立方根的题目
典型例题一
例01 判断正误
1．8的立方根是2± 2．0.27的立方根是0.3． 3．-4是64的立方根． 4．-125的立方根是-5． 5．-2是-4的平方根． 6．a 表示a 的平方根． 7．525±=． 8．9813=．
9．-0.5是-0.125的立方根． 10．3273-=-
解：1．∵8只有一个立方根2，∴本题结论是错误的． 2．∵027.0)3.0(3=，∴本题的结论是错误的．
3．∵ 64)4(3-=-，∴-4是-64的立方根，故本题结论是错误的． 4．∵ 125)5(3
-=-，∴ 本题结论正确． 5．∵ 负数没有平方根，∴ 本题结论是错误的． 6．∵ a 只表示a 的算术平方根，∴本题的结论也是错误的． 7．∵
525=，∴ 本题结论也是错误的．
8．∵ 9是81的算术平方根，不是81的立方根，∴ 本题的结论是错误的． 9．∵ 125.0)5.0(3
-=-，本题结论正确． 10．∵ 27)3(3-=-，∴本题结论正确．
说明： ①命题目的：这组判断很好，它从各个侧面考查学生掌握立方根与平方根的概念．
②解题关键：对概念的灵活运用．
③错解剖析：如认为525±=是正确的，产生这种原因的主要问题在于对25的意义理解不透．
典型例题二
例02．阅读下面语句：
①1-的k 3次方（k 是整数）的立方根是1-．
②如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数或者是1，或者是0． ③如果0≠a ，那么a 的立方根的符号与a 的符号相同． ④一个正数的算术平方根以及它的立方根都小于原来的数． ⑤两个互为相反数的数开立方所得的结果仍然互为相反数． 在上面语句中，正确的有（ ）
A ．1句
B ．2句
C ．3句
D ．4句
分析：当1=k 时，3331)1(-=-k ，而当2=k 时，11)1()1(336
33==-=-k ，可
见①不正确；1)1(3-=-，这说明一个数的立方根等于它本身时，这个数有可能行装于1-，所以②不正确；当0>a 时，3a 是正数，当0 04.02.0,2.004.0>=，这个例子足以说明一个正数的算术平方根未必小于原来的数， 3 001.0的情况与此相同；课本中写到：“如果0>a ，那么33a a -=-”，这个关系式对 0 解答 B 说明 考查立方根的定义及性质． 典型例题三 例03．设8 27 - =x ，则2x ，3x ，32x 分别等于（ ） A ．89,23,827-- B ．89,23,827- C ．49,23,827- D ．4 9,23,827-- 分析 64 729 )827(2= - ， ∵,64 729 )827( 2= ∴ 8 27 )827(2= - ． ∵ 827)2 3 (2 - =，∴2 3 3-=x ． ∵647292=x ，64 729)49(3=，∴493 2=x ． 解答 C 说明 考查平方根、立方根的求法． 例04 有下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1和0． 其中错误的是 A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④ 分析 一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数；0的立方根是0．立方根等于本身的数有0，1和1-．所以①、②、④都是错的，只有③正确． 解答 B 说明 立方根性质与平方根性质既有联系又有区别，不能混淆． 典型例题五 例05．下列语句正确的是（ ） A ．64的立方根是2 B ．-3是27的负立方根 C ． 216125的立方根是6 5± D ．2 )1(-的立方根是1- 分析 A 中64=8，它的立方根是2，对；B 中27只有一个正的立方根，没有负的立方根，错；C 中正数的立方根应只有一个，错；D 中2)1(-=1，它的立方根是1，而不是1-． 解答 A 说明 注意立方根意义 典型例题六 例06．下列各式正确的是（ ） A ．525±= B ．3388-=- C ．6)6(32-=- D ．5)3()4(2 2-=-+- 分析 因25表示25的算术平方根，即525=，2)6(-表2 )6(-的算术平方根，即6)6(2=-；525916)3()4(2 2== +=-+-.故只有B 正确． 解答 B 说明 33 a a -=-成立，但a a -≠-． 例07．下列语句对不对？为什么？ （1）0.027的立方根是0.3． （2）3a 不可能是负数． （3）如果a 是b 的立方根，那么0≥ab ． （4）一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1． 分析 立方根的定义是解题的基础，一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根．因为开立方与立方互为逆运算，我们知道正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是零．也就是说，一个数的立方根是惟一的，这是与平方根的最主要的区别．从这些出发考虑问题，上述题不难解答． 解答 （1）正确．因为027.0)3.0(3=，所以0.027的立方根是0.3． （2）不正确．当a 是负数时，就有一个负的立方根，即3a 就是负数． （3）正确．如果b 是正数，它的立方根a 也是正数；如果b 是负数，它的立方根a 也是负数；如果b 是零，它的立方根是零，所以0≥ab ． （4）不正确．一个正数的平方根均有两个，而立方根只有一个，通常不可能相等．而平方根只有一个的数是0，0的立方根也恰是零．因此一个数的平方根与立方根相同，这个数只能是零． 说明 立方根与平方根有相似之处，但也有区别，主要是：一个数的立方根是惟一的，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，不注意这一点，往往容易出错． 典型例题八 例08．求下列各式的值 （1）364 27 - - （2）3973.01- （3）327 10 5- - （4）32004524?? 分析 （1）根据立方根的性质，可以把负号由根号内移至根号外；（2）、（3）注意运算顺序，应先做减法；（4）不要将2004524??求出来，而应进行质因数分解，找出三次幂的形式． 解答 （1）4 36427642733==- - （2）.3.0027.0973.0133==- （3）.3 5271252710533-=-=- - （4）3223310235322004524?????=?? . 60103210323333=??=??= 典型例题九 例09．求适合27)5(3-=+x 中的x ． 解答 两边开立方得3275-=+x 即35-=+x ， ∴ 8-=x ． 说明 本例实质上是解关于x 的三次方程，两边开立方是解这类方程的最基本的方法． 典型例题十 例10．一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，它是由三层完全相同的小正方体组成的，体积为216立方厘米，求组成它的每个小正方体的棱长． 分析 立方体的体积等于棱长的立方，所以这是一个求立方根的问题． 解答1：∵21663 =，∴62163=，即这种玩具的棱长为6厘米，所以每个小正方体的棱长为236=÷（厘米） 解答2：设小正方体的棱长为a 厘米，则玩具的棱长为a 3厘米，由题意得 216)3(3=a ，∴216273=a ，83=a ，2=a （厘米） ． 解答3：设小正方体的棱长为a 厘米．则玩具的棱长为a 3厘米，由题意得216)3(3 =a ，∴621633==a ，∴2=a （厘米）． 典型例题十一 例11．已知0>a ，试比较a 与3a 的大小关系． 分析 当1>a 时，3a a >；当1=a 时，3a a =；当10<a 时， a 与3a 的大小关系与当10< 当1000>a 时，101000,10100033>==a ；当001.0=a 时，1.0001.033==a ， 1.0001.0<，由此猜想当1>a 时，3a a >；而当10< 当0>a 时，03>a ．