第二章.离散信息的度量

第二章

习题：

2．1． 同时抛掷一对质地均匀的骰子，骰子朝上面的点数称做骰子的点数，求

1）“3点与5点同时发生”事件的自信息；

2）“两个1点同时发生”事件的不确定性；

3）“至少有1个1点”事件所提供的信息量；

4）“两个点的和为5”事件所提供的信息量。

2．2． 某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高 1米6以上的，而 女孩中身高1米6以上的占总数的一半。假如我们得知“身高1米6以上的某女 孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？

2． 3. 一副充分洗乱了的牌（52张），问

1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？

2) 若从中抽出13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量？

2． 4. 一个汽车牌照编号系统使用3个字母后接3个数字作代码，问一个牌照所提供的 信息量是多少？如果所有6个符号都用字母数字做代码，问一个牌照所提供的信 息量是多少？假定有26个字母，10个数字。

2． 7. 给定一概率分布12,,,)n p p p （和一个整数,0m m n ≤≤，定义，

01m m j j q p ==-∑，证明 11(,)(,,,)log()n n m m H p p H p p q q n m ≤+- ，

何时等式成立？

2． 8. 设随机变量集合,X Y ，其中12{,,}n X a a a = ，()X M M P X a P α===，

求证：()log (1)log(1)(1)log(1)H X M ααααα≤----+--，并确定等式成

立条件。

2． 9. 已知随机变量X 、Y 的联合概率分布为P XY (a k ,b j )，满足：P X (a 1)=1/2, P X (a 2) = P X (a 3)=1/4, P Y (b 1)=2/3, P Y (b 2) = P Y (b 3) =1/6， 试求能使H （XY ）取最大值的XY 的联合概率分布。

2． 10. 设X 和Y 是两个随机变量集合，其值取自于一个有限群，定义Z Y X =-， 证明： (/)()H X Y H Z ≤；如果X 和Y 是独立的，证明：(/)()H X Y H Z =

2．11. 有两个离散随机变量集合,X Y ，和为Z X Y =+，若,X Y 相互独立，求证 1）()()H X H Z ≤；2）()()H Y H Z ≤；3）()()H X Y H Z ≥。

2．12. 三离散随机变量,,X Y Z ，求证

1）()()(/)(;/)H X Y Z H X Z H Y X I Z Y X =+-；

2）()()()()H X Y Z H X Y H X Z H X =+-。

2. 1

3. 两随机变量集合,X Y ，联合概率为

0 1

0 1

0 1/8 3/8

1 3/8 1/8

=?（一般乘积），试计算

Z X Y

1）),),(),(),(),()

（（，

H X H Y H Z H X Z H Y Z H X Y Z

2）/),/),(/),(/),(/),(/)

（（，

H X Y H Y X H X Z H Z X H Y Z H Z Y

（；

H X Y Z H Y X Z H Z X Y

/),(/),(/)

3）;),),(;),(/),(;/),(;/)

I X Y I I Y Z I X Y Z I Y Z X H X Z Y

（（X;Z。

2．15. 设信源X的符号集为{0，1，2}，其概率分布为：P X(0)=1/4, P X(1)=1/4, P X(2)=1/2，每个信源符号通过两个信道同时传输，输出分别为Y、Z ，两信道转移概率如图所

示；

x P(y/x) y x P(z/x) z

0 0 0

1 1 1

2

求：1）H(X) ,H(Y) ,H(Z) ,H(YZ)；

2) I(X；Y), I(X；Z)；

3) I(X；Y/ Z), I(X；YZ)。

2．16.某城市天气情况与气象预报分别看成包含{雨，无雨}的随机变量集合X和Y，且X与Y的联合概率为：P（雨，雨）=1/8，P（雨，无雨）=1/16，P（无雨，雨）

=3/16，P（无雨，无雨）=10/16；（1）求气象预报的准确率；（2）求气象预报所

提供的关于天气情况的平均互信息I（X；Y）；（3）如果天气预报总是预报“无雨”，

求此时气象预报的准确率以及气象预报所提供的关于天气情况的平均互信息I

（X；Y）；（4）以上两种情况相比，哪种情况天气预报准确率高？从信息论的观点

看，哪种情况下的天气预报有意义？

讨论题：进一步思考信息熵和热熵的本质联系和区别

思考题

2.1：“太阳从东边出来”，“行星撞地球”，“太阳从西边出来”，这样的几个事件如果发生提

供的信息量有什么不同？用实例说明为什么用概率的对数函数定义事件的自信息。

2.2试分析条件自信息)

(y

x

I的区别？

;

I和互信息)

|

(y

x

2.3盒中有12个外形相同的硬币。知道其中有一个重量不同的假币，但不知是比真币轻，

还是比真币重。现用一无砝码天平对现有硬币进行称重来鉴别假币，无砝码天平的称重有3种结果：平衡，左倾、右倾。如何用3次称重鉴别出假币并判断出轻或重？

2.3 一个“20问题”游戏允许被测试者提出20个问题对另一个测试者的职业进行提

问，要求每个问题必须用“是”或“否”来回答。假定存在15

2可能的职业；

1) 一个测试者可能有的关于另一个测试者的最大的不确定性；

2) 得知对一个问题的答案为“是”或“否”后，不确定性的最大变化如何？

3) 确定一个总是能够确定正确职业的算法，该算法需要回答多少问题？

2.4 熵函数(,1)

