比较实数大小的方法和练习题

比较实数大小的常用方法

八年级数学第十九章中实数大小比较是较为笼统的带过。与之相配的练习只有4道小题。而在之后九年级的数学教材中也不再出现实数的大小比较。若教学能在这里做较为详尽的展开，能帮助提高学生的思维能力和逻辑能力，同时实数大小比较的教学也能圆满告个段落。以下就实数大小比较的方法展开讨论。

方法一 作差法

作差法的基本思路：设a,b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差：当a-b ﹥0时，a ﹥b ； 当a-b ﹤0时，a ﹤b ；.当a-b ＝0时，a=b 。

例1（1）比较

513-与51的大小。 （2）比较1-2与1-3的大小。

方法二 作商法

作商法的基本思路：设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商：当

b a ＜1时，a ＜b ； 当b a

＞1时，a ＞b ；当

b a =1时，a=b 。 例2 比较

51

3-与51的大小

方法三 倒数法

倒数法的基本思路：设a ,b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a 1＞b 1时a ＜b ，来比较a 与b 的大小。

例 3 比较

2004-2003与2005-2004的大小。（提示：应用平方差公式()()b a b a b a -+=-22）

方法四 估算法

估算法的基本是思路：设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a,b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

例4 比较

8313-与81的大小

方法五 平方法

平方法的基本是思路：先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0,b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b,来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

例5 比较62+与53+的大小

方法六 移动因式法

移动因式法的基本是思路：当a ＞0,b ＞0,若要比较形如a d b c 与的大小，可先把根号外的因数a 与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。（注：被开方数越大，根式的值越大，即)0(≥=x x y 是增函数。） 例6 比较27与33的大小

除以上六种方法，还有利用数轴上的点及绝对值的方法比较实数大小的方法。对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。比如：选择题和填空题可以用赋值法来解题。

练习题

1.估计8-193的运算结果应在（ ）

A.3到4之间

B.5到6之间

C.6到7之间

D.6.5到7之间

2.如果a <-1，那么a 与a 1

的大小关系是 。

3.（1）2243+ 432??；

（2）()22

13-+ ()13-2??； （3）()22313??? ??+ 3132??

；

（4）2233+ 332??.

仔细观察（1）~（4），你发现了什么规律，再任找一些数，验证你的发现规律是否正确？

4.若1998199819991999

=a ，1999199920002000=b ，2000200020012001=c ，试比较a ，b ，c 的大小，并将它们由从小到大的顺序排列。

5.比较65与56的大小。

6.比较a 3与14-a 的大小。

7.若a >0,b<0,b a +>0，试将b b a a -,,,-从小到大排列。

比较实数大小的八种方法

比较实数大小的八种方法 生活中，我们经常会遇到下面的问题：比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解：由于，且，所以。 说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：。 例2 比较与的大小。 析解：由于，而，所以。 说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。 析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点 画出来，容易得到结论： 四、估算法

用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、b，先估算出a、b两数的取值范围，再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解：由于，故，所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数a、b有： 例5 比较与的大小 析解：因为， 又因为， 所以 所以 说明：对于两个形如（，且k是常数）的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有： 例6 比较与的大小。 析解：设，

实数大小比较的常用方法

实数大小比较的常用方法【初二数学】 添加时间：2012年11月23日浏览：53次 顿悟教育数学培优训练营来自：顿悟教育网 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本讲介绍几种比较实数大小的常用方法。 一【差值比较法】差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a－b﹥0时，得到a﹥b。当a－b﹤0时，得到a﹤b。当a－b＝0，得到a=b。 例1：（1）比较与的大小。（2）比较1－与1－的大小。 解∵－＝＜0 ，∴＜。 解∵（1－）－（1－）=＞0 ，∴1－＞1－。 二【商值比较法】商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商。当＜1时，a＜b；当＞1时，a＞b；当=1时，a=b。来比较a与b的大小。 例2：比较与的大小。 解：∵÷=＜1 ∴＜ 三【倒数法】倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当＞时，a＜b。来比较a与b的大小。

