证明分数一定是小数或无限循环小数

证明分数一定是小数或无限循环小数

优质解答

任何分数化为小数只有两种结果,或者是有限小数,或者是循环小数,而循环小数又分为纯循环小

数和混循环小数两类.那么,什么样的分数能化成有限小数?什么样的分数能化成纯循环小数、混循

环小数呢?我们先看下面的分数.

（1）中的分数都化成了有限小数,其分数的分母只有质因数2和5,化

因为40=23×5,含有3个2,1个5,所以化成的小数有三位.

（2）中的分数都化成了纯循环小数,其分数的分母没有质因数2和5.

（3）中的分数都化成了混循环小数,其分数的分母中既含有质因数2或5,又含有2和5以外的质

因数,化成的混循环小数中的不循环部分的位数与

5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位.

于是我们得到结论：

一个最简分数化为小数有三种情况：

（1）如果分母只含有质因数2和5,那么这个分数一定能化成有限小数,并且小数部分的位数等于

分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；

（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成纯循环小数；

（3）如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成混循

环小数,并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数.

例1判断下列分数中,哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?能化成有限小数的,小数部

分有几位?能化成混循环小数的,不循环部分有几位?

上述分数都是最简分数,并且

32=2*2*2*2*2,21=3×7,250=2×53,78=2×3×13,

117=33×13,850=2×52×17,

根据上面的结论,得到：

不循环部分有两位.

将分数化为小数是非常简单的.反过来,将小数化为分数,同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法,而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了.我们分纯循环小数和混循环小数两种情况,讲解将循环小数化成分数的方法.

1.将纯循环小数化成分数.

将上两式相减,得将上两式相减,得

从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法.

纯循环小数化成分数的方法：

分数的分子是一个循环节的数字组成的数,分母的各位数都是9,9的个数与循环节的位数相同.

2.将混循环小数化成分数.

将上两式相减,得

将上两式相减,得

从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法.

混循环小数化成分数的方法：

分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数,减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9,末几位数字都是0,其中9的个数与循环节的位数相同, 0的个数与不循环部分的位数相同.

数只分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数

所以只需证明分数不可能是无限不循环小数

因为分数就是分子除以分母（分子和分母都是自然数）,按照除法规则,总会除到余数小于分子的时候

而这样的余数的个数一定有限（因为一定小于分子）

所以除法进行下去,必定会出现余数相同的情况

余数相同则接下来的结果必相同,于是就出现了循环所以分数不可能是无限不循环小数

小数除法竖式计算题(无限和循环小数)

19.4÷12 6.2÷0.07 0.51÷0.22 2.21÷1.8 8.9÷1.2 14.12÷4.5 22.59÷6.6 12.09÷8.2 12.71÷1.8 19.42÷7.8 41.38÷4.1 42.37÷3 15.31÷3 21.8÷8.8 41.62÷1.2 11.45÷0.3

16.1÷0.12 18÷2.2 2.2÷0.45 13.3÷5.04 17.5÷12.6 12÷6.6 16÷1.2 4÷1.5 19÷4.8 10÷7.8 14÷9.6 13÷3.3 8÷1.1 11÷9.9 8÷7.4 8÷5.4

19÷13.2 4÷2.2 29.9÷11.25 32.9÷8.4 28.8÷3.52 34.2÷0.74 5.2÷0.9 47.2÷0.54 30.5÷7.5 26.3÷18.75 12÷11 16÷1.2

20÷14.8 23÷4.8 25÷1.1 17÷1.2 1. 20÷13.6 = 1.470588235294118 20÷9.4 = 2.127659574468085 16÷10.5 = 1.523809523809524 15÷13.9 = 1.079136690647482 22÷19.9 = 1.105527638190955 15÷13.7 = 1.094890510948905 15÷10.7 = 1.401869158878505 13÷9.1 = 1.428571428571429 29÷4.3 = 6.744186046511628 12÷11.0 = 1.090909090909091 16÷1.2 = 13.333333333333333 11÷3.1 = 3.548387096774194 17÷8.5 = 2.00000000000 20÷14.8 = 1.351351351351351 7÷5.9 = 1.186440677966102 23÷4.8 = 4.791666666666667 24÷18.8 = 1.276595744680851 19÷5.8 = 3.275862068965517 28÷14.0 = 2.00000000000 11÷6.2 = 1.774193548387097 7÷5.9 = 1.186440677966102 7÷4.6 = 1.521739130434783 25÷1.1 = 22.727272727272727

