数学归纳法以及其在初等数论中的应用
LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2013届本科毕业论文
数学归纳法及其在初等数论中的应用
院（系）名称数学科学学院
专业名称数学与应用数学
学生姓名孙xx
学号110412016
指导教师xx 讲师
完成时间2013.5
数学归纳法及其在初等数论的应用
孙xx
数学科学学院 数学与应用数学 学号：110412016
指导教师：xx
摘 要：数学归纳法是一种非常重要的数学证明方法,典型的用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他形式在一个无穷数列是成立的.本文通过直接证法引入数学归纳法,并介绍了数学归纳法的两个基本步骤及原理.初等数论研究的是关于整数的问题,故应用数学归纳法证明初等数论中的有关的命题是重要的途径.
关键词：数学归纳法;初等数论;不定方程;整除;同余
1 引论
1.1 直接证法
众所周知,数学上的许多命题都与自然数有关.这里所指的n ,往往是指任意的一个自然数.因此,这样的一个命题实际上也就是一个整列命题.要证明这样一整列命题成立,当然可以有多种不同的方法.
其中常用的方法是置n 的任何具体值而不顾,而把它看成是一个任意的自然数,也就是说,假定它只是任何自然数都具备的共同性质,并且在这样的基础上进行推导、运算.如果我们在推导运算中没有遇到什么难以克服的困难,那么我们就有可能用这种方法来完成命题的证明了.这种方法就是习惯上所说的直接证法.如下例：
例1 已知）（2;,,2,1≥???=∈n n i R x i ,满足
121=+++n x x x ,021=+++n x x x .
证明
n
n x x x n 2121221-≤+++ . 证 由条件121=+++n x x x 知1x ,2x , ,n x 不全为零;
由条件021=+++n x x x 知这n 个实数中既有正数也有负数.记
{}0:1≥=i x i A ,{}0:2<=i x i A .
则1A 和2A 都不是空集,它们互不相交,且1A ?2A ={1,2,3, ,n }.
若再记1S =∑∈1A i i x ,2S =∑∈2
A i i x , 就有
1S +2S =0,1S -2S =1.
因此知1S =-2S =2
1.采用所引入的符号,就有 ∑∑∈∈+=+++21221A i i A i i n i x i x n x x x .
由1A 和2A 的定义和性质知∑
∈1A i i i x 是若干非负数之和,∑∈2A i i i x 是若干负数之和,因此就有 ∑∑∑∑∑∈∈∈∈=+≤+=2
22111A i i A i i A i i A i i n i i x n x i x i x i x =n S S 21+=n 2121-=n
2121-. 可见命题的结论是成立的. 在这个证明中,我们没有考虑n 究竟是几的问题,只是把精力花费在对命题条件的推敲和剖析上.这种证法就是直接证法．
1.2 数学归纳法
有时,我们也会碰到一些与n 有关的命题,对于它们很难从任意的n 入手,那么我们就只能另辟蹊径,也就是所谓的数学归纳法.如下例：
例2 证明对于每个不小于3的自然数n ,都可以找到一个正整数n a ,使它可以表示为自身的n 个互不相同的正约数之和．
分析 显然,我们很难对任意一个不小于3的自然数n ,直接去找到出相应的n a 来.面对这样的情形,较为稳妥的做法只能是先从3a ,4a , 找起.经过不多的几
步探索,就可以发现,有
3216++=.
而且1,2,3恰好是6的3个互不相同的正约数,因此可将3a 取作6.在此基础上,又可发现有
632112+++=.
而且1,2,3,6恰好又是12的4个互不相同的正约数,因此又可取124=a ．循环下去,便知可依次取24,48, ．这也就告诉我们：如果取定了k a ,那么接下去就只要再取k k a a 21=+就行了.
证 当3=n 时, 3216++=.
假设当k n =时成立,即k a 可以表示成自身的k 个互不相同的正约数
k b b b <<< 21
之和,即
k k b b b a +++= 21.
取定k k a a 21=+,则：
k k k a b b b a ++++=+ 211.
