2017届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考(四)数学(文)试题

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数学(文)试题

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一

是符合题目要求的.

1.已知全集{}|16,U x x x Z =≤≤∈,集合{}1,3,4A =,集合{}2,4B =,则()U A B = e( ) A .{}1,2,4,6

B .{}2,3,4,6

C .{}2,4,5,6

D .{}2,6

2.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关,于是随机抽取1000名成年人调查是否吸烟及是否患有肺病,得到22?列联表,经计算得2 5.231K =,已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下,

2( 3.841)0.05P K ≥=,2( 6.635)0.01P K ≥=,则该研究所可以( )

A .有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”

B .有95%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”

C .有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”

D .有99%以上的把握认为“吸烟与患肺病无关” 3.“0x <”是“20x x +<”的( ) A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

4.已知a R ∈,i 是虚数单位,命题p :在复平面内,复数12

1z a i

=+

-对应的点位于第二象限;命题q :复数2z a i =-的模等于2,若p q ∧是真命题,则实数a 的值等于( )

A .1-或1

B .

C .

D .

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5.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知22a b bc -=,sin 2sin C B =,则A =( ) A .

6

π

B .

3

π

C .

56

π

D .

23

π 6.若0a b >>,1c >,则( ) A .log log a b c c >

B .log c a log c b >

C .c c a b <

D .a b c c <

7.已知函数()sin()f x x ω?=+(0ω>,||2

π

?<

)的周期为π,其图像向右平移

23

π

个单位后得到函数

()cos g x x ω=的图象,则?等于( )

A .6

π

-

B .

6

π

C .3

π

-

D .

3

π

8.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的体积为( )

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A .

1

6

B .

13

C .1

D .

43

9.在直角坐标系中,函数1

()sin f x x x

=-

的图象可能是( )

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10.某算法的程序框图如图所示,若输入的a ,b 的值分别为60与32,则程序执行后的结果是( )

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A .0

B .4

C .7

D .28

11.已知F 是抛物线2

4x y =的焦点,P 为抛物线上的动点,且点A 的坐标为(0,1)-,则||

||

PF PA 的最小值是( )

A .

14

B .

12

C D

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12.已知函数2()sin cos f x x x x x =++,则不等式1(ln )(ln )2(1)f x f f x

+<的解集为( ) A .(,)e +∞

B .(0,)e

C .1(,)e e

D .1(0,)(1,)e e

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)

13.设x R ∈,向量(,1)a x = ,(1,2)b =- ,且a b ⊥ ,则||a b +=

14.已知7sin cos 16αα=-

,(,)2παπ∈,则当正数m = 时,使得cos 2sin()4

m π

αα=-. 15.已知圆C :22(3)(4)1x y -+-=和两点(,0)A m -,(,0)B m (0m >),若Rt PAB ?的直角顶点P 在圆C 上,则实数m 的最大值等于 .

16.已知x ,y 满足约束条件1,

1,22,x y x y x y +≥??

-≥-??-≤?

若目标函数2z ax y =+仅在点(1,0)处取得最小值,则实数a 的

取值范围为 .

三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.已知等差数列{}n a 的前n 项和 n S ,且411a =,8100S =;数列{}n b 满足111

2

b a =,

11n n n n a b b nb +++=. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n b 的前n 项和n T .

18.2016年“双十一”当天,甲、乙两大电商进行了打折促销活动,某公司分别调查了当天在甲、乙电商购物的1000名消费者的消费金额,得到了消费金额的频数分布表如下: 甲电商:

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乙电商:

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(1)根据频数分布表,完成下列频率分布直方图,并根据频率分布直方图比较消费者在甲、乙电商消费金额的中位数的大小以及方差的大小(其中方差大小给出判断即可,不必说明理由);

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(2)运用分层抽样分别从甲、乙1000名消费者中各自抽出20人放在一起,在抽出的40人中,从消费金额不小于4千元的人中任取2人,求这2人恰好是来自不同电商消费者的概率.

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19.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 的正方形,PA ⊥BD . (1)求证:PB PD =;

(2)若E ,F 分别为PC ,AB 的中点,EF ⊥平面PCD ,求三棱锥的D ACE -体积.

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20.如图,圆A :2

2

(1)16x y ++=,直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作

AC 的平行线交AD 于点E .

(1)证明:||||EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;

(2)设点E 的轨迹为曲线C ,直线l 交1C 于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与元A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.

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21.已知函数1

()(1)ln f x ax a x x

=-

-+,a R ∈.

