3.5 空间向量在度量问题中的应用2
空间向量在立体几何中的应用2
一、教学目标：
知识与技能:
1）掌握向量方法解决立体几何相关问题的一般步骤（“三步曲”）。
2）初步了解如何依据已知条件建立适当的空间直角坐标系，并能用“坐标法”解决一些简单的立体几何问题。
过程与方法:
1）让学生经历向量法解决立体几何相关问题的一般过程，初步认识向量方法解决立体几何问题的优势。
2）在解题过程中，让学生领悟类比思想和转化思想在解题中的应用。
3）在解题中融入数学建模思想，增强学生的数学应用意识，提高学生的抽象概括能力。
情态与价值:
以例题讲练为学习载体，促使学生形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辩证唯物主义观点，培养学生勇于探索的精神和创新意识。
二、教学重、难点：
重点：掌握向量方法解决立体几何相关问题的一般步骤。（“三步曲”）
难点：建立空间图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。
三、学法与教学用具
1、学法：创设情景，让学生在对比、观察，讨论的过程中，完成对新知识的探究；通过例2的学习，让学生在体会知识与生活密切联系的同时，初步认识解决实际问题时所经历的建立模型---解决模型的数学建模过程，提高学生分析和解决问题的能力。
2、教学用具：多媒体投影仪
四、教学思路：
（一）复习巩固，温故知新
通过对向量的学习我们了解到向量是沟通代数、几何与三角函数的工具之一，向量在平面几何的证明中也扮演着重要的角色，那么怎样用空间向量的知识完成立体几何证明？今天我们就来学习：立体几何中的空间向量。首先我们来回顾空间向量的相关知识。
教师提问：
1、向量垂直的条件
2、向量及向量运算的坐标表示
3、空间几何元素位置关系的坐标表示 （二）研探新知
基本要求：
1 空间向量与异面直线夹角
在立几中，要求两异面直线的夹角，可以通过两向量的夹角公式
,c o s b a b a ?>=
<来求得，但要注意异面直线的夹角只能为锐角或直角。
例1（2000年高考新课程卷试题）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面三角形ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=900，棱AA 1=2，M 、N （1）求的长；（2）求><11,cos CB BA 解：以C 为原点建立如图空间直角坐标系， （1）B （0，1，0），N （1，0，1）， ∴3)01()10()01(||222=-+-+-= （2）)2,1,0(),0,0,0(),2,0,1(11B C A
∴5||,6||11==CB BA ，
且3)2,1,0()2,0,1(11=?=?CB BA ， ∴10
30111111,cos =
>= 2 空间向量与线面垂直问题 设非零向量),,(),,,(222111z y x b z y x a ==， 0212121=++=??⊥z z y y x x ，运用该结论可较快地处理立几中的线线垂 直与线面垂直问题。 例2 如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为 1，M 是棱AA 1的中点，点O 是对角线BD 1的中点。 （1）求证：BD 1⊥AC ； （2）求证：OM 是异面直线AA 1与BD 1的公垂线。 证明：以D 为原点，DC 、DA 、DD 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0),C(1,0,0),B(1,1,0),D 1(0,0,1), M(0,1,21) ,O(21,21,21 )。 （1） ) 1,1,1(1--=BD ，)0,1,1(-=， ∴ 001)1()1(1)1( 1=?+-?-+?-=?AC BD ， ∴AC BD ⊥1，即BD 1⊥AC 。 （2）)1,1,1(),1,0,0(),0,,(1121 21--==-=BD AA ， 因为01=?AA OM ，01=?BD OM ， 所以OM ⊥AA 1，OM ⊥BD 1， 即OM 是异面直线AA 1与BD 1的公垂线。 3 空间向量与线面平行问题 向量a 与非零向量b 平行的充要条件是存在唯一的实数λ，使b a λ=。如果平面外直线的方向向量与平面内一直线的方向向量平行，则线面平行；如果两平面α与β的法向量平行，则α∥β。 例3 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，E 、 F 分别是棱B 1C 1、C 1D 1的中点。 求证：（1）E 、F 、B 、D 四点共面； （2）平面AMN ∥平面BDFE 。 证明：以D 为原点，DC 、DA 、DD 1为x 、y 、z 轴， 设正方体棱长为1，则 A(1,0,0), M(1,21,1), N(21,0,1), E(21F(0, 2 1 ,1) （1）)0,1,1(),0,,(1 1=--=DB EF ∴2-= ，即E 、F 、B 、D 四点共面。 （2）)1,,0(),0,,(),1,,0(21212121--=--== 设),,(z y x n =是平面BDFE 的一个法向量，则 ???-==????? ?=?=?z y z x DF n 220 0 ∴可取)1,2,2(-=是平面BDFE 的一个法向量。 易验证，0=?=?MA n MN n ，∴MA n MN n ⊥⊥, 。 即)1,2,2(-=n 也是平面AMN 的一个法向量，∴平面AMN ∥平面BDFE 。 4 空间向量与二面角计算 设二面角βα--l 的大小为θ，b a ,分别为两平面的法向量，则>=<-=b a ,πθ（如何选择要根据θ是锐角或钝角来决定）。运用二面角的向量计算公式，只凭坐标运算而不需添加辅助线，可轻松获解。 例4（2001年全国高考试题）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC=900，SA ⊥平面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=21 。 （1）四棱锥S —ABCD 的体积；（2）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值。 分析：易得AD ⊥平面SAB ，V S-ABCD =41。下面解决第（2）小题，它是一个“棱”没有完全给出的二面角问题，用向量法解决如下。 解：以AD 、AB 、AS 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B （0,1,0），C （1,1,0），D （2 1 ,0,0）， S （0,0,1）， ∴)1,0,(),0,1,(2 12 1 -== 。 ∵AD ⊥面SAB ，∴)0,0,(21=就是平面SAB 的一个法 向量。 设),,(z y x n =是平面SCD 的一个法向量，则 ???=-=??????=-=?=+=?x z x y z x SD n y x DC n 12121210 0 ，可取)1,1,2(-=n ， 计算得3 6 ,cos =>= n AD n ，∴2 2,tan >= < 。 依题意，所求二面角是锐角，因此，面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值为 2 2 。 5 空间向量与点面距离的计算 例5如图，直二面角E AB D --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EB AE =，F 为CE 上的点，且⊥BF 平面ACE ，求点D 到平面ACE 的距离。 解：容易知道，⊥AE 平面BCE ，知 BE AE ⊥，AEB Rt ?中，2=AB ，O 为AB 中点，故1=OE ，以O 为原点，射线OE 、 OB 、分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，如图所示。则)0,1,0(-A ，)0,0,1(E ， )2,1,0(C ，)0,1,1(=，)2,2,0(=， 设平面A C E 的一个法向量为),,(z y x n = ， 则??? ??=?=?0 0n n AE ???=+=+?0220z y y x ???=-=?x z x y y 令1=x ，则)1,1,1(-=n ，z AD //轴，故2=AD ，)2,0,0(=AD 点D 到平面ACE 的距离33 23 2||||==?=n n d . 6、运用平面的法向量计算直线与平面所成的角 例6、如图，在四棱柱ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，8，E 是PC 的中点，求直线EB 与底面ABCD 所成的角的大小。 解：令底面ABCD 是正方形的边长为a ，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 如图所示。则)0,,0(a C ，)0,,(a a B ，),0,0(a P ，)2 ,2,0(a a E ，所以),0,0(a DP =， )2 ,2,0(a a EB -=，易知DP 为平面的一个法向量，设直线EB 与底面ABCD 所成的 角的大小为α,异面直线EB 与DP 所成的角的大小为θ，则 αs i n 66 | |||cos == =DP EB θ，所以直线EB 与底面ABCD 所成的角的大小为6 6 arcs in 。 例题9 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，2=AB ， 1=AF ，M 是线段EF 的中点，求证：//AM 平面BDE 证明：以C 为原点，建立空间直角坐标 系， 如图所示。则)1,22 ,22(--=AM ，)1,0,2(-=，)0,2,2(-=， 设平面B D E 的一个法向量为 ),,(z y x n = ， 则? ????=+-=+-??????=?=?0220200y x z x n DE n ，令1=x ，则1=y ，2=z ，得)2,1,1(=n ，设直线AM 与平面BDE 所成的角的大小为θ，则 022|222 22|sin =+--= = θ 即AM 与平面BDE 所成的角为0，且直线AM 不在平面BDE 内，所以// AM 平面BDE 。 y A A 1 x 能力要求： 7、空间向量与点面距离的计算公式 点(x 0,y 0,z 0)到平面mx+ny+pz+q=0的距离公式为2 22000| |p n m q pz ny mx d +++++=，其中(m,n,p)为平面的一个法向量。运用法向量可使点到平面距离的求法程序化和简单化。 例7（2003年全国高考题）已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1的中点，点F 为BD 1的中点。 （1）证明EF 为BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离。 解：（1）建立如图直角坐标系，见例2，证略。 （2）设平面BDE 的方程是mx+ny+pz+q=0， 把D(0,0,0),B(1,1,0),E(0,1,1)代入得，m=p=-n ，p=0， ∴平面BDE 方程为x-y+z=0 。 故点D 1（0,0,2）到面BDE 的距离为： 3 323 | 200|= = +-d 。 8、运用平面的法向量，求异面直线间的距离。 例题8、 已知长方体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，21=AA ，求异面直线MN 与B A 1间的距离。 解：建立平面直角坐标系，如图所示，则 )0,0,0(A ，)2,0,0(1A ，)0,4,0(B ，)2,4,0(1B ，)0,4,3(C ，)0,4,3(D ，)0,2,3(M ，)1,4,0(N ， 所以)1,2,3(-=，)2,4,0(1-=A ， )2,2,3(1--=MA 设),,(z y x n = 且 n ⊥，n B A ⊥1，则 y ??? ??=?=?001n A n MN ???=-=++-?024023z y z y x ?????==?y z y x 234 ，令3=y ，则)6,3,4(=n ， 设向量1MA 在向量n 上的射影长为d ，则d 异面直线MN 与B A 1间的距离，则 616161 |6|||||1=-=?=n n MA d .，异面直线MN 与B A 1 间的距离为6161。 （五）归纳整理，整体认识 “通过本节课的学习，你有什么收获和体会？” 1、“向量法”的一般步骤。 2、“坐标法”和“向量法”解题优势：少做甚至不做辅助线。 （六）布置作业， 基本要求： 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正 确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A ．60° B ．90° C ．105° D ．75° 2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝ 4 1 1B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ） A ． 1715 B ． 21 C ．17 8 D ． 2 3 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A ． 1030 B ． 21 C ．15 30 D ． 