比较两个正数的大小，可以计算它们的商或差，当它们的商大于1时，可以断定被除数大于除数；当它们的商小于1时，则可断定被除数小于除数．当两个正数的差大于0时，说明被减数大，当差小于0时，则说明被减数小于减数． 设b a =3 ，则a b =3 ，且2 33 b b b a a == 看来，需要确定b ，即3a 与1的大小关系，因为在这两种情况下2 b 与1的大小关系是不一样的，这仍然要分1>a 和10< 证明：如果13=a ，则有11)(333==a ． 可见当1>a 或10< .11)(1)()()(3333232332333<=? 所以，当1>a 时，13>a ． 同理可证，当10< 设b a =3 ，则a b =3 ，且2 33 b b b a a ==． 根据上面证明， 当1>a 时，1>b ，而当1>b 时12 >b ，所以当1>a 时，3a a >． 当10< =，由立方根的定义知，当1=a 时，13=a ． 说明 上面证明是有一定难度的，在较大的难度面前，灵活地选择了思考角度，充分发挥了逆向思维的优势，即从相反的方向加以论证．比如通过说当13=a 或103<a ，而说明当1>a 时，13>a ． 作为没给出明确结论的探索题，首先从特殊值入手，形成猜想，这是一种比较有普遍性的解决方法． 典型例题十二 例12．下列说法对不对，为什么？ （1）64的立方根是4±； （2）3125-无意义； （3） 251的平方根是51 ； （4）327-和327--相等； （5）1258-的立方根是5 2 -； （6）零的平方根、算术平方根、立方根都等 于零． 分析：立方根与平方根的性质有很大的区别，要特别注意两种方根的表示方法和叙述的不同. 解答：（1）不对．∵正数有一个正的立方根． ∴64的立方根是4，即4643=； （2）不对．∵负数有一个负的立方根， ∴3125-有意义，且51253-=-； （3）不对．∵一个正数有两个平方根，它们互为相反数， ∴ 251的平方根是5 1 ±； （4）对．∵3273-=-，3273-=-， ∴332727-=-． 一般地：()033>-=-a a a ； （5）对．∵1258523 -=?? ? ??-，∴1258-的立方根是52-． （6）对．因为零的平方根、算术平方根、立方根都是零． 典型例题十三 例13．求下列各数的立方根： （1） 641； （2）12527-； （3）216.0； （4）0. 解答：（1）,64 1 )41(3= 641∴的立方根是4 1. （2）,125 27)5 3 (3 - =- 12527-∴的立方根是5 3-. （3）,216.0)6.0(3= 216.0∴的立方根是6.0. （4）0的立方根还是0. 说明：立方根与平方根虽然都是开方运算，但与平方根不同，因为任何数都有立方根， 而且唯一确定. 典型例题十四 例14．求下列各式的值： （1）3001.0； （2）3216-； （3）38515 4--； （4）316125 2110-． 分析：求立方根首先将根号下的数作一下整理，再进行求解. 解答：（1）1.0001.03=； （2）621621633-=-=-； （3）10254812548515 433=?? ? ??-?-=--=--； （4）5 9125729161252110 33-=-=-． 说明：注意计算过程中的利用立方根的性质进行符号转换. 典型例题十五 例15．已知.8.3715583=若,378.03=x 求x . 分析：利用已知条件与所求解简的关系找出联系. 解答：.1558)8.37(3 = 323)108.37()378.0(-?==∴x .001558.010155810)8.37(663=?=?=-- 典型例题十六 例16．求下列各式中的x ： （1）012583 =+x （2）()343143 =-x ； （3）064252=-x ； （4）02713 =+x ． 分析：将方程整理转为求立方根或平方根的问题. 解答：（1）∵012583=+x ，∴12583 -=x ， 即81253 - =x ，∴38 125 -=x ，即25-=x ； （2）∵()343143 =-x ，∴334314=-x ，即714=-x ，∴2=x ； （3）∵064252 =-x ，∴64252 = x ，∴6425±=x ，即85±=x ； （4）∵02713 =+x ，∴2713 - =x ，∴327 1-=x ，即31-=x ． 说明：求过程中注意立方根和平方根的区别，最终结果解个数的不同. 填空题 1．填空题 （1）8-的立方根是_____________. （2） 125 1 的立方根是________________. （3）1.0-是___________的立方根. （4）若x 的立方根是6，则=x _______. （5）0的立方根是______. （6）7的立方根是_______. （7）=-3 64_______. （8）=--3 27________. 2．填空题 （1）3216-的倒数为________. （2）49的算术平方根的立方根是________. （3）若3 3 )5(-=x ，则=x （4）=??32004524______. （5） =-3 18 7 ________. （6）3 3 )117(-的绝对数为_______. （7）=--3 027.0_______. （8）101 1 的立方根为_______. 3．填空题 （1）3 27的立方根是_______. （2）3 11-是_____的立方根. （3）81的平方根的立方根是_______. （4）=??3 75315_______. （5）3 a 的立方根是______. （6）000343.0-的立方根是________. （7）若8=x ，则=-3x _______. （8）已知310=a ，则=++-)42)(2(2a a a _______. 参考答案： 1．（1）2- （2） 5 1 （3）001.0-（4）216（5）0 （6）3 7 （7）4- （8）3 2．（1）61- （2）37 （3）5-（4）60（5）2 1 - （6）117 （7）3.0 （8）1 3．（1）33 （2）－11（3）39±（4）15 （5）a （6）07.0-（7）－4 （8） 选择题 1．选择题 （1）125-开立方得 A ．5± B ．5- C ．5 D ．125± （2）3 3 )2(-的值为 A ．2- B ．2 C ．2± D ．无意义 （3）立方根等于本身的数为 A ．1 B ．－1 C ．0 D ．0,1± （4）下列说法正确的是 A ． 343125的立方根是75和7 5 - B ．216.0-的立方根没有意义 C ．36-是－6的立方根 D ．512 1 的立方根是8 2．选择题 （1）下列语句正确的是（ ） A ．64的立方根是2 B ．3-是27负的立方根 C ． 216125的立方根是6 5± D ．2 )1(-的立方根是－1 （2）下列说法中错误的个数是（ ） ①负数没有立方根，②1的立方根与平方根都是1，③3 8的平方根是2±，④ 2 52128183 =+= A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （3）若033=+b a （0,0≠≠b a ），下列条件成立的是（ ） A ．0=+b a B ．0=-b a C ．02 2=+b a D ．0=ab （4）若64 61 1)23(3 = -+x ，则x 等于（ ） A ．21 B ．41 C ．41- D ．4 9- （5）某数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数等于（ ） A ．0 B ．1± C ．1-或0 D ．0或1 参考答案： 1．（1）B （2）A （3）D (4)C 2．（1）A （2）C （3）A （4）C （5）D 解答题 1．求下列各数的立方根 （1）125- （2）0 （3）064.0 （4）1- （5）27102 （6）343 216- 2．求下列各式的值 （1）3008.0- （2）3 125-- （3）3 973.01- （4）3 8 1 91- （5）3 27105-- （6）3 125 21 1016+- 3．