无理数运算
无理数运算
典例剖析
例1[“整数”型]
1、222222822==?==?=
2、32343412=?=?=
3、52545420=?=?=
例2[“分数”型]
1、234
343== 2、333
3313131=??== 3、5105
5525252=??== 4、468628248
8838383===??== 例3[“平法差”型]
1、1983)22()322)(223(22-=-=-=-+
2、4936953995333533335322
2-=-=?-=-=-?+ 例4[“完全平方”型]
1、5261525152)5()15(222+=++=++=+
2、1024522102452)2(252)53()2
253(222+=++=+?+=-
例5[“倒数”型]
1、4522
)5(452)25)(25()25(225222+=-+=+-+=- 2、()5818)4545(22)5(254522)5()25(2)25)(25()25)(25(25252222
222+=++=-??????++=-+=+-++=-+
例6[“混合”型]
1、4
22233122218)3()12)(12(128)63(31212=+-++=+-++-+=+-+- 2、
32)23()1()23()]23)(23[()23()23(2003200320042003-=-?-=-?-+=-?+
七年级数学―有理数和无理数
知识清单 1定义： 有理数：我们把能够写成分数形式n m (m、n是整数，n≠0)的数叫做有理数。 无理数：①无限②不循环小数叫做无理数。 2有理数的分类整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。零既不是正数，也不是负数。有限小数和无限循环小数是有理数。 3无理数的两个前提条件： （1）无限 （2）不循环 4两者的区别： （1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。 （2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。 经典例题 例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ -3，3π，-6 1，0.333…，3.30303030…，42，-3.1415926,0，3.101001000……（相邻两个1之间0的个数逐个加1），面积为π的圆半径为r。 例2：下列说法正确的是：（） A.整数就是正整数和负整数 B.分数包括正分数、负分数 C.正有理数和负有理数统称有理数 D.无限小数叫做无理数
闯关全练 一.填空题： 我们把能够写成分数形式n m (m、n是整数，n≠0)的数叫做 （2）有限小数和都可以化为分数，他们都是有理数。 （3） 小数叫做无理数。（4）写出一个比-1大的负有理数 。二.判断题（1）无理数与有理数的差都是有理数； （2）无限小数都是无理数；（3）无理数都是无限小数；（4）两个无理数的和不一定是无理数。（5）有理数不一定是有限小数。答案例1：无理数有：3π，0，3.101001000……，（相邻两个1之间0的个数逐个加1）有理数有：-3， -6 1，0.333…，3.30303030…，42，-3.1415926,0，面积为π的圆半径为r例2：B（A，还有0C，还有0D，无限不循环）闯关全练一、（1）有理数（2）无限循环小数、（3）无限不循环小数、（4）答案不唯一，如：-0.5二、（1）错，如3π -0=3π（2）错，如：0.333…（3）对，无理数的两个前提条件之一无限（4）对，3π+（
无理数的计算
无理数相关运算 一、知识点 1、1——20的平方 2、1——10的立方 3、1——10的平方根 4、运算规则 二、典例剖析 例1【“整数”型】例 === 例 === 例 === 例2【“分数”型】例 2 ==例 === 例 5 === 例 884 ===== 例3【“平法差”型】例 3-1 3) 22 3 -891 =-=- 例 2 935 4 9 -? ===- 例4【“完全平方”型】 例 4-1 )21 2 2 1 =+ 516 =+=+ 例 4-2 ( 22 2 45 22 + ===+ 例5【“倒数”型】 例 4 === 例 ( ) 22 222 25418 ?? + ===+=+） 例6【“混合”型】
例6-1 2 134 ==+-= 例6-2 2003 2003 2004 2003 2???=?=?=?? ））））（-1）） 三、 经典练习 1、 2、 2 = 2 = (2 = 3、4、2 x = 81 2 4x =25 2 x -16=0 5、 83 x +27=0 ()3 21x -=- ()2 219x -= 6、 23x -48=0 ()2 1160x --= 3 125729x = 7 8 9 102- 11
12、2 3- 13 14、 15、) 2 2 (2 22 16、( )) 2009 2010 2 2 17 18、()0 33ππ-+-+ 1913
20 四、巩固练习 （一）选择题 1、下列四个数中，比0小的数是 （ ） A ． 2 3 B ．π D ．1- 2、下列各数中，最大的数是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D 3、在实数0，1 0.1235中，无理数的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4、若x y ， 为实数，且20x +=，则2009 x y ?? ? ?? 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 5 2的值( ) A ．在1到2之间 B ．在2到3之间 C ．在3到4之间 D ．在4到5之间 6 、如图所示，数轴上表示2C 、B ，点C 是 AB 的中点，则点A 表示的数是（ ） A ． B ．2 C ．4 D 2 7下列计算正确的是（ ） A ．6 2 3 a a a ÷= B ．() 1 22 --= C ．() 236 326x x x -=-· D ．()0 π31-= 8、已知a ） A ．a B ．a - C ．1- D ．0 9、实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中错误．． 的是（ ）C 第9题图
