππ?=

比较。 3.用五点差分格式

,1,1,,1,1,2

1(4)0l m l m l m l m l m l m U U U U U U h +?+??=

+++?= 求解Dirichlet 问题 {}2222220(,),(,)0,1ln (1)u u x y x y x y x

y u x y ?Ω

???+= ∈ΩΩ=<

4.方程

2004,012,1(,0)1,1u u x t t x x u x x ???+= <<<??

其中0.1h =,0.01k =。分别用Lax-Friedrichs 格式、C-I-R 格式和Lax-Wendroff 。 格式求解上述微分方程初边值问题。并画出图形比较计算结果。 5.对初边值问题

22220001

01,011sin ,018|0,010t t x x u u x t t

x u x x u x t

u u t π====???= <<<

)

2(211211n

m n m n m n m n m n m U U U r U U U ?+?++?=+? 求近似解。其中0.025h k ==,并画出图形与解析解比较计算结果。 方程的解析解为

[][]{}1

sin ()sin ()16u x t x t ππ=?++

偏微分方程数值解期末试题及标准答案

偏微分方程数值解试题(06B ) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一(10分)、设矩阵A 对称,定义)(),(),(2 1)(n R x x b x Ax x J ∈-=,)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?,则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定),求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+-+=+=, (3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2 1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二(10分)、 对于两点边值问题:?????==∈=+-=0 )(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式:求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间.取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)

常微分方程初值问题的数值解法

第七章 常微分方程初值问题的数值解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习,我了解了常微分方程初值问题的计算方法,对于解决那些很难求解出解析表达式的,甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化,然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种,分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法,或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值,而多步法则是指计算第n+1个y 的值时,用到了前几步的值。通过对本章的学习,已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差,但是对线性多步法的求解理解不怎么透切,特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题,比如本章知识点多,公式多,在做题时容易混淆,其次对几种R-K 公式的理解不够透彻,处理一个实际问题时,不知道选取哪一种公式,通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样,,这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ,取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=,且M t T ≤,则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-

微分方程数值解试题库2011(试题参考)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 《常分方程数值解法》试题一及答案 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.用欧拉法解初值问题???1 =060≤≤0--='2)() .(y x xy y y ,取步长 h =0.2.计算 过程保留4位小数。 解:h =0.2, f (x )=-y -xy 2.首先建立欧拉迭代公式 ),,k )(y x (y .y hx hy y )y ,x (hf y y k k k k k k k k k k k 21042021=-=--=+=+ 当k =0,x 1=0.2时,已知x 0=0,y 0=1,有 y (0.2)≈y 1=0.2×1(4-0×1)=0.800 0 当k =1,x 2=0.4时,已知x 1=0.2, y 1=0.8,有 y (0.4)≈y 2=0.2×0.8×(4-0.2×0.8)=0.614 4 当k =2,x 3=0.6时,已知x 2=0.4,y 2=0.614 4,有 y (0.6)≈y 3=0.2×0.614 4×(4-0.4×0.4613)=0.800 0 2.对于初值问题? ??1=0='2 )(y xy y 试用(1)欧拉法;(2)欧拉预报-校正公式; (3)四阶龙格-库塔法分别计算y (0.2),y (0.4)的近似值. 3.证明求解初值问题的梯形公式是 y k +1=y k +)],(),([2 11+++k k k k y x f y x f h , h =x k +1-x k (k =0,1,2,…,n -1),