求下列x 的值 （1）13 -=x （2）083 =-x （3）011253 =+x （4）113 =x 4．求x 值 （1）27)1(3-=-x （2）5)13(3=+x （3）18 1 )12(3 13 =- +x （4）7)12(3=-x 5．求下列各式的值 （1）3 125-- （2）3 12719-- （3）1683+- （4）3 18 12125 ?- 6．求值： 3 3 64 37 127102- +- 7．若312-y 与331x -互为相反数，则=y x ________. 参考答案： 1.（1）5- （2）0 （3）4.0 （4）1- （5） 34 （6）7 6- 2.（1）2.0- （2）5 （3）3.0 （4）29- （5）35- （6）5 9 - 3.（1）－1 （2）2 （3）5 1 - （4）311 4.（1）－2 （2）3153 - （3）41 （4）2 1 73 + 5.（1）5 （2）32 （3）2 （4）6 5- 6. 12 7 - 7. 3 2 10.3立方根 一．选择题： 1．下列各式中正确的是（ ）． （A ）28-=- （B ）393= （C ）4.0064.03= （D ）8.0064.03= 2．64-的立方根是（ ）． （A ）－4 （B ）±4 （C ）±2 （D ）－2 3．338 7 =-a ，则a 的值是（ ）． （A ） 87 （B ）87- （C ）87± （D ）512 343- 4．下列四种说法中： （1）负数没有立方根； （2）1的立方根与平方根都是1； （3）38的平方根是2±； （4）2 122128183=+=+ ． 共有（ ）个是错误的． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 二．填空题： 5．若b a =3 ，则a 叫做b 的__________，记作___________． 6．8 1 - 的立方根是__________，125的立方根是___________． 7．若某数的立方等于－0.027，则这个数的倒数是____________． 8．已知33y x -=，则________=+y x ． 9．若738.125.53=，8067.0525.03=，则________5253=． 10．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是__________． 三．解答题： 11．计算： （1）364-； （2）1683+- （3）3125.0--． 12．解方程：()32 64 6311- =-x ． 【答案】 （一）1．C 2．D 3．B 4．C （二）5．立方根；3b a = 6．21-；5 7．3 10 - 8．0 9．8.067 10．±1或0 （三）11．（1）－4 （2）2 （3）0.5 12．2 1 =x 计算 1.(8分）．计算:(１32 2 3 (3)1 2．计算(12分） （1)－2６-(-５)2 ÷（-1）; （2)]2)3 2 (3[4322--?-- ; (3）-2(49-364-)＋│-7│ 3．(每小题4分，共1２分) （1)32 2769----）（; （3- (3)2121 049 x - =． 4．（本题共有２小题,每小题4分,共8分) (１)计算：38＋1)3 1(-－02015; （2）已知：(x-1）2 =9,求x 的值. 5．（６分×2）（1)计算:20140 13 1 (1)()83 (2）解方程：3 64(1) 27x ６.（８分）(１)计算:223281764)9(---+． (２)已知()01123 =++x ，求 x 的值． 7．4 1 8)14.3(1 302012 + --+-π 8．求下列各式中x 的值. (1）(x-２)3 =8； (2)64x 3 +27=０. 9.计算： (２)． １０.-27)2 11.已知x+2的平方根是±２，2ｘ＋y ＋7的立方根是3，试求x 2 ＋y 的立方根． １2.290x -=，求３x+6ｙ的立方根. １3．计算:-＝__＿＿__＿_． 14．求下列各式的值． (１； ． 15.2 (27)0b -=,. 16．已知４x 2=１44，y ３ +8=0，求ｘ＋ｙ的值. 17.已知x a = 是ｘ＋y+３的算术平方根，2x y b -= x ＋２y 的 立方根,试求b －ａ的立方根． 18.求下列各式的值: （（ ） A.± B.C.±3 D.3 2０．求下列各式中x 的值． (１)8x ３ +１２5＝0; (２）（x+2)3 ＝－2７. 21．求下列各数的立方根． (1)611 64 -; （２）93 2125 +． 2２.计算题.（每题4分,共８分) （１)-（ 12 ）-２1）0 ; (２ +3． ２3.计算：（－１)2 ︱－5︱ 24．(6分)计算：( ) 31 200745sin 2821-?- -?? ? ??- 2５．计算(本题１6分） （1)－７＋3＋（-６）－(－7） （2))4(5)100(-?÷- （3) 384-+ （4)) 83 65121( )24(+-?- 平方根与立方根练习题（B 卷） 一、填空题： 1、144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 2、3 27= ， 64-的立方根是 ； 3、7的平方根为 ，21.1= ； 4、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ； 5、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ； 6、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 7、若164 =x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 8、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 9、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 10、计算： 381264 27 3292531+-+= ； 二、选择题 11、若a x =2，则（ ） A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 12、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 13、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 14、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 15、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A 、0 初二数学上册平方根与立方根专项练习题 一、填空题： 1、144的算术平方根是 ， 16的平方根是 ； 2、327= ， 64-的立方根是 ； 3、7的平方根为 ，21.1= ； 4、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ； 5、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ； 6、当x= 时， 13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义； 7、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ； 8、若 3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ； 9、若0|2|1=-++y x ，则x+y= ； 10若x 的算术平方根是4，则x=＿＿＿；若 3x =1，则x=＿＿＿； 11．若2)1(+x -9=0，则x=＿＿＿；若273x +125=0，则x=＿＿＿； 12．当x ＿＿＿时，代数式2x+6的值没有平方根； 13如果a 的算术平方根和算术立方根相等，则a 等于 ； 147在整数 和整数 之间，5在整数 和整数 之间。 