实数可以分为有理数和无理数两类
最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界，如 1.5；但是不存在实数上界（因为 不是有理数）。 实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域 R1 和 R2，存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。 5相关性质 基本运算 实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。 4 图册 四则运算封闭性 实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。 有序性 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一： a
阿基米德性 实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b ∈R，若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b. 稠密性 实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数. 唯一性 如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。 完备性 作为度量空间或一致空间，实数集合是个完备空间，它有以下性质： 一.所有实数的柯西序列都有一个实数极限。 有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列，但没有有理数极限。实际上，它有个实数极限√2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。 极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。 二.“完备的有序域” 实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。 首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素（对任意元素 z，z + 1 将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。 另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。 这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然，R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的
(完整版)重点初中无理数100道计算题
无理数计算题 1.计算： (7)()( )() 2 743 743351+---(8)112 21231548333 +-- (9)() 485423313? -÷+-+ ?? ?(10)()()()()2 2 2 2 12 131213++-- (11)))((36163--?-(12)633 1 2?? (13))(102 132531 -??(14)z y x 10010101??- (15) 20 245-(16)14425081 010??.. (17)521312321 ?÷(18))(b a b b a 1 223÷? (19)2219+--(20)()()2 162--+- (21)22 ＋(－1)4 ＋(－2)0 －|－3|(22)332)1(0 +-+- (23)()()0332011422 - --+-÷(24)|－5|＋22－(3＋1)0 (25)2×(－5)＋23 －3÷(26)|﹣2|+﹣（π﹣5）0﹣ (27)(28)|﹣3|+（﹣1） 2011 ×（π﹣3）0﹣ + (29)|﹣3|+（﹣1）0﹣（）﹣1(30) (31)|﹣2|﹣ (32) (33)(34) (35)|﹣|﹣+（3﹣π）0(36) (37)+|﹣2|+ +（﹣1）2011(38) (39) (40)22+|﹣1|﹣
(41)(42)20110﹣ +|﹣3| (43) (44) (45)计算：|﹣3|﹣（﹣π）0++（﹣1）3(46) (47)(48)|﹣3|﹣ ﹣（）0+32 (49)(50)2﹣ 2+|﹣1.25|﹣（﹣x ）0+ (51)+ ×（ ﹣π）0﹣|﹣2 |(52)（）﹣ 1﹣（5﹣π）0﹣|﹣3|+ (53)(54) (55)﹣（﹣5）﹣ (57)﹣22+ +|﹣3|﹣（3.14﹣π）0(58)200931)1(2 2 28)31(-+?+-- 232423-+-++(60)8 1 214150232-+ - 2.化简： ()321 3. a a a ---(4)()2211x x x -+p (5)2 2 11a a a a ???--? ? ???(6)2a b a b ab a b a b -+---- (7) x y y x y x x y x y y x y x x y -+- +-(8) 2a ab b a b a a b a ab b ab b ab ??++-- ? ?-+-+?? (9) 2712135 27 22-(10)b a c abc 43 22- (11)（a+b ）2 +b （a ﹣b ）(12) 2 ()()x xy x x y -?-- (13)122323+-2224421816x x x x x x ++++--+(15)2232 1121a a a a a a -+÷-+-(16) 244 (2)24x x x x -+?+- (17)2 2 ()()(2)3a b a b a b a ++-+-(18)2112x x x x x ?? ++÷- ???
