新疆克拉玛依市第十三中学秋八年级数学上册 15.3《同底数幂的除法2》教案 新人教版

同底数幂的除法(二)

教学目标

使学生掌握零指数、负整数指数的概念和性质，明确正整数指数幂的运算性质推广到整数指数幂时的合理性；

使学生能正确地运用零指数、负整数指数幂的意义和运算性质进行运算；

使学生对数学概念的建立过程有所认识，并注意培养学生用已有知识去探索新知识的能力；

渗透转化思想

教学重点和难点

零指数幂和负整数指数幂的意义

课堂教学过程设计

一、从学生原有认知结构提出问题

计算下列各式，并回答计算的理论依据：

(1)x3·x2； (2)y5÷y3(y≠0)； (3)(x3·y2)2

以上各题都是运用正整数指数幂的运算性质进行计算的下面我们回顾一下正整数指数幂的意义和运

算性质，以加深对它们的理解，为下一步学习打下基础

(1)指出a n所表示的意义，在a n中a，n，a n的名称，a n为什么叫正整数指数幂?

(2)运算性质倒过来运用行不行?例如a m+n＝a m·a n，由此我们可以将一个正整数指数幂写成同底的两个正整数指数幂的积请同学们课后思考其它性质的逆用

(3)在运算性质(2)a m÷a n＝a m-n中，为什么规定a≠0以及m＞n呢?

(这是因为在除法运算中，除式为零没有意义，所以规定a≠0，为了保证a m-n仍是正整数指数幂，所以规定m＞n)

二、新课引入

请同学们注意，上述规定m＞n是在正整数指数幂的范围内，然而数学知识是不断扩充的例如，在小学学习的整数仅指正整数和零，而在初中，整数就是指正整数、零和负整数；另外，在数学中为了简化运算，往往在原有运算的基础上扩充新的运算，并研究新的运算律和方法，从而发展运算知识例如，2+2+2+2＝4×2，这由加法扩充到乘法，而2×2×2×2＝24，由乘法扩充到乘方那么在性质(2)a m÷a n＝a m-n中，我们能否探索一下，将m＞n的条件也给予扩充，例如扩充到m＝n或m＜n时的情形将是如何呢?如

52÷52；54÷56

如果我们仿照性质(2)a m÷a n＝a m-n计算，则得

52÷52＝52-2＝50；

54÷56＝54-6＝5-2

这里指数出现了零和负整数这样扩充以后有没有意义呢?若有意义，有什么意义呢?本节课我们将重点研

究这一问题 三、讲授新课

师生共同探讨零指数幂的意义

上面我们仿照性质(2)计算，得52÷52＝52-2＝50，实际上我们按照除法运算，显然得52÷52

＝2255＝1；同样，

若a≠0，n 是正整数，则a n

÷a n

＝a n-n

＝a 0

；(仿性质(2))

a n ÷a n

＝n n

a a (除法)

指数相等的同底数幂相除，其商是1，它显然是正确的但仿照性质(2)所得50

与a 0

(a≠0)是否有意义呢?我们尚不得而知，但我们能否给予规定一个意义，只要这种规定是合理的为了使正整数指数幂的运算性质能适用指数相等的同底数幂相除；同时与除法运算达到一致，同学们看应该怎样来规定零指数幂的意义呢?(a 0

＝1,a≠0)请同学们用文字叙述零指数幂的意义(

略

提问：(1)a 0

能否理解为零个a 相乘?

(2)30

，(-

0，(-231)0各等于多少?00呢?(零的零次幂没有意义，即00

没有意义)

有了零指数幂的意义我们可以直接计算52

÷52

＝52-2

＝50

＝1，a n

÷a n

＝a n-n

＝a 0

＝1(a≠0，n 是正整数

学生独立研究负整数指数幂的意义

同学们思考一下，我们是怎样研究零指数幂的?你能否仿照这种方法研究一下，负整数指数幂的意义?(用投影仪投影出上述主要过程)请同学样就以下两例进行研究： 54

÷56

；a 3

÷a 5

(a≠0)

54÷56

＝?????=?=--).(51

555))2((;552424264除法约分仿性质 a3÷a5＝?????≠=?=--)0,(1

))2((2

323253a a a a a a a 除法约分仿性质

为了使性质(2)a m

÷a n

＝a m-n

在m ＜n 时能适用，同时与除法(约分)运算达到一致，我们规定负整数指数幂的意义：

a 0

＝p a 1

p(a≠0，p 为正整数

有了负整数指数幂的意义，我们可以直接计算：54÷56＝54-6＝5-2

＝2515

12=，a 3÷a 5＝a 3-5＝a -2

＝

提问：到目前为止我们学过了哪些指数幂，它们各自意义是什么?这些指数幂的总称是什么?(待同学们讨

论后，用投影仪投影出结论

下面我们共同验证一下，正整数指数幂的运算性质，对整数指数幂仍然适用

a -3·a 0＝31a ·1＝31

a ＝a -3＝a -3+0

； a -3·a 2＝31a ·a 2＝a 1＝a -1＝a -3+2

； (a -3)2＝(31a )2＝61a ＝a -6＝a -

3×2

(以上a≠0)

应用举例 计算：

(1)(-2)-4； (2)-5-2； (3)(21

)

-3

解：(1)(-2)-4＝161

)

2(14

=--5-2

＝-251

5

12-

=

(3)

811

)21(1)2

1(33=

=-

＝

第(1)小题由师生共同解答，教师板演；第(2)、(3)小题由学生板演

对于第(3)小题，根据学生板演情况，教师正确引导：上述第(3)小题还有什么简便方法计算?((21

)-3＝(2-1)

-3

＝23

＝8)由此你得到什么启示(底数为分数的负整数指数幂的运算，可以将底数改写成它的倒数，负整数

指数改写成正整数指数，再去运算) 四、小结

本节课我们学习了零指数，负整数指数幂的概念和性质有了零指数幂和负整数指数幂的意义后，指数的

概念由正整数推广到整数范围，而关于正整数指数幂的运算性质，对整数指数幂同样适用 五、作业