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广义二重积分

网极限

在我们所采用的定义1至定义4中均应用了网极限的概念,因此有必要将网极限的一般定义及部分可能要用到的性质略作阐述.

定义0.1 设集合D ≠?,称D 上的二元关系<为半序关系,若其满足:

()i 非自反性: ,,x y D x y x y ?∈

定理0.1 如此定义的半序集中没有最大元证明:反设,x D z D ?∈?∈ .st x z < 另z D '?∈ .st z z '< 由()ii 知: x z '<

但由()i 知: z z '≠ 矛盾. 即得证.

注:半序关系中并没有要求,x y D ?∈,一定要有x y <或y x <,只要两者不同时成立即可.也就是说,两者可以在这种关系下无法比较.

我们回忆在学习数列时定义极限的情形,不难发现当时是依靠N 中的良序关系来描述极限的,然而在更多的情形下,极限的基未必能满足这样的良序关系.为了使这样的极限也能利用序列来进行描述,我们引入半序关系.这样,用能序列描述的极限的范围就被极大地扩展了.

定义0.2 称偶(,)D <为半序集,若D ≠?且<为D 上的半序关系.

定义0.3 称半序集(,)D <为定向集,若其满足:

()iii 共尾性: ,x y D ?∈ z D ?∈ .st x z <,y z <

这个性质对网极限的定义至关重要,正是共尾性保障了我们所定义极限的唯一性.

定义0.4 称映射:S D X 为X 中的网,若集合D ≠?且(,)D <为定向集, 记作}{

()S S d d D =∈

一般的网极限理论是在拓扑空间展开的,我们在此不必涉及.我们所讨论的的网极限中,恒令X R =.

定义0.5 对于定向集(,)D <上的网:S D R ,

若I R ?∈,对0ε?>,*d D ?∈,*,d d d ?<,有()S d I ε-< 则称I 为映射S 在定向集(,)D <上的网极限,即记作(,)

lim D S <

定理0.1 定义5中所述的网极限是唯一的.

证明: 假设12,I I R ?∈ .st 0ε?>,*1d D ?∈,*1d d ?<,有1()S d I ε-<

*2d D ?∈,*2d d ?<,有2()S d I ε-<

由(,)D <上的共尾性:*d D ?∈ .st **1d d <,**2d d < 从而有: *1()S d I ε-<且*2()S d I ε-< ,于是122I I ε-< 由ε的任意性知:12I I =

即证网极限是唯一的,说明定义5是良好的.

定义0.6 设集合1D D ?且1(,)D <中沿用(,)D <中的半序关系.若:d D ?∈,11d D ?∈,

.st 1d d <,则称网:S D R 的限制11:S D R 为网S 的临界子网,称半序集1(,)D <为(,)D <的临界子定向集.

定理0.2 上述定义6中的1(,)D <为定向集证明:首先按照定义, 1(,)D <是半序集又1,x y D D ?∈? z D ?∈ .st x z <,y z < 11z D ?∈ .st 1z z <

由半序关系的传递性:11,x z y z << 即1(,)D <为定向集.

定义0.7 称11:S D R 为网S 的临界子网,若网:S D R 限制在(,)D <的一个临界子定向集上.

在临界子网上也可以定义网极限,为了证明广义二重积分在不同定义下的等价性,我们有必要建立起不同网之间的关系.

定理0.3 (,)

lim D S <1(,)

lim D S

这个定理常用来反证网极限不存在,也就是说我们可以选取一个临界子网使极限在此子网上极限不存在,从而说明网极限不存在.

定义0.8 称定向集11(,)D <与22(,)D <是等价的,

若?映射12:T D D 满足:()()x y T x T y

定义0.9 称网11:S D R 与网22:S D R 是等价的, 若1122(,)(,)D D

定理0.4 12S S ??1212(,)

(,)

lim lim D D S S <<=

证明:不妨设11(,)

lim D S <存在且111(,)

lim D S I <=,

0ε?> *11d D ?∈ *11,d D d d ?∈< 11()S d I ε-<

由12S S ?的定义,我们有: 0ε?> *12()T d D ?∈ *21,()d D T d d ?∈< 由T 为11-映射: 1d D ?∈ .st *11

()()T d T d < 再由T 的保序性得: *11

d d < 111()S d I ε?-< 即 211(())S T d I ε-< 即22(,)

lim D S <存在且221(,)

lim D S I <=

下面来说明我们以后证明中使用频率最高的共同临界子网的概念.

定义0.10 称1S 与2S 存在共同临界子网,若1S 的临界子网与2S 的临界子网等价.

至此,我们可以提出我们证明的一般思路了.

如我们要证明定义1?定义2:

Step1.对于正函数,在定义1,2下的网收敛?临界子网收敛

Step2.在定义1,2下,有绝对收敛性,即f 收敛?f 收敛

Step3.找出定义1中的网与定义2中的网的一个公共临界子网

于是1111(,)

()()lim (,)D f R f R S f <∈Ω?∈Ω?Ω?

2222(,)

lim (,)()()D S f f R f R <Ω?∈Ω?∈Ω

其中第一个和第五个等价性是由广义二重积分的绝对收敛性得出的，第二个和第四个等价是由正函数的广义二重积分网极限与临界子网极限同时存在得出，而第三个等号是由公共临界子网的等价性得出。注意在定义四中我们找不到简单的公共临界子网，不过我们可以转而证有界性的等价性得出我们要的结论。

定义1

定理1.1 设()F Ω为区域Ω中任意可求积的子集的全体集合,赋序

1212:Ω<Ω=Ω?Ω, 则((),)F Ω<为一个定向集. 证明:先说明()F Ω是一个半序集:

()i 非自反性:121212Ω<Ω?Ω?Ω?Ω≠Ω ()ii 传递性:122313,Ω<ΩΩ<Ω?Ω<Ω

且满足()iii 共尾性:12,()F ?ΩΩ∈Ω,记12

(,)sup

x y ρ∈ΩΩ=

,取R N ?>

则222x y R +≤包围的区域D 满足:3D Ω=Ω 可测,且13Ω<Ω,23Ω<Ω

定义1.1 称在上述定向集上的映射:()S F R Ω ,()S D ?为有限积分网, 记作lim (,)D

f x y dxdy ?

引理1.2 当二元函数(,)0f x y ≥时,有sup (,),()D I f x y dxdy D F ??=∈Ω??????

证明:(1)先证:若I 存在,则sup (,),()D f x y dxdy D F ??

∈Ω????

??存在且两者相等:

取1ε=,1()D F ?∈Ω,当1(),D F D D ∈Ω<时,(,)1D

f x y dxdy I

即(,)1D

f x y dxdy I <+??

2()D F ?∈Ω,3()D F ?∈Ω,23D D <且13D D <

\\(,)(,)(,)1(,)1D D D D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy I f x y dxdy I ∴=-

<+-

<+??????

即(,)D

f x y dxdy ??有界

令*sup (,),()D I f x y dxdy D F ??

=∈Ω????

40,()D F ε?>?∈Ω .st 4

**(,)D I f x y dxdy I ε-<

(,)0f x y ≥ ∴当()D F ∈Ω时,4D D <时:**(,)D

I f x y dxdy I ε-<

对于同样的0ε>,5()D F ?∈Ω .st

当()D F ∈Ω,5D D <时,(,)D

I f x y dxdy I εε-<<+??