北师大版八年级无理数练习题
无理数练习题 1、在实数3.14，25 ，3.3333 0.412??，0.10110111011110…，π，中，有（ ）个无理数？ A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2、下列说法中，正确的是（ ） A ．带根号的数是无理数 B ．无理数都是开不尽方的数 C ．无限小数都是无理数 D ．无限不循环小数是无理数 3．下列命题中，正确的个数是（ ） ①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数； ③两个无理数的积是无理数； ④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。 A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个 4．判断（正确的打“√”，错误的打“×”） ①带根号的数是无理数；（ ） （ ） ③绝对值最小的实数是0；（ ） ④平方等于3 ） ⑤有理数、无理数统称为实数；（ ） ⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ） ⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ） ⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（ ） 5．a ） A ．有理数 B ．正无理数 C ．正实数 D ．正有理数 6．下列四个命题中，正确的是（ ） A ．倒数等于本身的数只有1 B ．绝对值等于本身的数只有0 C ．相反数等于本身的数只有0 D ．算术平方根等于本身的数只有1 7．下列说法不正确的是（ ） A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B ．整数可以看成是分母为1的分数 C ．有理数都可以化为分数 D ．无理数是开方开不尽的数 8．代数式21a +y ，()2 1a -中一定是正数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9 ） A ．m 是完全平方数 B ．m 是负有理数 C ．m 是一个完全平方数的相反数 D ．m 是一个负整数 10．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 11215 的大小关系是（ ） A 215< B ．215<<215<215 << 12的相反数之和的倒数的平方为 。 13、设a 、b 互为相反数，但不为0;c 、d 互为倒数;m 的倒数等于它本身，化简 111c m m m d a b ??÷++- ???的结果是 。 14、大于的负整数是 15、试比较下列各组数的大小； ①② ，1π-，310-
初中无理数习题系列(含答案)
无理数习题 系列1 1. 有意义的条件是 。 2. 当__________ 3. 1 1 m +有意义，则m 的取值范围是 。 4. 当__________x 是二次根式。 5. 在实数范围内分解因式：42 9__________,2__________x x -=-+=。 6. 2x =，则x 的取值范围是 。 7. 2x =-，则x 的取值范围是 。 8. )1x 的结果是 。 9. 当15x ≤5_____________x -=。 10. 把的根号外的因式移到根号内等于 。 11. 11x = +成立的条件是 。 12. 若1a b -+()2005 _____________a b -=。 13. )()()230,2,12,20,3,1,x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 15. 若23a ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若A = =（ ） A. 2 4a + B. 2 2a + C. ( ) 2 2 2a + D. ( ) 2 2 4a +
17. 若1a ≤ ） A. (1a - B. (1a - C. (1a - D. (1a - 18. =x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 19. 的值是（ ） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ） ( ) ( )()() 2312322 4==-= =∴=-∴=- A. ()1 B. ()2 C. ()3 D. ()4 21. 2440y y -+=，求xy 的值。 22. 当a 1取值最小，并求出这个最小值。 23. 去掉下列各根式内的分母： ())1 0x () )21x 24. 已知2 310x x - += 25. 已知,a b ( 10b - =，求2005 2006a b -的值。 26. 当0a ≤，0b __________=。 27. _____,______m n ==。 28. __________==。 29. 计算： _____________=。
1.1.2.6用有理数估计无理数的大致范围
1. (2011 安徽省) 设1a =，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是 A ．1和2 Ｂ．2和3 Ｃ．3和4 Ｄ．4和5 答案：C 2. (2011 江苏省徐州市) 的值（ ） Ａ．在2到3之间 B ．在3到4之间 C ．在4到5之间 D ．在5到6之间 答案：B 3. (2011 安徽省芜湖市) 已知a 、b 为两个连续的整数，且a b < <，则a b += ． 答案：11 4. (2011 辽宁省本溪市) ） A ．2 B ．4 C ．15 D ．16 答案：B 5. (2011 辽宁省大连市) ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 答案：B