二、选择题 11、若a x =2，则（ ） A 、x>0 B 、x ≥0 C 、a>0 D 、a ≥0 12、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 13、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ） A 、a 是b 的平方根 B 、a 是b 的的算术平方根 C 、b a ±= D 、a b = 14、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（ ） A 、2a B 、±2a C 、a 2 D 、| 2a | 15、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A 、0 平方根和立方根 欧阳光明（2021.03.07） 【知识归纳】 1.平方根： （1）若x2=a（a＞0），那么a叫做x的，我们把称为算术平方根,记为。规定，0的算术平方根为。 （2）一个的平方根有2个，它们互为；只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。 （3）两个公式：（a）2＝（）；= 2 a 2.立方根： 1）若x3=a（a＞0），那么a叫做x的，记为； 2）一个正数的立方根有个，0的个立方根为，负数有个立方根。 ＝，（2. 3）立方根的性质：（1）3 4）.已知某数有两个平方根分别是a+3与2a－15,求这个数. 5）.已知:2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值. 6）.已知a<0,b<0,求4a2+12ab+9b2的算术平方根. 7）甲乙二人计算a+2 -的值，当a=3的时候，得到下面不同的 a+ 2 1a 答案： 甲的解答：a+2 a+ -=a+2) 1a 2 -=a+1－a=1.乙的解答： 1(a a+2 2 -=a+2)1 a+ 1a a=a+a－1=2a－1=5. (- 哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？ 【巩固练习】： 1、16的算术平方根是_______，平方根是_______； 2、若x2＝16，则5－x的算术平方根是； 3、3664-的平方根是，算术平方根是； 4、若4a ＋1的平方根是±5，则a 2的算术平方根是； 5、0)2(12=-+-b a ，则b a +的平方根为. 6.第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 平方根立方根的综合应用 1、若x 、y 为实数，且20x y y ++-=，则2010()x y 的值为 2、若22-a 与|b +2|互为相反数，则（a －b ）2＝__________ 3、若2x ＋1＋|y －1|＝0，则x 2＋y 2＝__________ 4、已知x 、y 为实数，且499+---=x x y ．求y x +的值 5、已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简22()a a b c a b c --+-+- 6、已知实数,,a b c 满足2112()022a b b c c -+++-=，求()a b c +的值 7、已知51024a a b -+-=+，求,a b 的值 8、已知20092010a a a -+-=，求22009490a -+的值 9、如果22a a b +=--，且3b a m =+，求m 的值是多少？ 10 、已知120a ab -+-=，1111(1)(1)(2)(2)(1998)(1998) ab a b a b a b +++++++++求的值 11、一个三角形的两边长为3,2，则它的第三边长可能是（ ）A.0.2 B.1 C.32+ D.5 12、一个三角形的三边分别是,,a b c ，则 2()a b c +-=______________,2()a b c --=______ __________ 13、求下列各式中的x 平方根立方根练习题 一、填空题 1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________ 2．如果x 的一个平方根是7.12，那么另一个平方根是________． 3．2-的相反数是 ， 13-的相反数是 ； 4．一个正数的两个平方根的和是________．一个正数的两个平方根的商是________． 5．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 6．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 7．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ； 8．若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 ； 9．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义； 10．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 11．已知 0)3(122=++-b a ，则=332ab ； 12．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 13．12+x 的算术平方根是2，则x ＝________． 二、选择题 14．下列说法错误的是（ ） A 、1)1(2=- B 、()1133-=- C 、2的平方根是2± D 、81-的平方根是9± 15．2)3(-的值是（ ）． A ．3- B ．3 C ．9- D ．9 16．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 17.下列各数没有平方根的是（ ）． A ．－﹙－2﹚ B ．3)3(- C ．2)1(- D ．11.1 18.计算3825-的结果是（ ）. A.3 B.7 C.-3 D.-7 19.若a=23-,b=-∣－2∣，c=33)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）. A.a ＞b ＞c B.c ＞a ＞b C.b ＞a ＞c D.c ＞b ＞a 20．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 21．一个等腰三角形的两边长分别为25和32，则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425+ D 、无法 平方根和立方根专题 (比较难) 精品资料 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 平方根和立方根 【知识归纳】 1.平方根： （1）若x 2=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ， 我们把 称为算术平方根,记为 。规定，0的算 术平方根为 。 （2）一个 的平方根有2个，它们互为 ； 只有1个平方根，它是0本身; 没有平方根。 （3）两个公式：（a ）2＝ （ ）； =2a 2.立方根： 1）若x 3=a （a ＞0），那么a 叫做x 的 ，记为 ； 2）一个正数 的立方根有 个，0的个立方根为 ，负数有 个立方根。 3）立方根的性质：（1 ）3＝ ，（2 ＝ . 4）.已知某数有两个平方根分别是a +3与2a －15,求这个数. 5）.已知:2m +2的平方根是±4，3m +n +1的平方根是±5，求m +2n 的值. 6）.已知a <0,b <0,求4a 2+12ab +9b 2的算术平方根. 7）甲乙二人计算a +221a a +-的值，当a =3的时候，得到下面不同的答案： 甲的解答：a +221a a +-=a +2)1(a -=a +1－a =1. 