我们取645D D D = ,则0ε?>,6D D ?∈ .st 当()D F ∈Ω,6D D <时有:

**(,)D

I f x y dxdy I ε-<

I f x y dxdy I εε-<<+??

即有*2I I ε-<,于是由ε的任意性,*I I =得证.

(2)再证:若sup (,),()D f x y dxdy D F ??

∈Ω??????存在,则I 存在且两者相等

令*sup (,),()D I f x y dxdy D F ??

=∈Ω????

0ε?>,1()D F ?∈Ω .st 1

**(,)D I f x y dxdy I ε-<

而(,)0f x y ≥,我们有:1

1(,)(,)D D

D D f x y dxdy f x y dxdy

即: 0ε?>,1()D F ?∈Ω .st 当1D D <时,

***(,)(,)D D

I f x y dxdy f x y dxdy I I εε-<≤<<+????

根据定义, I 存在且*I I =,即得证.

定理1.3 当二元函数(,)0f x y ≥时,lim (,)lim (,)D

D f x y dxdy f x y dxdy ?

=????,

其中(),()D F F '''∈ΩΩ为()F Ω的临界子网.

证明:(1)先证明:若lim (,)D

f x y dxdy ?

??存在,则lim (,)D f x y dxdy ?

??存在且两者相等

由引理1.2:lim (,)D f x y dxdy ?

??=sup (,),()D f x y dxdy D F ??

∈Ω????

又(,)0f x y ≥得(,),()D f x y dxdy D F '??

''∈Ω??????单调递增且有上界,则其上确界存在

于是由引理1.2: lim (,)D f x y dxdy ?

'??存在且等于sup (,),()D f x y dxdy D F '??

''∈Ω??????

()()F F 'Ω?Ω ,sup (,),()D f x y dxdy D F '??''∈Ω??????≤sup (,),()D f x y dxdy D F ??

∈Ω??????

而1()D F ?∈Ω,2()D F '?∈Ω .st 12D D <,进而有1

(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy ≤????

于是sup (,),()D f x y dxdy D F ??∈Ω??????≤sup (,),()D f x y dxdy D F '??

''∈Ω??????

于是sup (,),()D f x y dxdy D F ??∈Ω??????=(,),()D f x y dxdy D F '??

''∈Ω??????

(2)再证明:若lim (,)D f x y dxdy ?

??存在,则lim (,)D

f x y dxdy ?

??存在且二者相等

由引理1:lim (,)sup (,),()D D f x y dxdy f x y dxdy D F ?

''??

''=∈Ω????

????

3()D F ?∈Ω,4()D F '?∈Ω .st 34D D <,进而有3

(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy ≤????

于是(,),()D f x y dxdy D F ??

∈Ω????

??有上界.

又(,)0f x y ≥得(,),()D f x y dxdy D F ??

∈Ω????

??单调递增,故有上确界

再由引理1.2: lim (,)D f x y dxdy ?

??存在且等于sup (,),()D f x y dxdy D F ??

∈Ω????

由(1)中证明知: sup (,),()D f x y dxdy D F ??∈Ω??????=(,),()D f x y dxdy D F '??

''∈Ω??????

即得证.

定理1.4在定义1下的广义二重积分是绝对收敛的,即:

11(,)()(,)()f x y R f x y R ∈Ω?∈Ω

证明:记{}{}

(,)max (,),0(,)max (,),0f x y f x y f x y f x y +-?=??=-?? 于是,(,)(,)(,)

(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y f x y f x y +-+-

?=-??=+?? 要证明(,)f x y 和(,)f x y 在D 上可积等价只需证:1(,)()f x y R +∈Ω

我们先证明:若1(,)()f x y R ∈Ω,则: (,),()D f x y dxdy D F ??

∈Ω????

??有界

取1ε=,1()D F ?∈Ω,当1(),D F D D ∈Ω<时,(,)1D

f x y dxdy I

即(,)1D

f x y dxdy I <+??

()D F ?∈Ω,2()D F ?∈Ω,2D D <且12D D <

22\\(,)(,)(,)1(,)D

D D D

D D

f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy I f x y dxdy ∴=-

<++

??????

1 若1D D =? ,则:1D <2\D D ,从而有

2\(,)1D D

f x y dxdy I <+??

2 若13D D D =≠? ,则:1D <23\(\)D D D ,从而有:

2233

\\(\)

(,)(,)(,)D D

D D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =

-??

????3

1(,)D I f x y dxdy ≤++

而1D 为某定区域,(,)f x y 在D 上有界,则(,)f x y 在1D 上有界于是我们得到:

2\(,)D D

f x y dxdy ??

有界,

而31D D <,故

(,)(,)D D f x y dxdy f x y dxdy M <

综上所述,(,)22D

f x y dxdy I M ≤++??,有界性得证

下面再证明: 1(,)()f x y R +∈Ω

1 11(,)()(,)()f x y R f x y R ∈Ω?∈Ω:

反设1(,)()f x y R +?Ω,则,()n n D F ??∈Ω .st (,)n

D f x y dxdy n +>??

取n D 的分划,1n σ,,2n σ,,n m σ .st 其Darboux 下和n >, 即:,,1(,)m

n j n j j m f x y n σ+=>∑

我们将,n j σ分为以下两类: <1>在,n j σ上,,(,)0n j m f x y +=

<2>在,n j σ上,,(,)0n j m f x y +>(此时有(,)(,)f x y f x y +=)

将第二类,n j σ取出,并记为,n j σ+,1,,j k =

则,,1

(,)k

n j n j j m f x y n σ++=>∑ 记,1k

n j j Q σ+== ,则(,)(,)Q Q

f x y dxdy f x y dxdy n +=>????

而这与1(,)()f x y R ∈Ω矛盾,于是1(,)()f x y R +∈Ω

2 11(,)()(,)()f x y R f x y R ∈Ω?∈Ω

注意到:0(,)(,)f x y f x y +<≤

则(,),()D f x y dxdy D F +??

∈Ω??????单调递增且有上界, 于是sup (,),()D f x y dxdy D F +??

∈Ω??????存在

由引理1.2知: 1(,)()f x y R +∈Ω

综上所述11(,)()(,)()f x y R f x y R ∈Ω?∈Ω

定义2

定理2.1 设()L Ω为所有L 割下Ω部分的全体,赋序:L T Ω<Ω:L T d d =<,则((),)L Ω<是一个定向集,并且以L d 作为其中每个元素的参数,我们称这种定向集为可参数化的定向集.

证明:先说明((),)L Ω<是一个半序集:

()i 非自反性:L T Ω<ΩL T d d ?< ,即有L T ≠

()ii 传递性:12L L Ω<Ω且23L L Ω<Ω123,L L L d d d ?<<即13L L Ω<Ω

然后是共尾性:

()iii 12,()L L L ?ΩΩ∈Ω,由于12()()0A L A L ==,即12,L L 有界,那么0R ?> .st R

>121|(,)}x y L L ∈ 那么可求长曲线cos :sin x R L y R θ

=??

=? 02θπ≤≤

满足：12,L L L d R d d =>，即L ?Ω使得12,L L L Ω>ΩΩ。

定义2.2 在上述定向集上的映射:()S L R Ω (()(,))L

L S f x y dxdy ΩΩ=??称为菲赫金

哥尔茨网。

我们先对(,)0f x y ≥的情况进行分析：

注意到(,)f Ω菲赫金哥尔茨网是存在临界子网的.比如说中心为原点的圆圈列：

cos :sin n x n L y n θ

=??