6. (2011 福建省泉州市) 比较大小：>”或“<”号填空）． 答案：>； 7. (2011 山东省威海市) 在实数0，2-中，最小的是（ ） A ．2- B ． C ．0 D 答案：A 8. (2011 广西贺州市) 在22-__________. 答案：2 9. (2011 四川省凉州市) 已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5且 21amn bn +=，则2a b += 。 答案： 52 10. (2011 广西柳州市) 在0，2-，3 ） A ．0 B ．2- C ．3 D
答案：B 11. (2011 天津市) ） （Ａ）1到2之间 （Ｂ）2到3之间 （Ｃ）3到4之间 （Ｄ）4到5之间 答案：C 12. (2011 贵州省六盘水市) 一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数________与________之间． 答案：4与5或5与4 13. (2011 贵州省遵义市) a 、b 均为正整数，且a >b <则a b +的最小值．．．是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：B 14. (2011 河北省) π-40，，这四个数中，最大的数是 ． 答案：π 15. (2011 贵州省黔南州) 估计20的算术平方根的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 答案：C
无理数练习题
【知识要点】 1．无理数： 定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926 1.414213= ，－1.010010001…，都是无理数。 注意： ①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足； ②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数； 2．实数：有理数和无理数统称为实数。 ????????????????????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念： ①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。a+b=0?a 、b 互为相反数。 ②倒 数：若0a ≠，则1a 称为a 的倒数，0没有倒数。1ab a =?、b 互为倒数。 ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 即()()()0000a a a a a a >??==??-
④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。 A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个 4．判断（正确的打“√”，错误的打“×”） ①带根号的数是无理数；（ ） （ ） ③绝对值最小的实数是0；（ ） ④平方等于3 （ ） ⑤有理数、无理数统称为实数；（ ） ⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ） ⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ） ⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（ ） 5．a ） A ．有理数 B ．正无理数 C ．正实数 D ．正有理数 6．下列四个命题中，正确的是（ ） A ．倒数等于本身的数只有1 B ．绝对值等于本身的数只有0 C ．相反数等于本身的数只有0 D ．算术平方根等于本身的数只有1 7．下列说法不正确的是（ ） A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B ．整数可以看成是分母为1的分数 C ．有理数都可以化为分数 D ．无理数是开方开不尽的数 8．代数式 21a +y ，()21a -中一定是正数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9 ） A ．m 是完全平方数 B ．m 是负有理数 C ．m 是一个完全平方数的相反数 D ．m 是一个负整数 10．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 11 215 的大小关系是（ ） A 215< B ．215<<215<<215<< 12的相反数之和的倒数的平方为 。 13、设a 、b 互为相反数，但不为0;c 、d 互为倒数;m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ??÷++- ???的结果是 。
无理数练习题1上课讲义
无理数练习题1
【实数知识要点】 1．无理数： 定义：无限不循环小数叫做无理数。 如π=3.1415926 1.414213=，－1.010010001…，都是无理数。 注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足； ②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数； ③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如 2．实数：有理数和无理数统称为实数。 ????????????????????????? 正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念： ①相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0。a+b=0?a 、b 互为相反数。 ②倒 数：若0a ≠，则1a 称为a 的倒数，0没有倒数。1ab a =?、b 互为倒数。 ③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 即()()() 0000a a a a a a >??==??-