乙的解答：a +221a a +-=a +2)1(-a =a +a －1=2a －1=5. 哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？ 【巩固练习】： 1、16的算术平方根是_______，平方根是_______； 2、若x 2＝16，则5－x 的算术平方根是 ； 3、3664-的平方根是 ，算术平方根是 ； 4、若4a ＋1的平方根是±5，则a 2的算术平方根是 ； 5、0)2(12=-+-b a ，则b a +的平方根为 . 6.第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 平方根立方根的综合应用 一、填空题。（每空1分，共33分） 1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________ 2．如果x 的一个平方根是7.12，那么另一个平方根是________． 3．2-的相反数是 ， 13-的相反数是 ； 4．一个正数的两个平方根的和是________．一个正数的两个平方根的商是________． 5．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 6．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 7．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________； 8．若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 ； 9．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 10．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 11．12+x 的算术平方根是2，则x ＝________． 12．若一个偶数的立方根比2大，算术平方根比4小，则这个数是_______． 13、比较大小：2______3; 6_____2 14、9的算术平方根是 ，3的平方根是 ，0的平方根是 ，2的平方根是 。 15、-1的立方根是 ，1/27的立方根是 ，9的立方根是 。2)4(-=______, 16、2的相反数是_______，整数部分是_______，小数部分是_______，- 63 的绝对值是______。 二、选择题。（每题2分，共20分） 17．下列说法错误的是（ ） A 、1)1(2=- B 、()1133-=- C 、2的平方根是2± D 、81-的平方根是9± 18．2)3(-的值是（ ）． A ．3- B ．3 C ．9- D ．9 19.下列各数没有平方根的是（ ）． A ．－﹙－2﹚ B ．3)3(- C ． 2)1(- D ．11.1 20.计算3825-的结果是（ ）. A.3 B.7 C.-3 D.-7 21.若a=23-,b=-∣－2∣，c=33)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）. A.a ＞b ＞c B.c ＞a ＞b C.b ＞a ＞c D.c ＞b ＞a 22．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 一、判断题 1.如果b 是a 的三次幂，那么b 的立方根是a.（ ） 2.任何正数都有两个立方根，它们互为相反数.（ ） 3.负数没有立方根（ ） 4.如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0.（ ） 5.(－2)－3的立方根是－21.（ ） 6.3a 一定是a 的三次算术根. （ ） 7.若一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零. （ ） 8. 313-＞413-.（ ） 二、选择题 1.如果a 是(－3)2的平方根，那么3a 等于（ ） A.－3 B.－33 C.±3 D.33或－33 2.若x ＜0，则332x x -等于（ ） A.x B.2x C.0 D.－2x 3.若a 2=(－5)2，b 3=(－5)3，则a+b 的值为（ ） A.0 B.±10 C.0或10 D.0或－10 4.如图1：数轴上点A 表示的数为x ，则x 2－13的立方根是（ ） A.5－13 B.－5－13 C.2 D.－2 5.如果2(x －2)3=643 ，则x 等于（ ） A.21 B.27 C.21或27 D.以上答案都不对 6.下列说法中正确的是（ ） A.－4没有立方根 B.1的立方根是±1 C.361的立方根是61 D.－5的立方根是35- 7.在下列各式中： 327102 =34 ，3001.0=0.1，301.0 =0.1，－33)27(-=－27，其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8.若m<0，则m 的立方根是（ ） A.3m B.－ 3m C.±3m D. 3m - 9.如果36x -是6－x 的三次算术根，那么（ ） A.x<6 B.x=6 C.x ≤6 D.x 是任意数 10.下列说法中，正确的是（ ） A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数 C.负数没有立方根 D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 7C 学科网，最大最全的中小学教育资源网站，教学资料详细分类下载！ 平方根与立方根练习题 班级 姓名 时间 一、填空题 1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________； 2．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 3．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 4. x ==则 ，若,x x =-=则 。 5．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根是 ； 6．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，3 3-m 有意义； 7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 8．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________． 二、选择题 9. 若2x a =，则（ ） A.0x > B. 0x ≥ C. 0a > D. 0a ≥ 10．2)3(-的值是（ ）． A ．3- B ．3 C ．9- D ．9 11．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 12．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 13．一个等腰三角形的两边长分别为25和32，则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425 + D 、无法确定 14. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤ 15. 若n 为正整数,则2n ） A ．-1 B.1 C.±1 D.21n + 16. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ） A.01a << B.0a > C. 1a < D. 1a > 三、解方程 1. 8)12(3-=-x 2．4(x+1)2=8 3. 