(1)若2a =-,求函数()f x 的单调区间;

(2)若1a ≥,且()1f x >在区间1,e e ??????

上恒成立,求a 的组织范围;

(3)若1

a e

>

,判断函数[]()()1g x x f x a =++的零点的个数. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为1cos sin x y α

α

=+??

=?(α为参数),在以原点O 为极点,x 轴

的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C 的极坐标方程为2

cos sin ρθθ=.

(1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;

(2)若射线l :y kx =(0x ≥)与曲线1C ,2C 的交点分别为A ,B (A ,B 异于原点),

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当斜率k ∈时,求||||OA OB ?的取值范围. 23.选修4-5:不等式选讲

已知函数()|||21|f x x a x =-+-(a R ∈). (1)当1a =时,求()2f x ≤的解集;

(2)若()|21|f x x ≤+的解集包含集合1,12??

????

,求实数a 的取值范围.

试卷名称答案

一、选择题

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二、填空题

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()4,2- 三、解答题

17.解:(1)设数列{}n a 的公差为d ,由4181311,

87

8100,2

a a d S a d =+=??

??=+=??解得12,3,a d =??=?

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故其前n 项和1

1()3313()122313

n

n n T -=

=--. 18.解:(1)频率分布直方图如下图所示:

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甲的中位数在区间[2,3)内,乙的中位数在区间[1,2)内,所以甲的中位数大. 根据频率分布直方图判断甲的方差大.

(2)运用分层抽样分别从甲的1000名消费者中抽出20人,消费金额不小于4千元的人数为2人,记作a ,

b ;运用分层抽样分别从乙的1000名消费者中抽出20人,消费金额不小于4千元的人数为4人,记作

1,2,3,4.

在这六人中任意抽取两人,所得基本事件空间为:

{},1,2,3,,4,1,2,3,4,12,13,14,23,24,34ab a a a a b b b b Ω=,共计15个元素.

把两人恰好是来自不同电商消费者这个事件记作A , 则{}1,2,3,4,1,2,3,4A a a a a b b b b =,共计8个元素, ∴8

()15

P A =

. 19. (1)证明:设BD 交AC 于点O ,连接PO , 因为底面ABCD 是正方形,

所以AC ⊥BD ,且O 为BD 的中点,

又PA ⊥BD ,PA AC A = , 所以BD ⊥平面PAC ,

由于PO ?平面PAC ,故BD PO ⊥, 又BO DO =,故PB PD =.

(2)解:设PD 的中点为Q ,连接AQ ,EQ ,1//2EQ CD ,且1

2

EQ CD =, 所以AFEQ 为平行四边形,//EF AQ , 因为EF ⊥平面PCD ,

所以AQ ⊥平面PCD ,所以AQ ⊥PD ,PD 的中点为Q ,

所以AP AD ==

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由AQ ⊥平面PCD ,又可得AQ ⊥CD , 又AD ⊥CD ,AQ AD A = , 所以CD ⊥平面PAD , 所以CD PA ⊥,又BD PA ⊥, 所以PA ⊥平面ABCD .

11111

32322D ACE E ACD ACD V V PA S --?==??=?=

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故三棱锥D ACE -.

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20.解:(1)因为||||AD AC =,//EB AC ,故EBD ACD ADC ∠=∠=∠, 所以||||EB ED =,故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=,

又圆A 的标准方程为2

2

(1)16x y ++=,从而||4AD =,所以||||4EA EB +=, 由题设得(1,0)A -,(1,0)B ,||2||||AB EA EB =<+,

由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:22

1(0)43

x y y +=≠.

(2)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为(1)y k x =-(0k ≠),11(,)M x y ,22(,)N x y ,

由22(1),

1,4

3y k x x y =-??

?+=??得2222(43)84120k x k x k +-+-=,

则2122843k x x k +=+,2122412

43k x x k -=+,

所以12|||MN x x =-22

12(1)

43

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k k +=+, 过点(1,0)B 且与l 垂直的直线m :1(1)y x k =-

-,点A 到m

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所以||PQ ==, 故四边形MPNQ

的面积1||||2S MN PQ =

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=. 可得当l 与x 轴不垂直时,由0k ≠,得四边形MPNQ

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面积的取值范围为. 当l 与x 轴垂直时,其方程为1x =,||3MN =,||8PQ =,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ

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面积的取值范围为. 21.解:(1)若2a =-,则1

()2ln f x x x x

=--

+,(0,)x ∈+∞. 2

(21)(1)

'()x x f x x

-+-=

, 由'()0f x >,得01x <<;由'()0f x <,得1x >. 所以函数()f x 的单调增区间为(0,1);单调减区间为(1,)+∞.

