六年级二元一次方程式计算

(1)5

3χ+2.6χ=6 (2)3.5: χ=5.5:4.2 (3)4－χ=2.4

(4)

x 12=8.02 (5)62%χ－3=7.2 (6)19－4χ=2.4+353

(7)

6x =82.1 (8) 2χ－41χ=83 (9)12.6×6

5－4χ=8 (10)24x =9.05.1

(11)43×21－χ=51 (12)3

2 χ+50%=21 (13) 7－4χ=31

(14)75%+8χ=27

21 (15)4χ+4.3×3=1421 (16) χ×(1+83)＝13

2

（17）χ+41χ＝83 （18）321×4χ＝2.5 （19）4.0x ＝85.1

（20）40%：χ＝

52：103 （21）4χ－16×2＝102 （22）x ：197＝20

1：31

（23）4χ＋7.1＝12.5 （24）χ：0.6＝31：4 （25）52：73＝9

7:χ

(26) 6－0.8χ＝9.9 (27)

8x ＝5

.36.0 (28) 12－40%x ＝81 (29) χ: 21＝41:81 (30)21: χ＝41:81 (31)3χ+41χ＝2132

(32)

145:75＝0.3: χ (33)131－χ＝89.2 (34)3

1:0.25＝80％: χ

(35)4χ＋7.1＝12.5 (36)43－21χ＝51 (37)32χ－21χ＋51＝3

2

(38)43:53＝χ:12 (39) χ－21χ=107 (40) χ:4

3=12:3

(41)2.4χ－0.45×2=0.3 (42)41:8

1=χ:0.1 (43)6.3－5χ=4.1

(44)1.25:5=0.75:χ (45)21:χ=43:6 (46)5

3×2.5－χ=0.6

(47) χ－

61χ=125 (48)31: χ=51:76 (49)10x =2

1.0

(50)32χ－21χ+1.2=3.4 (51)4:6=15:χ (52)21:43=χ:32

一元二次方程的知识点梳理

一、知识结构： 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 二、考点精析 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） =n=2 =2,n=1 =2,m=1 =n=1 考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根， 则m 的值为 。 针对练习： 1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。 3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。 4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。 5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - 6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。 考点三、解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次 类型一、直接开方法：()m x m m x ±=?≥=,02

语文版中职数学拓展模块《简单的二元二次方程组》word教案

简单的二元二次方程组 在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法． 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组． 一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解． 【例1】解方程组2220 (1)30 (2) x y x y -=??-+=? 分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ． 解：由(1)得：2y x = (3) 将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或 把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-． ∴原方程组的解是：11111122 x x y y ==-????==-??或． 说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： ① 由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)； ② 把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③ 解消元后得到的一元二次方程； ④ 把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值； ⑤ 写出答案． (2) 消x ，还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程210x y -+=，可以消去x ，变形得21x y =-，再代入消元． (3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切记． 【例2】解方程组11 (1)28 (2) x y xy +=??=? 分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解． 解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程2 11280z z -+=的两根，解方程得：

(完整版)一元二次方程归纳总结

一元二次方程归纳总结 1、一元二次方程的一般式：2 0 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。 2、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2 (0)x a a =≥ 解为：x = ②2 ()(0)x a b b +=≥ 解为：x a += ③2 ()(0)ax b c c +=≥ 解为：ax b += ④2 2() ()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+ （2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 （3）公式法：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：222 4()24b b ac x a a -+= ①当2 40b ac ?=-> 时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a -=② 当2 40b ac ?=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =- ③ 当2 40b ac ?=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。 注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。 备注：公式法解方程的步骤： ①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：2 0 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c ②求出2 4b ac ?=-，并判断方程解的情况。 ③代公式：1,2x = 3、一元二次方程的根与系数的关系 法1：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： 1222b b x x a a -+-== 所以：12b x x a += +=-， 221222()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----?=?===

一元二次方程解法讲义

龙文教育学科教师辅导讲义 课 题 一元二次方程的解法 教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用 考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用 教学内容 考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．． 就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