若记k k a b =+1,则显然有121+<<< 由上所述,数学归纳法可以处理像例2那样不宜于采用直接证法的问题,也可以处理一些可以通过直接证法来解决的问题.如下例: 例3 证明:对任何自然数n ,数15231n n -+?+能被8整除. 若用直接证法,则如下： 证 按照n 的奇偶性,可以将上式表示两种不同的形式. 当n 为奇数时,有 ()()15 331n n n -+--. 当n 为偶数时,有 ()()1155331n n n --+--. 于是上述两式中,第一个括号内的指数都是奇数,第二个括号内的指数都是偶数. 而当k 为奇数,则有 ))((121---++-+=+k k k k k b b a a b a b a . 当k 为偶数,则12-c 可整除1-k c . 当5=a ,3=b ,3=c ,可根据上式得出两式是8的倍数.从而命题得证. 若用数学归纳法,则如下： 证 当1n =时,152318n n -+?+=能被8整除. 假设k n =时,k A 能被8整除. 则当1+=k n 时,我们有 =+1k A 15231k k ++?+=-155631k k ?+?+. 所以就有 )35(411-++=-k k k k A A . 由于对任何自然数k ,数k 5和13-k 都是奇数,所以其和135-+k k 恒为偶数. 从而)35(41-+k k 一定是8的整数.即)35(411-+++=k k k k A A 可被8整除. 由第一类数学归纳法,对任何自然数n ,数n A 都可被8整除. 1.3 初等数论 初等数论是数的规律,特别是整数性质的数学分支,它是数论中的最古老的分支.其它的组合数论、解析数论、代数数论、几何数论、超越数论都是在初等数论的基础发展起来的. 初等数论是一门十分重要的数学基础课,小学阶段就有初等数论的影子.初等数论不仅是师范院校数学专业,大学数学各专业的必修课,也是计算科学,密码学等许多相关专业所需的课程. 2 数学归纳法的原理 2.1 第一类数学归纳法 定理1 设)(n p 是关于自然数n 的命题,如果)(n p 满足:(1))(0n p 成立;(2)假设当k n =时,命题)(k p 成立,可以推出)1(+k p 成立,则命题)(n p 对一切自然数n 都成立. 证 假设命题)(n p 仍不能对一切自然数n ≥0n 成立,那么如果记 {}不成立，)(:01n p n n n A ≥=. {}成立，)(:02n p n n n A ≥=. 则有Φ≠1A .但因已证)(0n p 成立,知0n ?1A ,即有20A n ∈. 由于1A 是非空的自然数集合,所以由自然数的最小数原理,1A 有最小数1n . 由于10A n ?,所以01n n >,即有011n n ≥-. 由于1n 是1A 中最小的数,所以111A n ?-,从而211A n ∈-. 故当11-=n n 时)(n p 成立. 记11-=n k ,则由条件(2)知11n k =+时)(1n p 成立,则与11A n ∈矛盾. 故1A 为空集.也就是说,有)(n p 对一切自然数n 都成立. 例4 设()n k n n k S 12531-++++= ,2mod 0≡n ,*∈N k ,试证： 1>k 时,k k S 12-. 证 当1=k 时,结论显然成立. 假设1-=k n 时结论成立,即当()n k n n k S 1253111-++++=-- ,2mod 0≡n ,1>k 时, 122--k k S . 现证等于k 时结论成立. 由于 ()()()n k n k n k k k S S 123212111-+++++=---- ( )[]()[]()n k n k k n k k 1232212211-++--+--=-- ()[]1)32()12(111++-+--≡-- n k n k n 又因2mod 0≡n ，故上式： k k S 2mod 1-≡. 即k k k S S 2mod 21-≡,但122--k k S ,故推得k k S 12-. 由第一数学归纳法知,命题对一切正整数k 都成立. 2.2 第二类数学归纳法 定理2 设)(n p 是关于自然n 的命题,如果)(n p 满足:(1))1(p 成立;(2)假设)(n p 对于所有满足k a <的自然数a 成立时,则)(k p 也成立,那么,命题)(n p 对一切自然数n 都成立. 证 设(){}N n n p n M ∈=成立，|,又设M N A -=,假设A 不空, 由自然数的最小数原理,A 有最小数0a , 又由条件(1)M ∈1,故10≠a ,因此 1,2,M a ∈-1,0 . 又由条件(2)知M a ∈0,这与A a ∈0矛盾, 故A 为空集,从而N M =,则命题)(n p 对一切自然数n 都成立. 例5 设数列1p ,2p , ,n p , 是由小到大的顺序排列的素数序列.试证n n p 22<. 证 当1=n 时,第一个素数是2,有1 2122<=p ,命题成立. 假设当k n ≤≤１时,命题成立.即 1212 k k p p p 2222122221 <, 所以 1121222222212221++<=≤+-+++k k k k p p p . 上式左边1p 2p …k p +1本身即小于1 22+k ,其素因数当然更小于122+k ,但它的素 因数不可能为1p ,2p ,…,k p ,所以它的素因数必大于或等于1+k p ,因此有1212+<+k k p .所以,由第二数学归纳法知,对一切正整数n p 命题都成立. 2.3 跳跃数学归纳法 定理3 设)(n p 是一个表示与正整数n 有关的命题,如果)(n p 满足(1)当2,1=n 时,)1(p 和)2(p 都成立;(2)假设当k n =时,命题)(k p 成立,则当2+=k n 时,命题)2(+k p 也成立,那么)(n p 对于一切自然数n 都成立. 证 (用反证法)设)(n p 不是对所有自然数都成立,那么使)(n p 不成立的自然数集为 (){}N n n p n M ∈=不成立，|, 根据最小数原理,M 中一定存在一个最小的自然数k . 由条件(1)可知1≠k 和2≠k 于是2>k ,令21+=k k ,则1k 满足)(1k p 成立.由条件(2)可知)(1k p 成立,则)2(1+k p 也成立,即)(k p 成立.此与假设)(k p 不成立相矛盾. 故)(n p 必对一切自然数n 都成立. 上述结论可以推广到一般情形,即: 设)(n p 是一个表示与正整数n 有关的命题,t 为某一自然数()2≥t .如果(1)当t n ,,2,1 =时,命题)1(p ,)2(p , ,)(t p 都成立;(2)假设当k n =时,命题)(t p 成立，则当时t k n +=命题)(t k p +也成立,那么命题)(n p 对一切的自然数n 都成立. 例6 证明对一切自然数n ,都存在自然数n x 和n y 使得n n n y x 19932 2=+. 证 当1=n 时,取431=x ,121=y 即可,因此 19931441849124322=+=+. 当2=n 时,注意到1993124322=+,因此只要令 17051243222=-=x ,1032124322=??=y , 那么就有 222 22210321705+=+y x =21993. 故当1=n ,2=n 也成立. 假设当k n =时存在自然数k x 和k y ,使得k k k y x 199322=+, 那么显然就有 2221993 )1993()1993(+=+k k k y x , 可取k k x x 19932=+,k k y y 19932=+. 即只要k n =时断言成立,即可推得2+=k n 断言也成立． 综上所述,知对一切自然数n 断言都成立. 2.4 反向数学归纳法 定理4 设)(n p 表示一个与自然数有关n 的命题,若(1))(n p 对无数多个自然数n 都成立;(2)假设)(k p 成立,可推出)1(-k p 也成立;那么)(n p 对一切自然数n 都成立. 证 (用反证法)设所有使命题)(n p 成立的自然数集合为A ，所有使命题)(n p 不成立的自然数集合为B .如果B 不是空集,可在B 中任取一个数0b ,因A 时无穷集，所以在A 中总能可以找到一个数00b a >. 所以由条件(2),)(0a p 为真可得)1(0-a p 为真又得)11(0--a p 为真等等,经过 有限步之后,总可使)(0b p 也为真,这与假设矛盾，即B 是空集，故命题)(n p 对所有的自然数n 都成立. 例7 设p 是素数,而正整数m 与p 互素,试证:p m p mod 11≡-. 