《分式方程》
第1课时
教学目标
1、使学生理解分式方程的意义,会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.
2、培养学生自主探究的意识,提高学生观察能力和分析能力.
教学重难点
教学重点:理解分式方程的意义.
教学难点:会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.
教学过程
(一)问题情境导入
问题:轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同. 已知水流的速度是3千米/时,求轮船在静水中的速度.
(二)实践与探索1:分式方程的概念:
[分析]:
设轮船在静水中的速度为x 千米/时,根据题意,得
360380-=+x x
方程(1)有何特点?
[概括]方程(1)中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程. 提问:你还能举出一个分式方程的例子吗?
(三)实践与探索2:分式方程的解法
1、思考:怎样解分式方程呢?
为了解决本问题,请同学们先思考并回答以下问题:
1)回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的,从中能否得到一点启发?
2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢?
方程(1)可以解答如下:
方程两边同乘以(x +3)(x -3),约去分母,得80(x -3)=60(x +3).
解这个整式方程,得x =21.
所以轮船在静水中的速度为21千米/时
2、概括.
上述解分式方程的过程,实质上是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
3、例1、解方程:11-x =122-x .
3.4.3 分式方程(三) ●教学目标 (一)教学知识点 1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题. 2.用分式方程来解决现实情境中的问题. (二)能力训练要求 1.经历运用分式方程解决实际问题的过程,发展抽象概括、分析问题和解 决问题的能力. 2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意,寻找等量关系,建立数学模型. (三)情感与价值观要求 1.经历建立分式方程模型解决实际问题的过程,体会数学模型的应用价值,从而提高学习数学的兴趣. 2.培养学生的创新精神,从中获得成功的体验. ●教学重点 1.审明题意,寻找等量关系,将实际问题转化成分式方程的数学模型. 2.根据实际意义检验解的合理性. ●教学难点 寻求实际问题中的等量关系,寻求不同的解决问题的方法. ●教具准备 实物投影仪 投影片三张 第一张:做一做,(记作§3.4.3 A) 第二张:例3,(记作§3.4.3 B) 第三张:随堂练习,(记作§3.4.3 C) ●教学过程 Ⅰ.提出问题,引入新课 [师]前两节课,我们认识了分式方程这样的数学模型,并且学会了解分式方程. 接下来,我们就用分式方程解决生活中实际问题.
Ⅱ.讲授新课 出示投影片(§3.4.3 A ) [生]第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元. (1) [生]还有一个等量关系: 第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数. [师]根据“做一做”的情境,你能提出哪些问题呢?在我们的数学学习中,提出问题比解决问题更重要. 同学们尽管提出符合情境的问题. [生]问题可以是:每年各有多少间房屋出租? [生]问题也可以是:这两年每年房屋的租金各是多少? [师]下面我们就来先解决第一个问题:每年各有多少间房屋出租? [师生共析]解:设每年各有x 间房屋出租,那么第一年每间房屋的租金为x 96000元,第二年每间房屋的租金为x 102000元,根据题意,得 x 102000=x 96000+500 解这个方程,得x=12 经检验x=12是原方程的解,也符合题意. 所以每年各有12间房屋出租. [师]我们接着再来解决第二个问题:这两年每间房屋的租金各是多少? [生]根据第一问的答案可计算,得: 第一年每间房屋的租金为 1296000=8000(元), 第二年每间房屋的租金为12 102000=8500(元).