10 15 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO = ，底边长AB =BD 和SC 之间的 距离（ ） A A 1 D C B B 1 C 1 图 A ． 5 15 B ． 5 5 C ． 5 5 2 D ． 10 5 5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ） A ． a 42 B ． a 82 C ．a 4 2 3 D ． a 2 2 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11AC D 间的距离 （ ） A ．6 3 B ． 3 3 C ． 3 3 2 D ． 2 3 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝ 2 1 PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值 （ ） A ．6 21 B ． 3 3 8 C ． 60 210 D ． 30 210 8．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱 21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ?的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值 （ ） A ．3 2 B ． 3 7 C ． 2 3 D ． 7 3 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱32 3 1= AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小 （ ） A ． 3 π B ． 6 π C ．65π D ． 3 2π 10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为 棱AB ，CD 的中点，G BD EF =?．则三棱锥11EFD B -的体积V （ ） A ．6 6 B ． 3316 C ．3 16 D ．16 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距 离 ． 12． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11A B 、CD 的中点，求 点B 到截面1AEC F 的距离 ． 13．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点， 点A 1到平面D B EF 的距离 ． 14．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线A E 与平 面AB C 1D 1所成角的正弦值 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）． 15．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角的大小 16．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点，求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC ． 17．（12分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值． 18．（12分）已知棱长为1的正方体A C 1，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 的中点． （1）求证：E 、F 、D 、B 共面； （2）求点A 1到平面的B DEF 的距离； （3）求直线A 1D 与平面B DEF 所成的角． 19．（14分）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点，求： （Ⅰ）D 1E 与平面BC 1D 所成角的大小； （Ⅱ）二面角D －BC 1－C 的大小； （Ⅲ）异面直线B 1D 1与BC 1之间的距离． 20．（14分）如图5：正方体AB CD-A 1B 1C 1D 1，过线段B D 1上一点P （P 平面A C B 1）作垂直于D 1B 的平面分别交过D 1的三条棱于E 、F 、G ． (1)求证：平面EFG ∥平面A C B 1，并判断三角形类型； (2)若正方体棱长为a ，求△EFG 的最大面积，并求此时EF 与B 1C 的距离． 参考答案 一、1．B ；2．A ；3．A ；4．C ； 分析：建立如图所示的直角坐标系，则 A ， B ， (C ， (D ，(0,0,2)S ． DB ∴= ，CS = ． 令向量(,,1)n x y = ，且,n DB n CS ⊥⊥ ，则0 n DB n CS ??=???=?? ， (,,1)0 (,,1)2)0x y x y ??=? ∴??=?? ，00x y x y +=???-+=??， x y ?=?∴??? (n ∴= ． ∴异面直线BD 和SC 之间的距离为： OC n d n ?= = = = 5．A ；分析： 11ABB A 为正方形，11A B AB ∴⊥，又平面1AB D ⊥平面11ABB A ，1A B ∴⊥面1AB D ，1A B ∴ 是平面1AB D 的一个法向量，设点C 到平面1AB D 的距离为d ，则 11AC A B d A B ?= = ． 6．B ；分析：建立如图所示的直角坐标系， 设平面11 AC D 的一个法向量(,,1)n x y = ，则1100n D A n D C ??=???=?? ，即(,,1)(1,0,1)0(,,1)(0,1)0x y x y ?=???=?1 1x y =-??? =-?， (1,1,1)n ∴=-- ，∴平面1A B C 与平面11AC D 间的距离 AD n d n ?= = 7．D ； ( )()( ). ,0,0,,0,,0,0. 0,0,. 1,0,,422OP ABC OA OC AB BC OA OB OA OP OB OP O OP z O xyz AB a A B C OP h P h D PC OD h PA ⊥==∴⊥⊥⊥-?????=? ? ?? ? ??????? =??∴=-= ? ??? 平面，，， ，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则 为的中点， 又Ⅰ,0,1... 2 h OD PA OD PA OD PAB ?-???? ∴=-∴∴ ， 平面∥∥ ( )2, , ,,cos ,sin cos ,PA a h OD PBC n OD n OD n OD n OD PBC OD n OD PBC θθ=∴=??