九年级数学二元二次方程组3

初三代数教案 第十二章：一元二次方程 第22课时：由一个二元二次方程和一个可以分 解为两个二元一次方程的方程组成的方程组（二） 教学目标： 1、使学生进一步掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法以及由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法． 2、通过学习简单的二元二次方程组的解法，提高学生的分析问题、观察问题和综合运用知识解决问题的能力． 教学重点： 正确地选择恰当的方法解简单的二元二次方程组，进一步领会解简单的二元二次方程组的基本思想，把握化二元为一元，化二次为一次的条件，通过解简单的二元二次方程组，提高学生分析问题和解决问题的能力． 教学难点： 正确地选择恰当的方法解简单的二元二次方程组． 教学过程： 我们已经学过常见的两种类型的二元二次方程组的解法，这一节课我们将进一步系统地复习二元二次方程组的解法． 关于本节复习课，是对已学习过的二元二次方程组有关内容的复习，所以直接明确本节课的目标，可以充分地调动学生的积极性，使学生能积极思考本节的内容，以提高学生的分析问题和解决问题的能力． 由于本节内容是在学生已经学过的基础上进行复习的，其内容主要是熟练、灵活地解前面所学过的简单的二元二次方程组的两种类型，所以，在教学时，通过教师的讲和学生的练，启发学生分析简单的二元二次方程组的特点，寻找解方程组的思路，从而正确地解方程组，同时随时纠正学生在解方程组的过程中出现的问题．所以整个课堂能够积极、和谐，从而提高学生分析问题和解决问题的能力． 一、新课引入： 1、解二元二次方程组的基本思想是什么？ 2、解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的二元二次方程组的基本方法是什么？其步骤怎样？

历年初三数学中考辅导之—简单的二元二次方程组及答案

中考数学辅导之—简单的二元二次方程组 一、学习目标 1、 了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。 2、 掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组、由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。 3、 通过解简单的二元二次方程组，进一步理解“消元、降次”的数学方法，获得对事物可以相互转化的进一步认识。 二、基础知识及应注意的问题 1、 对于二元二次方程、二元二次方程组的概念的学习，应注意联系二元一次方程、二元一次方程组的意义，在对比中加深对概念的理解。 2、 解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解(或者说明这个方程组无解)；解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是把二元化为一元，降次就是把二次降为一次；其目的就是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解。 3、 对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，通常用“代入消元法”进行消元、降次，这是把二元方程转化为一元方程的基本途径。 4、 对于形如 x ＋y ＝a 的方程组，不仅可以用代入法来解，而且可以联系 xy ＝b 已学过的一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看作是一个一元二次方程的两个根，通过解一元二次方程来求得二元二次方程组的解。 5、 对于由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组，求解时应注意把握如下三点： (1)分析方程组，找出可以分解因式的那个二元二次方程的特点，并把它变形为两个二元一次方程。 (2)把两个二元一次方程分别与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组。 (3)用代入法分别解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的这两个二元二次方程组。 三、例题 例1：解方程组 x 2＋y 2＝25 …① 4x －3y ＝0 …② 分析： (1)这是一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，与解二元一次方程组类似，可以用代入法来解。 (2)方程②是一个二元一次方程，把这个方程变形为x y =34 ，就可把未知数x 用未知数y 的代数式来表示。 (3)把x y =34 代入方程①，即可消去未知数x ，得到一个关于y 的一元二次方程，解这个方程即可得y 的值，再把y 的值代入x y =34 ，就可求出未知数x