证 问题等价与要证:如果p 是素数,那么对任意正整数m ,有p m m p mod ≡. 令()*N L Lp m ∈=,则()p Lp Lp p mod ≡,即有无穷多个正整数() *N L Lp ∈使得 p m m p mod ≡, 假设1+=k m 时, ()()p k k p mod 11+≡+.则由 ()1112-2++++=+-k C k C k k p p p p p p , ()())11(mod 0! 11-≤≤≡+--p i p i i p p p , 知 ()p k k k p p mod 111+≡+≡+. 故p k k p mod ≡. 从而根据反向归纳法,对任意正整数m ,有p m m p mod ≡. 2.5 二重数学归纳法 定理5 设),(j i p 为与自然数i 和j 相关联的命题函数.如果(1)当0i i =,0j j =时,命题),(00j i p 成立.(2)对任一0i k ≥,任一0j l ≥,假定),(l k p 成立,则),1(l k p +和)1,(+l k p 都成立,那么),(j i p 对一切的0i i ≥和0j j ≥都成立. 证 i ,j 两次运用第二数学归纳法. 当0i i =时,命题()j i p ,0对0j j ≥都成立. 事实上,由条件(1),有0j j =时),(00j i p 成立. 由条件(2),假设对任意0j l ≥,()j i p ,0成立,则()1,0+j i p 也成立. 由第二数学归纳法,命题()j i p ,0对任意0j j ≥都成立. 假设对任一0i k ≥,命题()j k p ,对0j j ≥时成立,),1(j k p +对0j j ≥也成立. 事实上,由条件(2),对任意的0i k ≥,0j j ≥,假定()j k p ,成立则),1(j k p +也成立. 根据第二数学归纳法，命题),1(j k p +对一切0i i ≥和0j j ≥都成立.证毕. 例8 试证),(2为自然数n m m n mn >. 证 设),(n m p 是与自然数n m ,相关的命题函数. 当1==n m ,有1112>,显然)1,1(p . 假设对任一1≥k ,1≥l ,),(l k p 为真,即l kl k >2成立. 下面证明),1(l k p +和)1,(+l k p 都成立. ()()()l l l l kl l kl l k k k k 12222221+≥≥?>?==++. 即有),1(l k p +成立. ()1122222+++≥?>?>?==l l k l k kl k kl l k k k k k . 即有)1,(+l k p 成立. 由二重归纳法可知,对任意的1,1≥≥n m ,),(2为自然数n m m n mn >. 2.6 第一类数学归纳法和第二类数学归纳法之间的关系 定理6 第一类数学归纳法和第二类数学归纳法等价. 证 假设性质)(n p 在1=n 时成立. 则可以转化为：“由数学归纳法及其应用,假设当k n =时,命题)(k p 成立,则可以推出)1(+k p 成立”的充分必要条件为“由)(n p （其中k n ≤）成立,可以推出)1(+k p 成立”. [必要性] 由已知“由)(k p 成立,则可以推出)1(+k p 成立”. 假设k n ≤时)(n p 成立,特别)(k p 成立,所以)1(+k p 成立.得证. [充分性] 由已知k n ≤时)(n p 成立,可以推出)1(+k p 成立. 于是,由)(0k p 成立推不出)1(0+k p 成立的所有自然数0k 构成一非空子集,记m 为该子集的最小自然数. 所以,对任一自然数n ,只要m n <,那么由)(n p 成立可以推出)1(+n p 成立. 特别,由)1(p 成立可知)2(p 成立,…,由)1(-m p 成立可知)(m p . 已知)1(p 成立,因此)1(p 、)2(p 、…、)(m p 都成立,然而由此可知)1(+m p 成立, 所以从)(m p 成立推出了)1(+m p 成立； 另一方面,由m 的选取可知,由)(m p 成立推不出)1(+m p 成立,这就导出矛盾,得证. 3 数学归纳法原理在初等数论中的应用 初等数论是研究整数性质的一门理论,大致分为整数理论、整除理论、同余理 论、不定方程,而数学归纳法就是关于解决自然数的数学方法,故初等数论的多数定理,习题都是通过数学归纳法证明,例如最基本的算术基本定理就是用第二数学归纳法证明. 3.1 整除性 整除性理论是初等数论的基础.利用数学归纳法解决初等数论中有关整除问题,可以解决众多问题. 例9 设集合()n a a a ,,,21 为n 元正整数集N n ∈,2=n .证明 ()∏≤<≤-n k l l k a a 1能被 ()∏≤<≤-n k l l k 1整除. 证 当2=n 时, 1=l ,2=k .易证结论成立. 假设命题对于)3(1≥-n n 的情形成立.即对任意1-n 元整数集合()121,,,-k a a a ,满足 ()∏-≤<≤-11n k l l k a a 被 ()∏-≤<≤-11n k l l k 整除.下面证命题关于n 的情形也成立. 令 ()()N p p p p l k i i l n k l l ∈=-∏-≤<≤αααα为质数， 212111,若设()i i r n p =-)!1(,则n 元正整数 集()n a a a ,,,21 中存在一个整数(不妨记为n a )使得 )())((121----n n n n r i a a a a a a p i . 若()'=???? ??-∏-≤<≤i n k l i r l k p 11,则由归纳假设,得 ()???? ??-∏-≤<≤' 11n k l l k r i a a p i . 即可得： ∏≤<≤' +-n k l l k r r i a a p i i 1)(. 因为 ()??? ? ?? -=∏≤<≤n k l l k i i a a p 1α ()()??? ? ??--=∏≤<≤n k l l k i a a n p 1!1 ()()(). !11'+=???? ??--=∏≤<≤i i n k l l k i i r r a a p n p 所以 ()() ,3,2,11' =-∏≤<≤+i a a p n k l l k r r i i . 又因11αp ,22αp , ,l l p α两两互质,所以 ()∏≤<≤-n k l l k l a a p p p l 12121ααα . 又 ()l l n k l p p p l k ααα 212111=-∏-≤<≤. 故 ()()∏∏≤<≤≤<≤--n k l l k n k l a a l k 11. 由第一类数学归纳法结论成立. 例10 证明存在正整数m ,使得()()9372+?+=n n n f 对任意自然数n 都能被m 整除?若存在,求出最大的m 值,并证明你的结论. 证 当1=n 时有()()3693721=+?+=f , 当2=n 时有()()363108937422?==+?+=f , 当3=n 时有()()3610360937633?==+?+=f , 由此推想存在正整数m ,且m 的最大值为36,即对任意的自然数n ，)(n f 都能被36整除. 当1=n 时明显有命题成立； 假设当k n =时有命题成立,即()()9372+?+=k k k f 能被36整除. 那么当1+=k n 时有 ()()[]9371211+?++=++k k k f ()183********-??+?+?+=k k k ()() 131********-+?+?+=-k k k . 由于131--k ()2≥k 是2的倍数,故有()13181--k 是36的倍数. 即()13181--k 能被36整除,由假设得()1+k f 能被36整除. 即命题成立,故存在最大的正整数m ,且m 的值为36. 3.2 不定方程 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数的式子,是数论的一个分支,它有着悠久的历史与丰富的内容.早在公元3世纪古希腊的丢番图就开始研究不定方程.著名费马大定理,就是关于不定方程的问题.他在阅读丢番图《算术》时写到:将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的.关于此,我确信已发现了一种美妙的证法 ,可惜这里空白的地方太小,写不下.也就是: 当3≥n 时,不定方程 n n n z y x =+ 没有正整数解. 这个问题困扰了数学家几百年,至到英国数学家安德鲁?怀尔斯的出现.可见,不定方程是数论的重要一部分. 