=? 02θπ≤≤ 所包围的区组成的集合记为()L 'Ω,()()L L 'Ω?Ω且((),)L 'Ω<是一个临界子定向集.将S 限制在()L 'Ω上即为网S 的一个临界子网。

另一个例子是中心为原点的正方形列：38:87n n

n tn L x n

n tn ??-?

=?-??-? [0,0.25][0.25,0.5][0.5,0.75][0.75,1]

t t t t ∈∈∈∈

8:58n n tn n L y n tn n

-+???

-??-? [0,0.25]

[0.25,0.5][0.5,0.75][0.75,1]t t t t ∈∈∈∈ 所包围的区组成的集合记为()L 'Ω,()()L L 'Ω?Ω

且((),)L 'Ω<是一个临界子定向集.将S 限制在()L 'Ω上即为网S 的一个临界子网。

定理2.3若(,)0f x y ≥,则:((),)

lim sup (,)()L L L S f x y dxdy L Ω<Ω????

=Ω∈Ω????????。

证明: 若sup (,)()L L I f x y dxdy L Ω????

=Ω∈Ω<+∞??????

那么由上确界的定义:0ε?>,1L ?Ω .st 1

(,)L I f x y dxdy I εΩ-<≤??。

记(,)max

x y L ρ∈=取*cos :sin x L y ρθ

ρθ

=??=? 02θπ≤≤

那么,由于*L Ω为可求长曲线,则*()L L Ω∈Ω,L ?Ω有:*L L Ω<Ω 由*L Ω的定义有:1L L Ω?Ω

又由(,)0f x y ≥知:1

(,)(,)L L

I f x y dxdy f x y dxdy I εΩΩ-<≤≤????

即证:((),)

lim L S I Ω<=

反之,只需证由((),)

lim L I S Ω<=存在(,)()L L f x y dxdy L Ω????

?Ω∈Ω??????

??有界即可

()L L ?Ω∈Ω,取临界子网cos :sin n x n L y n θ

θ=??

02θπ≤≤ 由于(,)0f x y ≥,(,)()L L f x y dxdy L Ω????

Ω∈Ω??????

??单调上升到I

记(,)max

x y L ρ∈=0N ?> .st N ρ<

从而有222

(,)(,)(,)L

L N

x y f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy I ρΩΩ+≤≤

≤

≤????

即(,)()L L f x y dxdy L Ω????

Ω∈Ω????????有界得证.

定理2.3 若(,)0f x y ≥,则((),)

((),)

lim lim L L S S 'Ω<Ω<'=,其中S '为S 限制在()L 'Ω上的临界子

网.

证明:先证明若((),)

lim L S Ω<存在则((),)

lim L S 'Ω<'也存在:

若((),)

lim L S Ω<存在则sup (,)()L L f x y dxdy L Ω????

Ω∈Ω??????

??存在: 由上确界的定义知:

sup (,)()L L f x y dxdy L Ω????'Ω∈Ω????????sup (,)()L L f x y dxdy L Ω????≤Ω∈Ω??????

从而由定理2.3有((),)

lim L S 'Ω<'存在

反之若((),)

lim L S 'Ω<'存在,则: sup (,)()L L f x y dxdy L Ω????

'Ω∈Ω??????

??存在.

()L L ?Ω∈Ω,由于S '为S 的临界子网,

记(,)max 1x y ρ∈=,那么:**L ?Ω .st

***L L Ω<Ω,

其中*L Ω为*

cos :sin x L y ρθ

ρθ=??=?

,02θπ≤≤ 围成的区域。

由

(,)(,)(,)sup (,)()L

L L

L f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy L ΩΩΩΩ????

'≤≤≤Ω∈Ω??????

??????

可知:sup (,)()L L f x y dxdy L Ω????

Ω∈Ω??????

??存在

且sup (,)()sup (,)()L L L L f x y dxdy L f x y dxdy L ''ΩΩ????????

'Ω∈Ω≤Ω∈Ω????????????????

那么sup (,)()sup (,)()L L L L f x y dxdy L f x y dxdy L ''ΩΩ????????

'Ω∈Ω=Ω∈Ω????????????

????

只要等式有一边存在,则必然有两边同时存在且相等,即((),)

((),)

lim lim L L S S 'Ω<Ω<'= 得证.

注意以下事实:

当(,)0f x y ≥时,若sup (,)()L L f x y dxdy L Ω????

Ω∈Ω=+∞????????,那么同样有:

sup (,)()L L f x y dxdy L ''Ω????

'Ω∈Ω=+∞??????

??,即在任意临界子网上((),)

lim L S Ω<=+∞

引理2.1 首尾相连的曲线的相加

设曲线1L ,2L ,...,n L 的参数表示为： ():()k k k x t L y t ???[0,1]t ∈ 满足11(1)(0)

(1)(0)k k k

k x x y y ++=??

=? (11)k n ≤≤-，而且除以上各点外曲线互不相交，这样我们就可以定义若尔当曲

线()

:()

x t L y t ??

?[0,1]t ∈为以上曲线的和即：1()()n

k k graph L graph L ==∑ 证明：我们取这样的曲线()

:()

k k x nt L y nt ???1[,]k k t n n

+∈如果1[,](01)k k t k n n n

+∈≤≤-

由11(1)(0)(1)(0)k k k

k x x y y ++=??=? (11)k n ≤≤-知这个分段的参数表示是连续的，而此时L 没有

重点，故L 为若尔当曲线，满足：1

()()n

k k graph L graph L ==∑。

注意如果曲线1L ,2L ,...,n L 是围成一圈的，即11

(0)(1)(0)(1)n n x x y y =??=?，那么我们构造的曲

线L 为若尔当闭曲线。

定理2.4 在定义2.2下的广义二重积分是绝对收敛的,即:

22(,)()(,)()f x y R f x y R ∈Ω?∈Ω

证明:()?注意到(,)(,)2(,)f x y f x y f x y ++=，由极限的线性性,我们只需证2(,)()f x y R +∈Ω：

由于(,)(,)f x y f x y +

≤,故sup (,)()L L f x y L +

Ω????Ω∈Ω????????sup (,)()L L f x y L Ω????≤Ω∈Ω??????

于是2(,)()f x y R ∈Ω

()?反设2(,)()f x y R ?Ω

那么由定理2.2可知:sup (,)()L L f x y L Ω????

Ω∈Ω=+∞??????

我们选取临界子定向集{}

n L Ω,其中:n L 为正方形的边界曲线在其上由定理2.3有:lim

(,)L n

n f x y dxdy →∞

Ω=+∞?

于是我们不妨取{}

n L Ω满足:

(,)3(,)2L L n n

f x y dxdy f x y dxdy n +ΩΩ>+????

(由lim

(,)L n

n f x y dxdy →∞

Ω=+∞?

知:我们可以选出一个无穷子序列{}n

L Ω使得:

(,)3(,)2L L n

k k

f x y dxdy f x y dxdy n +ΩΩ>+??

??,不妨取{}n

L Ω作为新的{}n

L Ω即可)

记1\n n n L L P +=ΩΩ

首先n P 是可求积的,而且(,)f x y 在1n L +Ω上是有界可求积的,那由积分关于区域的线性性是成立的,即有:1

(,)(,)(,)n

L L n n

P f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy +ΩΩ=-??????

又有:(,)(,)(,)n

P P P f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy +-=+??????

不妨设(,)(,)n

P P f x y dxdy f x y dxdy +->????,

则由上可得:(,)(,)n

L n

P f x y dxdy f x y dxdy n +Ω>+????