高思竞赛数学导引 五年级第五讲 分数与循环小数学生版

第5讲 分数与循环小数 内容概述 掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分． 典型问题 兴趣篇 1．把下列分数化为小数： ;334,113,92)2(;2513,813,43)1(?37 4,133,72)4(;907,225,65)3( 2．把下列循环小数转化为分数： .83.0,80.0)3(;53.0,10.0)2(;4.0,1 .0)1( 3．把下列循环小数转化为分数：321.0,321.0,21.0,7 .0 4．计算：;7.05.03.0)3(;4.03.02.0)2(;3.02.01 .0)1( ++++++ .32.021.0)5(;312.021.01 .0)4( +++ 5．.41235.035124.024513.013452.052341 .0 ++++ 6．计算下列各式，并用小数表示计算结果：.815.083.0)2(;153.068 .1)1( ÷? 7．将算式6.03.06.03.06.03 .0 ÷+?-+的计算结果用循环小数表示是多少？

8．将算式 12 111110191+++的计算结果用循环小数表示是多少？ 9．冬冬将3 2.1 乘以一个数口时，把32.1 误看成1. 23，使乘积比正确结果减少0. 3．则正确结果应该是多少？ 10．真分数 7a 化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是2000．a 应该是多少？ 拓展篇 1．将下列分数化为小数：?13 10,72,944, 65,83 2．把下列循环小数转化为分数：.1 3846536.6,3071.3,3351.0,84.0 3．(1)把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数： ;1111 11,625135,30884,19218,15017,7715,172,5031,43 (2)把下列分数化成循环小数：?143 12,3714,353 4．计算：;4312.021.01.0)2(;54.013.020 .0)1( ++++ .0 11021.0212.076.0)4(;96.035.021.0.)3( ++++

(完整版)无限循环小数如何化为分数汇总

无限循环小数如何化为分数 由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分 之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的 “无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴” 就剪掉了。 方法一：（代数法） 类型1：纯循环小数如何化为分数 例题：如何把 0.33……和 0.4747…… 化成分数 例1： 0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 例2：0.4747……×100＝47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747……=47 那么 0.4747……=47/9

由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 练习： （1）0.3……=3/（10-1）＝1/3 （2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。 （3）0.312 312……= 类型2：混循环小数如何化为分数 例题：把0.4777……和0.325656……化成分数 例3：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得: 0.4777……×90=47－4 所以：0.4777……=43/90 例4：0.325656……×100=32.5656……① 0.325656……×10000=3256.56……② 用②－①即得: 0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656…… 0.325656……×9900=3256－32 所以： 0.325656……=3224/9900 练习： （1）0.366……=

分数与循环小数_提高

分数与循环小数_提高 1. 指出下面的分数，哪些能化成有限小数？哪些能化成纯循环小数？哪些能化成混循环小数？若能化成有限小数，小数部分有几位？若能化成混循环小数，不循环部分有几位？能化为有限小数(提示: 有限看二五)有： 能化为纯循环小数(没有二五)有： 能化为混循环小数(有二五，还有其它)有： 2. 将下面循环小数化成分数。 3. 把 化成循环小数。这个循环小数的第 位上的数字是几？第 位上的数字是几？ 4. 写出一个最大的分数，它的分子是1，并且它所化成的小数是： 1）循环节里只有一位数字的纯循环小数； 2）不循环部分有一位数字，循环节里最少的位数是2的混循环小数。 班级姓名日期 ,,,,,327214250377826117100850 30.=7˙0.=6˙0.=3˙9˙0.7=3 ˙2˙0.0=2˙7˙ 4.17=8˙ 1.3=0˙7˙ 2.2=6 ˙3˙14 520202021

5. 计算下列各题 6. 解答题 1）把化成小数后，小数点后面50位各位上的数字的和是多少？2）在循环小数 中，移动“前”一个循环点，使新的循环小数尽可能小，这个新的循环小数是多少? 3）假定是自然数，是十进制中的一个数字，若 ，求等于多少？（1）0.25+3˙0.1+5˙3˙0.41+3˙0.8；（2）0.+1˙0˙1 ˙0.+3˙7˙0.+3˙6˙0.；2˙1˙（3）0.+3 ˙；（4）+0.+3˙0.+3˙0.3˙11 1 1.7˙1.3˙0.1×6˙ 1.；1˙6˙（5）0.1+2 ˙0.2+3˙0.3+4˙0.4+5˙0.5+6˙0.6+7˙0.7+8˙0.89˙21 40.1001002 ˙3˙n d =810 n 0.2d ˙5˙n