复系数一元二次方程求根公式教学浅议

复系数一元二次方程求根公式教学浅议 文／哈瀛东 在初中《代数》课本中，运用配方法推导了实系数一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝0在Δ＝ｂ２－4ａｃ≥0时的求根公式 在高中《代数》下册“复数”一章中，运用配方法推导出实系数一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝0在Δ＝ｂ２－4ａｃ＜0时的求根公式 之后，结束了中学数学对一元二次方程求根公式的研究．由于中学数学未研究复系数一元二次方程的求根公式，学生在复数集中解一元二次方程方面未形成完整的知识框架；在解与复系数一元二次方程的根有关的问题时，往往用复数相等的定义解复系数一元二次方程，运算繁冗．教学中，学生也常常提出“实系数一元二次方程求根公式能否向复系数一元二次方程推广”，“是否存在复系数一元二次方程求根公式”等疑问．在多年的教学实践中，笔者认识到，在结束实系数一元二次方程求根公式的研究后，趁热打铁，安排一二个课时，以练习课的形式，引导学生推导复系数一元二次方程求根公式，明确实系数与复系数这两类一元二次方程求根公式的内在联系，在复数运算的复习中，使学生形成完整的认知结构，加深实数集扩展到复数集的合理性的理解，提高对实数集与复数集之间的辩证关系的认识．既有利于中学数学教学，又有利于学生智力的发展和创新能力的培养． 在具体教学时，笔者是这样安排的． 一、创设情境，激发求知欲 笔者对复数运算法则及实系数一元二次方程求根公式进行简单复习之后，让学生做练习： 1．求证：任一复数ｚ的平方根都可表示成±ｕ（ｕ∈Ｃ）的形式． 解：设ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），其平方根为 （其中ｎ＝0，1）， 即 或 ＝－ 命题成立． 2．解方程：ｘ２＋（2－ｉ）ｘ＋1－ｉ＝0． 解：设ｘ＝ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ），代入方程并整理，得 ａ２－ｂ２＋2ａ＋ｂ＋1＋（2ａｂ－ａ＋2ｂ－1）ｉ＝0． 由复数相等的定义，得 面对此二元二次方程组，学生束手无策，欲进无路，欲退不愿，企盼教师指点迷津． 二、适时点拨，引导学生探求新公式

典型二元二次方程与应用题

二元二次方程组解法与应用题 教学目标 1.理解二元二次方程的概念 2.能正确地把方程整理成二元二次方程的一般形式,知道各项名称和各项系数 3.理解二元二次方程解的概念,会解二元二次方程组 4.会列代数方程(组)解简单的应用题 教学重难点 1.熟练运用“消元”、“降次”的数学思想方法解二元二次方程，从而提高分析问题和解决问题的能力 2.熟练掌握数学符号语言与文字的互译以及数量关系的分析,会建立数学模型 3.理解应用题中的现实问题,会分辨,排除不符题意的解 知识梳理 二元二次方程和方程组 仅含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程. 关于x,y 的二元二次方程的一般形式是: 22ax bxy cy dx ey f 0+++++=(a,b,c,d,e,f 为常数)其中,22 ax ,bxy,cy 叫做这个方程的二次项,a,b,c 分别叫做二次项系数; dx,ey 叫做这个方程的一次项,d,e 分别叫做一次项系数;f 叫做这个方程的常数项. 使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二次方程的解 由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程或两个二元二次方程组成的方程组是二元二次方程组 方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解 解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程. 对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法 应用题 在实际问题中,经常会遇到一个(多个)未知量得问题,我们可以列方程(组)来求解. 通过列方程来解某些实际问题,应注意检验,不仅要检验求得的解是否适合方程,还要检验所得得解是否符合实际意义.

一元二次方程的概念及解法

一元二次方程的概念及解法

一、 考点突破 1. 理解一元二次方程的定义、解，食+版& = 0 (在0), a 、b 、c 均为常数，尤其。不为零要切记。 2. 熟练掌握一元二次方程的几种解法，如因 式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一 元一次方程的转化思想。 二、 重难点提示 熟练掌握一元二次方程的几种解法。 一、知识结构 厂一元一次方程O 壬二元一次方程组 整式方程一 A 去分母 二、解题策略与方法 解一元二次方程的基本策略是：降次。降次 的主要方法是因式分解法和开平方法。 1. 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程. 一般形式： 杯+Zxr + c = O 是常数，且 "0). 2. 一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 降次 「解法 —元二次方程- _______ L 根的判别式 W 方程一 分式方程

形如(mx + n)2= /? (r > 0) 的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法. （2）配方法 把一元二次方程通过配方化成如+ 〃）2=,（房0）的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法. 用配方法解一元二次方程次& + ”0 （^0）的一般步骤是：① 化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数〃；②移项，也就是使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项;③ 配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；④ 化原方程为（》+〃?）、〃的形式；⑤ 如果,20就可通过两边开平方来求出方程的解；如果〃V0,则原方程无解. （3）公式法 通过配方法可求得二元二次方程ax2 + bx + c = 0（。n 0）的求根公式：x=-b土尸,用求根公式解一元二次方程的方法叫做本'式法. 兀—次方程ar2 + + c = 0 （ a,b,c是常数，且心0）的根的判别式是屏-4必.利用根的判别式可以判定方程实根的个数；利用根的判别式也可以建立等式、不等式,求方程中的参数的值或取值范围; 通过根的判别式可证明与方程有关的代数问题，也可运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题等。