对于(,)n

P f x y dxdy +??,将其所在的正方形区域1n L +Ω进行分划:T

101112121n l l l l l n a x x x x x x x a +-+-+-=<<<<<<<<= 101112121n l l l l l n a y y y y y y y a +-+-+-=<<<<<<<<= 取细度足够小的分划T :使得对应的Darboux 下和满

足:,,(,)n

n i n i i

m P f x y dxdy n Ω>+∑??

我们将这些,n i m 分为下面两类:

<1>,0n i m >,(,)0n i

f x y m ?>,此时有:,,(,)

(,)

n i

f x y f x y m m +=

<2>,0n i m ≤

现在我们通过技术性的手段来构造出 {}

n L 使得: lim n L n d →∞

=+∞且

(,)L n

f x y dxdy n Ω>??

: 将以上<1>中的每一个,n i P 向内缩小δ成为以原,n i P 中心为中心的边长减少ε的正方形

记产生的新块为: ,n i

P 由于这些,n i P 的个数是有限的,而(,)f x y 在1n L +Ω内是有界可积的,故只要ε足够小(不妨设为0ε)就能满足: ,,(,)(,)(,)L n i

n i

P P f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy n +Ω=>+??????

不妨设n x a =±和n y a =±均是分划T 中的直线(若不然则将这些直线加入到原分划T 中,形成的新分划依然可以得到上述结论)

我们设在分划T 中有:

l p n x a -=-,l p n x a +=,(0)p l <<

l p n y a -=-,l p n y a +=,(0)p l <<

接下来是构造 n

L 的具体步骤: 我们记中心为 (,)i j x x 11(,)22i i i i x x y y ++++=的 ,n i

P 块为,i j N (0,21)i j l ≤≤- 需要说明的是:对于某些(,)i j ,,i j N 可能不存在,此时我们记作,i j N =? 我们将这些,i j N 的中心用螺旋状的线段连接起来,具体的直线段为:

l p l p

l p x x x y y -++?≤≤??=?? 1l p l p l p y y y x x +--+?≤≤??=?? 11

l p l p

l p x x x y y --++-?≤≤??=?? 0210l y y y x x -≤≤???=??

再将 (,)l p l p x y --与 1(,)l p l p x y ---连接起来的线段加入

我们将上面构造的线段由中心扩展d ,即以每条直线段为中心线做半径为ε的的

长方形,

这个图形记作L ?,其中{}110min ,0,21i i i i d x x y y i j l εε++<<----≤≤- 由于这样的长方形个数有限,那么只要d 足够小,就有()A L ?ε<

记2,1

()n l

ij L i j Q N L ==?Ω 那么由L ?的构造知:Q ?为若干线段首尾相连而成的,

而每一段均可以视作曲线,从而由引理知:这些线段在总体上来说也是曲线,而且在这个情形下是可求长的Jordan 闭曲线(任取Q ?上一点为曲线的端点即可) 那么,最后由(,)f x y 在1n +Ω上有界可积得:0M ?> .st 1(,)n f x y M +Ω< 故 2,,,1

(\)(

)

(,)(,)l

n i

L i j n i j P L N f x y dxdy f x y dxdy =?Ω-

????

222,,,,,1

(

)

(

)(\)(

)

(,)(,)(,)(,)l

n i

i j i j L i j n i j i j i j P N N L N f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy ===?Ω=-

????

再由积分的线性可加性得:

22,,,,1

(

)

(\)\(

)

(,)(,)(,)l

n i

i j L i j n i j i j P N L N f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy ==?Ω=-

????

取足够小的d ,使得:

22,,,1,1

(\)\(

)

(\)\(

)

(,)(,)l

L i j L i j n n i j i j L N L N f x y dxdy f x y dxdy ==?Ω?Ω≤??

(,)22

f x y dxdy M M

?≤≤?

由,i j N 的构造知:只要取缩小的边长足够小,可

使:

2,,,1

(,)(,)2

n i

i j

i j P N f x y dxdy f x y dxdy ε

从而有:

2,,,1

(\)(

)

(,)(,)l

n i

L i j n i j P L N f x y dxdy f x y dxdy ε=?Ω-

我们取ε足够小可使

2,,1

(\)(

)

(,)(,)l

L i j n i j L N f x y dxdy f x y dxdy n =Ω?Ω>+??

最后,

2,,1

(\)(

)

(,)(,)(,)(,)l

L n

n i j i j Q

L N f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =ΩΩ?Ω==+

????????

(,)(,)n

f x y dxdy f x y dxdy n ΩΩ>++????[(,)(,)]n

f x y f x y dxdy n n Ω>++≥??

这样,我们构造的 {}

n L 满足:

(,)L n

f x y dxdy n Ω>??

,而且由其构造过程知: 1

L L n

n n

L d d d +ΩΩ<<,

从而有 1

n L L d d +<且 lim n

L n d →∞

=+∞ 那么在临界子网

{}

L Ω下,此极限不存在. 由定理2.2知:2(,)()f x y R ?Ω,矛盾

综上所述, 22(,)()(,)()f x y R f x y R ∈Ω?∈Ω

定义3

与定义二的证明类似，只需将最后构造的多角形曲线的角用圆弧替换，使其成为光滑曲线即可

定义4

定义4：lim

L d f f Ω

?→∞

=????

，其中L 的面积为0，而L ?为包围某一定点

O ∈Ω的连通块。若右端的极限存在，则对应的积分称为收敛，记为

2()f ∈?Ω。

下面证明一个重要命题，即绝对可积判定定理:

22()()f f ∈?Ω?∈?Ω，即f 在Ω上可积和绝对可积等价。

在此之前我们证明一个引理：

引理：若2()f ∈?Ω，则对L D ????Ω，D 为有限区域，L ?是连通的。有D

f M

证明：由2()f ∈?Ω，即对ε?，*d ?，对L ?，当*L d d ≥时，取包含O 的连通块，有 (1)

f f εΩ

则我们取ε为1，取*L 为以原点为圆心，以对应*d 为半径的圆周。则由（1），有

(2)

L D

f f ?<+??

显然成立。我们把D 分为两部分：1*L D D =??，21/D D D =。则有积分的可和性，1

D D f f f =+??????，则

(3)1

D D f f f ≤

????

。

而 (4)

1L D D f f f M ?≤≤=??

。

对于2D ，我们做如下讨论：

显然，2*/L L D ???，记*/L L Q ??=。作Q 的网格分划，记所有完全在2D 内部的小块并集为2*D 。当分划足够小时，有内积分引理，我们可以证明，

D D f f =??

。下面我们对2*D 进行讨论。我们把2*D 中这些小块都取成闭

集。让每个小方块稍稍的向内收缩（就像定义2、定义3证明中我们做的一样），使它们之间互不相交，而在其并集上的积分值与2*D 上的积分值只相差任意小的ε。为了下面叙述方便，而下面如无特别说明，所说小块即指2D 内部进行过“收缩”处理互不相交的小块。

1. 首先，我们找出一个可以在Q 中做一条“狭窄的走道”1C 与*L ?连接的小块，记为1q （必要时我们可以把小块的编号做适当的调整）。这个“走道”必须保证在Q 中且不与其他2,,n q q 小块相交，即11

i C Q q

=? 。由于“走道”是足够“窄”的，

故“走道”上的积分对原积分影响很小。这是可以办到的，因为L ?为连通区域。取任意小块的一个边界点E 和*L ?的一个内点F ，连接,E F 。则EF 与所有小块中第一个相交的小块即我们要找的小块。（为叙述方便，我们以后把“走道”都取成闭集。）记

1q 和“走道”1C 的并集为1

q '。再找出可以与*L ?用一条包含在11/n n i Q q C =??