微分方程数值解--大纲

偏微分方程数值解 (Numerical Methods for Partial Differential Equations) 课程代码:10210801 学位课程/非学位课程:非学位课程 学时/学分:46/3 课程简介: 《偏微分方程数值解》是数学类专业必修的一门专业课。主要内容包括:变分形式和Galerkin有限元法、椭圆型方程的差分方法、抛物型方程的差分方法、双曲型方程的差分方法、离散方程的解法。通过本课程的学习,使学生掌握求解偏微分方程数值解的基本方法,能够根据具体的微分方程使用合适的计算方法。 一、教学目标 1、知识水平教学目标 偏微分方程数值解课程的教学,要使学生掌握椭圆型微分方程、抛物型微分方程、双曲型微分方程等典型方程的差分方法,了解与之相关的理论问题,理解变分原理、有限元方法以及离散方程的解法,理解各种计算方法的收敛条件和收敛速度。 2、能力培养目标 通过偏微分方程数值解课程教学,应注意培养学生以下能力: (1)连续问题离散化能力——掌握科学的思维方法,能够使用差分方法和有限元方法的各种格式对三类典型方程进行离散化处理。 (2)算法分析与设计能力——结合各类偏微分方程的特点,设计各种计算方法,对计算方法的收敛条件和收敛速度等进行分析,具体设计易于上机实现的算法。(3)离散方程组的快速求解能力——理解离散方程组的特点,使用数学软件编程,具体上机实现,进行数值模拟的动手能力。 3、素质培养目标 通过数学物理方程课程教学,应注重培养学生以下素质: (1)具体问题有限化——善于对现实世界中得到的偏微分方程进行有限差分、有限元分析的有限化思想素养。 (2)数值解法定性化——通过学习,引导学生树立偏微分方程数值求解的基本原则,培养学生对数值方法中的稳定性、收敛性和误差等进行定性分析的素质。(3)算法实现程序化——培养学生的创造性和具体实现程序化的思维,使学生学会用数学中算法的观点思考实际问题,用程序和计算机解决数学问题。 二、教学重点与难点 1、教学重点:椭圆型、抛物型、双曲型等微分方程的差分方法,有限元方法。 2、教学难点:各种计算方法的稳定性、收敛性和误差分析,变分形式。 三、教学方法与手段 以教师讲授为主,安排上机实验,辅以习题课、课堂讨论、小论文,注重理论联系实际。 四、教学内容与目标 教学内容教学目标课时分配 (46学时) 1. 边值问题的变分形式 6 二次函数的极值掌握 两点边值问题掌握

偏微分方程数值解试题及答案

偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一(10分)、设矩阵A 对称,定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ,)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?,则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定),求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有 0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的 x ,)(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二(10分)、 对于两点边值问题:????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(' b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式:求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11 =∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间.取),(1 b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分) 令?-+=-=b a dx fu qu dx du p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式

偏微分方程数值解实验报告

偏微分方程数值解实验报告

1、用有限元方法求下列边值问题的数值解:''()112x -y +y =2s i n ,0∈∈??∈(0,)?, 其中取1ν= 要求画出解曲面。迭代格式如下: 1221212111111111122142212n n n n n n j j j j j j n n n n n n j j j j j j V V V V V V h h V V V V V V h h τ++++++++++-+-??-()-()()-()??++?????? ??-+-+??=+??????

1、 %Ritz Galerkin方法求解方程 function u1=Ritz(x) %定义步长 h=1/100; x=0:h:1; n=1/h; a=zeros(n-1,1); b=zeros(n,1); c=zeros(n-1,1); d=zeros(n,1); %求解Ritz方法中内点系数矩阵 for i=1:1:n-1 b(i)=(1/h+h*pi*pi/12)*2; d(i)=h*pi*pi/2*sin(pi/2*(x(i)+h))/2+h*pi*pi/2*sin(pi/2*x(i+1))/2; end %右侧导数条件边界点的计算 b(n)=(1/h+h*pi*pi/12); d(n)=h*pi*pi/2*sin(pi/2*(x(i)+h))/2; for i=1:1:n-1 a(i)=-1/h+h*pi*pi/24; c(i)=-1/h+h*pi*pi/24; end %调用追赶法 u=yy(a,b,c,d) %得到数值解向量 u1=[0,u] %对分段区间做图 plot(x,u1) %得到解析解 y1=sin(pi/2*x); hold on plot(x,y1,'o') legend('数值解','解析解') function x=yy(a,b,c,d) n=length(b); q=zeros(n,1); p=zeros(n,1); q(1)=b(1); p(1)=d(1); for i=2:1:n