循环小数如何化分数

循环小数如何化分数 众所周知，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。那么无限小数能否化成分数? 首先我们要明确，无限小数可按照小数部分是否循环分成两类：无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化分数，这在中学将会得到详尽的解释；无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”。策略就是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同，然后这两个数相减，“大尾巴”不就剪掉了吗！我们来看两个例子： ⑴把0.4747……和0.33……化成分数。 想1：0.4747……×100=47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747……

(100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747…… =47 那么0.4747……=47/99 想2：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。

循环小数、有限小数、无限小数

循环小数、有限小数、无限小数教学内容： 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学五年级上册40—44页 教学目标： 1．创设具体情境，解决实际问题，能通过笔算发现循环小数的特点，掌握循环小数、有限小数、无限小数和循环节的概念。 2．会写循环小数，能区分有限小数和无限小数。 3．通过选择生活中的数据信息，体现数学的文化价值，使学生感受数学与生活的密切联系，提高学生解决简单实际问题的能力。 4．培养学生的分析能力、分类能力和概括能力。 教学重难点： 重点：理解循环小数、无限小数、有限小数的意义 难点：使学生学会除不尽时能用循环小数表示商。 教学准备：多媒体课件、实物投影台 教学过程： 一、创设情境，激趣导入 谈话：同学们，上节课，我们解决了“三峡大坝的高度约是八盘峡坝的多少倍？”这个问题，已经用计算器得出结果：185÷33=5.606060……（教师板书）那么这节课咱们就来继续研究大坝的问题。（课件出示情境图） 现在请看本节课的学习目标 1.理解循环小数、有限小数、无限小数的意义，掌握循环小数、有限小数、无限小数和循环节的概念。 2．会写循环小数，能区分有限小数和无限小数。 目标明确了，让自学指导来帮助我们学习。 认真看课本第40页的内容，重点看红点问题的计算过程。思考： 1.仔细观察185÷75,你发现了什么？ 2.这道题的余数有什么特别的地方吗？商有什么特点？ 3.试着竖式计算8.05÷3.7观察结果有什么特点？ （5分钟后看谁能将上述问题讲解清楚）

二、自主探索，获取新知 （一）根据算式得出循环小数的概念 1．解决问题发现规律 教师谈话导入：三峡大坝的高度约是十三陵蓄能坝的多少倍？ 学生口答算式：185÷75 让学生自己计算（教师巡视，学生出现疑问：这个怎么也算不完，后面还有很多位。）小组交流一下你的答案。 学生汇报：185÷75=2.4666……（板书） 生：这道题的余数不断重复，商都是一样的。 师：真棒，观察的很仔细。 现在我们再来做一道题，看看你有什么发现？ 自主计算：8.05÷3.7 生汇报结果：8.05÷3.7=2.1756756……（板书） 2．小组讨论汇报交流 整理出示：185÷33=5.606060…… 185÷75=2.4666…… 8.05÷3.7=2.1756756…… 根据这三个算式的计算结果你能发现什么？和以前的小数有什么不同？（学生先自主思考，然后和小组内的同学说说你的想法。） 学生汇报： （1）怎么除都除不尽 （2）都有数字循环出现，教师进一步的引导学生观察每个小数观察是不是有数字循环出现：5.606060……（数字6、0依次循环出现）2.4666…… （数字6依次循环出现）8.05÷3.7=2.1756756……（数字7、5、6依次循环出现）还有很多的例子。 师生小结：都有数字依次不断地重复出现。 （3）重复的数字都是从小数部分开始的，引导学生分析：5.606060……（从小数的第一位开始依次重复的）2.4666……（从小数的开始依次重复的）8.05÷3.7=2.1756756……（从小数的第二位开始依次重复的）教师举个反例：10÷3=3.333……

小数除法竖式计算题(无限循环小数)

无限循环小数除法练习题 25.2÷6= 34.5÷15= 5.6÷4= 1.8÷12= 1.8÷12= 7.83÷9= 4.08÷8= 0.54÷6= 6.3÷14= 72÷15= 14.21÷7= 24÷15= 1.26÷18= 43.5÷29= 18.9÷27= 1.35÷15=