例3：比较－与－的大小。 解∵=+，=+ 又∵+＜+ ∴－＞－ 四【平方法】平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由＞得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。 例5：比较与的大小 解：，=8+2。 又∵8+2＜8+2∴＜。 五【估算法】 估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例4：比较与的大小 解：∵3＜＜4 ∴－3＜1 ∴＜ 六【移动因式法】（穿墙术） 移动因式法的基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

实数大小比较

实数练习题 二、解答题 13、已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b 的平方根． 14、已知：x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x 2+y 2 的算术平方根． 15、求下列各式中的x ： （1）4x 2﹣25=0； （2）（x ﹣1）3=64． 16、求下列各式中x 的值： ①（x ﹣2）2=25； ②﹣8（1﹣x ）3=27． 17、求下列式子中x 的值． （1）x 2﹣25=0； （2）64（x+1）3=27． 一、运用方根定义法 例1、 比较5-m 和34m -的大小 二、添加根号法

3 三、取近似值法 例3、 比较3.23和15+的大小 四、放缩法 例4、 比较26+和257-的大小 五、作差法 例5、 比较21 5-和21 的大小 六、比较倒数法 例6、设32,23,52a b c =-=-=-，则,,a b c 的大小关系是: （ ） (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 七、平方法 例7、比较517-和715-的大小 1、比较m -3和35-m 的大小．

3 3、比较4.17和110+的大小． 4、比较25+和259-的大小． 5、比较5－3与3+3大小． 6、比较67-和32-的大小． 7、比较73+与25+ 的大小． 答案：1、m -3>35-m ．2、314<19．3、4.17>110+．4、25+<259-． 5、5－3<3+3．6、67-<32-．7、73+>25+ ．

(完整版)实数知识点及例题

实数习题集 【知识要点】 1．实数分类： 2．相反数：b a ,互为相反数 0=+b a 4．倒数：b a ,互为倒数 0;1=ab 没有倒数. 5．平方根，立方根：==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2 ±a . 若a x ，a x a x 33,= =记作的立方根叫做数则数 6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法. 【课前热身】 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ； 2、8的立方根是 ；327-＝ ； 3、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是 4 、的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是 。 5 、2的绝对值是 ，11的绝对值是 。 6、9的平方根的绝对值的相反数是 。 7 +的相反数是 ，-的相反数的绝对值是 。 8 - -+的相反数之和的倒数的平方为 。 【典型例题】 例1、把下列各数分别填入相应的集合里： 2 ,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,1223π---?-Λ 有理数集合：｛ ｝； 无理数集合：｛ ｝； 负实数集合：｛ ｝； 例2、比较数的大小 （1）2332与 （2）6756--与 例3．化简： （1）233221-+-+ - 实数 有理数 无理数 整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数） 正无理数 负无理数 )0(>a 3．绝对值： =a a a - )0(=a )0(< a

（2 例4．已知b a ,是实数，且有0)2(132=+++-b a ，求b a ,的值. 例5 若|2x+1|与x y 48 1 +互为相反数，则－xy 的平方根的值是多少？ 总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用． 例6．已知b a ,为有理数，且3)323(2 b a +=-，求b a +的平方根 例7. 已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图 试化简：x z x y y z x z x z ---++++ -。 y x z

中职数学：比较实数的大小教案

优质课教案 喻敏 课题：§2.1.1 比较实数的大小 课型：新授课 教学目标： 知识目标：1.了解作差法比较实数的大小； 2.会用作差法比较分数的大小； 3.能用作差法比较代数式的大小。 能力目标：1.通过观看视频获取数据信息，提高学生收集信息的能力； 2.通过讨论问题，培养学生团结协作的能力。 情感目标：学生分组讨论到得出结果这个过程，使学生感受集体的力量，进而培养她们热爱自己的班集体。 教学重点：用作差法比较实数的大小 教学难点：用作差法比较代数式的大小 教法：举例法、提问法、讲授法 学法：分组讨论法、归纳法、练习法 课时数：1课时 教学过程： 一、观看视频、引入新课 1.请同学们听经典儿歌《数鸭子》，通过这首歌，让你们体会一下儿童的乐趣。而我们本 节课的内容也和数有关，那就是-----比较实数的大小。 2.请同学们观看视频：（刘翔打破世界纪录的视频）然后回答下面的问题：