3．下列命题中，正确的个数是（ ） ①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数； ③两个无理数的积是无理数； ④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。 A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个 4．判断（正确的打“√”，错误的打“×”） ①带根号的数是无理数；（ ） 一定没有意义；（ ） ③绝对值最小的实数是0；（ ） ④平方等于3 ） ⑤有理数、无理数统称为实数；（ ） ⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ） ⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ） ⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（ ） 5．a ） A ．有理数 B ．正无理数 C ．正实数 D ．正有理数 6．下列四个命题中，正确的是（ ） A ．倒数等于本身的数只有1 B ．绝对值等于本身的数只有0 C ．相反数等于本身的数只有0 D ．算术平方根等于本身的数只有1 7．下列说法不正确的是（ ） A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B ．整数可以看成是分母为1的分数 C ．有理数都可以化为分数 D ．无理数是开方开不尽的数 8．代数式21a +，，y ，()21a -中一定是正数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9． ） A ．m 是完全平方数 B ．m 是负有理数 C ．m 是一个完全平方数的相反数 D ．m 是一个负整数 10．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b 为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数
(专题)有理数与无理数的计算
XX教育学科教师辅导讲义 组长签字：
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 二、课前自主学习 检查上次作业，让学生讲解错题，知识反馈。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 三、知识梳理+经典例题 课题1.有理数的加减乘除混合运算(30min.) 考点一：有理数的加法 1．有理数的加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数。 2．有理数加法的运算律：（1）加法交换律：a b b a +=+；（2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++。 点拨：灵活运用运算律的几条规则：①“相反数结合法”―互为相反数的两个数先相加；②“同号结合法” ―符号相同的两个数相加；③“同分母结合法”―分母相同的数先相加；④“凑整法”―几个数相加得到整数，先相加；⑤“同形结合法”―整数与整数，小数与小数相加。 考点二：有理数的减法 1．有理数减法的意义：有理数减法的意义与小学学过的减法意义相同。已知两个数的和与其中一个加数，求另一个数的运算叫做减法。减法是加法的逆运算。 2．有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 考点三：有理数的乘法 1．有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘都得零。 （2）几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
有理数与无理数辨析
有理数与无理数辨析 四川省邻水县九龙中学 任贤德 2006.8 在初中，我们已学过实数的有关概念，实数包括有理数和无理数。很多同学对于有理数和无理数概念的理解较模糊，对学习造成一定影响，甚至到了高中，也存在这种现象。为此，有必要对此进行辨析。 有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，如：218、18.25、1..6等。我们可将整数、有限小数的小数位后面添加0，把它看成是以0为循环节的无限循环小数，如：218=218..0 ，18.25=18.25.0，在此观点下，有理数就可看成是无限循环小数。而有理数又可化为分数，整数可看成是分母为1的分数，如：218=218/1，有限小数化成分数，先去掉小数点得到的数作为分子，若小数点后的位数有n 位,则分母就为n 10，如18.25=1825/100=73/4，无限循环小数可化为分数（其化法见后），如：1..6=4/3，所以有理数都可表示成分数，即表示成q/p(其中p 、q 是整数，且p 、q 互质)。分数化小数时，若除不尽，则得到的小数一定是无限循环小数，因此分数与小数可以互化。与此相对，无理数就是无限不循环的小数，如：2、3、π=3.1415926……、e=2.71828……、0.101001000……。有人说无理数就是开方开不尽的数，这种理解是片面的，当然开方开不尽的数是无理数，但如π=3.1415926……、e=2.71828……并不是因为开方开不尽而得到的数，又如0.101001000……，1的后面依次多一个0，也不是因为开方开不尽而得到的数，所以前面对于无理数的理解是错误的，必须纠正。 下面再来谈谈有关的几个问题： 1．（混）循环小数化为分数（此法证明须用到无穷递缩等比数列，证明较繁，故略去） （1） 无限循环小数化分数 无限循环小数化分数时，其分母为9···90···0,其中9的个数为一个循环节的数字个数，0的个数为循环节前、小数点后0的个数，其分子为一个循环节的数字。 例如：..76.0=67/99，..6310.0=136/9990=68/4995 （2） 混循环小数化分数 混循环小数化为分数时，先将其分为有限小数与无限循环小数之和，然后再分别将有限小数和无限循环小数化为分数，最后求和即可。 例如：..6512.3=3.12+0.00. .65=312/100+56/9900=7708/2205 .70.2=2+.70.0=2+7/90=187/90 2.任何一个不能整除的分数一定是无限循环小数 任何一个不能整除的分数一定是无限循环小数，这是为什么呢？在中学，学生通过除