? ???

中的“狭窄走道”2C 相连的小块，记为2q ，记2q 和“走道”2C 的并集为2

q '。再找出可以与*L ?用一条包含在121/n n i Q q C C =??

?? ???

中的“狭窄走道”相连的小块，记为

3q ……设这样的i q 共、有1r 个。我们把这些与*L ?相连的小块称为第1级小块。

2. 找出可以与1

q '用一条包含在112/r n

i i i i Q C q ==??

? ???

中的“狭窄走道”11r C +相连的小块，记为11r q +。记11r q +和那条“走道”的并集为11r

q +'。再找出可以与1q '用一条包含在1112/r n

i i i i Q C q +==??

? ???

中的“狭窄走道”相连的小块，记为12r q +……设这样的i q 共有2

r 个。

3. 找出可以与2

q '用一条包含在12112/r r n

i i i i i Q C q +==≠?? ?? ? ???

中的“狭窄走道”121r r C ++相连的小块，记为121r r q ++，记121r r q ++和那条“走道”的并集为121r

r q ++'。再找出可以与2q '用一条包含在121112/r r n

i i i i i Q C q ++==≠?? ?? ? ???

中的“狭窄走道”相连的小块，记为122r r q ++……设这

样的i q 共有3r 个。我们把上述与第1级小块块直接相连的小块称为第2级小块。

特别声明，我们如果说小块i q 与j q 直接相连，那么当且仅当i q '与j q '有共同的聚点。

4. 反复进行上述过程，可以把12,,,n q q q 都连起来。否则，假设n q 不能被连起来，由于Ω的连通性，可以把n q 的一个边界点A 和

n i i q -=' 的一个内点B 用一条在Ω内的

曲线连接起来，则曲线必与

1*1

n i

L i q -='??

的边界相交。上述连线与

n i L i q -='??

的边界的

第一个交点C （这里我们视A 点为曲线的起始点）属于i q '。而如果C 是i q 的边界

点，则n q 能按我们所给的连接方式与12,,,s q q q 相连在一起。如果C 是i C 的边界点，则可以从C 点沿着i C 做一条“走道”i q 相连即可。这就与假设矛盾。若第一个交点属于*L ?是一样的。

现在我们来讨论一下这种连接方式的性质：我们把这些与*L ?直接相连的小块称为一级块，而把2、3步中与第1级块以“走道”直接相连的小块称为第2级块。以此类推，我们把与第i 级块以“走道”直接相连的小块称为第1i +级块。特别地，我们把

*L E 称为第0级块，*L E 为以原点为圆心，*d 为半径的圆。读者可以发现我们的提供

的连接方式有如下特点：

a) 同级小块之间不直接相连。

b) 若两小块级数差大于等于二，则他们不可能直接相连。

c) 各小块必与一个且仅一个第一级小块直接相连，而可能与多个高一级小块直接相

连。

d) 每小块对应的“走道”必连接它和一个比它高一级的小块。 e) “走道”之间不能相交。

现在要证明*1

i L i q ='?? 是一条简单曲线L 所围成区域L E 与Ω相交部分的一

块包围O 点的连通块。由于L '由“走道”和小块的部分边界组成，故L '必为可求长曲线。故我们需要证明*1n

i L i q E ='? 的边界L '是一条简单曲线。假设

L '中存在一个“圈”，即l L '?，且()

,[0,1]()x t l t y t =Φ?∈?=ψ?

，

()()(0),(0)(1),(1)Φψ=Φψ。由于“走道”之间不相交，小块与小块之间也

不相交，且每个小块上必然至少有一条“走道”，每条“走道”必然连接

两个小块。所以，l 必然是若干“走道”部分边界和小块部分边界的相间排列，即“走道”部分边界，小块部分边界，“走道”部分边界……这样依次相连。那么，这也就对应小块和“走道”依次相连，构成一个环状，如下图：

取上述相连中的任意小块为小块1，则l 圈中与它直接相连的小块只有两块。根据前面讨论的性质，这两块中必有一块比小块1高一级，有一块比小块1第一级。取高一级的小块记为小块2，那么与小块2 直接相连的另一小块为小块3。由性质知其必比小块2高一级。以此类推，小块n 则比小块1高n-1级，按照相连规律，它们是不能相连的。这也就证明的“圈”l 是不存在的。*1n

i L i q E ='? 的边界L '是一条简单曲线。

由此，我们取*1

n i L i q E ='? 边界为所要找的直线L ，则*1

i L i q ='?? 是L 所围成区

域L E 与Ω相交部分的一块包围O 点的连通块。故由（2）式

(5)

22n

L L i L i L i i D E E q E q E f

f f f f

I ==''??=-≤

≤+????

????

，

而

D D f

f f

≤

+??????。联立（3）、（4）、（5）式，命题得证。

在得到引理后，我们可以用课堂上完全相同的方法证明绝对可积判定定理，这里不再赘述。

走道

走道3

……

无穷限广义积分的计算(1)

指导教师：陈一虎作者简介：陈雪静(1986-),女,陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班．无穷限广义积分的计算陈雪静（宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡 721013）摘要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）,

二重积分的反常积分

目录 1引言 .................................................................................................................... 1 2无界区域上的二重积分 ............................................................................. 1 2.1定义 .................................................... 1 2.2(,)D f x y d σ ?? 收敛的判定 (2) 2.3B 函数与Γ函数的联系 ...................................... 4 3无界函数的二重积分 .................................................................................. 9 3.1定义 ..................................................... 9 3.2判定定理................................................ 9 3.3无界函数计算 ............................................ 10 参考文献 ........................................................................................................... 11 致谢 .. (12)

广义积分的收敛性

§2 广义积分的收敛性主要知识点：广义积分及其敛散性概念；非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法；一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet 判别法；广义积分与级数的关系。 1、讨论积分1 121 (1)[ln(1)]x e dx x α β +∞ --+? 的敛散性。解：211 ,x x x α β→+∞ 时 “分子”“分母” 。 2、证明积分 420 1sin dx x x +∞ +? 收敛。 1 0,02k k k k k k k k k I v v v πδπδπδ δδ+-- '↓=+ +≤= ≤∑∑? ?解：取则，其中， 11 (1)(1)42111()sin k k k k k k k k k k v k πδπδπδ πδ πδ+++-+-++ + '=≤ +?? 。4 3 1 ,k k v k δ=∑取则收敛； 114 433 () 0,k k k k M M v v k k πδδ+--'' ≤≤≤∑又可见也收敛。 3、证明积分 1 2 2 3 (1)(sin ) dx x x +∞ +? 收敛。解：注意到(1)2 2 3 3 (sin ) [sin()] ,n n n x x n I u π π π+=-==∑ ∑?故，由于 2 222 3 2 1 0,1sin n n u dx u n x π π≤≤ +∑?故收敛。 4、讨论积分 10 sin 1cos x dx k x π αα -+?的敛散性。解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以0,π为瑕点，且当x →∞时分别与1111 , ()x x α α π---同阶，故当0α>时积分收敛。 ⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是0,π 。1 120 1 I I I π = +=+?? k = 1时，将cos x 在点π处展成Taylor 公式，可知1cos x +与2 ()x π-同阶。于是1I 仅