微分方程数值解试卷

中国矿业大学2008~2009学年第 1 学期 《微分方程数值解法》试卷(B )卷 考试时间:100 分钟 考试方式:半开卷 学院 班级 姓名 序号 1、下面关于Euler 公式的结论哪些是正确的(打√)?哪些是错误的(打×)? (1)二阶方法;(2)一阶方法;(3)显式公式;(4)隐式公式;(5)是数值稳定的。 2、如果微分方程为,(0)1u tu u '==,则用Taylor 级数法求()u h 时,它的前两项为: 。 3、二阶差商 11 2 2i i i u u u h +--+近似二阶导数()i u x ''局部截断误差为 。 4、算术平均11 2 i i u u +-+近似函数值()i u x 的局部截断误差为 。 5、在课本P98差分方程(3.10)中,第二个方程的局部误差是什么? 。 6、函数空间0()C I ∞ 中函数满足什么性质? 。 二、(10分)求解常系数齐次差分方程21120,1,2, 1,1 i i i u u u i u u ++-+==?? =-=?的解。 三、(25分)已知数值解公式21132(2)m m m m m u u u h f f +++-+=- (1)写出与它们对应的特征多项式。 (2)这个多步法相容吗? (3)利用课本P47公式(2.66)求公式的局部截断误差的主项。 (4)讨论这个算法的零稳定性。 (5)求这个算法的绝对稳定区间。 四、(10分)试利用初值问题的数值解公式 11 11(,) (,)n n n n n n n n u u hf x u u u hf x u ++++=+?? =+? (1)构造一个PECE 预测校正系统;

偏微分方程数值解试题06B答案

专业班级 姓名 学号 开课系室数学与计算科学学院 考试日期

偏微分方程数值解试卷 一(15分)、(1)简述用差分方法求解抛物型方程初边值问题的数值解的一般步骤.(2)写出近似一阶偏导数 n m x u |??的三种有限差分逼近及其误差阶,写出近似 n m x u |22 ??的差分逼近及其误差阶. 评分标准: (1) 7分,三个离散4分,其他步骤3分 (2) 8分,每个格式及误差2分。 二(15分)、(1)以抛物型方程的差分格式为例,解释差分格式的相容性,稳定性和收敛性概念,分析相容性,稳定性和收敛性与误差的关系,简述 Lax 等价性定理。(2) 简述差分格式稳定性分析的Fourier 级数法(或称为Neumann Von 方法,分离变量法)的一般步骤。 (1)8分,解释概念6分,等价关系2分 (2)7分,典型波2分,放大因子与条件3分,其他2分 三(20分)、对于边值问题 ?? ???=?=∈=??+???0 |) 1,0()1,0(),(,92 222G u G y x y u x u (1)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截 断误差的阶。 (2)取3/1=h ,求边值问题的数值解(写出对应的方程组的矩阵形式并求解) (3)就取5/1=h 的情况写出对应方程组的系数矩阵(用分块矩阵表示)。 解:(1)7分,离过程与格式

第二页(共五页) 四(20分)、对于初边值问题??? ????≤≤==<<=≤<<

偏微分方程数值解课程设计

课程设计报告 课程:偏微分方程数值解学号: 姓名: 班级: 教师:

《偏微分方程数值解》 课程设计指导书 一.课程设计的目的 1.帮助掌握偏微分方程数值解相关知识。 2.理解偏微分方程数值解差分隐格式解决自由振动方程问题的方法。 3.锻炼编写程序代码的能力。 二.设计名称 差分法求自由振动问题的周期解。 三.设计要求 1.要求写出差分隐格式的理论方法。 2.要求编写matlab 程序,画出函数图形。 3.要求写出实验总结及心得体会。 四.设计题目 用差分法求自由振动问题的周期解: 2222000,,0|0,|sin (0,)(2,)t t u u x t t x u u x t u t u t π==???-=-∞<<∞>???? ??==??? =??? 要求用差分隐格式求解,其中14 θ= 。 五.设计细则 1.区域剖分: 构造上式的差分逼近,取空间步长h 和时间步长τ,用两族平行直线 ?? ?===±±=== ,2,1,0,, ,2,1,0,n n t t j jh x x n j τ 作矩形网格。 2.离散格式: 显格式: 于网点),(n j t x 用Taylor 展式,并整理方程得: ??? ?? ??--++=+-++==-+-++-121121102 10102100 )1(2)(),()()1()]()([2),(n j n j n j n j n j j j j j j j j u u r u u r u x x r x x r u x u τ?????