不定方程一般要解决三个问题:一是判断何时有解,二是决定解的个数,三是求出所有的解.我们就可以利用数学归纳法解决问题.如下例: 例11 证明对一切自然数n ,不定方程n z y x =+22都有正整数解. 证 当1n =时,取1==y x ,2=z . 当2=n ,取3=x ,4=y ,5=z . 即满足方程,故知命题1=n 和2时成立. 假定当k n =时,0x x =,0y y =,0z z =是方程的一组正数解;那么当2+=k n ,只要取00z x x =,00z y y =,0z z =,则有 ()()()20202020200200+=+=+k z z x z z y z x . 知它们恰为方程的一组正整数解,所以当2+=k n 时,命题成立. 由于采用了两个起点,所以可以用两个跳跃,这表明对一切自然数n ,不定方程都有正整数解,证毕. 3.3同余 在日常生活中,我们所要注意的常常不是某些整数,而是这些数用某一固定的 数去除所得的余数.例如问现在是星期几,就是问用7去除某一个总的天数所得的余数.这样,就在数学中产生了同余概念.同余理论是初等数论的重要组成部分,是研究整数问题的重要工具之一,利用同余来论证某些整除性的问题是很简便的.同样,我们可以数学归纳法来研究同余问题.如下所示: 例12 已知11=a ,22=a ,而当3≥n 时有 ????-?-=--------为奇数 若为偶数若21212121,,,35n n n n n n n n n a a a a a a a a a 证明对一切自然数n ,都有0≠n a . 分析 在这里显然有01≠a ,02≠a .但若假设01≠-k a ,0≠k a ,却很难有所给的递推关系式断言01≠+k a .可见就原命题证明原命题也很难奏效. 我们可以多演算几项,最初的一些项依次是：1,2,7,29,22,23,49,26, .它们显然都是不为零,不过其中既有奇数,也有偶数.但是,我们求同余,可以得出依次是被4除的余数是1,2,3,1,2,3, ,有着非常明显的规律.这就启发我们猜测,可能对一切n ,都会有 4mod 123≡-n a ,4mod 213≡-n a ,4mod 33≡n a . 如果这一猜测真能成立,那么数列中的一切项当然也就不可能成为零了. 证 显然4mod 11≡a ,4mod 22≡a ,4mod 33≡a , 故在1=n 时成立. 假设当k n =时,我们的猜测也成立,即有： 4mod 123≡-k a ,4mod 213≡-k a ,4mod 33≡k a . 那么当1+=k n 时,由递推公式可知 4mod 196153513313≡≡-≡-≡-+k k k a a a ； 4mod 223131323≡-≡-≡-≡++k k k a a a ； 4mod 3731035132333≡≡-≡-≡+++k k k a a a . 这就表明,当1+=k n 时,我们的猜测也正确. 故知对一切n ,0≠n a . 3.4 初等数论中的不等式 例13 若x 是一个正实数,n 是一个正整数,证明： [][][][][]n nx x x x nx ++++≥ 33221. 证 设[][][][]k kx x x x x k ++++= 33221,则[]k kx x x k k +=-1. 当1=n 时,显然有[][]1 1x x x =≥. 假设不等式1-≤k n 时都成立,即[]()1,,2,1-=≤k i ix x i . 考虑k n =时的情形.由于 ()[]kx x x k kx k k k ++-=--111, ()()()[]x k x x k x k k k k 121221-++-=----, []x x x x 323223++=, []x x x x 22112++=, 将以上各式两边分别相加,得 [][][]x x kx x x x x x kx k k k 2311221+++++++++=-- , 由归纳假设,[]()1,,2,1-=≤k i ix x i ,则 ()[]()[][][][][][][]x x kx x x x x k x k kx k 23221++++++++-+-≤ ()[][]()()[][]()[]()[]()[]kx x k x x x k x x k +-++++-++-=1221 . 由[][][]b a b a +≤+,则 [][][][]kx k kx kx kx kx k =+++≤ . 故[]kx x k ≤. 即k n =时不等式成立,从而对任意的自然数n ,都有 [][][][][]n nx x x x nx ++++≥ 33221. 4 数学归纳法在初等数论中注意的问题 数学归纳法的两个步骤中,我们通常将验证)(0n p 成立称作起步;将假设条件成为归纳假设,而将由归纳假设推出)1(+k p 也成立的过程叫做归纳过渡.这几步缺一不可.如果使用不当就可能导致错误. 4.1 起步错误 在数学归纳法的基本形式之下,第一步通常总是由验证)(0n p 成立开始,但是往往容易忽略,觉得无关紧要,可有可无,不去认真的验证这一步,或者根本没有这一步,都可能陷入错误之中,推出看似正确的答案.如下例： 例14 试讨论n 2与2n 的大小. 错解 由1=n 时,2112>;2=n 时,2222=. 假设当k n =时,22k k >成立. 则当1+=k n 时, ()()()21122122 221-->+-?=+-+k k k k k . 而当3≥n 时,02)1(2>--k 恒成立. 故当1+=k n 时,()2 112+>+k k 也成立. 由第一类数学归纳法知:22n n ≥. 分析 当3=n 时,2332<.显然上式结论不正确,但是为什么得出正确的结果. 就是在起步时错误.当1=n 时成立,并非正确的选择.正确的证法如下: 证 由1=n 时,2112>;当2=n 时,2222=;当3=n 时,2332<. 当4=n 时,2442=;当5=n 时,2552>;当6=n 时,2662>. 由此可得,当5≥n 时,22n n ≥. 当5=n 时,2552>. 假设当)5(≥=k k n 时,22k k >成立. 则当1+=k n 时, ()()()021122122 221>-->+-?=+-+k k k k k . 故当1+=k n 时,()2 112+>+k k 也成立. 由第一类数学归纳法知:22n n ≥. 4.2 机械套用数学归纳法的两个步骤致误 在用数学归纳法时,一般k n =时推出1+=k n 时成立.当时有时,并非如此,但有时往往不注意.如下: 例14 当n 为正奇数时,17+n 能否被8整除？若能,用数学归纳法证明;若不能,请举出反例. 错证 当1=n 时,817=+能被8整除,命题成立. 假设当k n =时命题成立,即17+k 能被8整除. 当1+=k n 时,6)17(7171-+=++k k 不能被8整除. 分析 如果1+=k n 时,n 就是所有的正整数，而不是所有的正奇数.故上述是错误的证法.机械套用数学归纳法中的两个步骤致误. 证 当1=n 时,817=+能被8整除,命题成立. 假设当k n =时命题成立,即17+k 能被8整除. 当2+=k n 时, 48)17(4971)17(717222-+=-++=++k k k 因17+k 能被8整除且48能被8整除,即当2+=k n 时,命题也成立. 故当n 为正奇数时,17+n 能被8整除. 4.3 混淆概念所致 不完全归纳法是从一类对象中部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法.而有时往往把数学归纳法误认为是数学归纳法导致错误. 费马是17世纪法国著名的数学家,他认为,当N n ∈时,n 22+1一定都是质数,这是他对0=n ,1,2,3,4作了验证后得到的． 因为当0=n ,1,2,3,4时,它的值分别等于3,5,17,257,65537． 这五个数都是素数.后来,18世纪伟大的瑞士科学家欧拉证明了 64167004174294967297125 2?==+. 从而否定了费马的推测.没想到当5=n 这一结论便不成立.后来,有人还证明了当6=n ,7,8,9时候,式子的值也都不是素数.由此可见,只是验证有限个n ,也就是不完全归纳法,严格按数学归纳法证才能正确. 4.4 归纳递推的必要性 例15 求证:22221123(1)(21)6n n n n ++++=++ . 错证 当1n =时,得21112316 =???=,这时等式成立. 