∴= ? ?? ??=- ??∴??==?=??=∴ 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为， 则 与平面所成的角为Ⅱ 8．B ；解 以C 为坐标原点，C A 所在直线为x 轴，C B 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为z 轴，建立直角坐标系， 设a CB CA ==， A B C D C D 1 图 则 ）（0,0,a A ，）（0,,0a B ，）（2 ,0,1a A ，）（1,0,0D ∴ ）（1,2,2a a E ， ）（3 1 ,3,3a a G ， ） （32,6,6a a GE =，）（1,,0a BD -=， ∵ 点E 在平面AB D 上的射影是ABD ?的重心G ， ∴ ⊥平面AB D ， ∴ 0=?，解得 2=a ． ∴ ） （3 2 ,31,31=GE ， ）（2,2,21-=BA ， ∵ ⊥平面AB D ， ∴ 为平面AB D 的一个法向量． 由 3 2323 6 34| |||,cos 111= ?=?>= 3 7． 评析 因规定直线与平面所成角]20[π θ，∈，两向量所成角]0[πα，∈，所以用此 法向量求出的线面角应满足|2 | απ θ-=． 9．A ；取B C 的中点O ，连A O ．由题意 平面⊥ABC 平面11B BCC ，BC AO ⊥， ∴⊥AO 平面11B BCC ， 以O 为原点，建立如图6所示空间直角坐标系， 则 ）（323,0,0A ，）（0,0,23B ，）（0,0,29D ，）（0,323 ,231 B ， ∴ ）（323,0,29-=AD ， ）（0,323,31-=B ， ） （0,32 3 ,01=BB ， 由题意 ⊥1BB 平面AB D ， ∴ ） （0,323 ,01=BB 为平面AB D 的法向量． 设 平面D AB 1的法向量为 ),,(2z y x n =， 则 ?????⊥⊥B n n 122， ∴ ?????=?=?00122D B n n ， ∴ ?????=-=-03233032329y x z x ， 即 ????? == x z y x 332 3． ∴ 不妨设 )23,1,23(2=n ， 由 2 1232 3 32 3,cos 212121= ?= >= 评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神． （2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取)23,1,23(2--- =n 时，会算得2 1 ,cos 21->= 或取“补角”． 10．C ；解 以D 为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系， 则 )4,22,22(1B ， )4,0,0(1D ， )0,2,22(E ，)0,22,2(F ， ∴ ) 4,2,22(1-=D ， )4,22,2(1-=F D ， ) 0,22,22(11=B D ， 图10 ∴ 13 1226 2624| |||,cos 111111=?= ?>= 5,sin 11>= 5 262621,sin ||||211=???>= ?S EF D ， 设 平面EF D 1的方程为：0=+++D Cz By x ，将点F E D ,,1代入得 ?????=++=++=+022202220 4D B D B D C ， ∴ ?? ?? ???-== =2 32431D C B ， B A D C D 1 A 1 B 1 C 1 z y x E F G ∴ 平面EF D 1的方程为：02324 3 =-+ +z y x ，其法向量为 )243 , 1,1(=， ∴点1B 到平面EF D 1的距离5161 1==d ， ∴ 3 16 51653131111=??=??=?-d S V EFD EFD B 即为所求． 评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式 2 2 2 000| |C B A D Cz By Ax d +++ ++= 计算得到． （2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等． 二、 112，以1D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)D E = ，1(2,0,2)C B = ，设1D E 和1BC 公垂线段上的向量为(1,,)n λμ= ， 则 11 0n D E n C B ??=???=?? ，即 20 220 λμ+=?? +=?， 21 λμ=-?∴? =-?， (1,2,1) n ∴=-- ，又 11 (0,2,0) D C = ， 11D C n n ?∴== 1D E 和1BC 间的距离为 12． 3 6 分析：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则11(1,0,0),(0,,0),(1,,1)22 A F E ． 1(0,,1)2AE ∴= ，1 (1,,0)2 AF =- ； 设面1AEC F 的法向量为(1,,)n λμ= ， 则有：0,0n AE n AF ?=?= ， 1 02211102 λμλμλ?+=?=??∴???=-??-+=??， (1,2,1)n ∴=- ，又(0,1,0)AB = ，所以点B 到截面1AEC F 的距离为AB n AB n ?? = 13．1；解：如图建立空间直角坐标系， DB ＝（1，1，0） ，DF ＝（0， 2 1 ，1）， 1DA ＝（1，0，1） 设平面D B EF 的法向量为＝（x ，y ，z ），则有： n 0=?DB 即 x ＋y ＝0 0=? 2 1 y ＋z ＝0 令x ＝1, y =－1, z= 21, 取＝（1，－1，21 A 1到平面D B EF 的距离1== h 14． 5 10 解：如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0） ，1AD ＝（－1，0，1），AE ＝（0，2 1 ，1） 设平面AB C 1D 1的法向量为n ＝（x ，y ，z ）, 由 0=? 可解得＝（1，0，1） 01=?AD n 设直线A E 与平面AB C 1D 1所成的角为θ，则5 10sin = =θ， 三、 15． 