第1讲有理数的概念和性质和答案
新苏教版七升八数学第一讲有理数的概念和性质 一、【概念和性质】 1、正数和负数 正数：比0大的数。如+3、+1.5、+1 2、+584（正号可以省略） 负数：比0小的数。如－3、－1.5、－1 2、－584（负号不可以省略） 零：既不是正数，也不是负数。零是正数和负数的分界。 【实际意义】如“零上”和“零下”“高出”和“低于” “上升”和“下降”“超出”和“不足” “盈利”和“亏损”“收入”和“支出” ▲如正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。 例：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为－3km， 向南－5km表示向北5km 填空（1）若汽车向东行驶2.5千米记作+2.5千米，则向西行驶1.5千米记作； 汽车原地不动记作。 （2）某人转动转盘，如果+2圈表示沿顺时针转2圈，那么圈－3表示。 2、整数和分数统称为有理数。 ▲有理数可以写成 m n（ m、n是整数，n≠0）。 ▲有理数的两种分类： ①按定义分： ②按符号分（常用）： 整数 分数 正整数 负整数 正分数 负分数 有理数 正有理数 正整数 正分数 有限小数 无限小数 分数（分子是1时，这个分数就是正数） 无限循环小数 无限不循环小数（无理数） 小数 自然数
几个重要概念 （1）非负数：正数和零 （2）非正数：负数和零 （3）非负整数：正整数和零 （4）非正整数：负整数和零 3、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但不是数轴上所有点都是有理数。 左边的数 〈 右边的数 ▲ 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小。 4、绝对值的意义与性质： ① 数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作||a 。 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 ② ③ 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ④ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 5、绝对值相同，符号相反的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。 ▲ 几何特征：关于原点对称（到原点的距离相等） 6、乘积是1的两个数是互为倒数（0没有倒数） 乘积是－1的两个数是互为负倒数 ▲ 正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数 ▲ 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。 【思考】 已知a 为有理数，判断下列语句是否正确： ① （a+12 ）2是正数； ② －（a －12 ）2 是负数； 111 -2 -1 0 1 2 大 小
初一数学上有理数与无理数的概念和练习有详细的答案
有理数和无理数的概念与练习 知识清单 1定义：有理数：我们把能够写成分数形式 n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做有理数。 无理数：①无限②不循环小数叫做无理数。 2有理数的分类 整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。零既不是正数，也不是负数。有限小数和无限循环小数是有理数。 3无理数的两个前提条件： （1） 无限（2）不循环 4两者的区别： （1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。 （2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。 经典例题 例1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ -3，3π，-6 1，…，3.…，42，,0，3.（相邻两个1之间0的个数逐个加1），面积为π的圆半径为r 。 例2：下列说法正确的是：（ ） A.整数就是正整数和负整数 B.分数包括正分数、负分数 C.正有理数和负有理数统称有理数 D.无限小数叫做无理数 闯关全练 一. 填空题： （1）我们把能够写成分数形式n m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做 。 （2）有限小数和 都可以化为分数，他们都是有理数。 （3） 小数叫做无理数。 （4）写出一个比-1大的负有理数 。 二. 判断题 （1）无理数与有理数的差都是有理数；
（2）无限小数都是无理数； （3）无理数都是无限小数； （4）两个无理数的和不一定是无理数。 （5）有理数不一定是有限小数。 答案 例1： 无理数有：3 π，0，，（相邻两个1之间0的个数逐个加1） 有理数有：-3，-6 1，…，，42，,0，面积为π的圆半径为r 例2： B （A ，还有0 C ，还有0 D ，无限不循环） 闯关全练 一、（1）有理数 （2）无限循环小数、 （3）无限不循环小数、 （4）答案不唯一，如： 二、（1）错，如3π-0=3 π （2）错，如：… （3）对，无理数的两个前提条件之一无限 （4）对，3π+（-3 π）=0 （5）对，如：…
初中无理数.道计算题
无理数计算题 1. 计算： () 1 ()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b f f ()5()6?÷ ? (7) (() 2 771+-- (8) (231 ? ++ ? (10) ((((2 2 2 2 1111+- (11) ))((36163--?- (12) 633 1 2??