隐格式: 上述显格式并不是绝对稳定的差分格式,为了得到绝对稳定的差分格式,用第1-n 层、 n 层、1+n 层的中心差商的权平均去逼近xx u ,得到下列差分格式: ? ??? ?? ???+-++--++-=+-+-++==----+-++-+++-++-]22)21(2[2), ()()1()]()([2),(2111112112111112 211102 10102100h u u u h u u u h u u u a u u u x x r x x r u x u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j j j j j j j j θθθττ?????其中10≤≤θ是参数。当0=θ时就是显格式,而当4 1 =θ时可以证明该格式绝对稳定。 隐格式的矩阵形式是: ??? ???????? ???????????=??????????????????????????????????????????????? ?-+-+-+-+--+-+-+++122111121121 12222 222 2222221212121J J j n J n J n j n n z z z z z u u u u u r r r r r r r r r r r r θθθθ θθθθθ θ θθ 其中: 1 111111122]2()2)(21[(-----+-+-++-++--=n j n j n j n j n j n j n j n j j u u u u u u u u r z θθ 3.格式稳定性: 1)显格式: 显格式稳定的充分必要条件是:网格比1

常微分方程数值解

第四章常微分方程数值解 [课时安排]6学时 [教学课型]理论课 [教学目的和要求] 了解常微分方程初值问题数值解法的一些基本概念,如单步法和多步法,显式和隐式,方法的阶数,整体截断误差和局部截断误差的区别和关系等;掌握一阶常微分方程初值问题的一些常用的数值计算方法,例如欧拉(Euler)方法、改进的欧拉方法、龙贝-库塔(Runge-Kutta)方法、阿达姆斯(Adams)方法等,要注意各方法的特点及有关的理论分析;掌握构造常微分方程数值解的数值积分的构造方法和泰勒展开的构造方法的基本思想,并能具体应用它们导出一些常用的数值计算公式及评估截断误差;熟练掌握龙格-库塔(R-K)方法的基本思想,公式的推导,R-K公式中系数的确定,特别是能应用“标准四阶R-K公式”解题;掌握数值方法的收敛性和稳定性的概念,并能确定给定方法的绝对稳定性区域。[教学重点与难点] 重点:欧拉方法,改进的欧拉方法,龙贝-库塔方法。 难点:R—K方法,预估-校正公式。 [教学内容与过程] 4.1 引言 本章讨论常微分方程初值问题 (4.1.1) 的数值解法,这也是科学与工程计算经常遇到的问题,由于只有很特殊的方程能用解析方法求解,而用计算机求解常微分方程的初值问题都要采用数值方法.通常我们假定(4.1.1)中 f(x,y)对y满足Lipschitz条件,即存在常数L>0,使对,有 (4.1.2) 则初值问题(4.1.1)的解存在唯一. 假定(4.1.1)的精确解为,求它的数值解就是要在区间上的一组离散点 上求的近似.通常取 ,h称为步长,求(4.1.1)的数值解是按节点的顺序逐步 推进求得.首先,要对方程做离散逼近,求出数值解的公式,再研究公式的局部截