第一章三角形的证明 【单元分析】 本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续,在“平等线的证明”一章中,我们给出了8 条基本事实,并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。运用这些基本事实和已经学习过的定理,我们还可以证明有关三角形的一些结论。 在这之前,学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索,探索的同时也经历过一些简单的推理过程,已经具备了一定的推理能力,树立了初步的推理意识,从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础。 【单元目标】 1.知识与技能 (1)等腰三角形的性质和判定定理; (2)直角三角形的性质定理和判定定理; 2.过程与方法 (1)会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题; (2)直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题; 3.情感态度与价值观 (1)经历由情景引出问题,探索掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学数学、用数学的意识与能力; (2)感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。 【单元重点】 在证明过程中,进一步感受证明过程,掌握推理证明的基本要求,明确条件和结论,能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 【单元难点】 明确推理证明的基本要求如明确条件和结论,能否用数学语言正确表达等。 【教学思路】 1.对于已有命题的证明,教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程,从中获取严格证明的思路;对于新增命题,教学过程中要重视学生的探索、证明过程,关注该命题与其他已有命题之间的关系;对于整章的命题,注意关注将这些命题纳入一个命题系统,关注命题之间的关系,从而形成对相关图形整体的认识。 2.对于证明的方法,除了注重启发和回忆,还应注意关注证明方法的多样性,力图通过学生的自主探索,获得多样的证明方法,并在比较中选择适当的方法。 3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法,如转化、归纳、类比等。 4.作为初中阶段几何证明的最后阶段,教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求,掌握规范的证明表述过程,达成课程标准对证明表述的要求。
第十六章分式 教材分析 本章的主要内容包括:分式的概念,分式的基本性质,分式的约分与通分,分式的加、减、乘、除运算,整数指数幂的概念及运算性质,分式方程的概念及可化为一元一次方程的分式方程的解法。 全章共包括三节: 16.1 分式 16.2 分式的运算 16.3 分式方程其中,16.1 节引进分式的概念,讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形,是全章的理论基础部分。11.2节讨论分式的四则运算法则,这是全章的一个重点内容,分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点,克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数,这给运算带来便利。11.3节讨论分式方程的概念,主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质,并且出现了必须检验(验根)的环节,这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程,是本章教学中的另一个难点,克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。 分式是不同于整式的另一类有理式,是代数式中重要的基本概念;相应地,分式方程是一类有理方程,解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而,分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型,它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。 (二)本章知识结构框图 (三)课程学习目标 本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点: 1.以描述实际问题中的数量关系为背景,抽象出分式的概念,体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。 2.类比分数的基本性质,了解分式的基本性质,掌握分式的约分和通分法则。 3.类比分数的四则运算法则,探究分式的四则运算,掌握这些法则。 4.结合分式的运算,将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数,构建和发展相互联系的知识体系。 5.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想。 (四)课时安排 本章教学时间约需13课时,具体分配如下: 16.1 分式2课时16.2 分式的运算6课时 16.3 分式方程3课时数学活动小结3课时
分式方程教学设计 一、教学内容分析:本节“分式方程”是人教版八年级下册第16章第3节的内容,是继一元一次方程,二元一次方程组之后,初中阶段所讲授的又能一种方程的解法。本节课是在继分式的内容及分式的四则混合运算之后所讲述的一个内容,其实际上就是分式与方程的综合。因此本节课可以看作是一个综合课,同时分式方程的解法也是初中阶段的一个重点内容,要求学生必须掌握。 二、学情分析:在学习本章之前,学生已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二元一次方程组),他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路(使方程逐步化为x=a 的形式)已经比较熟悉,而分式方程的未知数在分母中,它的解法比以前学过的方程复杂,需通过转化思想,化分式方程为整式方程。 三、教学目标: 1、明确什么是分式方程?会区分整式方程与分式方程。 2、会解可化为一元一次方程的分式方程。 3、知道分式方程产生增根的原因,并学会如何验根。 四、教学重点:分式方程的解法。 教学难点:理解分式方程可能产生增根的原因。 五、教学流程 1、忆一忆
(1)什么叫方程?什么叫方程的解? (2)什么叫分式? (3)结合具体例子说出解一元一次方程的步骤。 设计意图:让学生由旧知识的回忆自然引出新知识便于学生理解接受。 2x-(x-1)/3=6 3x/4+(2x+1)/3=0 2、猜一猜 板书课题“分式方程”,让学生猜一猜其概念,结合分式和方程的特点学生易得出:分母中含有未知数的方程叫分式方程。 设计意图:采用这种形式引入今天的话题,让学生觉得不是在上数学,而象是在拉家常,让学生没有负担,另外,学生在前面的回忆的基础上很容易猜出来分式方程的概念。这样使学生感受到数学的简单,从而树立学好数学的信心。 3、辨一辨 判断下列方程是不是分式方程,并说出为什么? 1/(x-2)=3/x x(x-1)/x=-1 (3-x)/=x/2 2x+(x-1)/5=10 3/x=2/(x-3) (2x+1)/x+3x=1 指出:分式方程与整式方程的区别(分母中含不含未知数) 设计意图:学生说出来了分式方程的概念还远远不够,通过这道题使学生更进一步的巩固分式方程的概念。
北师大版八年级上册教学案 同庆初中教学设计 (导学模式) 学科:; 任课班级:; 任课教师:; 年月日 第一章勾股定理 §1.1 探索勾股定理(一) 教学目标: 1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程,进一步发展学生的合情推力意识,主动探究的习惯,进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 2、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系,进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力。 重点难点: 重点:了解勾股定理的由来,并能用它来解决一些简单的问题。 难点:勾股定理的发现 教学过程 一、创设问题的情境,激发学生的学习热情,导入课题 出示投影1 (章前的图文 p1)教师道白:介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献,并结合课本p5谈一谈,讲述我国是最早了解勾股定理的国家之一,介绍商高(三千多年前周期的数学家)在勾股定理方面的贡献。 出示投影2 (书中的P2 图1—2)并回答: 1、观察图1-2,正方形A中有_______个小方格,即A的面积为______个单位。正方形B中有_______个小方格,即A的面积为______个单位。 正方形C中有_______个小方格,即A的面积为______个单位。 2、你是怎样得出上面的结果的?在学生交流回答的基础上教师直接发问: 3、图1—2中,A,B,C 之间的面积之间有什么关系? 学生交流后形成共识,教师板书,A+B=C,接着提出图1—1中的A.B,C 的关系呢? 二、做一做 出示投影3(书中P3图1—4)提问: 1、图1—3中,A,B,C 之间有什么关系? 2、图1—4中,A,B,C 之间有什么关系?