2(23)2512x x -=- 4. (2x-5)3=-27 四、解答题 已知： 实数a 、b 满足条件 0)2(12=-+-ab a 试求: ) 2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(1 1 ++++++++++b a b a b a ab 的值 立方根练习题一 一、填空题： 1．1的立方根是________． 2．833-________． 3．2是________的立方根． 4．________的立方根是1.0-． 5．立方根是 65的数是________ 6．64 27-是________的立方根． 7．=-3)3(________． 8．3)3(-的立方根是________ 9．5 3-是________的立方根． 10．若a 与b 互为相反数，则它们的立方根的和是________． 11．0的立方根是________． 12．36的平方根的绝对值是________． 13. 的立方根是729 14．327＝_______．15．立方根等于它本身的数是_______． 16．109)1(-的立方根是______． 17．008.0-的立方根是________． 18．10 3-是________的立方根． 19．当x 为________时，3 33 -+x x 有意义； 当x 为________时， 385+-x x 有意义． 20．6)2(-的平方根是________，立方根是________． 二、判断题： 1．81-的立方根是2 1±；（ ） 2．5-没有立方根；（ ） 3．2161的立方根是6 1；（ ） 4．92-是729 8-的立方根；（ ） 5．负数没有平方根和立方根；（ ） 6．a 的三次方根是负数，a 必是负数；（ ） 7．立方根等于它本身的数只能是0或1；（ ） 8．如果x 的立方根是2-，那么8-=x ；（ ） 9．5-的立方根是35-；（ ） 10．8的立方根是2±；（ ） 11．2161- 的立方根是没有意义；（ ） 12．271-的立方根是3 1-；（ ） 13．0的立方根是0；（ ） 14．53是125 27±的立方根；（ ） 15．33-是3-立方根；（ ） 16．a 为任意数，式子a ，2a ，3 a 都是非负数．（ ） 三、选择题： 1．36的平方根是（ ）． A ．6± B ．6 C ．6- D ．不存在 2．一个数的平方根与立方根相等，则这个数是（ ）． A ．1 B ．1± C ．0 D ．1- 3．如果b -是a 的立方根，那么下列结论正确的是（ ）． A ．b -也是a -的立方根 B ．b 也是a 的立方根 C ．b 也是a -的立方根 D ．b ±都是a 的立方根 4．下列语句中，正确的是（ ）． A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B ．一个实数的立方根不是正数就是负数 C ．负数没有立方根 D ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是1-或0或1 5．8的立方根是（ ）． A ．2 B ．2- C ．4 D ．4- 6．设n 是大于1的整数，则等式211=--n n 中的n 必是（ ）． A ．大于1的偶数 B ．大于1的奇数 C ．2 D ．3 7．下列各式中正确的是（ ）． 专题01 平方根和立方根（专题强化-基础） 一、单选题(共40分) 1．(本题4分)（2020·浙江七年级期末）表示5的算术平方根的是（） 2 A B．C．D． 【答案】A 【分析】 根据算术平方根的定义即可求解． 【详解】 解：5 故选：A． 【点睛】 本题考查了算术平方根的定义，熟知算术平方根的定义是解题的关键，注意一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0． 2．(本题4分)（2021·的平方根为（） A．8B．8-C．D．± 【答案】D 【分析】 =，再根据平方根的定义，即可解答． 8 【详解】 =，8的平方根是± 8 故选：D． 【点睛】 =． 8 3．(本题4分)（2020·河北邢台市·金华中学八年级期中）已知实数a的一个平方根是2-，则此实数的算术平方根是（） A ．2± B ．2- C ．2 D ．4 【答案】C 【分析】 根据平方根的概念从而得出a 的值，再利用算术平方根的定义求解即可． 【详解】 ∵-2是实数a 的一个平方根， ∴4a =， ∴4的算术平方根是2， 故选：C ． 【点睛】 本题主要考查了平方根以及算术平方根，在解题时要注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．一个正数的算术平方根是它的正的平方根． 4．(本题4分)（2021·江苏南京市·八年级期末）若方程2 (1)5x -=的解分别为,a b ，且a b >，下列说法正 确的是（ ） A ．a 是5的平方根 B ．b 是5的平方根 C ．1a -是5的算术平方根 D ．1b -是5的算术平方根 【答案】C 【分析】 根据方程解的定义和算术平方根的意义判断即可. 【详解】 ∵方程2(1)5x -=的解分别为,a b ， ∴2(1)5a -=， 2(1)5b -=， ∴a-1，b-1是5的平方根， ∵a b >， ∴11a b ->-， ∴a-1是5的算术平方根， 故选C. 【点睛】 平方根、立方根综合练习题 一、填空题 1．如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________ 2．如果x 的一个平方根是7.12，那么另一个平方根是________． 3．一个正数的两个平方根的和是________．一个正数的两个平方根的商是________． 4．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________； 5．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有________． 6．81的平方根是_______，4的算术平方根是_________，210-的算术平方根 是 ； _______；9的立方根是_______；______的平方根是311±。 7．若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是 ； 8．当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义； 9．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ； 10．已知0)3(122=++-b a ，则=33 2ab ； 11．21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________； 12．12+x 的算术平方根是2，则x ＝________； 132的相反数是 ；绝对值是 。 14．在数轴上表示的点离原点的距离是 。 二、选择题 1．9的算术平方根是（ ） A ．-3 B ．3 C ．±3 D ．81 2．下列计算不正确的是（ ） A ±2 B = C ．=0.4 D 3．下列说法中不正确的是（ ） A ．9的算术平方根是3 B 2 C ．27的立方根是±3 D ．立方根等于-1的实数是-1 4．的平方根是（ ） A ．±8 B ．±4 C ．±2 D 5．-18 的平方的立方根是（ ） A ．4 B ．18 C ．-1 4 D ．1 4 6．下列说法错误的是（ ） A.1)1(2=- B.()1133-=- C.2的平方根是2± D.81-的平方根是9± 7．2)3(-的值是（ ）． A ．3- B ．3 C ．9- D ．9 8．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ） A. 1 B. 9 C. 4 D. 5 9.下列各数没有平方根的是（ ）． A ．－﹙－2﹚ B ．3)3(- C ．2)1(- D ．11.1 10.计算3825-的结果是（ ）. A.3 B.7 C.-3 D.-7 师：大家从小学就开始接触正方形，同学们知道它们的面积怎么算吗？ 