3. 问题1：同学们根据视频可以得到哪些信息？ 根据视频可以得到如下信息：刘翔跑得最快、刘翔跑的时间为12秒88、世界纪录为12秒91、刘翔比美国选手快0.03秒、…… 4.问题2：你怎么知道刘翔跑得最快？ 方法1：刘翔最先到达终点 方法2：在12.88秒内刘翔跑的距离最多 方法3：刘翔跑的速度最快 5.问题3：怎么比较12.88和12.91这两个数的大小？ 方法1：比较它们的差与零的大小 方法2：比较它们的商与1的打小 二、比较两个实数大小的方法 方法1：作差法 b a b a b a b a b a b a ?>-000 方法2：作商法（注意：a,b 不能为0） b a b a b a b a b a b a ?>111 三、运用新知 的大小。与：比较例85 32 1.1

实数知识点汇总及经典知识讲解

)(无限不循环小数负有理数 正有理数无理数?????????????????--???---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数整数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、、ΛΛΛΛ?????????????实数第二章 实数 一、 平方根、立方根 1..算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，记作a 。0的算术平方根为0；从定义可知，只有当a ≥0时,a 才有算术平方根。 2.平方根：一般地，如果一个数x 的平方根等于a ，即x 2=a ，那么数x 就叫做a 的平方根。 正数有两个平方根（一正一负）它们互为相反数；0只有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。 3.正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 4. (1)())0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a （2）若b 3=a ，则b 叫做a 的立方根。 （3 (0)(0).a a a a a ≥?==?-

减。运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算从左到右依次进行。 3、实数的大小比较 常用方法：数轴表示法、作差法、平方法、估值法。 （1）在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数大，左边的点表示的数小。（2）正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的较小。（3）设a，b是任意两实数， 若a-b>0,则a>b; 若a-b=0,则a=b; 若a-b<0,则a

二次根式知识点及典型例题练习

第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3)

例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54

2 实数的运算与大小比较中考试题

【2 实数的运算与大小比较中考试题】 一．选择题 1.（2009年，2分）3(1)-等于（ ） A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 2.（2010年，2分）计算3×(-2)的结果是（ ） A ．5 B ．-5 C ．6 D ．-6 3. 计算23-的结果是（ ） A. －9 B. 9 C.－6 4.（10巴中）下列各式正确的是（ ） A ．33--= B ．326-=- C ．(3)3--= D ．0(π2)0-= 5．下列计算中，正确的是 （ ） （A ） 33=-- （B ）725)(a a = （C ）02.02.02 2=-b a b a （D ）4)4(2-=- 6． “！”是一种数学运算符号，且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6， 4.＝4×3×2×1，…，则100! 98! 的值为（ ） A. 50 49 B. 99! C. 9900 D. 2！ 7.（2011广州市）四个数－5，－，１ ２ ，３中为无理数（ ） A. －5 B. －0.1 C. １ ２ D. ３ 8. （2011山东）在实数π、1 3 、sin30°，无理数的个数为( ) .2 C 9. （2011湖北）下列说法正确的是（ ） A.0)2 (π是无理数 B. 3 3 是有理数 C.4是无理数 D.38-是有理数 10．(20011江苏)在下列实数中,无理数是( ) B.0 C. D.1 3 11. （2011贵州）如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )

实数知识点总结及典型例题练习

实数知识点总结 考点一、实数的概念及分类 （3分） 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8 等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现） 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。正数大于零，负数 小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a 的平方根记做“a ±”。 2、算术平方根 正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （a ≥0） 0≥a ==a a 2 -a （a <0） ；注意a 的双重非负性： a ≥0 3、立方根 如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个

中考数学一轮复习教学案 实数的运算与大小比较(含答案)