28.6÷11= 20.4÷24= 3.64÷52= 15.6÷12= 328÷16= 1.35÷27= 7.65÷0.85= 12.6÷0.28= 62.4÷2.6= 0.544÷0.16= 1.44÷1.8= 11.7÷2.6= 19.4÷12= 5.98÷0.23= 19.76÷5.2= 10.8÷4.5=

21÷1.4= 8.84÷1.7= 6.21÷0.03= 1.89÷0.54= 9.12÷3.8= 54÷0.36= 1.7÷0.08= 0.576÷0.18= 0.77÷0.35= 15.68÷5.6= 42.7÷7= 38.4÷6= 62.8÷4= 65.6÷8= 8.4÷5.6= 1.71÷3.8=

7.05÷0.94= 5.4÷24= 6.21÷3= 91.2÷38= 85.44÷16= 12÷125= 19.4÷12= 6.2÷0.07= 0.51÷0.22= 2.21÷1.8= 8.9÷1.2= 14.12÷4.52= 2.59÷6.6= 12.09÷8.2= 12.71÷1.8= 19.42÷7.8=

1.62÷1.21= 1.45÷0.3= 16.1÷0.12= 18÷ 2.2= 2.2÷0.45= 1 3.3÷5.04= 17.5÷12.6= 12÷6.6= 16÷1.2= 4÷1.5= 19÷ 4.8= 10÷7.8=

无限小数不一定是循环小数

无限小数不一定是循环小数，循环小数一定是无限小数． √ ． 考点：小数的读写、意义及分类． 专题：小数的认识． 分析：从小数点后某一位开始不断地重复出现的一个或一节数字的无限小数叫做循环小数，如2.66…，4.2323…等； 无限小数只是位数无限，包括循环小数和不循环的无限小数，所以循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数．解答：解：由分析可知， “无限小数不一定是循环小数，循环小数一定是无限小数”，这种说法是正确的； 故答案为：√． 点评：此题考查了学生对循环小数和无限小数意义的理解与区分，无限小数的范围大于循环小数的范围． 2.97171…是无限小数也是循环小数． √ ． 考点：小数的读写、意义及分类．

分析：要知道2.97171…是不是无限小数和循环小数，就必须对无限小数和循环小数的概念与特征有准确的理解与掌握．无限小数是一种位数无限的小数；循环小数是位数无限而且从某一位起，后面某一位或某几位数字重复出现的小数． 解答：解：小数2.97171…，位数是无限的，同时出现了循环节71， 所以2.97171…是无限小数也是循环小数． 故答案为：√． 点评：此题考查了无限小数和循环小数的概念，只要掌握了概念与特征，就能做到准确判断 循环小数是无限小数中的一种 √ ． 考点：小数的读写、意义及分类． 分析：要想正确判断此题的正误，首先要弄清无限小数与循环小数之间的关系：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数． 解答：解：因为小数分为无限小数和有限小数； 而无限小数又分为循环小数和无限不循环小数；

所以，循环小数属于无限小数． 故答案为：√． 点评：此题考查了循环小数和无限小数的概念，以及它们之间的包含关系 循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数． √ ．（判断对错） 考点：小数的读写、意义及分类． 分析：从小数点后某一位开始不断地重复出现的一个或一节数字的无限小数，叫做循环小数，如2.66…，4.2323…等； 无限小数只是位数无限，包括循环小数和不循环的无限小数，所以循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数．解答：解：循环小数一定是无限小数，无限小数不一定是循环小数； 这种说法是正确的． 故答案为：√． 点评：此题考查了学生对循环小数和无限小数概念的理解与区别，无限小数的范围大于循环小数的范围

第8讲 分数与循环小数—完整版

第8讲 分数与循环小数 内容概述 掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分。 兴趣篇 1．把下列分数化为小数： （1）34，138，1325 ； （2）29，311，433； （2）56，522，790； （4）27，313，437 ； 答案：（l ） 0.75, 1.625, 0.52 (2) . 0.2 ，0.27,0.12 (3)0.83， 0.227, 0.07 (4) 0.285714,0.230769，0.108 2．把下列小数化成分数：(1)0.23，0.479; (2)0.12，0.255. 答案：(1)23100，479100 (2) 325，51200 3．把下列循环小数转化为分数：(1)0.1?，0.4?；(2)0.01??，0.35??； (3)0.08? ， 0.38?. 答案：(1)19,49 (2)199 ,3599 (3)445，718 4．把下列循环小数转化为分数：0.7?，0.12??，0.123??，0.123?? 答案：79，433，41333，61495 5.计算：（1）0.10.20.3++；（2）0.20.30.4++；（3）0.30.50.7++ （4）0.10.120.123++；（5）0.120.23+。 答案：(1)23 (2)1 (3)213 (4)107300 (5)39110