假设n k =时, 这个等式成立； 当1n k =+时, 222221123(1)(1)[(1)1][2(1)1]6 k k k k k ++++++=+++++ 而 11(1)[(1)1][2(1)1](1)(2)(23)66 k k k k k k +++++=+++. 所以 222221123(1)(1)(2)(23)6 k k k k k ++++++=+++ . 故当1n k =+时,这个等式也是成立的. 归纳步骤完成,结论成立. 分析 上面的证明似乎也用到了数学归纳法的两个步骤,但事实上,在证明等式 222221123(1)(1)(2)(23)6 k k k k k ++++++=+++ 的过程中根本没有用到22221123(1)(21)6 k k k k ++++= ++ 这个式子. 即从“k ”到“1k +”的过程. 证 当1n =时,得21112316 =???=,这时等式成立. 假设n k =时, 这个等式成立； 在n k =时,这个等式两边都加上2(1)k +,得 2222221123(1)(1)(21)(1)6 k k k k k k ++++++=+++ 1(1)(2)(23)6k k k = +++ 这就是说, 当1n k =+时, 这个等式是成立的. 归纳步骤完成,就可以断定,对于任何自然数n ,这个等式都能成立. 上面举的几类错误地应用数学归纳法的例子,实际上通过这些例子说明了应用数学归纳法应当注意的地方.让大家明白数学归纳法的两个步骤是密切联系、缺一不可的. 5 总结 由上述的论证过程,我们可以看到,在用数学归纳法证明与自然数有关的命题时,两个基本步骤是不可缺少的,否则命题不一定成立.用数学归纳法证明命题可以降低过程的复杂性,使推理过程简单,清晰,也保证了推理的严谨性,特别是在初 等数论中的众多命题的证明时,使得证明过程简洁明了,而不失严密性,数学归纳法是一种行之有效的证明方法. 尽管数学归纳法是一种证明方法,但实质是递推思想,只要把握住“递推”,巧妙的进行命题转换,以递推分析为主,这样就可以理解其实质,掌握证题技巧,真正提高分析问题解决问题的能力. 致谢 本论文的完成要特别感谢我的指导老师薛琳为我指导,耐心的帮助我分析问题,理顺思路,使我将书本上的知识加以灵活运用,最终确定了论文的研究思路与研究方向. 同时,愿借此机会,感谢洛阳师范学院对我的培养,感谢各位授课老师的辛勤劳动,另外还要感谢同学们互帮互学的情谊,感谢参考文献的作者.这一切是本人完成学业,并取得研究成果的重要前提.感谢各位同学,在平时的学习、本论文写作过程中给予的指导与帮助. 参考文献 [1]闵嗣鹤.初等数论[J].高等教育出版社,2003. [2]苏淳.漫话数学归纳法[M].中国科学技术大学出版社,2001. [3]吕孝亮.关于数学归纳法的基础研究[J].学术论坛前沿,2008,12(1)：291. [4]华罗庚.数学归纳法[M].科学出版社,2002. [5]洪波.怎样应用数学归纳法[M].上海教育出版社,1979. [6]单樽.初等数论[M].南京大学出版社,2000. [7]邓元春.数学归纳法在数论中的运用举隅[J].江西师范大学数学与信息科学学院,2010,10(1)：47-48. Mathematical Induction and Application in Elementary Number Theory SUN Yan-yan College of Mathematics Science No：110412016 Tutor：XUE Lin Abstract:Mathematical induction is a method of mathematical proof which is very important, typically using for determining an expression in the context of all natural numbers is set up or an infinite series is established.This article introduces the mathematical induction by drect proof methods,and descibes two basic steps and principles of mathematical induction.Elementary number theory is the study of the problem of integer,so it is a very important way that applying mathematical induction prove theories of elementary number theory. Key Words:mathematical induction; elementary number theory;integer division; indeterminate equation;congruence 《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？ 数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。 （2）研究性课题：杨辉三角。 （3）数列的极限。 （4）函数的极限。 （5）极限的四则运算。 （6）函数的连续性。 本章难点内容是： （1）数学归纳法的原理及其应用。 （2）极限的概念。 【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1．归纳法 前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 （1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 （2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法 在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式 成立，就是。那么， 。这就是说，如果n=k 时等式成立， 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。 在证明传递性时，应注意： （1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 （2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。 课题：数学归纳法及其应用举例 【教学目标】 知识与技能： 1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质; 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)． 3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法: 1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法; 3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感、态度、价值观: 1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神； 2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神； 3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神； 4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用. 【教学难点】 数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学过程】 一、创设情境，启动思维 情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等； 教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常 1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发 第2课时数学归纳法的应用双基达标(限时20分钟) 1．