生：回答 师：大家都知道已知边长的正方形面积如何计算，那么给大家面积同学们能够告诉老师它的 边长吗？请说出面积为4cm 2、16cm 2、25cm 2正方形的边长吗？ 生：回答 师：前面给出的数据都是有规律的平方数，如果正方形面积是10cm 2、20cm 2，同学们怎么去计算正方形的边长？这就是下面我们要学习的内容 1．算术平方根 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2 x a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方 根. a 的算术平方根记为______，读作________，a 叫做__________. 规定：0的算术平方根是 _____. 平方根及立方根 2. 平方根 一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根. 这就是说，如果2x a =，那么______叫做_________的平方根. a 的算术平方根记为______，读作________，a 叫做__________. 求一个数a 的平方根的运算，叫做_________. 3．立方根 （1）定义： 一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果3x a =，那么______叫做_________的平方根. 求一个数的立方根的运算，叫做_________. 一般地，33a a -=-. （2）性质： 正数的立方根是_____数；负数的立方根是_____数；0的立方根是_____ （20-40分钟） 平方根与算数平方根 【典题导入】【亮点题】 例一、1.44的算术平方根为 ，13的算术平方根为 ，2(7)-的算术平方根为 ； 例二、若一个数的算术平方根是6，则这个数为 ；6是 的算术平方根 例三、求下列各数的算术平方根: （1） 6449 （2）917 （3）43- （4） |-25 24 1| 【小试牛刀】 考点1 二次根式的化简与计算 【重难点提示】 1．最简二次根式 （1）最简二次根式要满足以下两个条件 ①被开方数的因数是整数，因式是整式。即被开方数不含有分母。 ②被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数2。 （2）化简二次根式的方法 “一分解”：把被开方数的分子、分母尽量分解出一些平方数或平方式。 “二移出”：把这些平方数或平方式，用它的算术平方根代替移到根号外。 “三化去”：化去被开方数中的分母。 2．二次根式的加减法 （1）同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式。 判断几个二次根式是否是同类二次根式：一化简，二判断。 （2）二次根式的加减法 先把各根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（类似合并同类项）。 3．分母有理化 前面学过分母是单项二次根式时，b a +与b a +互为有理化因式。 那么两项式的二次根式的有理化因式是b a +与b a -。 b a -与b a +互为有理化因式。 4．二次根式的混合运算 （1）运算顺序：二次根式的加、减、乘（乘方）、除的运算顺序与实数的运算顺序类似， 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的。 （2）在二次根式的混合运算中，整式和分式中的运算法则、定律、公式等仍然适用。 一、计算 ()35384321x x x x -??? ??-+ a b y x b a a b ab a xy a b x 222÷???? ? ?+- ()()632632+--+ ()()2 232233223+-- x y y x ()()()() 532532532532---++-++ ()1471627527223+-?? ? ??+ ??? ? ??-+-67.123256133223 ()() 6233262332---+ 二、填空 1.下列二次根式中() 22217,54,40,21 230,45b a b a +中的最简二次根式有 。 2.若最简二次根式12+m 与m 273--是同类二次根式，则m= . 3．若最简二次根式152++a a 与b a 34+是同类二次根式，求a 、b 的值 。 4．a 的倒数是56-，则a= 。 5．已知-2＜m ＜-1，化简=-+--+++2 2122414422m m m m m m 。 6．()()=+?-200019992323。 平方根和立方根 【知识归纳】 1. 平方根： （1）若 x 2=a （a ＞0），那么 a 叫做 x 的 ，我们把 称为算术平方根 , 记为 。规定，0 的算术平方根为 。 （2）一个 的平方根有 2 个，它们互为 ； 只有 1 个平方根，它是 0 本身; 没有平方根。 （3）两个公式：（ a ）2＝ （ ）； a 2 2. 立方根： 1）若 x 3=a （a ＞0），那么 a 叫做 x 的 ，记为 ； 2）一个正数 的立方根有 个，0 的个立方根为 ，负数有 个立方根。 3）立方根的性质：（1） 3 a 3 ，（2） 3 a 3 ＝ ＝. 4）. 已知某数有两个平方根分别是a+3与 2a －15, 求这个数. 5）. 已知:2 m+2的平方根是±4，3m+n+1 的平方根是±5，求 m+2n 的值. 6）. 已知 a<0,b<0,求 4a 2+12ab+9b 2 的算术平方根. 7）甲乙二人计算a+ 1 2a a 2 的值，当 a=3的时候，得到下面不同的答案： 甲的解答：a+ 1 2a a 2 =a+ (1 a) 2 =a+1－a=1. 乙的解答：a+ 1 2a a 2 =a+ (a 1) 2 =a+a －1=2a －1=5. 哪一个解答是正确的？错误的解答错在哪里？为什么？ 【巩固练习】： 1、 16 的算术平方根是 _______，平方根是 _______；2、若 x 2＝16，则 5－x 的算术平方根是 ； 3、 64 36 的平方根是 ，算术平方根是 ； 4、若 4a ＋1 的平方根是± 5，则 a 2 的算术平方根是 ； 5、 a 1 (b 2) 2 0 ，则 a b 的平方根为 . 3 6. 第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm, 求第二个纸盒的棱长. 平方根立方根的综合应用 1、若 x 、y 为实数，且 x y y 2 ，则 ( x )2010 的值为 y 2、若 2a 2 与| b +2| 互为相反数，则（ a －b ）2＝__________ 3、若 2x ＋1＋|y －1| ＝0，则 x 2＋y 2＝__________ 4 x y 为实数，且 y x 9 9 x 4 ．求 x y 的值 、已知 、 5 、 已 知 a,b, c 实 数 在 数 轴 上 的 对 应 点 如 图 所 示 ， 化 简 a 2 a b c a (b c) 2 6、已知实数 a,b, c 满足 1 a b 2b c (c 1 )2 0 ，求 a(b c) 的值 2 2 平方根、立方根、实数练习题 一、选择题 1、化简(－3)2 的结果是（ ） A.3 B.－3 C.±3 D ．9 2．已知正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A ．S = a = C ．a =．a S =± 3、算术平方根等于它本身的数（ ） A 、不存在； B 、只有1个； C 、有2个； D 、有无数多个； 4、下列说法正确的是（ ） A ．a 的平方根是±a ； B ．a 的算术平方根是a ； C ．a 的算术立方根3a ； D ．-a 的立方根是－3a ． 5、满足-2＜x ＜3的整数x 共有（ ） A ．4个； B ．3个； C ．2个； D ．1个． 6、如果a 、b 两数在数轴上的位置如图所示，则 ()2b a +的算术平方根是（ ）； A 、a+b ； B 、a-b ； C 、b-a ； D 、-a-b ； 7、如果-()2 1x -有平方根，则x 的值是（ ） A 、x ≥1；B 、x ≤1；C 、x=1；D 、x ≥0； 8a 是正数，如果a 的值扩大100 ） A 、扩大100倍；B 、缩小100倍；C 、扩大10倍；D 、缩小10倍； 9、2008最接近的一个是（ ） A ．