(13) )(102 132531-?? (14) z y x 10010101??- (15) 20 245- (16) 14425081 010??.. (17) 521312321?÷ (18) )(b a b b a 1 223÷? (19) 221+-()()20 12-- (21) 22 ＋(－1)4 ＋(5－2)0 －|－3| (22) 332)1(0 +-+- (23) ()()03 32011422 ---+-÷ (24) |－5|＋22－1)0
(25) 2×(－5)＋23 －3÷12 (26) |﹣2|+ ﹣（π﹣5）0 ﹣ (27) (28) |﹣3|+（﹣1）2011 ×（π﹣3）0 ﹣ + (29) |﹣3|+（﹣1）0 ﹣（） ﹣1 (30) (31) |﹣2|﹣ (32) (33) (34) (35) |﹣|﹣ +（3﹣π）0 (36)
(37) +|﹣2|++（﹣1）2011 (38) (39) (40) 22+|﹣1|﹣ (41) (42) 20110﹣+|﹣3| (43) (44) (45) 计算：|﹣3|﹣（﹣π）0++（﹣1）3 (46) (47) (48) |﹣3|﹣﹣（）0+32 (49) (50) 2﹣2+|﹣|﹣（﹣x）0+
有理数与无理数练习
有理数与无理数练习 一、耐心填一填，一锤定音 1、若太平洋最深处低于海平面11034米，记作－11034米，则珠穆朗玛峰高出海平面8848米，记作＿＿＿＿＿＿。 2、＋10千米表示王玲同学向南走了10千米，那么－9千米表示_______；0千米表示＿＿＿＿＿。 3、在月球表面上，白天阳光垂直照射的地方温度高达127℃，夜晚温度可降到－183℃，那么－183℃表示的意义为＿＿＿＿＿＿＿。 4、七（8）班数学兴趣小组在一次数学智力大比拼的竞赛中的平均分数为90分，张红得了85分，记作－5分，则小明同学行92分，可记为＿＿＿＿，李聪得90分可记为＿＿＿＿，程佳＋8分，表示＿＿＿＿＿＿。 5、有理数中，最小的正整数是＿＿＿＿，最大的负整数是＿＿＿＿。 6、在1.5－7.5之间的整数有＿＿＿＿＿，在－7.5与－1.5之间的整数有＿＿＿＿＿ 7、已知下列各数：－23、－3.14、，其中正整数有__________，整数有______，负分数有______，分数有_________。 二、精心选一选，慧眼识金！ 1、把向东运动记作“+”，向西运动记作“_”，下列说法正确的是( ) A、-3米表示向东运动了3米 B、+3米表示向西运动了3米 C、向西运动3米表示向东运动-3米 D、向西运动3米，也可记作向西运动-3米。 2、下列语句中正确的是( ) A、零是自然数 B、零是正数 C、零是负数 D、零不是整数 3、下列说法中，其中不正确的是( ) A、0是整数 B、负分数一定是有理数 C、一个数不是正数，就一定是负数 D、0 是有理数 4、正整数集合与负整数集合合并在一起构成的集合是( ) A、整数集合 B、有理数集合 C、自然数集合 D、以上说法都不对 5、下列说法中正确的有( ) ① 0是取小的自然数；②0是最小的正数；③0是最小的非负数；④0既不是奇数，也不是偶数；⑤0表示没有温度。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 6、下列说法错误的是（） A、有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数 B、一个有理不是整数就是分数 C、正有理数分为正整数和正分数 D、负整数、负分数统称为负有理数 三、把下列各数填在相应的括号内： －23,0.25，，－5.18，18，-38，10，＋7，0，+12，3.1415926, 6.010010001… 正数有（） 负数有（） 整数有（） 有理数有（） 无理数有（）
无理数以及二次根式的计算
龙文教育一对一个性化辅导教案 教导处(签字)：日期：年月日
讲义：
学生： 学科： 教师： 日期： 一、作业检查。 二、课前热身： 三、内容讲解： 【知识要点】 1．实数分类： 2．相反数：b a ,互为相反数 0=+b a 4．倒数：b a ,互为倒数 0;1= 没有倒数. 5．平方根，立方根：==x ，a x a x 记作的平方根叫做数则数若,2 ±a . 若a x ，a x a x 33,= =记作的立方根叫做数则数 6．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法. 【课前热身】 1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ； 2、8的立方根是 ；327-＝ ； 3、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是 4、的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是 。 5、2-的绝对值是 ，11-的绝对值是 。 6、9的平方根的绝对值的相反数是 。 