利用数学归纳法证明1 n＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n<1(n∈N *，且n≥2)时，第二步 由k到k＋1时不等式左端的变化是 ()． A．增加了 1 2k＋1 这一项 B．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项 C．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项，同时减少了 1 k这一项 D．以上都不对 解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n 的等差数列，当n＝k时，左端为1 k＋ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k；当n＝k＋1时， 左端为 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ，对比两式，可得结论． 答案 C 2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是 ()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确 B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确 C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确 D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*) 解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确． 答案 B 3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于 ()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2 解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分． 答案 C 4．已知S n＝1 1·3＋ 1 3·5＋ 1 5·7＋…＋ 1 (2n－1)(2n＋1) ，则S1＝________，S2＝________， S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________. 解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n 2n＋1 . 答案1 3 2 5 3 7 4 9 n 2n＋1 5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除． 答案2x2k－y2k能被x＋y整除 6．用数学归纳法证明： 1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 n2＜2－ 1 n(n≥2)． 证明：(1)当n＝2时，1＋1 22＝ 5 4＜2－ 1 2＝ 3 2，命题成立． (2)假设当n＝k时命题成立，即1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 k2＜2－ 1 k，当n＝k＋1时， 1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 k2＋ 1 (k＋1)2 ＜2－ 1 k＋ 1 (k＋1)2 ＜2－ 1 k＋ 1 k(k＋1) ＝2－ 1 k＋ 1 k－ 1 k＋1＝2－ 1 k＋1 ，命题成立． 由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立． 综合提高(限时25分钟) 《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案 一、说教材 （一）教材分析 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了 由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为 一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。 数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本 节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。 （二）教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问 题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何 让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。 1.知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 2.能力目标 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。 3.情感目标 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 （三）教学重难点 根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点： 1.重点 （1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 2.难点 （1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。 二、说教法 本课采用交往式的教学方法。交往教学法的特点是：在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同 探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作;既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动 性、平等性、开放性、合作性。这种教学方法的优点是学生心态开放，主体性和主动性凸现，独立的个性 得到张扬，因而创造性得到解放。 三、说学法 本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。本课学生的 学习主要采用下面的模式进行： 观察情景提出问题分析问题猜想与置疑（结论或解决问题的途径） 论证应用。 探究学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程。学生在探究问题过程中学习，在探究问题 的过程中激发学生的好奇心和创新精神;在探究过程中学习科学研究的方法;在探究过程中形成坚韧不拔 数学归纳法的应用 姓名 甘国优 指导教师 赵慧炜 中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力． 关键词：数学归纳法；步骤;证明方法． Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application ． Key words ：Mathematical induction; Steps ; Proof. 引言 演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，他有着其他方法所不能代替的作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件：①当1n =时，这个命题为正确的（奠基），②当n k =时，这个命题也为正确的．推出当+1n k =时，这个命题也为正确的（递推）．通过“递推”链接，实现从特殊到一般的转化，抽象的进行数学归纳.