(2)依题意,在区间1,e e

??????

上,min ()1f x >.

222

(1)1(1)(1)

'()ax a x ax x f x x x

-++--==,1a ≥, 令'()0f x =,得1x =或1

x a

=

若a e ≥,则由'()0f x >,得1x e <≤;由'()0f x <,得1

1x e

≤<. 所以min ()(1)11f x f a ==->,满足条件; 若1a e <<,则由'()0f x >,得

11x e a ≤<或1x e <≤;由'()0f x <,得1

1x a

<<. min 1()min (),(1)f x f f e ??

=????

依题意1

()1,(1)1,f e f ?>???>?即2,12,e a e a ?>

?+??>?

所以2a e <<.

若1a =,则'()0f x ≥,

所以()f x 在区间1,e e

??????

上单调递增,

min 1

()()1f x f e

=<,不满足条件;

综上,2a >.

(3)(0,)x ∈+∞,2

()(1)ln (1)1g x ax a x x a x =-+++-. 所以'()2(1)ln g x ax a x =-+,设()2(1)ln m x ax a x =-+,

12(1)

'()2a ax a m x a x x

+-+=-

=

. 令'()0m x =,得1

2a x a

+=,

当102a x a +<<时,'()0m x <;当1

2a x a

+>时,'()0m x >.

所以'()g x 在1(0,)2a a +上单调递减,在1

(,)2a a

++∞上单调递增,

所以'()g x 的最小值为11

'()(1)(1ln )22a a g a a a

++=+-,

因为1a e >,所以111122222

a e

e a a +=+<+<,

所以'()g x 的最小值11

'()(1)(1ln )022a a g a a a ++=+->,

从而()g x 在区间(0,)+∞上单调递增, 又5210352

111

(

)(62ln )1a g a e a e a e a +=++-, 设3

()(2ln 6)h a e a a =-+,

则32'()h a e a =-

,令'()0h a =,得32a e

=, 由'()0h a <,得320a e <<;由'()0h a >,得32

a e

>.

所以()h a 在32(0,)e 上单调递减,在32

(,)e +∞上单调递增,

所以min 32

()()22ln 20h a h e

==->,

所以()0h a >恒成立,所以32ln 6e a a >+,32ln 6

1a e a

+<,

所以5272111()1a g e a e e a +<+-72272111111

110e e e a e e e

=++-<++-<,

又(1)20g a =>,所以当1

a e

>时,函数()g x 恰有1个零点.

22.解:(1)由1cos ,sin ,

x y αα=+??=?得22(1)1x y -+=,即22

20x y x +-=,

所以1C 的极坐标方程为2cos ρθ=. 由2

cos

sin ρθθ=,得22cos sin ρθρθ=,所以曲线2C 的直角坐标方程为2x y =.

(2)设射线l :(0)y kx x =≥的倾斜角为α,则射线的极坐标方程为θα=,且tan k α

=∈,

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联立2cos ,

,

ρθθα=??

=?得1||2cos OA ρα==,

联立2cos sin ,,

ρθθθα?=?=?得22

sin ||cos OB αρα==,

所以122sin ||||2cos 2tan 2(2,cos OA OB k α

ρρααα

?=?=?

==∈.

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即||||OA OB ?

的取值范围为(2,.

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23.解:(1)当1a =时,()|1||21|f x x x =-+-,

()2f x ≤,即|1||21|2x x -+-≤,

上述不等式可化为1,2

1122,x x x ?≤???-+-≤?或1

1,

21212,x x x ?<

4,3x x ≥???≤??

所以102x ≤≤

或112x <<或413

x ≤≤, 所以原不等式的解集为4|03x x ?

?≤≤

????. (2)因为()|21|f x x ≤+的解集包含1,12??????

所以当1,12x ??∈????

时,不等式()|21|f x x ≤+恒成立,

即|||21||21|x a x x -+-≤+在1,12x ??∈????

上恒成立, ∴||2121x a x x -+-≤+, 即||2x a -≤,所以22x a -≤-≤, 所以22x a x -≤≤+在1,12x ??∈????

上恒成立, 所以max min (2)(2)x a x -≤≤+,所以512

a -≤≤, 所以实数a 的取值范围是51,2

??-???

?

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