微分方程数值解

浅谈微分方程数值解法(双语)课堂教学模式 姓名:肖录明 学号:11301010232 摘要:微分方程数值解是高等院校信息与计算科学专业的一门重要专业基础课。这是一门本具有较强实际背景,专门研究科学计算的课程。这门课程理论性较强,公式多而且难记。我们还需要通过一门语言(比如MATLAB语言)来实现我们数值计算算法。由于解微分方程在科学计算中极为常见,故学好这门课程就非常有用且能为以后的学习打下基础。在我国双语教学正在慢慢的被倡导,且益处明显。本文主要探讨该课程的双语教学模式,并对在学习过程中出现的一些问题进行了思考。 关键词:微分方程数值解法双语教学科学计算 1引言 微分方程数值解法在数值分析中占有重要的地位,它以逼近论,数值代数等学科为基础,反过来又推动这些学科的发展。微分方程数值解法就主要研究如何通过离散算法将连续形式的微分方程转化为有限维问题,如代数方程组,进而来求解其近似解[1]。主要包括求解区域网格划分、离散方程的建立、方程性能分析、近似解收敛性分析等环节。微分方程数值解法在科学计算、工程技术等领域有极其广泛的应用,比如在计算物理、化学、流体力学航空航天等很多工程领域都有用到。目前已发展成为一门计算技术学科,其核心理论内容也成为高校计算数学和应用数学等专业的核心基础专业课程之一[2]。

2双语教学的必要性 双语教学主要指中英双语教学,是一种重要的教学模式,具有特殊效果和意义。 1.双语教学可丰富教学模式,转变教学理念,促进教育改革和开放。双语教学提倡用原版教材和国外的教学方式。其语言文字原汁原味,叙述合情合理,注重启发性,内容安排适合学生。这不仅使学生学到专业知识,且有助于提高英语水平,特别是专业英语阅读和写作能力。国外的教学模式以人为本,有助于转变以教师为中心、以学习知识体系为主的教育理念,促进教育改革。 2.双语教学有助于提高学生的人文素质。多学习和运用英语可以让我们发现和扬弃汉语中那些带有落后的人文价值观念和行为方式的词汇和句子,批判地接受一些思想观念和做法,使人的思维灵活有深度,个性得以发展,创新能力不断提高。大范围开展双语教学,有助于培养出具有世界主流人文素质且能很好地参与国际交流和合作的人才。 3.双语教学有助于学生以后在国内外学习、工作、考研和国际合作等带来很多方便。 微分方程数值解法既有数学上严密的逻辑性、独特的理论结构体系,又在各种工程计算中有着重要的应用,因此是联系纯数学理论和工程应用的桥梁和纽带。很多工业应用软件是利用数值方法开发成的,并且大都用英语写成。因此,有必要用双语的形式讲授这门课,让学生在学习专业知识的同时,还掌握专业英语词汇,有助于学生以后的学习和发展。从课程的体系和内容衔接上看,这门课一般安排在大学三年级。这时侯,学生对于数学分析、常微分方程、数学物理方程和计算方法等课程有了很好的基础,其中的很多概念如:导数、定积分、

偏微分方程数值解复习题(2011硕士)

偏微分方程数值解期末复习(2011硕士) 一、考题类型 本次试卷共六道题目,题型及其所占比例分别为: 填空题20%;计算题80% 二、按章节复习内容 第一章 知识点:Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等; 要求: 会辨认差分格式, 判断线性多步法的误差和阶; 第二章 知识点:矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和、稳定性等; 要求: 建立椭圆型方程边值问题的差分格式, 极值原理; 第四章 知识点:最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和稳定性等; 要求: 建立抛物型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第五章 知识点:左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW格式、Wendroff 格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等; 要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第七章 要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式

三 练习题 1、 已知显格式21131()22 n n n n u u h f f +++-=-,试证明格式是相容的,并求它的阶。 P39+P41 2、用Taylor 展开原理构造一元函数一阶导数和二阶导数的数值微分公式。 提示:向前、向后和中心差商与一阶导数间关系,二阶中心差商与二阶导数 之间的关系 课件 3、用数值微分方法或数值积分方法建立椭圆型方程 2222(,),(,),u u f x y x y x y ??--=?∈Ω?? :01,01x y Ω≤≤≤≤ 内点差分格式。 P75+课件 4、构造椭圆型方程边值问题的差分格式. P101 (4)题 5、构建一维热传导方程220,(0)u u Lu a a t x ??=-=>??的数值差分格式(显隐格式等)。 参考P132-135相关知识点 6、设有逼近热传导方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的带权双层格式 ()()1111111122(1)2k k j j k k k k k k j j j j j j u u a u u u u u u h θθτ++++-+-+-??=-++--+?? 其中[0,1]θ∈,试求其截断误差。并证明当2 1212h a θτ=-时,截断误差的阶最 高阶为24()O h τ+。 P135+P165+课件 7、传播因子法证明抛物型方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的最简显隐和六点CN 格式稳定性。 P156+课件 8、对一阶常系数双曲型方程的初边值问题 0,0,0,0,(,0)(),0,(0,)(),0, u u a t T x a t x u x x x u t t t T φψ???+=<≤<<∞>?????=≤<∞??=≤≤?