43；B 、44；C 、45；D 、46； 10．如果一个自然数的算术平方根是n ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A 、n+1；B 、2n +1；C D 11. 以下四个命题 ①若a 是无理数，②若a 是有理数，是无理数；③若a 是整数，是有理数；④若a ） Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．③ Ｄ．④ 12. 当01a <<，下列关系式成立的是（ ） a >a > a 平方根与立 方根 【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此： 1.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身； 2.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。 3.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。 例1. （1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；（2） 的平方根是它本身。 （3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是 （4）当x 时，x 23－有意义。 （5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 【算术平方根】： （1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中， a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。 （2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。 （3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。 例2. （1）下列说法正确的是 （ ） A ．1的立方根是1±； B ． 24±=； （C ）、81的平方根是3±； （ D ）、0没有平方根； （2）下列各式正确的是（ ） A 、 981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。 （5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足 0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。 （6）已知：A=y x y x -++3是3++y x 的算术平方根，B=322+-+y x y x 是y x 2+的立方根。求A －B 的平方根。 （7）（提高题）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值. 【立方根】 （1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。记做：3a ，读作，3次根号a 。注意：这里的3表示的是 根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。 （2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。 例3. （1）64的立方根是??????????? （2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ） A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000 （3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。 其中正确的有 （ ）A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 练习二 一、判断题 1、如果b 是a 的三次幂，那么b 的立方根是a .（ ） 2、任何正数都有两个立方根，它们互为相反数.（ ） 3、负数没有立方根（ ） 4、如果a 是b 的立方根，那么ab ≥0.（ ） 5、(－2) －3 的立方根是－ 2 1 .（ ） 6、3a 一定是a 的三次算术根. （ ） 7若一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零. （ ） 8 313-＞413-.（ ） 二、.选择题 1、如果a 是(－3)2的平方根，那么3a 等于（ ） A.－3 B.－33 C.±3 D.33或－33 2、若x ＜0，则332x x -等于（ ） A.x B.2x C.0 D.－2x 3若a 2=(－5)2,b 3=(－5)3,则a +b 的值为（ ） A.0 B.±10 C.0或10 D.0或－10 4、如图1：数轴上点A 表示的数为x ，则x 2－13的立方根是（ ） A. 5－13 B.－5－13 C.2 D.－2 5、如果2(x －2)3 =64 3 ,则x 等于 （ ） A. 21B.2 7 C. 21或2 7 D.以上答案都不对 6.下列说法中正确的是（ ） A.－4没有立方根 B.1的立方根是±1 C. 36 1 的立方根是61 D.－5的立方根是35- 7.在下列各式中：32710 2 =3 4 3 001.0=0.1,301.0 =0.1,－33)27(-=－27,其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8.若m <0，则m 的立方根是（ ） A.3m B.－ 3 m C.±3m D. 3 m - 9如果36x -是6－x 的三次算术根，那么（ ） A.x <6 B.x =6 C.x ≤6 D.x 是任意数 10、下列说法中，正确的是（ ） A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数 C.负数没有立方根 D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1 二、填空题 1、如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是________. 2、327 1 - =________， (38)3=________ 3、364的平方根是________. 4、64的立方根是________. 6.364的平方根是______. 7.（3x －2）3=0.343,则x =______. 8.若8 1- x +x -81有意义，则3x =______. 9.若x <0，则2x =______,33x =______. 10.若x =(35-)3，则1--x =______. 三、解答题 1.求下列各数的立方根 （1）729 （2）－4 2717（3）－216 125 （4）（－5）3 2.求下列各式中的x . (1)125x 3=8 (2)(－2+x )3=－216 (3)32-x =－2 (4)27(x +1)3+64=0 3.已知643+a +|b 3－27|=0,求(a －b )b 的立方根. 4.已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 5.判断下列各式是否正确成立. 1)3722 =2372 (2)32633 =3·3263 (3)36344 =43634 (4)312455 =53124 5 判断完以后，你有什么体会？你能否得到更一般的结论？若能，请写出你的一般结论.立方根计算题
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