解：如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），A 1＝（0，1，－1） 设1n 、2n 分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量， 由 011=?A n 可解得1＝（1，1，1） 0111=?C A n 易知2n ＝（0，0，1）， 所以，= 3 3 所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角大小为a rccos 3 3 或 π－a rccos 3 3． 注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的 方向不同求 小． 16．证明：如图建立空间直角坐标系， 则11C A ＝（－1，1，0），C B 1＝（－1，0，－1） A 1＝（1，0，1）， B 1＝（0，－1，－1） 设111C A A λ=，A A 11μ=，B B 11ν=（λ、 μ、 νR ∈，且均不为0） 设1n 、2n 分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量， 由 011=?A n 可得 0111=?C A n λ 即 0111=?C A n 011=?A n 011=?A n μ 011=?A n 解得：1＝（1，1，－1） 由 012=?B n 可得 012=?B n ν 即 012=?B n 012=?C B n 012=?C B n 012=?C B n 解得2n ＝（－1，1，－1），所以1n ＝－2n ， 1n ∥2n ， 所以平面A 1EF ∥平面B 1MC ． 注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用1n ⊥ 2n 021=??n n 来证明． 17．（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ．∴AB ⊥平面PAD ．又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE ，故BE ⊥PD ． （2）解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系， 则点C 、D 的坐标分别为（a ，a ，0），（0，2a ，0）． ∵PA ⊥平面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA =30°． 于是，在Rt △AED 中，由AD =2a ，得AE =a ．过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △ AFE 中，由AE =a ，∠EAF =60°，得AF = 2 a ，EF =23a ，∴E （0，23,21a a ） 于是，a a },2 3 , 21 ,0{=={－a ，a ，0} 设AE 与CD 的夹角为θ，则由 cos θ| |||CD AE CD AE ?420 )()2 3()21(00 23 21)(02 22222=++-?++?+?+-?a a a a a a a a AE 与CD 所成角的余弦值为 4 2 ． 评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段． 18．解：（1）略． （2）如图，建立空间直角坐标系D —xyz , 则知B （1，1，0），).1,21 ,0(),1,1,21(F E 设.),,(的法向量是平面BDEF z y x n = )1,21 ,0(),0,1,1(,,==⊥⊥由 得?? ???=+=?=+=?021 0z y y x 则? ????-=-=.21y z y x 令)2 1 ,1,1(,1--==n y 得． 设点A 1在平面B DFE 上的射影为H ，连结A 1D ，知A 1D 是平面B DFE 的斜线段． .2 3 )21)(1(10)1)(1(),1,0,1(1=--+?+--=?∴--=n AD D A . 12 2 2,cos ||||. 22 23223 ||||,cos , 2 3 )21(1)1(||,2)1()1(||111111112222221=?>==<∴=-++-==-++-=A A A A n D A A A O A 又 即点A 1到平面B DFE 的距离为1． （3）由（2）知，A 1H=1，又A 1D=2，则△A 1HD 为等腰直角三角形， 4511=∠=∠H DA DH A . 45,,,11111 =∠∴∠∴⊥DH A BDFE D A DH A BDFE D A HD BDFE H A 所成的角与平面就是直线上的射影在平面是平面 19．解：建立坐标系如图，则()2,0,0A 、()2,2,0B ，()0,2,0C ， ()12,0,2A ，()12,2,2B ，()10,0,2D ，()2,1,0E ，( 1A C = ()12,1,2D E =- ，()0,2,0AB = ，()10,0,2BB = ． （Ⅰ）不难证明1AC 为平面BC 1D 的法向量， ∵ 111111cos ,A C D E A C D E A C D E == ∴ D 1E 与平面BC 1D 所成的角的大小为 2π-（即． （Ⅱ）1 AC 、AB 分别为平面BC 1D 、BC 1C 的法向量， ∵ 111cos ,A C AB A C AB A C AB == ，∴ 二面角D －BC 1－C 的大小为． （Ⅲ）∵ B 1D 1∥平面BC 1D ，∴ B 1D 1与BC 1之间的距离为111 AC BB d AC == ． 20．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF ∥A C ，EG ∥B 1C ，FG ∥AB 1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．) (1)分析：要证平面EFG 平面A C B 1，由题设知只要证B D 1垂直平面A C B 1即可． 证明：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a ，则A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），D 1（0，0，a ），B 1（a ，a ，a ），E （x E ，0，a ），F （0，y F ，a ），G （0，0，z G ）． ∴→ 1BD =（－a ，－a ，a ），→ 1AB =（0，a ，a ），→EF （－x E ，y F ，0），→ AC =（－a ， a ，0），→ C B 1=（－a ，0，－a ）， ∵→ 1BD ·1→ AB =(－a ，－a ，a )·(0，a ，a )=0， ∴→1BD ⊥→ 1AB ， 同理 → 1BD ⊥→ AC ， 而→ 1AB 与→AC 不共线且相交于点A ， ∴→ 1BD ⊥平面A C B 1，又已知→ 1BD ⊥平面EFG ， ∴ 平面EFG ∥平面A C B 1； 又因为→ 1BD ⊥平面EFG ，所以 → 1BD ⊥→ EF ， 则→ 1BD ·→ EF =0， 即 (－a ，－a ，a )·(－x E ，y F ，0)=0， 化简得 x E －y F =0； 同理 x E －z G =0, y F －z G =0， 易得 → EF =→ EF =→ FG ， ∴ △EFG 为正三角形． (2)解：因为△EFG 是正三角形，显然当△EFG 与△A 1C 1D 重合时，△EFG 的边最长，其面积也最大，此时，EF =A 1C 1=2·a ， ∴EFG S ?