实数的运算与大小比较 ◆【课前热身】 1.计算：=-0 )5(（ ）． A ．1 B ．0 C ．-1 D ．-5 2. 3 (3)-等于（ ） A ．-9 B ．9 C ．-27 D ．27 3.下列各式正确的是（ ） A ．33--= B ．3 2 6-=- C ．(3)3--= D ．0 (π2)0-= 4.若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6， 4！＝4×3×2×1，…，则100! 98! 的值为（ ） A. 50 49 B. 99! C. 9900 D. 2！ 【参考答案】1.A 2.C 3.C 4.C ◆【考点聚焦】 知识点：有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、近似数与有效数字、计算器功能鍵及应用. 大纲要求： 1.了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算委和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算. 2.了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算法则，灵活运用运算律简化运算能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算. 3.了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算. 4.了解电子计算器使用基本过程。会用电子计算器进行四则运算. 考查重点： 1.考查实数的运算； 2.计算器的使用.

◆【备考兵法】 实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.如5÷5 1 ×5. 实数大小的比较 （1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，?绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小． （2）利用数轴：在数轴上表示的两个实数，右边的数总是大于左边的数． （3）设a 、b 是任意的实数，a －b>0?a>b ；a －b=0?a=b ；a －b<0?a1?a>b ；a b =1?a=b ；a b <1?a

实数(实数的概念运算及大小比较)

实数(实数的概念、运算、及大小比较) 一.教学内容： 第一单元实数(实数的概念、运算、及大小比较) 二.教学目标： 1. 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念. (1)了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 (2)会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 (3)画数轴，了解实数与数轴上的点对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 2. 通过复习，使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数的有关应用等。 (1)了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幕的有关概念、掌握有理数运 算法则、运算律和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。 (2)了解有理数的运算律和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算 法则，灵活运用运算律简化运算，能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。 (3)了解近似数和准确数的概念，会根据指定的精确度或有效数字的个数，用四舍五 入法求有理数的近似值(在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值) ，会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。 (4)了解计算器使用的基本过程。 三.教学重点和难点： 1. 有理数、无理数、实数、非负数概念； 2. 相反数、倒数、数的绝对值概念； 3. 在已知中，以非负数a2、|a、(a>0)之和为零作为条件，解决有关问题。 4. 使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数 的有关应用等。 四.课堂教学： (一)知识要点：知识点1 :实数分类 有理数实数'正整数整 数零 负整数 正分数 戾分数 无理数方法(1) 正无理数负无理数

实数知识点、典型例题及练习题单元复习

第六章《实数》知识点总结及典型例题练习题 一、平方根 1. 平方根的含义 如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。 即a x =2 ，x 叫做a 的平方根。 2.平方根的性质与表示 ⑴表示:正数a 的平方根用a ± 表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方 根,a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根:a ± （根指数２省略） ０有一个平方根,为0,记作00= ，负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方:求一个数a 的平方根的运算。 a a =2 ==? ??-a a 00<≥a a ()a a =2 (0≥a ） ⑷a 的双重非负性：0≥a 且0≥a (应用较广) 例：y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地 向右或向左移动一位。 区分:4的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=4开平方 后,得____ ３．计算a 的方法????? ? ? ??精确到某位小数　 ＝非完全平方类 ＝完全平方类 773294 *若0>>b a ,则b a > 二、立方根和开立方 1.立方根的定义 如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根,记作3a ２. 立方根的性质 任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０. 3． 开立方与立方 开立方：求一个数的立方根的运算。 ()a a =3 3 a a =3 3 33a a -=- (a 取任何数） 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 *０的平方根和立方根都是0本身。 三、推广: n 次方根 1． 如果一个数的n 次方(n 是大于1的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。 当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。 当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。 2. 正数的偶次方根有两个。 n a ± 0的偶次方根为0。00=n 负数没有偶次方根。 正数的奇次方根为正。0的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。