解析：（1）123620.10.20.399993 ++=++==。 （2）23490.20.30.419999 ++=++==。 （3）3571520.30.50.7199993 ++=++==。 （4）112112312321390.10.120.123990900900110 --++=++==； （5）12123351390.120.239099990110 -+=+==。 6.计算：0.123450.234510.345120.451230.51234++++。 答案：213 解析：把每个数化成分数，分母都是99999，所以计算会很方便． ()0.123450.234510.345120.451230.51234 12345234513451245123512349999999999999999999999999 111111234599999 159 213++++=++++?++++=== 7.计算下列各式，并用小数表示计算结果：（1）1.860.351?； （2）0.380.518÷。 答案：(1) 0.65 (2) 0.75 解析：（1）1953515371339651.860.3510.659999999373999 ????= ?=?==??。 （2）3835183599957933730.380.5180.75909999051892537274-???÷=÷=?=?==????。 8．将算式0.30.60.30.60.30.6+-?+÷的计算结果用循环小数表示是多少 答案： 1.27

无限循环小数化分数

无限循环小数的分数表示 一、学情分析： 学生已经学过了纯循环小数与混循环小数的概念、小数与分数的互化、分数比较大小、小数与分数的混合运算等知识。这堂课实际上是把之前学过的相关知识进行复习与整合，运用之前所学知识经验生成新知识、形成新思想的过程。 这个课题乍一看似乎有一定的难度，尤其是问题刚一抛出时预计学生会无法动笔。但只要学生掌握了之前分数与小数的相关知识，那么随着教师环环相扣、 层层深入的引导，我相信对于绝大多数学生来说掌握这个知识点应该没有任何困难，关键是要使养成自主探究、自我反思的习惯，提高学生的合情推理能力，发 展学生的思辨意识。因此教师在整堂课中数学思想的渗透和对于学生正面的、中肯的评价很重要。 二、内容和内容解析： 1.内容： 无限循环小数化分数。 2.内容解析： 在人教版七年级数学上册《一元一次方程》章节中，教材安排了一节实验与探究内容——《无限循环小数化分数》。该部分在教材中是作为选学内容，放在《解一元一次方程（1）——合并同类项和移项》之后，但此部分内容的学习却 有益于学生思维的拓展和数学探索发现能力的培养，对于方程思想的进一步深化理解也不无裨益。新课程标准要求数学课程要能使学生掌握必备的基础知识和基 本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。故而在教学中我安排了部分时间， 采取学生自学和老师讲解相结合的方式对此部分内容进行了教学。 教学重点：用列方程的方法将含有一位循环节的纯无限循环小数化为分数。 教学难点：探究将无限循环小数化为分数的方法 三、目标和目标解析： 1.引导学生通过大胆猜想、合理排除、实践验证、归纳总结的过程探究纯循环小数化分数的方法，解决相应问题。 2.渗透类比、极限思想。

人教版数学七年级下册第六章无限循环小数可以化成分数

无限循环小数可以化成分数 我们知道小数分为两大类：一类是有限小数，一类是无限小数．而无限小数又分为两类：无限循环小数和无限不循环小数．有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之几……，很容易化为分数．无限不循环小数即无理数，它是不能转化成分数的．但无限循环小数却可以化成分数，下面请看： 探索（1）：把0.323232……（即0.3·2·）化成分数． 分析：设x=3·2·=0.32+0.0032+0.000032+……① 上面的方程两边都乘以100得 100x=32+0.32+0.0032+0.000032+……② ②-①得 100x-x=32 99x=32 x= 32 99 所以0323232……= 32 99 用同样方法，我们再探索把0.5·，0.3·02·化为分数．可知0.5·= 5 9，0.3 · 02·= 302 999． 我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，通过上面的探索可以发现，纯循环小数的循环节最少位数是几，化成分数的分母就有几个9组成，分子恰好是一个循环节的数字． 探索（2）：把0.4777……和0.325656……化成分数 分析：把小数乘以10得 0.4777……×10=4.777……① 再把小数乘以100得 0.4777……×100=47.77……② ②-①得 0.4777……×100-0.4777……×10=47- 4 0.4777……×90=43 0.4777……= 43 90