中考数学辅导之—简单的二元二次方程组

中考数学辅导之—简单的二元二次方程组 一、学习目标 1、 了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。 2、 把握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组、由一个二元二次方程和一个能够分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。 3、 通过解简单的二元二次方程组，进一步明白得“消元、降次”的数学方法，获得对事物能够相互转化的进一步认识。 二、基础知识及应注意的问题 1、 关于二元二次方程、二元二次方程组的概念的学习，应注意联系二元一次方程、二元一次方程组的意义，在对比中加深对概念的明白得。 2、 解二元二次方程组确实是求方程组中两个方程的公共解(或者说明那个方程组无解)；解二元二次方程组的差不多思想是消元和降次，消元确实是把二元化为一元，降次确实是把二次降为一次；其目的确实是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解。 3、 关于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，通常用“代入消元法”进行消元、降次，这是把二元方程转化为一元方程的差不多途径。 4、 关于形如 x ＋y ＝a 的方程组，不仅能够用代入法来解，而且能够联系 xy ＝b 已学过的一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看作是一个一元二次方程的两个根，通过解一元二次方程来求得二元二次方程组的解。 5、 关于由一个二元二次方程和一个能够分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组，求解时应注意把握如下三点： (1)分析方程组，找出能够分解因式的那个二元二次方程的特点，并把它变形为两个二元一次方程。 (2)把两个二元一次方程分别与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组。 (3)用代入法分别解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的这两个二元二次方程组。 三、例题 例1：解方程组 x 2＋y 2＝25 …① 4x －3y ＝0 …② 分析： (1)这是一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，与解二元一次方程组类似，能够用代入法来解。 (2)方程②是一个二元一次方程，把那个方程变形为x y =34 ，就可把未知数x 用未知数y 的代数式来表示。 (3)把x y =34 代入方程①，即可消去未知数x ，得到一个关于y 的一元二次方程，解那个方程即可得y 的值，再把y 的值代入x y =34 ，就可求出未知数x

九年级化学必背公式定理

二元一次方程的定义 把两个含有不同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程定义：一个方程含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程，叫二元一次方程。 二元一次方程组定义：两个结合在一起的，且共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解：一般的，二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。 一般解法，代入消元法：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。解法 消元的方法有两种

代入消元法 用代入消元法的一般步骤是： 【1】选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式； 【2】将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程； 【3】解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值； 【4】将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数； 【5】把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。[1] 例：解方程组： x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得 x=5-y③ 把③代入②，得 6(5-y)+13y=89 即 y=59/7 把y=59/7代入③，得 x=5-59/7 即 x=-24/7 ∴ x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。 加减消元法 用加减法消元的一般步骤为： ①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数； ②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程； ③解这个一元一次方程； ④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值； ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。

简单的二元二次方程组(课堂总结)

简单的二元二次方程组总结 一、知识梳理 1、解方程组基本思想：（1）消元；（2）降次。常用的方法有：代入消元法、因式分解法、韦达定理法、换元法、方程组相加（或倒数相加法）、消项后因式分解法等。 2、当方程组中含有分式方程或无理方程时，一定要注意验根（因为可能存在增根）。 3、当方程组只有一组实数解时，先将方程组化为含一个未知数的一元二次方程，同时要注意观察原方程组的组成，分情况考虑： （1）当方程组为整式方程组时，考虑两种情况：① 一元二次方程二次项系数等于零时；② 一元二次方程判别式0=?。（方程组中若某个方程如：02=-y x ，则可理解为无理方程 y x ±=来考虑。 ） （2）当方程组中含有无理方程或分式方程时，分为以下三种情况：① 一元二次方程二次项系数等于零时；②一元二次方程判别式0=?；③一元二次方程的一个根为增根（对于分式方程：增根为使分母等于零的根；对于无理方程，增根为使0