中考典型例题精析 实数的运算及大小比较

中考典型例题精析二 考点一 实数的大小比较 例 1 (2015·潍坊)在|－2|, 20 ，2－1，2这四个数中，最大的数是( ) A ．|－2| B ．20 C ．2－1 D. 2 考点二 实数非负性的应用 例 2 (2015·绵阳)若a ＋b ＋5＋||2a －b ＋1＝0，则(b －a)2 015＝ ( ) A ．－1 B ．1 C ．52 015 D ．－5 2 015 考点三 实数的混合运算 例 3 (2015·安顺)计算：? ?? ??－12－2 －(3.14－π)0＋|1－2|－2sin 45°. 基础巩固训练： 1．在13，0，－1，2这四个实数中，最大的数是( ) A. 13 B ．0 C ．－1 D. 2 2．计算：3－2×(－1)＝( ) A ．5 B ．1 C ．－1 D ．6 3．下面计算错误的是( ) A ．(－2 015)0 ＝1 B.3 －9＝－3 C. ? ?? ??12－1 ＝2 D ．(32)2＝81 4．若(a －2)2＋||b ＋3＝0，则(a ＋b)2 016的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 016 D ．－2 016 5．若a ＝20 ，b ＝(－3)2 ，c ＝3 －9，d ＝? ?? ??12－1 ，则a ，b ，c ，d 按由小到大的顺序排 列正确的是( )A ．c ＜a ＜d ＜b B ．b ＜d ＜a ＜c C ．a ＜c ＜d ＜b D ．b ＜c ＜a ＜d 6．计算： 3－4 －? ?? ??12－2 ＝ . 7．实数m ，n 在数轴上的位置如图所示，则 |n －m|＝ . 8．计算：3 －27－(－3)÷ ? ?? ?? －13×3＝ . 9．计算：(1)(1－2)0 ＋(－1) 2 016 －3tan 30°＋? ?? ??13－2 ； (2) (－1) 2 016 ＋(1－π)0 ×3 －27－? ?? ??17－1 ＋|－2|. 考点训练 一、选择题 1．(2015·山西)计算－3＋(－1)的结果是( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 2．杨梅开始采摘了！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图．则这4筐杨梅的总质量是( ) A ．19.7千克 B ．19.9千克 C ．20.1千克 D ．20.3千克 3．在实数－1,0，1 2，－3，2 0160中，最小的数是( ) A ．－3 B ．－1 C. 1 2 D ．0 4．(2015·衡阳)计算()－10＋||－2的结果是( ) A ．－ 3 B ．1 C ．－1 D ．3 5．(2015·北海)计算2－1＋12的结果是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．212 6．下列计算错误的是( ) A ．4÷(－2)＝－2 B ．4－5＝－1 C ．(－2)－2＝4 D ．2 0140＝1 7．(2015·常州)已知a ＝22，b ＝33，c ＝55，则下列大小关系正确的是( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．b ＞a ＞c D ．a ＞c ＞b 8．(2015·六盘水)下列运算结果正确的是( )A ．－87×(－83)＝7 221 B ．－2.68－7.42＝－10 C ．3.77－7.11＝－4.66 D.－101102＜－102103 9．计算9－2 0160 ×? ?? ??12－1 的结果为( )A ．4 B ．1 C. 12 D ．0

(完整版)新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题

新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题

注意掌握以下公式：① 2 a ? =?? ② 33a a =- 将考点与相关习题联系起来 考点一、关于“……说法正确的是……”的题型 1、下列说法正确的是（ ） A ．有理数只是有限小数 B ．无理数是无限小数 C ．无限小数是无理数 D ． 4 π 是分数 2、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17是17的平方根。其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3、下列结论中正确的是 （ ） A ．数轴上任一点都表示唯一的有理数 B ．数轴上任一点都表示唯一的无理数 C. 两个无理数之和一定是无理数 D. 数轴上任意两点之间还有无数个点 考点二、有关概念的识别 1、下面几个数：. 0.34，1.010********.064-3π，22 7 5 ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、下列说法中正确的是（ ） A. 813 B. 1的立方根是±1 C. 1=±1 D. 55的平方根的相反数 3、一个自然数的算术平方根为a ，则与之相邻的前一个自然数是 考点三、计算类型题 126，则下列结论正确的是（ ） A.4.5