首先 目录 1、数学归纳法---------------------------------------------------------- 3 1.1 归纳法定义-------------------------------------------------------- 3 1.2 数学归纳法体现的数学思想----------------------------------------- 4 1.2.1 从特殊到一般------------------------------------------------ 4 1.2.2 递推思想---------------------------------------------------- 4 2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧------------------------------------- 5 2.1 强调------------------------------------------------------------- 5 2.1.1 两条缺一不可------------------------------------------------ 5 2.2 技巧------------------------------------------------------------- 5 2.2.1 认真用好归纳假设-------------------------------------------- 5 2.2.2 学会从头看起------------------------------------------------ 6 2.2.3 在起点上下功夫---------------------------------------------- 7 2.2.4 正确选取起点和过渡------------------------------------------ 8 2.2.5 选取适当的归纳假设形式-------------------------------------- 9 3、数学归纳法在中学数学中的应用 ---------------------------------------- 9 3.1 证明有关自然数的等式--------------------------------------------- 9 3.2 证明有关自然数的不等式------------------------------------------ 11 3.3 证明不等式------------------------------------------------------ 11 3.4 在函数迭代中的应用---------------------------------------------- 12 3.5 在几何中的应用-------------------------------------------------- 14 3.6 在排列、组合中的应用-------------------------------------------- 16 3.7 在数列中的应用-------------------------------------------------- 16 3.8 有关整除的问题-------------------------------------------------- 17 数学归纳法在离散数学中的应用 在由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法称为归纳法。而 数学归纳法则是用于证明与自然数n 有关的结论的归纳法：如果我们能够证明当n=1时结论是成立的，而且我们能用相同的方法由n=1命题成立证得n=2命题也成立；由n=2命题成立证得n=3成立；由n=3命题成立证得n=4成立…而且这个过程显然可以无穷进行下去。则我们就断言对于所有自然数n 命题都是成立的。数学归纳法的一般形式为，关键是归纳： 初始步）：先证n ＝1时，结论成立； 归纳步)：再证若假设对自然数n ＝k 结论成立（或者对所有小于等于n 的 自然数k 结论都成立），则对下一个自然数n ＝k+1结论也成立； 结论）： 根据初始步和归纳步的证明得出结论对所有自然数都成立。 当结论与多个自然数有关时这样一类题目的时候，要注意的一点就是对所要进行归纳的自然数的选择。 例1、对群 课题：数学归纳法及其应用举例 教材：人民教育出版社A版 一、教学目标 【知识目标】 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 【能力目标】 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。 【情感目标】 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 二．教学重点、难点 【重点】（1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 【难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 板书设计 1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机． 数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束． 把递推思想的介绍、理解、运用放在主要位置，必然对理解数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学过程中努力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试． 浅谈数学归纳法的应用 数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。 一、用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。 例1、是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由. 证明：解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m =36. 下面用数学归纳法证明： （1）当n =1时，显然成立. （2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k --1－1）， 由于3k -1－1是2的倍数，故18（3k － 1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除. 由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36. 二、用数学归纳法证明恒等式问题 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 例2、是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12 )1()1(32212222c bn an n n n n +++=+?++?+?对一切自然数n 成立？并证明你的结论． 解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得 ???? ?????++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11 ,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立： )10113(12)1()1(32212222+++= +?++?+?n n n n n n 令222)1(3221+?++?+?=n n S n 假设k n =时上式成立，即)10113(12 )1(2+++= k k k k S k 那么21)2)(1(+++=+k k S S k k 22)2)(1()10113(12 )1(++++++=k k k k k k 数学归纳法的七种变式及其应用 数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4是证明一个命题对于所有的自然数都是成立的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为： 数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4 是证明一个命题对于所有的自然数都是成立 的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为： 设()p n 是一个含有正整数n 的命题(n a ≥，*a N ∈), 如果 1）当n =a 时,()p a 成立； 数学归纳法的应用 姓名甘国优指导教师赵慧炜 中文摘要:数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法,其应用极为广泛。