所以原方程组的解为：???==5211y x 或 ?? ?? ?-=-=4541722y x 。 2、因式分解法 例2 ? ??=+=--4502322 222y x y xy x (2)(1) 解：由)1(式得：0)2)(2(=-+y x y x )3( 即 02=+y x 或02=-y x ? 1 ?? ?=+=+45 22 2y x y x 解得：???=±=6311 y x ? 2 ?? ?=+=-45 22 2y x y x 解得：???±=±=3622y x 所以原方程组的解为：……… 3、利用韦达定理法 例3 ?????== -10 10311xy y x (2)(1) 解：由)2(式得：10 1 1-=- xy )3( 令 y x 1,1-为方程010 1 1032=--t t 的两根， 则：013102 =--t t 即 0)15)(12(=+-t t 5 1 ,2121-== ∴t t ???????-=-=∴511211y x 或 ???????=--=2 1 1511y x

一元二次方程题型分类的总结

一元二次方程题型分类总结 知识梳理 一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法 考点类型一 概念 只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．． 就是一元二次方程。 )0(02≠=++a c bx “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“ 0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨 论。 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值 为 。 ★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 ★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围

是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） A.m=n=2 B.m=3,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 考点类型二 方程的解 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值 为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则 此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两 个根， 则m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。 ★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。 ★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。 ★★5、方程()()02=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a - ★★★6、若=?=-+y x 则y x 324,0352 。

二元二次方程组教案教学内容

第七讲 简单的二元二次方程组 在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法． 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组． 一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解． 【例1】解方程组2220 (1) 30 (2)x y x y -=??-+=? 分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ． 解：由(1)得：2y x = (3) 将(3)代入(2)得：22 (2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或 把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-． ∴原方程组的解是：1111 1122x x y y ==-????==-??或． 说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： ①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程； ④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的 值； ⑤写出答案． (2) 消x ，还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那 么最好消去系数绝对值较小的，如方程210x y -+=，可以消去x ，变形

二元一次方程知识点归纳及解题技巧汇总

二元一次方程组知识点归纳及解题技巧汇总 把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。 二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。 一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。 消元的方法有两种： 代入消元法 例：解方程组x+y=5① 6x+13y=89② 解：由①得x=5-y③ 把③带入②，得6(5-y)+13y=89 y=59/7 把y=59/7带入③， x=5-59/7 即x=-24/7

∴x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。 加减消元法 例：解方程组x+y=9① x-y=5② 解：①+②2x=14 即x=7 把x=7带入① 得7+y=9 解得y=-2 ∴x=7 y=-2 为方程组的解 像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtracti on)，简称加减法。二元一次方程组的解有三种情况： 1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解 2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。 3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x +y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

二元二次方程组练习题

1、方程组???--=+=3212x x y x y 的解是。 2、方程组???=+=-1 23422y x y x 的解是。 3、解方程组???=--=+0 )3)(2(2022y x y x y x 时可先化为和两个方程组。 4、方程组???????==+6 1 116511y x y x 的解是。 5、方程组? ??==+b xy a y x 的两组解为???==1111b y a x ，???==2222b y a x ，则2121b b a a -＝。 二、选择题： 1、由方程组???=+++-=-0 4)1()1(122y x y x 消去y 后得到的方程是（） A 、03222=--x x B 、05222=+-x x C 、01222=++x x D 、09222=++x x 2、方程组???=-+++=+0320 2y x x y x 解的情况是（） A 、有两组相同的实数解 B 、有两组不同的实数解 C 、没有实数解 D 、不能确定 3、方程组???=--=-+0 0122m x y y x 有唯一解，则m 的值是（） A 、2 B 、2- C 、2± D 、以上答案都不对 4、方程组?? ?+==m x y x y 2有两组不同的实数解，则（） A 、m ≥41- B 、m ＞41- C 、4 1-＜m ＜41 D 、以上答案都不对 三、解下列方程组： 1、???=-=+15 522y x y x ；2、???=+=+25722y x y x 3、?????=--=+-0352122222y xy x y xy x ；4、???==+127xy y x ；5、???==+6 1322xy y x 四、m 为何值时，方程组? ??=+=+m y x y x 2022有两组相同的实数解，并求出这时方程组的解。