人教版数学七年级下册-实数比较大小的方法

实数比较大小的方法 一、平方法 当a ＞0，b ＞0时，a ＞b b a . 例1：比较515 与713 的大小. 分析：从表面上看，好象无从下手，但仔细观察发现，它们的被开方数之间存在关系15+5=13+7，因此可用“平方法”. 解: 752205152 ）（,912207132 ） （. ∴515 ＜713 说明:此种方法一般适用于四个无理数两两之和(或差)之间比较大小,且其中两个被开方数的和等于另两个被开方数的和. 二、移动因式法 利用）（02 a a a ,将根号外的因数移到根号内,再比较被开方数的大小. 例2：比较53 和34 的大小. 分析:负无理数之间比较大小,先比较它们绝对值的大小,因此可将根号外的因数移到根号内,也可以用“平方法”. 解: |53 |=4553 ,|34 |=4834 . 53 ＞34 . 三、求差法 000 例3：比较34与63的大小. 分析：此题可以用“平方法”或“移动因式法”，也可以用“求差法”. ∵34-630 ∴34＜63. 四、求商法 111

例4：比较53 4与11的大小. 分析: 此题可以用“平方法”或“移动因式法”，也可以用“求商法” 解:∵534÷111 ∴534＜11. 五、分母有理化法 0,0,0)m a b 例5：比较5 13与210的大小. 分析: 此题可以用“平方法”或“移动因式法”或“求商法”，还可以用分母有理化法. 解:，102601065256555513513 10 25010105210 . ∵1010 , ∴1010 5 13＞210. 六、倒数法 例6：比较13 n n a 与n n b 2的大小. 分析：观察发现，a,b 都是两个无理数的差，被开方数的差相同，因此可取这两个数的倒数，再进行分母有理化. 2131311 n n n n a ,2 2211n n n n b . ∴ 11a b ∴a ＜ b. 七、不等式的传递性 ,m m 例7：比较23和32大小. 解：∵4,4 ∴23＞32. 八、根指数不同的无理数大小的比较，可先化为同次根式，再比较被开方数的大小

比较实数大小的八种方法

比较实数大小的八种方法 生活中,我们经常会遇到下面的问题:比较一个企业不同季度的产值,国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就就是比较两个或多个实数的大小,比较实数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则就是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解:由于,且,所以。 说明:利用法则比较实数的大小就是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据就是:对任意正实数a、b有:。 例2 比较与的大小。 析解:由于,而,所以。 说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的就是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据就是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。 析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画 出来,容易得到结论: 四、估算法

用估算法比较实数的大小的基本思路就是:对任意两个正实数a、b,先估算出a、b两数的取值范围,再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解:由于,故,所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据就是:对任意正实数a、b有: 例5 比较与的大小 析解:因为, 又因为, 所以 所以 说明:对于两个形如(,且k就是常数)的实数,常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据就是:对任意实数a、b 有: 例6 比较与的大小。 析解:设,

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实数习题集【知识要点】 1实数分类: f整数(包括正整数，零，负整数) 1分数(包括正分数，负整数) :正无理数 〔负无理数 2. 相反数：a,b互为相反数<=>a b 0 r a(a0) 3 .绝对 值：： a *0(a0) ? a(a0) 4倒数：a, b互为倒数U>ab 1;0没有倒数 5 .平方根，立方根：若x2a,则数x叫做数a的平方根，记作x + .. a . 若x3 a,则数x叫做数a的立方根，记作x 3 a 6.-------------------------------------------------------- 数轴的概念与画法.实数与数轴上的点对应；禾U用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法 【课前热身】 1、36的平方根是 ______ ; ,16的算术平方根是__________ ; 2、8的立方根是 _______; 327 = _____________ ； 3、37的相反数是__________ ;绝对值等于? 3的数是 _____________ 4、2 3的倒数的平方是___________ , 2的立方根的倒数的立方是 __________ 。 5、2 .3 的绝对值是______________ , 5/131 11的绝对值是______________ 。 6、9的平方根的绝对值的相反数是 ________________________________________ 。 7、 2 3的相反数是_________ , 2 3的相反数的绝对值是___________ 。 8、.2 ,7的绝对值与.7 .2 6的相反数之和的倒数的平方为________ 。 【典型例题】 例1、把下列各数分别填入相应的集合里： _ 22 ________ ___________________ ? .12,0, ,3125,0.1010010001 , -10 2,0.3,- 7 2 有理数集合：{ ____________________________________ }; 无理数集合：{ ______________________________________ }; 负实数集合：{ ______________________________________ }; 例2、比较数的大小