(完整版)偏微分方程的MATLAB解法

引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象,并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而,对于广大应用工作者来说,从偏微分方程模型出发,使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量,才能得到数值解。现在,MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程;如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题,再求变分问题的近似解;有限差分法是把定解问题转化成代数方程,然后用计算机进行计算;还有一种更有意义的模拟法,它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同,但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题,如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题,由于求解比较困难,可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究,测定场中各处的电势,从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展,偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看,偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说,偏微分方程变成了数学的中心。

一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件,用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境,主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能,能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来; 2) 具有完备的图形处理功能,实现计算结果和编程的可视化; 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言,使学者易于学习和掌握; 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ,

常微分方程数值解法

第七章 常微分方程数值解法 常微分方程中只有一些典型方程能求出初等解(用初等函数表示的解),大部分的方程是求不出初等解的。另外,有些初值问题虽然有初等解,但由于形式太复杂不便于应用。因此,有必要探讨常微分方程初值问题的数值解法。本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的欧拉法、龙格-库塔法、阿达姆斯方法,在此基础上推出一阶微分方程组与高阶方程初值问题的 数值解法;此外,还将简要介绍求解二阶常微分方程值问题的差分方法、试射法。 第一节 欧拉法 求解常微分方程初值问题 ?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy (1) 的数值解,就是寻求准确解)(x y 在一系列离散节点 <<<<

偏微分方程数值解实验报告

精品文档 偏微分方程数值解 上 机 实 验 报 告 (一)实验一 一、上机题目: 用线性元求解下列边值问题的数值解:

精品文档 ′′22?? ?? ??,0

精品文档 (二)实验二 四、上机题目: 求解 Helmholtz 方程的边值问题: u k 2u 1 ,于(0,1)*(0,1) u0,于1{ x0,0y1} U{0x1, y 1} 1{ x0,0y1} U{0x1, y1} u 0,于2{0x1, y 0} U { x1,0y1} n 其中 k=1,5,10,15,20 五、实验程序:

常微分方程的数值解

实验4 常微分方程的数值解 【实验目的】 1.掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法; 2.通过实例用微分方程模型解决简化的实际问题; 3.了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式,及稳定性等概念。 【实验内容】 题3 小型火箭初始重量为1400kg,其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s,由此产生32000N的推力,火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方,比例系数为m,求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度,及火箭到达最高点的时的高度和加速度,并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。 模型及其求解 火箭在上升的过程可分为两个阶段,在全过程中假设重力加速度始终保持不变,g=s2。 在第一个过程中,火箭通过燃烧燃料产生向上的推力,同时它还受到自身重力(包括自重和该时刻剩余燃料的重量)以及与速度平方成正比的空气阻力的作用,根据牛顿第二定律,三个力的合力产生加速度,方向竖直向上。因此有如下二式: a=dv/dt=/m=/(1400-18t) dh/dt=v 又知初始时刻t=0,v=0,h=0。记x(1)=h,x(2)=v,根据MATLAB 可以求出0到60秒内火箭的速度、高度、加速度随时间的变化情况。程序如下: function [ dx ] = rocket( t,x ) a=[*x(2)^2)/(1400-18*t)]; dx=[x(2);a]; end ts=0:1:60;

x0=[0,0]; [t,x]=ode45(@rocket,ts,x0); h=x(:,1); v=x(:,2); a=[*(v.^2))./(1400-18*t)]; [t,h,v,a]; 数据如下: t h v a 000