初中数学二次根式公式定理,因式分解等公式定理汇总

初中数学二次根式公式定理，因式分解等公式定理汇总 因式分解公式定理 1 因式分解 11 因式 如果一个次数不低于一次的多项式因式,除这个多项式本身和非零常数外,再也没有其他的因式,那么这个因式(即该多项式)就叫做质因式 12 因式分解 把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解 1 提取公因式法 2 运用公式法 3 分组分解法 4 十字相乘法 5 配方法 6 求根公式法 13 用待定系数法分解因式 2 余式定理及其应用 21 余式定理 f(x)除以(x-a)的余式是常数f(a) 如果f(a)=0,那么f(x)必定含有因式x-a;反过来,如果f(x)含有因式x-a,那么f(a)=0这个结论叫做因式定理 22 余式定理的应用 23 因式分解法解一元方程 24 根与系数的关系 如果x1,x2时二次三项式ax2+bx+c(a不等于)0的两个根,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a 二元二次方程组公式定理 第七章二元二次方程组 1 二元二次方程与二元二次方程组 11 二元二次方程 含有两个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程,称为二元二次方程 关于x,y的二元二次方程的一般形式是ax2+bxy+cy2+dy+ey+f=0 其中ax2,bxy,cy2叫做方程的二次项,d,e叫做一次项,f叫做常数项 12 二元二次方程组 2 二元二次方程组的解法 21 第一种类型的二元二次方程组的解法 当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候,我们就可以把分解得到的

各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法,称为分解降次法 22 第二种类型的二元二次方程组的解法 分式与二次根式公式定理 第六章分式与二次根式 1 分式与分式方程 11 指数的扩充 12 分式和分式的基本性质 设f,g是一元或多元多项式,g的次数高于零次,则称f,g之比f/g为分式 分式的基本性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数,分数的值不变 13 分式的约分和通分 分式的约分是将分子与分母的公因式约去,使分式化简 如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式,且各系数没有大于1的公约数,则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式 对于分母不相同的几个分式,将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式,使各分式的分母相同,而各分式的值保持不变,这种运算叫做通分 14 分式的运算 15 分式方程 方程的两遍都是有理式,这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式,则称为分式方程 2 二次根式 21 根式 在实数范围内,如果n个x相乘等于a,n是大于1的整数,则称x为a的n次方根 含有数字与变元的加,减,乘,除,乘方,开方运算,并一定含有变元开方运算的算式成为无理式22 最简二次根式与同类根式 具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数(2)根号内不含有分母 如果几个二次根式化成最简根式以后,被开方式相同,那么这几个二次根式叫做同类根式 23 二次根式的运算 24 无理方程 根号里含有未知数的方程叫做无理方程 资料来源：初中数学https://www.wendangku.net/doc/776721879.html,

第六讲 简单的二元二次方程组(必上)

第六讲 简单的二元二次方程组 在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法． 含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组． 一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解． 【例1】解方程组2 2 20 (1)30 (2) x y x y -=?? -+=? 分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ． 解：由(1)得：2y x = (3) 将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或 把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-． ∴原方程组的解是：1111 11 22x x y y ==-????==-??或． 说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤： ①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程； ④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的 值； ⑤写出答案． (2) 消x ，还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那 么最好消去系数绝对值较小的，如方程210x y -+=，可以消去x ，变形 得21x y =-，再代入消元． (3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值， 不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点 切记．

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 【学习目标】 1、学会用韦达定理求代数式的值。 2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。 3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。 4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图 求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程 方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】 韦达定理：对于一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：（1）定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值 例 若12,x x 是方程2 220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 22 12x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -． 解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222 121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2) 1212121122 20072007 x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 12||x x -= ===说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

222121212()2x x x x x x +=+-， 121212 11x x x x x x ++=，22 121212()()4x x x x x x -=+-， 12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+， 33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想． 【课堂练习】 1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22 的值为_________ 2．已知x 1，x 2是方程2x 2 －7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ， （x 1－x 2）2 ＝ 3．已知方程2x 2 －3x+k=0的两根之差为212 ，则k= ; 4．若方程x 2 +(a 2 －2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ; 5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2 =0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ; 6． 设x 1,x 2是方程2x 2 －6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 2 7．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 22 21x 1x 1+ （2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。 例 解方程组 x+y=5 xy=6 解：显然，x ，y 是方程z 2 -5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z 1=2,z 2=3 ∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3 x 2=3,y 2=2 显然，此法比代入法要简单得多。