以三角形两直角边为边的正方形的面积和,等于以斜边的正方形面积。 三、议一议 1、图1—1、1— 2、1— 3、1—4中,你能用三角形的边长表示正方形的面积吗? 2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗? 在同学的交流基础上,老师板书: 直角三角形边的两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理” 也就是说:如果直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c 那么2 2c 2 a= + b 我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾,较长的为股,斜边为弦,这就是勾股定理的由来。 3、分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形,并测量斜边的长度(学生测量后回答斜边长为13)请大家想一想(2)中的规律,对这个三角形仍然成立吗?(回答是肯定的:成立) 四、想一想 这里的29英寸(74厘米)的电视机,指的是屏幕的长吗?只的是屏幕的款吗?那他指什么呢? 五、巩固练习 1、错例辨析: △ABC的两边为3和4,求第三边 解:由于三角形的两边为3、4 所以它的第三边的c应满足2 24 2 c=25 = 3+ 即:c=5 辨析:(1)要用勾股定理解题,首先应具备直角三角形这个必不可少的条件,可本题 △ABC并未说明它是否是直角三角形,所以用勾股定理就没有依据。 (2)若告诉△ABC是直角三角形,第三边C也不一定是满足2 2 2c a= +,题目中并为 b 交待C 是斜边 综上所述这个题目条件不足,第三边无法求得。 2、练习P7 §1.1 1 六、作业 课本P7 §1.1 2、3、4 §1.1 探索勾股定理(二) 教学目标: 1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程,在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。 2.掌握勾股定理和他的简单应用 重点难点: 重点:能熟练运用拼图的方法证明勾股定理 难点:用面积证勾股定理 教学过程
初中数学《分式方程》教案 3.4分式方程(第1 课时) 教学目标 1.经历分式方程的概念,能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,体会分式方程的模型作用. 2.经历实际问题-分式方程方程模型的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想人体,培养学生的应用意识。 3.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值. 教学重点: 将实际问题中的等量关系用分式方程表示 教学难点: 找实际问题中的等量关系 教学过程: 情境导入: 有两块面积相同的小麦试验田,第一块使用原品种,第二块使用新品种,分别收获小麦9000 kg和15000 kg。已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000 kg,分别求这两块试验田每公顷的产量。你能找出这一问题中的所有等量关系吗?(分组交流) 如果设第一块试验田每公顷的产量为kg,那么第二块试验田每公顷
的产量是________kg。 根据题意,可得方程___________________ 二、讲授新课 从甲地到乙地有两条公路:一条是全长600 km的普通公路,另一条是全长480 km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45 km/h,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。 这一问题中有哪些等量关系? 如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间为h,那么它由普通公路从甲地到乙地所需的时间为_________h。 根据题意,可得方程_ _____________________。 学生分组探讨、交流,列出方程. 三.做一做: 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元,第二次捐款总额为5000元,第二次捐款人数比第一次多20人,而且两次人均捐款额恰好相等。如果设第一次捐款人数为人,那么满足怎样的方程? 四.议一议: 上面所得到的方程有什么共同特点? 分母中含有未知数的方程叫做分式方程
八年级上册分式方程应用题分类讲解与训练 一、【行程中的应用性问题】 例1 甲、乙两个车站相距96千米,快车和慢车同时从甲站开出,1小时后快车在慢车前12千米,快车比慢车早40分钟到达乙站,快车和慢车的速度各是多少? 分析: 等量关系:慢车用时=快车用时+ (小时) 例2 甲、乙两地相距828km ,一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地,直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍.直达快车比普通快车晚出发2h ,比普通快车早4h 到达乙地,求两车的平均速度. 分析:这是一道实际生活中的行程应用题,基本量是路程、速度和时间,基本关系是路程= 速度×时间,应根据题意,找出追击问题总的等量关系,即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等. 解:设普通快车车的平均速度为x km /h ,则直达快车的平均速度为1.5x km /h ,依题意,得 x x 6828-=x 5.1828 ,解得46x =, 经检验,46x =是方程的根,且符合题意. ∴46x =,1.569x =, 即普通快车车的平均速度为46km /h ,直达快车的平均速度为69km /h . 评析:列分式方程与列整式方程一样,注意找出应用题中数量间的相等关系,设好未知数,列出方程.不同之处是:所列方程是分式方程,最后进行检验,既要检验其是否为所列方程的解,要要检验是否符合题意,即满足实际意义. 