微分方程的分类及其数值解法

微分方程的分类及其数值解法 微分方程的分类: 含有未知函数的导数,如dy/dx=2x 、ds/dt=0.4都是微分方程。 一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。 一、常微分方程的数值解法: 1、Euler 法: 00d (,), (1.1)d (), (1.2) y f x y x y x y ?=???=? 001 (),(,),0,1,,1n n n n y y x y y hf x y n N +=??=+=-? (1.4) 其中0,n b a x x nh h N -=+=. 用(1.4)求解(1.1)的方法称为Euler 方法。 后退Euler 公式???+==+++),,(),(111 00n n n n y x hf y y x y y 梯形方法公式 )].,(),([2 111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y 改进的Euler 方法11(,),(,),1().2p n n n c n n p n p c y y hf x y y y hf x y y y y ++?=+??=+???=+??? 2、Runge-Kutta 方法: p 阶方法 : 1()O h -=?总体截断误差局部截断误差 二阶Runge-Kutta 方法 ??? ????++==++=+),,(),,(,2212 1211hk y h x f k y x f k k h k h y y n n n n n n

偏微分方程数值解(试题)

偏微分方程数值解试题 1、考虑一维的抛物型方程: 2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)() x x u u x t x u x t u u x t u u x x ππνπ?==??=∈≤≤??=== (1)导出时间离散是一阶向前Euler 格式,空间离散是二阶精度的差分格式; (2)讨论(1)中导出的格式的稳定性; (3)若时间离散为二阶精度的蛙跳格式, 11 2n n n t t u u u t t +-=?-= ?? 空间离散是二阶精度的中心差分,问所导出的格式稳定吗?为什么? 2、考虑Poission 方程 2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CD u x y x y u n u x y -?=∈Ω ?=?= 其中Ω是图1中的梯形。 使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性,可以考虑梯形的一半,如图2, 图2 从物理空间到计算区域的几何变换 图1 梯形

为了求解本问题,采用如下方法:将Ω的一半投影到正方形区域?Ω ,然后在?Ω上使用差分方法来离散该方程。在计算区域?Ω 上用N N ?个网格点,空间步长为1/(1)N ξη?=?=-。 (1)引入一个映射T 将原区域Ω(带有坐标,x y )变换到单位正方形?Ω(带有坐标,ξη)。 同时导出在新区域上的方程和边界条件。 (2)在变换区域,使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。 3、对线性对流方程0 constant >0u u a a t x ??+=??,其一阶迎风有限体积法离散格式为 1?n j u +=?n j u a t x ?-?(?n j u 1?n j u --) (1)写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式; (2)写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。 (3)使用0 u u u t x ??+=??说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。 4、对一维Poission 方程 , (0,1) (0)(1)0 x xx u xe x u u ?-=∈? ==? 将[]01,分成(1)n +等分,写出用中心差分离散上述方程的差分格式,并问: (1)该差分格式与原微分方程相容吗?为什么? (2)该差分格式稳定吗?为什么? (3)该差分格式是否收敛到原微分方程的解?为什么? (4)取(1)6n +=,写出该差分格式的矩阵表示。 5、叙述二重网格方法的执行过程,并对一维常微分方程边值问题 2 25, (0,1) (0)(1)0 xx u x x x u u πππ?-=∈? ==?(sin(5)+9sin(15)) 给出限制算子和延拓算子矩阵(以细网格h :7n =,粗网格2h :3n =为例)。 6、对一阶波动方程 01(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π???+=???? ? =∈?? =??? (1)写出用中心差分进行空间离散,用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式;

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法,其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程,再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题:求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ (i.1a ) 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数,0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件,即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ (i.2) 这一条件保证了(i.1)的解是适定的,即存在,唯一,而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下,(i.1)的精确解不可能用简单的解析表达式给出,只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此,首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点: 0110N N t t t t T -=<< <<= (i.3) 其中n t hn =,0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知,微商(即导数)是差商的极限。反过来,差商就是微商的近似。在0t t =处,在(i.1a )中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ,便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε,再换个记号,用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地,我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法: (i.4) 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发,由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

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