所以 0.4777……=4390 再分析第二个数0.325656……化成分数． 把小数乘以100得 0.325656……×100=32.5656…… ① 把小数×10000得 0.325656……×10000=3256.56…… ② ②-①得 0.325656……×（10000-100）=3256-32 0.325656……×9900=3224 ∴0.325656……=32249900 同样的方法，我们可化0.172·5· =17089900 ，0. 32·9·=326990 ． 我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数．混循环小数化分数的规律是：循环节的最少位数是n ，分母中就有n 个9，第一个循环节前有几位小数，分母中的9后面就有几个0，分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的数，减去一个循环节数字的差，例如0.172·5· 化成分数的分子是1725-17=1708，0. 32·9·化成分数的分子是329-3=326．

分数与循环小数(教师版)

识要点 一. 判断分数化成的小数类型； 二. 纯循环小数化分数，混循环小数化分数； 三. 循环小数四则运算； 四. 分数与循环小混合计算； 五. 循环小数比较大小，求各位数字等综合性题目． 分数化为循环小数： 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；（不作要求） （2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；（不作要求） （3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 循环小数化分数： 1．纯循环小数化成分数的方法： 分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。 2．混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。 例题精讲 1. 将下列分数化为小数： 23，27，1799，16，722，3513，173990，7311100 ． 【分析与解】 20.63= ，20.2857147= ，170.1799= ，10.166 = ，70.31822= ，130.371428535= ，1730.174990= ，731731965796699450.66451100990099009900??+==== ． 2. 将下列循环小数化为分数：0.123 ，0.123 ，0.123 ，0.518 ，0.142857 ，10.0 ，200.0 ，0.002 ，0.0136 ． 【分析与解】 123410.123999333== ，1231610.123990495-== ，12312370.123900300-== ，5185570.518990110 -== ，10.1428577= ，10.0190= ，210.002900450== ，210.002990495 == ，136130.01369900220-== ．

无限循环小数化分数教学设计

《无限循环小数化分数》教学设计 孝昌县王店中学汪忠伟 教学内容：无限循环小数化分数 教学目标： 知识与技能：了解无限循环小数都可以化为分数形式，会列一元一次方程将一个无限循环小数化为分数。 过程与方法：在探究无限循环小数化分数过程中渗透无限逼近和转化思想，体会方程的作用，领悟探究式学习的方法及策略。情感、态度与价值观：在数学活动中欣赏数学的结构美，体会数学的理性美，培养学生主动探究意识。 教学重点：用列方程的方法将含有一位循环节的纯无限循环小数化为分数。 教学难点：探究将无限循环小数化为分数的方法。 教学过程： 一、百家论坛——一个有趣的辩论 每一天太阳从东方升起从西方落下；每一年春夏秋冬周而复始。日出日落，春去秋来，这是大自然神奇的循环。艺术家们也用循环创作了动听的音乐和令人遐想的美术作品。而在数学王国里，也有着同样美妙笔循环结构的数。它们就是——无限循环小数。说到无限循环小数，不得不说一个有趣的辩论： 9.0 ≈1还是9.0 =1 关于上面式子的讨论，吸引了包括数学家在内的，众多人的参与，

… a 0 7 b b a 0 7 b 0. 77… 你认为是哪一个式子正确？要解决这一问题还得从无限循环小数化分数说起。我们知道分数可以化为有限小数或无限循环小数，而有限小数也可以化为分数，这些我们早已掌握了。那么无限循环小数能化成分数吗？ 二、 各显身手——几个巧妙的解法 1、 下列循环小数： 43 .0 3 .0 451 .0 6 .2 5 0.3 7 .0 73 .2 7.1 你能将哪些化为分数，你的做法是什么？要探究这些循环小数化为分数，你会采取怎样的顺序？（让学生体会从简单情况入手的思想） 2、 探究。 7.0化分数的方法 方法1：从来路找回路 3 1=？ 一般做法：1÷3=。 3.0 如果从分数化小数的竖式除法来探究则可得到下面的方法： 设b a =。 7.0， 由右图竖式可得， 10a-7b=a 9a=7b b a =9 7 即。 7.0=9 7 方法二、从怎样将无限循环部分消去入手 思考：请找出7 .7 与7.0 的关系？（7.7 是7.0 的10倍，它们的差是7） 有了上面两个问题的铺垫，得到下面的算术解法： 将7 .0 看作整体1 则7.7 为整体1的10倍，它们的差为整体1的9倍