2018考研数学三二重积分真题解析

2018考研二重积分真题解析（数学三）（2018数学三，16）求下列二重积分： x 2dxdy D 其中D 由y= 3（1?x 2）和y= 3x ，以及y 轴共同围成。解法一：直角坐标： x 2dxdy D ＝ dx 20 x 2 dy 3（1?x 2） 3x ＝ 3 x 2 1?x 2 2 0dx ? 3 x 3dx 20 令x ＝sint ，即dx ＝costdt ，而x ∈[0, 2 2 ], 故sint ∈[0, 2 2 ]，t ∈[0,π 4 ]. 即原式＝ 3 sin 2tcos 2t π0dt － 3[14 x 4 ] 22 0 ＝ 3 sin 22t 4π4 0dt － 316 ＝ 34 1?cos 4t 2π 0dt － 316 ＝ 34[t 2 ? sin 4t 8]π0－ 316＝ 3π32－ 316

解法二：极坐标： x 2dxdy D ＝ dx 20 x 2 dy 3（1?x 2） 3x 令y ＝ 3z ,原式＝ 3 dx 2 0 x 2dz 1?x 2x ＝ 3 dθππ4 ρ2cos 2θρdρ10 ＝ 34 cos 2θdθπ2π ＝ 38 (1+ cos 2θ)dθππ＝ 3π32－ 3 16 解法三：广义极坐标（换元法）： x 2dxdy D ＝ dx 2 0 x 2 dy 3（1?x 2） 3x 令x ＝ρcosθ,y ＝ 3ρsinθ, 代入 y = 3（1?x 2）y = 3x ，有

ρ2=1（ρ≥0）sinθ=cosθ（0≤θ≤π 2），也即在ρOθ坐标系中，ρ、θ满足如下关系： 0≤ρ≤1 π 4≤θ≤π2 构造雅可比行列式 J ＝e x ,y e ρ,θ ＝ ex eρex eθ ey eρ ey eθ ＝ cosθ?ρsinθ 3sinθ 3ρcosθ ＝ 3ρ 故原式＝ ρ2cos 2θ J dρdθ0≤ρ≤1π4≤θ≤π2 ＝ dθππ ρ2cos 2 θ 3ρ dρ10 ＝ 34 cos 2θdθππ4 ＝ 38 (1+ cos 2θ)dθπ2π＝ 3π32－ 3 16

【2019年整理】微积分上考试大纲

《微积分》上考试大纲试卷题型：一、填充题（每题3分,共15分）二、选择题（每题3分,共18分）三、计算下列极限（每题6分，共12分）四、求下列函数的导数或积分（每题6分，共36分五、解下列各题（共19分）第一章：函数基本内容： 1.函数：定义域、表示法、分段函数 2 .函数的4个常见性态：有界性、单调性、奇偶性、周期性 3.反函数 4.复合函数 5.基本初等函数 6.初等函数题型： 1.求函数的定义域（具体、抽象） 2.求复合函数（1）已知f（x）,（X）求f〔（x）l f〔f（X）,〔（X）】（2）已知f I （x）1求f （x） 3.求函数的反函数 4.函数的奇偶性的判断

第二章：极限与连续基本内容： 1.数列极限 ⑴定义（2）收敛数列的重要性质：收敛—有界 2. 函数X 一；:=的极限 3. 函数x >X o的极限 (1) 定义 (2) 单侧极限 (3) 充要条件 (4) 保号性定理 4. 无穷大量与无穷小量 (1)定义 ⑵无穷小的运算 ⑶无穷大与无穷小的关系 ⑷无穷小量的阶 5.极限运算及性质（+，- ,X，十，u n及无穷小运算） 6.重要极限 7. f（X）在X o处连续的定义 8.初等函数的连续性 9.闭区间上连续函数性质（有界、最值、介值）题型：

1?求极限（包括数列极限）方法：（1 ）用连续函数性质、定义（2）用罗比塔法则（注意条件）（3）利用重要极限（4）等价无穷小代换（5）分段函数分段点用充要条件 2.已知极限求待定系数 3.无穷小阶的比较（包括找无穷小，无穷大） 4.求连续区间（1）间断点的判断（第几类什么名称）（2）已知连续求待定系数第三章：导数、微分、边际与弹性基本内容： 1?导数的定义 2?可导与连续的关系 4.导数公式 5.导数运算法则（+ , -,X,宁，复合，隐函数，对数求导法） 6.高阶导数（二阶） 7.微分定义dy二f（x）dx 8.微分公式题型：

2多元函数积分学.docx

2.多元函数积分学 K考试内容》（数学一）二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用 K考试要求》（数学一） 1 ?理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。 3?理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4.掌握计算两类曲线积分的方法。 5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。 6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7.了解散度与旋度的概念，并会计算。 8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 K考试要求』（数学二） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 K考试要求》（数学三） 1.了解二重积分的概念及性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。 2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。 K考试要求》（数学四）同数学三

2.多元函数积分学 K知识点概述H 2. 1二重积分基本概念：定义、基本性质计算方法：直角坐标法（x型简单区域；y型简单区域）极坐标法（r型简单区域；&型简单区域）一般变换法几何应用：面积、曲顶柱体体积物理应用：质量、质心、转动惯量 2. 2三重积分基本概念：定义、基本性质计算方法：直角坐标法：x型简单区域；y型简单区域；z型简单区域投影法（先定积分后二重积分）截面法（先二重积分后定积分）柱坐标法；球坐标法；一般变换法儿何应用：体积物理应用：质量、质心、转动惯量、引力 2. 3曲线积分第一类曲线积分基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法儿何应用：弧长物理应用：质量、质心、转动惯量、引力第二类曲线积分基本概念：定义、基本性质计算方法：参数化法曲线积分基本定理（曲线积分与路径无关的条件（平面情形，空间情形）；全微分的原函数；场论基本概念与计算格林公式（平面曲线积分）；斯托克斯公式（空间曲线积分）物理应用：功，环流量，通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系

广义积分

第九章广义积分习题课一、主要内容 1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy 收敛准则、比较判别法、Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy 判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel 判别法和Dirichlet 判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy 法。 3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。例1 判断广义积分?+∞+=0q p x x dx I 的敛散性。分析从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。解、记?+=101q p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx I

§11 用Mathematica进行广义积分运算

§6 用Mathematica 进行广义积分运算用Mathematica 广义积分的命令和求定积分的命令相同，都是： (1) Integrate[f ，{x ，下限，上限}] (2) ?dx x f b a )( 6.1 无穷区间上广义积分的运算例6.1 讨论dx x x ln 12?∞+的敛散性。解 }],2,{,ln 1[ :]1[Infinity x x x Integrate In += Out[1]=∞+ 所以dx x x ln 12?∞+发散。例6.2 计算广义积分dx e x -∞+?0 解 In[2]:=Integrate[Exp[-x]，{x ，0，+Infinity}] Out[2]=1 例6.3 计算广义积分dx x x 2 212++?∞+∞-。解先判断广义积分?++∞-dx x x 22120和?++∞+221 20x x 是否收敛。 In[3]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，-Infinity ，0}] Out[3]=2 1(π+i(Log[1-i]-Log[1+i])) In[4]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，0，+Infinity}] Out[4]=2 1(π-i(Log[1-i]-Log[1+i])) 即上面两个广义积分收敛，故原广义积分收敛。下面计算其值： In[5]:=Integrate[1/(x^2+2x+2)，{x ，-Infinity ， +Infinity}] Out[5]=π 6.2 瑕积分的运算