= D C A S 11? =2 1 → →D A C A 111··sin600 =2 1 (2·a )2·23 = 2 3 ·a 2 ． 此时EF 与B 1C 的距离即为A 1C 1与B 1C 的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B 1到平面 A 1C 1D 的距离，记A 1C 1与B 1D 1交于点O 1，作O 1H ∥D 1B 并交BB 1 于点H ，则O 1H ⊥平面A 1C 1D ，垂足为O 1，则O 1(2a ，2a ，a )，H(a ，a ，2 a )，而→ H O 1作 为平面A 1C 1D 的法向量， 所以异面直线EF 与B 1C 的距离设为d 是 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量 利用空间向量求空间角 一、高考考纲要求： 能用向量方法解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题．体会向量法在立体几何中的应用． 二、命题趋势： 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角、面面角的计算，属中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多. 三、教学目标 知识与技能：能用向量法熟练解决异面直线的夹角、线面角、面面角的计算问题，了解向量法在研究立体几何问题中的应用； 过程与方法：通过向量这个载体，实现“几何问题代数化”的思想，进一步发展学生的空间想象能力和几何直观能力； 情感态度价值观：通过数形结合的思想和方法的应用，进一步让学生感受和体会空间直角坐标系，方向向量，法向量的魅力. 四、教学重难点 重点：用向量法求空间角——线线角、线面角、二面角； 难点：将立体几何问题转化为向量问题. 五、教学过程 （一）空间角公式 1、异面直线所成角公式：如图，设异面直线l ，m 的方向向量分别为a r ,b r ,异面直线l ，m 2、线面角公式：设直线l 为平面α的斜线，a r 为l 的方向向量，n r 为平面α的法向量，θ为 l 与α所成的角，则sin cos ,a n θ==r r a n a n ?r r r r . 3、面面角公式：设1n r ，2n r 分别为平面α、β的法向量，二面角为θ，则12,n n θ=r r 或 12,n n θπ=-r r （需要根据具体情况判断相等或互补） ，其中121212 cos ,n n n n n n ?=r r r r r r . α θ O n r a （二）典例分析 如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=o ，SO ⊥面OABC ，且 1,2OS OC BC OA ====.求： （1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ， (2,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)S ， 于是我们有(2,0,1)SA =-u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，(1,1,0)OB =u u u r ，(0,0,1)OS =u u u r ， （1）cos ,5SA OB SA OB SA OB ?== =u u r u u u r u u r u u u r u u r u u u r ， 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为5 . （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =r ， 则0,0, n AB n SA ??=???=??r u u u r r u u r ，即0,20.x y x z -+=??-=? 取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =r ， sin cos ,3OS n OS n OS n α?∴=== =u u u r r u u u r r u u u r r . （3）由（2）知平面SAB 的法向量1(1,1,2)n =u r ， 又OC ⊥Q 平面AOS ，OC ∴u u u r 是平面AOS 的法向量， 令2(0,1,0)n OC ==u u r u u u r ，则有121212 cos ,n n n n n n ?== =u r u u r u r u u r u r u u r . ∴二面角B AS O --O A B C S 山空间向量的综合应用（2） 1．直三棱柱111C B A ABC -中，?=∠90ACB ，a AA AC ==1，则点A 到平面BC A 1的距离是 A.a B.a 2 C.a 22 D.a 3 2．在ABC ?中，15=AB ，?=∠120BCA ，若ABC ?所在平面α外一点P 到C B A ,,的距离都是14，则P 到α的距离是 A.13 B.11 C.9 D.7 3．将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这正四面体某顶点到其相对面的距离是 A. 36 B.35 C.33 D.3 2 4．已知111C B A ABC -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离 A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 2 2 5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 A ．63 B ．3 3 C ． 332 D ．2 3 6．在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，PA BC AB 2 1==，点D O ,分别是PC AC ,的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值 A ．621 B ．338 C ．60210 D ．30 210 7．