7+的相反数是 ，-的相反数的绝对值是 。 8--的相反数之和的倒数的平方为 。 【典型例题】 例1、把下列各数分别填入相应的集合里： 2 ,3.0,10,1010010001.0,125,722,0,122 3π---?- 有理数集合：｛ ｝； 无理数集合：｛ ｝； 负实数集合：｛ ｝； 例2、比较数的大小 （1）2332与 （2）6756--与 实数 有理数 无理数 整数（包括正整数，零，负整数） 分数（包括正分数，负整数） 正无理数 负无理数 )0(>a 3．绝对值： =a a 0 a - )0(=a )0( 例3．化简： （1）233221-+-+- （2+- 例4．已知b a ,是实数，且有0)2(132=+++-b a ，求b a ,的值. 例5 若|2x+1|与x y 48 1 +互为相反数，则－xy 的平方根的值是多少？ 总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用． 例6．已知b a ,为有理数，且3)323(2 b a +=-，求b a +的平方根 谈谈有理数与无理数 实数通常分为有理数和无理数两类。这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。 关于有理数，我们知道得较多，其特征有： 1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数； 2、每个有理数都可以写成分数的形式，即n m ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。 我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数n m 的分母n 能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）时，有理数n m 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22 =1。 根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用： 1、任何有理数≠任何无理数； 2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ·b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。 下面着重介绍实数无理性的判定方法。 在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。 判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数 的关系，α就是有理数，故α=n m （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。下面我们介绍几种常见的初等方法，主要适用于前三类无理数的判定。 一、利用整数的性质 整数特别是整数的奇偶性在判定实数的无理性方面起着重要的作用。 初中无理数100道计 算题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 无理数计算题 1. 计算： () 1 ()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? (7) (() 2 771+-- (8) (231 ? ++ ? (10) ((((2 2 2 2 1111+- (11) ))((36163--?- (12) 633 1 2?? (13) )(102 132531 -?? (14) z y x 10010101??- (15) 20 245- (16) 14425081 010??.. (17) 521312321 ?÷ (18) )(b a b b a 1223÷? (19) 221+-()()2 12-- (21) 22＋(－1)4＋(5－2)0－|－3| (22) 332)1(0 +-+- (23) ()()03 32011422 - --+-÷ (24) |－5|＋22－＋1)0 (25) 2×(－5)＋23－3÷1 2 (26) |﹣2|+ ﹣（π﹣5）0﹣ (27) (28) |﹣3|+（﹣1）2011×（π﹣3）0﹣ + (29) |﹣3|+（ ﹣1）0﹣（）﹣1 (30) (31) |﹣2|﹣ (32) (33) (34) (35) |﹣|﹣ +（3﹣π）0 (36) (37) +|﹣2|++（﹣1）2011 (38) (39) (40) 22+|﹣1|﹣ (41) (42) 20110﹣+|﹣3| (43) (44) (45) 计算：|﹣3|﹣（﹣π）0++（﹣1）3 (46) (47) (48) |﹣3|﹣﹣（）0+32 (49) (50) 2﹣2+|﹣1.25|﹣（﹣x）0+有理数与无理数
初中无理数100道计算题