实数知识点及典型例题练习题总结

（4）《实数》知识点总结及典型例题练习题 第一节、平方根 1. 平方根与算数平方根的含义 平方根：如果一个数的平方等于a ，那么数x 就叫做a 的平方根。即a x =2，记作x=a ± 算数平方根:如果一个正数x 的平方等于a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，即x 2=a ，记作x=a 。 ２.平方根的性质与表示 ⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。 ⑵一个正数有两个平方根：a ±（根指数２省略） ０有一个平方根，为０，记作00= 负数没有平方根 ⑶平方与开平方互为逆运算 开平方：求一个数a 的平方根的运算。 a a =2==???-a a 0<≥a a ()a a =2 （0≥a ） ⑷a 的双重非负性：0≥a 且0≥a （应用较广） 例：y x x =-+-44 得知0,4==y x ⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。 区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=４开平方后，得____ (6)若0>>b a ，则b a > (7)() ) 0,0(0,0>≥=≥≥=?b a b a b a b a ab b a 典型习题： （1）求算数平方根与平方根 1:求下列数的平方根 36 （-4）2 0 10

2:求eg1中各数的平方根 （2）解简单的二次方程 3:2 81250x -= 4 :4(x+1)2=8 （3）被开方数的意义 5:若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1) 6:实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a （4）:有关x 的取值范围目前中考的所有考点 考点： 例题：求使得下列各式成立的x 的取值范围 7:53-x 8: 当______m 时，m -3有意义；当______m 时，3 3-m 有意义 9: x -11 10.等式1112-=+?-x x x 成立的条件是（ ）. A 、1≥x B 、1-≥x C 、11≤≤-x D 、11≥-≤或x (5)非负性 知识点：总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．

实数大小进行比较的常用方法全

实数大小进行比较的常用方法 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。 方法一.运用方根定义法 例1、 比较5-m 和34m -的大小 解：根据平方根的定义可知：m －5≥0，即m ≥5，则4-m <0，34m -<0，又因为5-m ≥0，由此可得：5-m >34m -． 小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较． 方法二：差值比较法 差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。当a-b ＝0，得到a=b 。 例1：（1）比较513-与5 1的大小。 （2）比较1-2与1-3的大小。 解 ∵513-－51＝523-＜0 ， ∴513-＜5 1。 解 ∵（1-2）-（1-3）=23- ＞0 ， ∴1-2＞1-3。 方法三：商值比较法 商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。当 b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当b a =1时，a= b 。来比较a 与b 的大小。 例2：比较513-与51的大小。 解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜5 1 方法四：倒数法 倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当 a 1＞b 1时，a ＜b 。来比较a 与b 的大小。

例3：比较2004-2003与2005-2004的大小。 解∵200320041 -=2004+2003 ， 200420051 -=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004 方法五：平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。 例5：比较62+与53+的大小 解：1228)62(2+=+， 2)53(+=8+215。 又∵8+212＜8+215 ∴62+＜53+。 方法六：估算法 估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例4：比较83 13-与8 1的大小 解：∵3＜13＜4 ∴13-3＜1 ∴ 8313-＜81 方法七：移动因式法 移动因式法的基本是思路是，当a ＞0，b ＞0，若要比较形如a d b c 与的大小，可先把根号外的因数a 与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。 例6：比较27与33的大小 解：∵27=722?=28，33=332?=27。 又∵28＞27， ∴27＞33。 方法八：取特值验证法 比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。 例7：当10 x 时，2x ，x ，x 1的大小顺序是______________。