已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AA AB ，4=AD ，E 为侧面1AB 的中心，F 为11D A 的中点．试计算： (1)1BC ED ?；(2) 1EF FC ?. 8．在平行四边形ABCD 中，1==AC AB ，?=∠90ACD ，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成?60角(见下图)．求B 、D 间的距离． 立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥． （3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议： 专题11.4 空间向量的应用（专题训练卷） 一、单选题 1．（2020·江苏如东 高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ） A ． 6 B ． 102 C ． 155 D ． 105 【答案】D 【解析】 以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1), 1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110 cos ,558 BC AC ∴<>= =?． ∴直线1BC 与平面11BB DD 10 故选：D ． 2．（2020·河北新华 石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A．1 6 B． 1 4 C． 1 6 -D． 1 4 - 【答案】A 【解析】 如图，以D为坐标原点，分别以1 ,, DA DC DD所在直线为,, x y z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()( )()() 1 100,012,121,002 M N O D ，，，，，，，，，∴()() 1 1,1,2,1,2,1 MN OD =-=--．则 1 1 1 1 cos, 6 66 MN OD MN OD MN OD ? === ?．∴异面直线 MN与 1 OD所成角的余弦值为 1 6 ,故选A． 3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（） A 6 B 26 C 15 D 10 【答案】D 【解析】 以D点为坐标原点，以DA、DC、1 DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0， 高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标： 2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F 空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= > 第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ， §3.1.1空间向量及加减其运算 【学情分析】： 向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。【教学目标】： （1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法 （2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法 （3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。 【教学重点】： 空间向量的概念和加减运算 【教学难点】： 空间向量的应用 四．练习巩 固 1．课本P86练习1-3 2．如图，在三棱柱1 11C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; （2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1 解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =-- 巩固知识，注意区别加 减法的不同处. 五．小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算 反思归纳 六．作业 课本P97习题3.1，A 组 第1题（1）、（2） 练习与测试： （基础题） 1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。 2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。 答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。 3．三个向量a,b,c 互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。 4．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; 空间向量在立体几何中的应用 1.如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为，过点作的垂线交侧棱于点，交于点．求证：平面；求与平面所成的角的正弦值． 2.如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，． 求证：； 求二面角的平面角的余弦值． 3.等边三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足（如图）．将 沿折起到的位置，使二面角 成直二面角，连结、（如图）． 求证：丄平面； 在线段上是否存在点，使直线与平面 所成的角为？若存在，求出的长；若不存在， 请说明理由．4.如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，平面．已知 ，． 证明：平面； 求异面直线与所成的角； 求与平面所成角的正弦值． 5.如图，平面，，，，，分别为，的中点．证明：平面； 求与平面所成角的正弦值． 6.如图，三棱柱中，，， ．证明； 若平面平面，，求直线与平面 所成角的正弦值． 7.如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．证明：平面； 设二面角为，求与平面所成角的大小． 8.如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且． 