例3 A 、B 两地相距87千米,甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去,经过30分钟后,乙骑自行车由B 地出发,用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来,两人在距离B 地45千米C 处相遇,求甲乙的速度。 分析: 等量关系:甲用时间=乙用时间+ (小时) 例4 一队学生去校外参观.他们出发30分钟时,学校要把一个紧急通知传给带队老师,派一名学生骑车从学校出发,按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍行进速度的2倍,这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米,问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间? 解: 设步行速度为x 千米/时,骑车速度为2x 千米/时,依题意,得: 603060
1.1 不等关系 教学目的和要求: 理解不等式的概念,感受生活中存在的不等关系 教学重点和难点: 重点: 对不等式概念的理解 难点: 怎样建立量与量之间的不等关系。 从问题中来,到问题中去。 1. 如图1-1,用用根长度均为l ㎝的绳子,分别围成一个正方形和圆。 (1)如果要使正方形的面积不大于25㎝2,那么绳长l 应满足怎样的关系式? (2)如果要使圆的面积大于100㎝2,那么绳长l 应满足怎样的关系式? (3)当l =8时,正方形和圆的面积哪个大?l =12呢? (4)改变l 的取值再试一试,在这个过程中你能得到什么启发? 分析解答:在上面的问题中,所围成的正方形的面积可以表示为2 )4 (l ,圆的面积可以表示 为2 2?? ? ??ππl 。 (1) 要使正方形的面积不大于25㎝2,就是 25)4 (2 ≤l ,即25162≤l 。 (2) 要使圆的面积大于100㎝2,就是 2 2?? ? ??ππl >100, 即 π 42 l >100 (3) 当l =8时,正方形的面积为)(41682 2cm =,圆的面积为)(1.54822cm ≈π ,
4<5.1,此时圆的面积大。 当l =12时,正方形的面积为)(916122 2cm =,圆的面积为)(5.1141222cm ≈π , 9<11.5,此时还是圆的面积大。 (4) 不论怎样改变l 的取值,通过计算发现:总是圆的面积大,因此,我们可以猜想, 用长度增色为l ㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆,无论l 取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即 π42l >16 2 l 2. (1)通过测量一棵树的树围(树干的周长)可能计算出它的树龄,通常规定以树干 离地面1.5m 的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为5㎝,以后树围每年增加约3㎝,这棵树至少要生长多少年其树围才能超过2.4m ?(只列关系式) (2)燃放某种礼花弹时,为了确保安全,人在点燃导火线后要在燃放前转移到10m 以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度为0.2m/s ,人离开的速度为4m/s ,导火线的长度x (m )应满足怎样的关系式? 答案:(1)设这棵树生长x 年其树围才能超过2.4m ,则5+3x >240。 (2)人离开10m 以外的地方需要的时间,应小于导火线燃烧的时间,只有这样才能保证人的安全: 410<2 .0x 分析巩固练习: 用不等式表示: (1) a 的相反数是正数; (2) m 与2的差小于3 2; (3) x 的 3 1 与4的和不是正数; (4) y 的一半与x 的2倍的和不小于3。 解答:(1)a 的相反数是-a ,正数是比零大的数,所以“a 的相反数是正数”就是-a >0; (2)“m 与2的差”就是m-2,“ 差小于 32”即是m-2<3 2 ; (3)“x 的31”就是31x ,“x 的31与4的和不是正数”就是3 1 x+4≤0; (4)“y 的一半”不是2 1 y,“x 的2倍”就是2x ,“不小于3”即指大于或等于3,故 “y 的一半与x 的2倍的和不小于”就是2 1 y+2x ≥3。
15 . 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1.了解分式的概念,知道分式与整式的区别和联系. 2.了解分式有意义的含义,会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件. 3.理解分式的值为零、为正、为负时,分子分母应具备的条件. 教学重点 分式的意义. 教学难点 准确理解分式的意义,明确分母不得为零. 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者:) 教学过程设计 一、创设情景,明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h,它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间, 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等.江水的流速是多少? 提示:顺流速度=水速+静水中的速度;逆流速度=静水中的速度-水速. ● 自主学习指向目标 1.自学教材第 127 至 128 页. 2.学习至此:请完成《学生用书》相应部分. 三、合作探究,达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一:阅读教材思考问题:式子a ,S以及式 子20+ v 和 20- v 有什么共同特点?它们与 分数有什么相同点和不同点? 展示点评:如果 A,B 表示两个 ________( 整式 ) ,并且 B 中含有 ________( 字母 ) ,那么式A 子B叫做分式.
小组讨论:如何判断一个式子是否为分式?分式与整式有什么区别?