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上海交通大学2002考研试题数学分析

上海交通大学2002年硕士研究生入学考试数学分析

一、判断，正证反举（/6） 1、若n n n b x a ≤≤，N n ∈，}{n x 收敛，0→-n n a b ，则数列}{n a ，}{n b 必都收敛。2、若f(x)在R 连续且有界，则f 在R 上必一致连续。

3、若f(x)恒正连续，?+∞

a dx x f )(收敛，则必有0)(lim =+∞

→x f x 。 4、)}({x f n ，)}({x g n 均在区间I 一致收敛，则)}()({x g x f n n ?必在I 一致收敛。

二、f （x ）在),[+∞a 上连续，g(x)在),[+∞a 上一致连续,0)]()([lim =-+∞

→x g x f x ，证明f 在),[+∞a 上一致连续。（10）

三、设f(x)在R 上二次可导，0)(4>x f ，存在一点0x 使0)(0=+∞→b x f x ，证明f 在R 上有且仅有两个零点。（10）

四、设f(x)在R 上连续，?=x

dt t f x f x 0)()()(?单减，证明R x x f ∈=,0)(.(10)

五、讨论级数的敛散性（16分）（1）)(])

11([11R p n e n n p n ∈+-∑∞=；（2）

)0(sin )1211(1π<<+++

∑∞=x n

nx n n 。六、设曲面2222y x a y --=

在第一卦限内的切平面与三坐标轴分交于A ，B ，C 三点，求四面体O-ABC 的最小体积。（10）

七、称f(x)在点0x 严格增是指：),(,000000δδδ+-∈?>?x x x ，0x x <时)()(0x f x f <当0x x >时)()(0x f x f >。现设f(x)在[a,b]上每点处均严格增，证f(x)在[a,b]上严格增。

八、设]1,0[)(C x f ∈，证明)0(211)(lim 02f dx x x f πλλλ=+?+∞→。（10）

上海交通大学试卷( A 卷)

上海交通大学试卷（ A 卷）课程线性代数（B 类）学期 2011－2012第1学期班级号学号姓名一．单项选择题（每题3分，共18分） 1．设A ，B 为n 阶方阵，且A A =2 ，B B =2 。则（）（A ）)()(B r A r =时，A ，B 不相似；（B ）)()(B r A r ≠时，A ，B 相似；（C ）)()(B r A r =时，A ，B 相似；（D ）以上都有可能。 2．设A 为n 阶反对称矩阵，则（）（A ）0)(=+E A r ；（B ）n E A r =+)(；（C ）n E A r <+<)(0；（D ）以上都有可能。 3．设B A ,为n 阶方阵，??? ? ??=B A C 00。则伴随矩阵* C 为（）（A ）???? ??** B A A B ||0 0||；（B ）??? ? ??**B B A A ||00||；（C ）???? ? ?** A A B B ||0 0||；（D ）??? ? ? ?**A B B A ||00||。 4．设A 为n m ?的实矩阵，矩阵)(A A T 正定的充分必要条件为（）（A ）m A r =)(；（B ）m A r <)(；（C ）m A r <)(；（D ）n A r =)(。 5．设α是单位向量，矩阵ααT k E A +=，其中1-≠k 。则（）我承诺，我将严格遵守考试纪律。

（A ）A 为正交矩阵；（B ）A 为正定矩阵；（C ）A 为可逆矩阵；（D ）A 为反对称矩阵。 6．设向量组321,,ααα线性无关，向量321,,βββ线性相关但相互不成比例，且， 321332123211,,αααβαααβαααβk k k ++=++=++=。则（）（A ）2-=k 或 1=k ；（B ）1=k ；（C ）2-≠k 且 1≠k ；（D ）2-=k 。二．填空题（每题3分，共18分） 7．设行列式 4 111311 12=D ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则 ∑∑==313 1 i j j i A ＝。 8．已知4阶行列式4||j i a 的展开式中某项为42143123)1(a a a a k -。则=k 。 9. 设33)(?=ij a A ,j i A 是||A 中j i a 的代数余子式，j i j i A a =，13 121132a a a ==。已知011