循环小数化分数

纯循环小数化分数，分母由“9”组成，一个循环节有几个数字，分母就有几个“9”，分子是一个循环节的数字组成的数。如：0.5454.....=54/99=6/11。混循环小数化分数，分母由“9”和“0”组成，一个循环节有几个数字，分母就有几个“9”，第一个循环节前面有几个数字，分母就有几个“0”，分子是第一个循环节和他前面的数字组成的数减去第一个循环节前面的数字组成的数。如0.2666.....=（26-2）/90=4/15。 具体有3种方法。1。化为等比数列，求无穷递缩等比数列和,高中同学学习了等比数列之后能理解。2。公式法。实际是对第一种方法的归纳与总结，但不常用可能遗忘。例：纯循环小数0.1515……=15/99=5/33，混循环小数0.31515……=(315-3)/990=52/1653。方程法。易记易用。例：纯循环小数0.1515……设x=0.1515……，则100x=15.1515……两式相减，99x=15, x=15/99=5/33.混循环小数0.31515……设x=0.31515……，则10x=3.1515……，1000x=315,1515……两式相减，得990x=315-3=312, x=312/990=52/165。 浅谈如何将循环小数化为分数 我们知道，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几……等形式的数。那么无限小数能否化成分数呢? 我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化成分数，这在中学将会得到详尽的解释；而无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法去掉无限循环小数的循环的部分。策略就是用扩大倍数的方法，把无限循环小数扩大十倍、百倍或千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数循环的部分完全相同，然后这两个数相减，这样就把循环的部分去掉了,我们的目的就达到了,我们来看两个例子： 例1 把0.4747……和0.33……化成分数。 解法1：0.4747……×100=47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747……=47 那么0.4747……=47/99 解法2：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 ⑵把0.4777……和0.325656……化成分数。 想1：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得:

小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题(含答案)

小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案） 一、小数的基本知识 小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。 1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。 2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。 4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。 纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。 5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。 混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。 二、循环小数与分数的转化 1．错位相减法与循环小数转化为分数 ⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19a 。 ==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999 ⑵以0.1234为例，推导= =1234-126110.123499004950。 设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34； 再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34； 两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950 。

2．方法归纳 ⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。 ⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。 3．常用的分数与循环小数转化 =10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427 ； 三、小试牛刀 【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分) 在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元 2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【巩固】小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最大的循环小数是 (注： 公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【例 2】计算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89 【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克·预赛B 卷第1题) 计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数。 【例3】(0.15+0.218)?0.3? 11111；(结果表示成循环小数)

循环小数(有限小数无限小数)

循环小数有限小数无限小数 教学内容：青岛版小学数学五年级上册第33页信息窗3第2课时 教学目标: 1.通过对教材中相关计算结果的分析，初步认识循环小数、有限小数和无限小数，能用循环小数表示除法的商，并能正确区分有限小数和无限小数。 2、通过对循环小数、有限小数、无限小数概念的认知分析，理清三者之间的关系，能正确解决相关概念问题。 3. 培养学生的分析能力、分类能力和概括能力，提高学生解决简单实际问题的能力。 4.在自主探索、合作交流及解决问题的过程中，逐步渗透和培养数学的极限思想。 教学重难点： 教学重点：理解循环小数，有限小数和无限小数的意义，会用循环小数表示除法的商。 教学难点：理清循环小数、有限小数、无限小数三间的关系。 教具、学具： 教师准备：多媒体课件 学生准备：计算器 一、创设情境，提出问题 课件出示教材情境图

上一节课我们大家共同解决了三峡旅游中两个“驴友”其中一人买腊肉的问题，今天我们再来解决另一个人买茶叶的问题。 小组内完成以下内容： ①学生自行阅读情境图中的对话内容。 ②找到相关数学信息。 ③尝试提出与除法有关的问题。 全班交流提出的数学问题，师选择板书 二、自主学习，小组探究。 出示本节课所要解决的主要问题 1.独立列算式并尝试计算：350÷6。 2.思考：计算过程中你遇到了什么困难？余数和商有什么特点？ 3.小组讨论：把你遇到的困难和发现，在小组内相互说一说，看其他同学跟你的一样吗？教师巡视、指导，收集小组交流素材。（给学生留有足够的时间，自主发现、探究） 学生出现疑问：这个商怎么也算不完，结果如何书写，这时候教师不急于解答，小组交流一下你的答案。 4.引导学生再去发现这种现象是不是在其他的除法算式中也存在：计算（可以使用计算器） 63÷22= 8.05÷3.7= 三、汇报交流、评价质疑 1.小组汇报交流 展示学生的计算及结果的书写，选择板书 板书出示：350÷6=58.333…（元） 63÷22==2.8636363… 8.05÷3.7=2.1756756… 2.根据这三个算式的计算结果你能发现什么？结果的小数和以前的小数有什么不同？ 预设学生回答： （1）如果除下去，怎么除都除不尽，永远也除不完。（点拨：永远除不完，