本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想,体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力。 关键词：数学归纳法;步骤；证明方法. Ａbstｒact：Maｔhｅmatical inｄuｃtioｎ is a ｃommon evidencｅｍｅt ｈod iｎ mathematics， it is have very broａd appliｃation。 In this pａｐｅr，aｕｔhor researｃh ｉntｏ the ｓtep oｆｔhｅ Mathematica ｌ indｕctiｏn , it includes sｕmmaｒiz，ｅvideｎce ａnｄｇuess embod ｙ thｅ idea oｆtｈe eｖidｅnce oｆmatｈｅmatｉcaｌｉndｕctiｏn． Aｌso at herｅ ,we summaｒiz tｈｅmethoｄoｆ the mａthｅmat ｉcal induｃtioｎapplicaｔion iｎsolvｅａlgebra iｄenｔities ， g ｅoｍetric ,ordｅr anｄ porｔfolio ，and so on .ａlso analyze the c ｏmmoｎerrorｓ on ａｐpｌｉcation and into duct sｋｉｌl of tｈe ｐroof ,ｐroｏf ｏｆskills iｎtｒｏｄuceｄ. Iｔ is ｈelp to inｃr ｅａsed tｈe leｖeｌ of the Mathematiｃal indｕction’s appｌicａtion．Key woｒｄs：Maｔｈematical induction; Steps ; Proｏf． 引言 演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法,他有着其他方法所不能代替的作用,也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法。我们在学习 数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题 摘要 在处理数学问题时，经常涉及与任意自然数有关的一些命题，这些命题实质上是由无限个n取具体整数时得到的无限个命题组成的，我们往往不能逐一验证，这时，数学归纳法就是我们最常应用的一个有效的推理方法，为什么我们能够相信数学归纳法的证明呢？因为数学归纳法实质上是一种演绎推理法，华罗庚老先生是这样解释数学归纳法原理的：“我们采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，我们能够证明第1号命题是正确的；如果我们能够证明在第K 号命题正确的时候，第K+1号命题也是正确的，那么，这一批命题就全部正确.”其实，数学归纳法的正确性在我们学到的自然数的公理系统已经得到说明，他是与皮亚诺公理等价的一个本原性命题. 关键字数学归纳法常见方式及问题无限有限 数学归纳法（Mathematical Induction，通常简称为MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。是用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式（不等式）成立和数列通项公式成立。 数学归纳法一般分为以下几种常见的方式： （一）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤 （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n）， （1）验证n=n0时P(n）成立； （2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （三）倒推归纳法（反向归纳法）： （1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立， （2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立， 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （四）螺旋式归纳法 说课题目：数学归纳法及其应用举例（第一课时） （选自人教版高中数学选修2-2第二章第3节） 一、教材分析 1．内容的前后联系、地位和作用 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的 学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不 完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特 殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全 归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安 排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。也是历年高考中比较常考的证明方法. 它可以证明某些与正整数有关且具有递推性的数学 命题，也可以通过?有限?来解决某些?无限?问题. 2. 教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对 已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于 置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订 以下教学目标。 【知识目标】 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 【能力目标】 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密 的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新 能力。 【情感目标】 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困 难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜 欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 3．教学重点、难点 【重点】（1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 【难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。 二、教法、学法分析 【教法的选择】《数学归纳法及其应用举例》教案
数学归纳法及其应用举例1
高中数学《数学归纳法及其应用举例》教学设计附反思
浅谈数学归纳法在高考中的应用
数学归纳法的应用习题
高中数学《数学归纳法及应用举例》说课稿
数学归纳法的应用
浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用2
数学归纳法在离散数学中的应用
高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》教案
数学论文 浅谈数学归纳法的应用
数学归纳法的七种变式及其应用
数学归纳法的七种变式及其应用..
数学归纳法的应用
数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题论文
高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》说课稿