求证：平面；求直线与平面所成的角的大小； 求二面角的大小． 9.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面 ，，为中点．求证：直线平面； 求直线与平面所成角的大小； 求点到平面的距离．10.如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与所成角为，是的中点，是上的动点．证明：； 若，求直线与平面所成角的大小． 11.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．求证：；已知二面角的余弦 值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 12.已知平行四边形中，，，，是线段的中点．沿直线将翻折成，使得平面平面．求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值． A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2 1==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为 2 6． （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小； （2）若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值； （3）问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由． B 3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. （1）求证:AF//平面BCE; （2）求证:平面BCE⊥平面CDE; （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小. P-中,PD⊥底面ABCD,且底面4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD ABCD为正方形,G PD =分别为CB PC, ,的中点． = PD F ,2 E AD, , AP平面EFG; （1）求证:// （2）求平面GEF和平面DEF的夹角. H P G F E D C B 5．如图，在直三棱柱111AB C A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥； （Ⅱ）若直线AC 与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小. 6．如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，2AD PD EA ==，F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点． （1）求证：FG 平面PED ； （2）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小. 空间向量的应用教学设计 钟山中学徐玉学 一、教材内容分析： 在空间直角坐标系中引入空间向量，是解决立体几何中图形的大小及位置关系等问题的一种理想的代数工具，使我们能用代数的观点和方法解决几何问题，用精确计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度，提高学生的学习效率。 二、学生学情分析： 学生已经学习了空间向量的相关概念和性质，对空间向量知识有了一定的了解，所以课堂上可以多组织学生参与教学，通过自主探究主动发现应用空间向量解决距离问题的途径。但是由于学生对向量数量积的几何意义的理解并不透彻，所以在实际教学中需要多加启发和引导。 三、教学目标： （一）知识与技能 1.掌握空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离公式； 2.理解运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的方法。 （二）过程与方法 1.体验运用空间向量推导点到平面的距离和两平行平面的距离公式的过程； 2.体验运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的过程。 （三）情感态度与价值观 1.通过运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的学习过程，让学生体会立体几何问题代数化的转化思想，认识到运用空间向量解决立体几何问题的优越性。 2.培养学生理解和运用知识的能力以及代数运算能力。 a B O 'B 四、教学重点、难点 重点：运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离 难点：1.理解点到平面的距离与向量投影的关系； 2.转化思想的理解与运用。 五、教学策略 在学生已有知识的基础上，通过引导和启发，组织学生进行自主探究，在探究过程中建构起空间距离与空间向量的联系，达到利用空间向量解决距离问题的目的。 六、教学过程 （一）知识回顾 θ>=空间向量及其运算详细教案
利用空间向量求空间角教案设计
练习4-空间向量的综合应用51
空间向量与立体几何知识点
专题11.4 空间向量的应用(专题训练卷)(解析版)
高中数学-空间向量及向量的应用
空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)
用向量法求二面角的平面角教案
3.1空间向量及其运算第1课时完美版
空间向量的综合应用(学生用)
向量法求空间角(高二数学,立体几何)
空间向量的应用教学设计
利用向量法求空间角经典教案
- 《利用向量法求空间角》教案
- 用向量法求二面角的平面角教案
- 向量法求空间角
- 向量法求空间角(高二数学-立体几何)-精选.
- 利用向量法求空间角练习题
- 利用向量法求空间角经典教案
- 向量法求空间角(有答案)
- 利用空间向量求空间角教案设计
- 用向量法求空间角PPT优秀课件
- 利用向量法求空间角PPT精选文档
- 8-8立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离
- 利用空间向量解决立体几何的向量方法—解决空间角的问题
- 向量法求空间角、距离和二面角
- 向量法求空间角(高二数学,立体几何)
- 用向量法求空间角与距离
- 空间角的向量求法
- 向量法求空间角
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