分数与循环小数的互化教学案精编

第7讲 分数与循环小数的互化 【知识概述】 1．分数化为小数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 基本方法：分子除以分母。 2．循环小数化为分数 （1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。 （2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。 【典型例题】 例1 把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1) 115 （2）27 16 【思路点拨】先将分数化为小数，在运用周期问题，求第200位数字是什么。 解：（1） =11 5. .54.0 200÷2＝100 所以第200为数字是5。 （2） =27 16. .295.0 200÷3＝66…2 所以第200为数字是9 例2 将下列循环小数化成分数。 ①=? 70. ②=??86.1 ③=??54370. ④=? ?57.3 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数 解：（1） = ? 70.97 （2） =??86.19968 1 （3） =??54370.9999 7435 （4） 33253 9975357.3==??

例3 计算：0.?1? 1+0.?2?1+0.?3?1+ 0.?4?1 +0.?5?1+0.?6?1+0.?7?1+0.?8?1+0.?9? 1 【思路点拨】循环小数的加减法，当遇到进位时就比较难处理，根据知识概述先将循环小数化成分数，再计算。 解：原式999199819971996199519941993199219911++++++++= 99 91 8171615141312111++++++++= 1151 = 11 7 4= 例4 在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大： （1）? ?1871822. （2）? ? 62514913. 【思路点拨】与小数的大小比较一样，改变循环小数的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可 能大，将原数改写成： 182818181.72187182.2=? ? 11828128128.72182718.2=? ? 2811828182818.72128871.2=?? 很显然? ?128871.2是最大的 解：（1）? ? 128871.2 （2）? ? 6152914.3 例5 设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444a =? ?950A .,则a= 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数，将? ? 950A .化成分数，就有444a =999 9A 5 ， 并且5A9一定是9的倍数，推导出A=4 ，进而算出a. 解： 根据题意有：444a =999 9A 5 5A9一定是9的倍数，即5＋A ＋9＝18 所以 A ＝4 444 244411146111161999549444=??===a 即有a ＝244

循环小数练习题

循环小数练习题 1、填空。 （1）一个小数，从小数部分的某一位起，（ 一个数）或（几个数）依次不断地（循环）出现，这样的小数叫做（循环小数）。此题抄两遍并背下来。 （2）在3.8288888，5.6?，0.35，0.00?2?，2.75，3.2727……中，，是有限小数 的是（ ），是循环小数的数 （ ）。 （3）8.375375……可以写作（ ）。 （4）4.9?0?保留两位小数是（ ），精确到十分位是（ ）。 （5）在4.2?、4.23、4.2?3?、4.32中最大的数是（ ），最小的数是 （ ）。 2、用简便记法表示下列循环小数 3.2525……（ ） 17.0651651……（ ） 1.066…… （ ） 0.333…… （ ） 3、写出下面各循环小数的近似值（保留三位小数） 0.3333……≈ 13.67373……≈ 8.534534……≈ 4.888……≈ 4、选择题。（把正确的答案的序号填入括号内） （1）2.235235……的循环节是（ ） ①2.235 ②2.35 ③235 ④235 （2）下面各数中，最大的一个数是（ ） ①3.8?1? ②3.81? ③3.81 ④3.8? （3）得数要求保留三位小数，计算时应算到小数点后面第（ ）位

①二位 ②三位 ③四位 ④五位 5、你会比较这些小数的大小吗？试试看！ 0.66 （ ） 0.6? 8.2?5?（ ）8.25 5.414（ ）5.41 ?3.888 （ ） 3.08? 7.282?（ ）7.2?8? 0.9?（ ）0.9999 6、判断（对的在括号内画“√”错的画“×”） （1）1.4545……（保留一位小数）≈1.4 （ ） （2）2.453453…的循环节是435。 （ ） （3）循环小数都是无限小数。 （ ） （4）1.2323…的小数部分最后一位上的数是3。 （ ） 7、用竖式计算下面各题，除不尽的用循环小数表示商 13÷11= 57÷32= 11.625÷9.3= 30.1÷33=