例6.5 计算广义积分dx x 220)1(1-? 。解 In[1]:= dx x 220)1(1-? Out[1]= ∞ 即广义积分发散。例6.6 计算广义积分dx x ? --3260)4(。解 In[6]:= dx x ?--3260)4( Out[6]=3 21/3-3(-1)1/322/3 定积分的收敛或发散有时依据被积分表达式中的某个参数而定。例如两个重要广义积分: (1)dx x a 110????<≥)1)1a a 发散（若收敛（若 (2) dx x a 11?∞+???>≤)1)1a a 收敛（若发散（若遇到这种情况时，Integrate 命令会输出一个含条件表达式的积分结果。例6.7 计算广义积分dx x a 110? 解若积分时不指定参数a 的范围，则Integrate 命令会输出一个含条件表达式的积分结果;当0)Re(>a 时，积分收敛到 a +-11，否则发散。 In[1]:=e1=dx x a 11?∞ + Out[1]=?? ????+->-∞+?dx x a a If a 1,11,1][Re[ 例6.8 计算广义积分xdx e ax sin 0?∞ 解 In[2]:=e1=dx x Sin e x a ][*0?∞ Out[2]=??????+-

(整理)9广义积分习题课

第九章广义积分习题课一、主要容 1、基本概念无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序包括定义在的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy法。

3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。二、典型例子下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。例1 判断广义积分?+∞ +=0q p x x dx I 的敛散性。分析从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。解、记?+=1 01q p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx I 对1I ，先讨论简单情形。 q p =时，1

p 时，由于

604-高等数学二 (自命题)

604-《高等数学二(自命题)》考试大纲一、考试性质《高等数学二(自命题)》是为招收大气科学和地球物理学两个一级学科硕士研究生而设置的选拔考试。它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报气象学、大气物理学与大气环境、固体地球物理学、空间物理学等专业的考生。二、考试要求要求考生系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。三、考试方法和考试时间采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。四、试题结构计算题或证明题。五、考试内容（一）函数、极限、连续 1. 函数的基本性质

2. 极限的定义、性质及计算 3. 无穷小、无穷大的定义及比较方法 4. 连续、间断的定义，闭区间上连续函数的性质（二）一元函数微分学 1. 导数和微分的定义与几何意义 2. 复合函数、隐函数和参数方程所确定的函数的求导 3. 高阶导数、分段函数的导数、微分 4. 罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理 5. 函数的极值与最值 6. 凹凸性、拐点及渐近线 7. 洛必达法则（三）一元函数积分学 1. 原函数、不定积分和定积分的概念 2. 不定积分的换元积分法与分部积分法 3. 定积分的性质、积分中值定理和牛顿－莱布尼茨公式 4. 定积分的换元积分法与分部积分法 5. 有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分 6. 变上限积分函数的导数 7. 广义积分（无穷限积分、瑕积分） 8. 定积分的应用，包含计算平面图形的面积、质心、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、截面面积为已知的立体体

广义二重积分问题

广义二重积分问题一、广义二重积分问题若区域D 是平面上的无界区域，),(y x f 在区域D 上连续，则在区域D 上的广义二重积分定义为 ?? ??→=Γ Γ σσD D D D d y x f d y x f ),(lim ),(，其中ΓD 是无重点的连续闭曲线Γ画出的有界闭区域，且闭曲线Γ连续扩张并趋于区域 D 。若上式右端极限存在，则称),(y x f 在区域D 上可积，或称),(y x f 在区域D 上广义二重积分收敛，否则称广义二重积分发散。的方法。 1、{} )()(,:,x y x x a y x D φ?≤≤+∞<≤=）（。则构造 {})( )(,:,x y x b x a y x D b φ?≤≤<≤=）（， ??????+∞→+∞→==) ()(),(lim ),(lim ),(x x b a b D b D dy y x f dx d y x f d y x f b φ?σσ， 2、当{} )()(,:,y x y y c y x D φ?≤≤+∞<≤=）（（如图2所示）。则构造 {})()(,:,y x y d x c y x D d φ?≤≤<≤=）（， ? ? ?? ?? +∞→+∞ →==)() (),(lim ),(lim ),(y y d c d D d D dx y x f dy d y x f d y x f d φ?σσ，

3、当区域D 是整个xoy 平面或xoy 平面的某一象限或某一角形区域时，则构造 {} 角度变化范围）（,:,222R y x y x D R ≤+=， ?? ??+∞→=R D R D d y x f d y x f σσ),(lim ),(，例1 计算二重积分 ?? -D y dxdy xe 2 ，其中D 是由曲线2249x y x y ==和在第一象限所构成的无界区域，即?? ? ???????≤≤<≤=23,0:,y x y d y y x D ）（（如图3所示）。解： ??????-+∞→-+∞ →-==d y y y d D y d D y dy dx e x dxdy xe dxdy xe d 2 /3/][lim lim 2 2 2 144 5 ]94[lim 2102= -=?-+∞→d y d dy e y y 。例2 证明 π=?+∞ ∞ --dx e x 2 只需证明π=? +∞ ∞ --2 ][2 dx e x 即可，而 dy e dx e dx e y x x ???+∞∞ --+∞ ∞ --+∞ ∞ --=2 22 2 ][，为此设

广义积分教案

第三章一元函数积分学三、广义积分无限区间上的积分：设)(x f 在],[+∞a 上连续，取a b >，则称dx x f b a b )(lim ? +∞ →为)(x f 在],[+∞a 上的广义积分，记为：dx x f a )(? +∞ dx x f b a b )(lim ? +∞ →= 若上述极限存在，则称广义积分dx x f a )(?+∞ 存在或收敛。否则称广义积分不存在或称发散。同理可定义广义积分： dx x f b )(? ∞ -dx x f b a a )(lim ? -∞ →=和dx x f )(? +∞∞ -dx x f c )(? ∞ -= dx x f c )(? +∞ + 若)(x F 是)(x f 的一个原函数记：?? ???=-∞=+∞-∞→+∞ →)(lim )() (lim )(x F F x F F x x 则广义积分可表示为： dx x f a )(?+∞ | )(+∞=a x F )()(a F F -+∞= dx x f b )(?∞-|)(b x F ∞-=)()(-∞-=F b F dx x f )(? +∞∞ -| )(+∞∞ -=x F )()(-∞-+∞=F F 例33－1、计算无穷积分：解：dx e x -+∞ ? dx e x b b -+∞ →? =0lim | lim b x b e -+∞ →-=1)10()(lim 0 =--=-=-+∞ →e e b b 或直接利用公式：dx e x -+∞ ? 1)1(0| =--=-+∞ -x e 例33－2、计算广义积分： ⑴、dx xe x 2 -+∞ ? dx xe x b b 2 lim -+∞ →? =)](2 1[lim 2 2 x d xe x b b -+∞ →? - = | 2 lim 2 1b x b e -+∞ →- =2 1)(lim 2 10 2 = -- =-+∞ →e e b b ⑵、dx x x 2 1+? +∞ dx x x b b 2 1lim +=? +∞ →2 2 1)1(lim 2 1x x d b b ++= ? +∞ → |0 2 )1ln(lim 2 1b b x +=+∞ →+∞=-+= +∞ →]1ln )1[ln(lim 2 12 b b ⑶、dx x x e 3 ) (ln 1? +∞ dx x x b e b 3 ) (ln 1lim ? +∞ →=)(ln ) (ln 1lim 3 x d x b e b ? +∞ →=

05--第五节--广义积分.doc

第五节广义积分我们前面介绍的定积分有两个最基本的约束条件：积分区间的有限性和被积函数的有界性. 但在某些实际问题中,常常需要突破这些约束条件. 因此在定积分的计算中,我们也要研究无穷区间上的积分和无界函数的积分. 这两类积分通称为广义积分或反常积分,相应地,前面的定积分则称为常义积分或正常积分. 分布图示 ★无穷限的广义积分 ★无穷限的广义积分几何解释 ★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★无界函数的广义积分 ★例7 ★例8 ★例9 ★例10 ★例11 ★例12 ★例13 ★内容小结★课堂练习 ★习题5-5 ★返回内容要点一、无穷限的广义积分二、无界函数的广义积分例题选讲无穷限的广义积分例1 (E01) 计算广义积分. 解对任意的有于是因此或例2 (E02) 判断广义积分的敛散性. 解对任意因为不存在,故由定义知无穷积分发散. 例3(E03) 计算广义积分. 解例4 计算广义积分解原式

例5(E04)计算广义积分(p是常数, 且时收敛). 解注: 其中不定式例6 (E05) 讨论广义积分的敛散性. 证因此,当时,题设广义积分收敛,其值为当时,题设广义积分发散. 无界函数的广义积分例7(E06) 计算广义积分解原式例8(E07) 计算广义积分. 解故题设广义积分发散. 例9(E08) 讨论广义积分的敛散性. 证因此,当时,广义积分收敛,其值为当时,广义积分发散. 例10 计算广义积分瑕点. 解 , 例11 计算广义积分解此题为混合型广义积分,积分上限为下限为被积函数的瑕点. 令则时,时,于是再令取时时于是注: 本题若采用变换等,计算会更简单,请读者自行解之.

二重积分(习题)

第九章二重积分习题9-1 1、设??+= 1 3221)(D d y x I σ, 其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ; 又??+= 2 3222)(D d y x I σ, 其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D , 试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系. 解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =. 2、利用二重积分的几何意义说明: (1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即 ),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=??D d y x f σ; (2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即 ),(),(y x f y x f =-时,有 ????=1),(2),(D D d y x f d y x f σ σ,其中1D 为D 在 0≥x 的部分. 并由此计算下列积分的值,其中}|),{(2 2 2 R y x y x D ≤+=. (I)??D d xy σ4 ; (II)??--D d y x R y σ2 2 2 ; (III)??++D d y x x y σ2 231cos . 解：令??= D d y x f I σ),(,??=1 ),(1 D d y x f I σ,其中1 D 为D 在0≥x 的部分, (1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标

欢迎下载面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0+y x ,2 )][ln()ln(y x y x +<+,

广义积分的收敛判别法

第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分? +∞a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη<

二重积分的计算与应用

目录摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1.二重积分的概念 (1) 1.1二重积分的定义 (1) 1.2可积条件 (2) 1.3可积类 (2) 1.4二重积分的性质 (2) 2.二重积分的计算方法 (3) 2.1直角坐标系下的二重积分的计算 (3) 2.2二重积分的变量变换 (4) 2.2.1普通情况下的变换 (4) 2.2.2极坐标计算二重积分 (4) 3.广义二重积分 (6) 4.二重积分的应用 (6) 4.1体积 (7) 4.2曲面的面积 (8) 4.3其它 (8) 参考文献 (9)

二重积分的计算与应用学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师：职称：摘要：研究了二重积分的几何意义，概念，性质以及在直角坐标系及极坐标下的计算方法，并给出了计算公式及相关例题,最后总结了二重积分的计算方法. 关键词：二重积分;直角坐标系;极坐标;曲顶柱体 The calculation and application of double integral Abstract : This paper mainly studies the geometric significance of double integral, the concept, nature and calculation method under the rectangular coordinate system and polar coordinate calculation method. Key Words: Double integral; The rectangular coordinate system; The polar coordinate; Curved top cylinder 前言我们已经很熟悉定积分的一些性质及计算方法.同样，二重积分在实际中应用广泛，且有直观的几何解释，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数.这类问题在物理学与工程技术中也常遇到，如求非均匀平面的质量、质心、转动惯量等.二重积分的计算的基本途径是将其转化成二次积分计算，计算二重积分时选择积分顺序，交换积分次序以及转换坐标系都是至关重要的问题.本文对二重积分的计算方法进行了全面的概括和总结，并对各种计算方法的选择进行了认真地研究，为准确的计算二重积分提供有效的帮助. 1.二重积分的概念 1.1[]2二重积分的定义设(,)f x y 是定义在可求面积的有界闭区域D 上的函数.J 是一个确定的数，若对任给的某个正数ε，总存在某个正数δ，是对于D 的任何分割T ，当它的细度||T ||时，属于T 的所有积分和都有1(,)||n i i i i f J ξσσε=?-<∑则成(,)f x y 在D 上可积，数J 称

一阶贝塞尔函数广义积分的数值计算

一阶贝塞尔函数广义积分的数值计算莫平华 (中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410083)摘　要　物理勘探中,需要计算含一阶贝塞尔函数的广义积分.一种传统的方法是在贝塞尔函数零点之间一次应用一般积分法则积分,最后求和,这种方法收敛比较慢,特别在贝塞尔函数中r 值很大的时候.另一种应用广泛的方法是数字滤波技术,该法比第一种方法快,但要求核函数迅速衰减.本文给出了一种新的计算方法,能处理核函数衰减很慢且r 很大的问题,方法简单,高效率,精度高. 关键词　物理勘探　贝塞尔函数　数值计算 The Numerical Computation of 1th Bessel Function Generalized Integration Mo Pinghua (Schoo l o f M a th.Sciences and Co mputing T echnolog y ,Central So uth U niv er sity ,Cha ng sha ,410083) Abstract In phy sica l pro specting ,we need to ca lcula te the integ rals of 1th Bessel func tio n.O ne tr aditio na l method is to integ ra te a cro ss zero s of Bessel function,but it is slo w to use it when r is la rg e.Ano ther widely used m etho d is the sta ndard digita l filter technique ,but it has low accuracy .when the kernel function deca y fast.A new method is pro po sed to ev aluate th e integ ra ls inv olving 1th Bessel function.It ca n dea l with the pro blems arising in th e fo r mer tw o methods a nd it is a simple,efficient method with hig h accur acy. Keywords ph ysical pr ospecting bessel functio n 　numerica l co mputa tion 1　引　言在电磁测探领域,若用频谱法进行一维瞬变电磁测探正演计算时,我们经常会遇到如下 (1)式的一阶贝塞尔函数广义积分. E (r )=∫∞0f (λ)λJ 1(r λ)d λ(1)通常情况下,用传统的数值积分方法计算(1)式是非常困难的,因为(1)式含有振荡的贝塞尔函数.因此人们多采用数字滤波技术计算该积分,如FHT 方法,近年来为了获得积分的高精度,人们也尝试利用数值积分求积.最常用的就是寻找贝塞尔函数的零点分布,依次在相邻零点之间采用高斯积分,再求和,其间应用了一些加速积分收敛的技术.采用FHT 方法缺陷在第27卷第1期 2007年3月数学理论与应用 M A THEM ATICAL T HEORY AND APPLIC ATION S Vol.27No.1 M ar.2007 蔡海涛教授推荐　收稿日期:2006年12月5日

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