，当p接近0或 1 时，斜率变成无限大，试问对于m个事

H p p

件的熵是否有类似的论断？解释原因。

度量的解释及造句

度量的解释及造句 本文是关于度量的解释及造句，感谢您的阅读！ 度量拼音 【注音】：duliang 度量解释 【意思】：指能宽容人的限度：他脾气好，～大，能容人。有时也作肚量。 度量造句： 1、我们如何度量我们的成功？ 2、在这个例子中，组件本身提供了度量。 3、那么，您如何管理并度量面向您的企业的IT治理解决方案的有效性呢？ 4、我们只执行一种度量！ 5、所有的这些模型现在仍被用于一些度量。 6、不考虑您是怎样维持您的项目计划的，这个度量是十分容易计算的。 7、第三，考虑将监视这些应用程序的通信量作为度量性能的一种工具。 8、因此留下的疑问是：您怎样知道去度量什么? 9、这个测试度量该特性如何处理由大型数据库引起的负载。 10、他们用自己度量自己，用自己比较自己，乃是不智的。 11、知道过程中的什么决策是关键的，以及什么时候制定它们，

并且了解需要将什么度量作为那些决策的输入，这些是治理的全部。 12、您度量生产力吗？ 13、您如何有效地度量突出的最高优先权缺陷的数量？ 14、我前面提到了吞吐量和页面速率如何为您将要运行的许多性能测试提供一致的度量。 15、然后，父容器使用这些属性度量它本身。 16、因此，关键的评估需求是其中一个度量，并且这应该是此阶段测试人员主要的目标。 17、对于每个度量，MC定义定义了更新其值的一个或多个映射。 18、您如何能够可靠地度量并比较组件或项目？ 19、如果你需要一个新的度量，你首先需要更新或者改变你的过程。 20、这个场里没有旋度，旋度是不度量拉伸之类的东西的。 21、如果您不能指定要采取的行动，那么为什么要度量？ 22、每个维必须使用来自度量对象的一个聚合函数进行聚合。 23、您如何可以度量业务过程和功能的性能或状态？ 24、这个度量显示针对目标的进展。 25、他甚至要求她在睡觉时也戴着这块手表，他说：因为这块手表度量着爱的时刻。 26、一些需求是非可测试的，因为他们是主观的，或者不是有助于度量或量度的。 27、所有这些之所以成为可能，是因为具备定向和度量的能力。

怎样计算离散度

离散度-如何反应一组数据的离散程度 在EXCEL中用STDEV求标准差，用A VERGE求平均值，在用标准差比上平均数即可，变异系数越小越稳定。 (2012-08-30 22:00:46) 转载▼ 标签：标准差离均差标准误平均值样本分类：数学物理，概率统计，机器学习 离散度 标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精确度的重要指标。说起标准差首先得搞清楚它出现的目的。我们使用方法去检测它，但检测方法总是有误差的，所以检测值并不是其真实值。检测值与真实值之间的差距就是评价检测方法最有决定性的指标。但是真实值是多少，不得而知。因此怎样量化检测方法的准确性就成了难题。这也是临床工作质控的目的：保证每批实验结果的准确可靠。 虽然样本的真实值是不可能知道的，但是每个样本总是会有一个真实值的，不管它究竟是多少。可以想象，一个好的检测方法，其检测值应该很紧密的分散在真实值周围。如果不紧密，与真实值的距离就会大，准确性当然也就不好了，不可能想象离散度大的方法，会测出准确的结果。因此，离散度是评价方法的好坏的最重要也是最基本的指标。一组数据怎样去评价和量化它的离散度呢?人们使用了很多种方法： 极差

最直接也是最简单的方法，即最大值－最小值（也就是极差）来评价一组数据的离散度。这一方法在日常生活中最为常见，比如比赛中去掉最高最低分就是极差的具体应用。 离均差的平方和 由于误差的不可控性，因此只由两个数据来评判一组数据是不科学的。所以人们在要求更高的领域不使用极差来评判。其实，离散度就是数据偏离平均值的程度。因此将数据与均值之差（我们叫它离均差）加起来就能反映出一个准确的离散程度。和越大离散度也就越大。但是由于偶然误差是成正态分布的，离均差有正有负，对于大样本离均差的代数和为零的。为了避免正负问题，在数学有上有两种方法：一种是取绝对值，也就是常说的离均差绝对值之和。而为了避免符号问题，数学上最常用的是另一种方法－－平方，这样就都成了非负数。因此，离均差的平方和成了评价离散度一个指标。 平均绝对偏差（是否可以交成：平均绝对方差？绝对差？），离均差平方求期望（即方差，即均差平方求期望，即均差平方和除以数量）是一个层面上的意思 方差（S2） 由于离均差的平方和与样本个数有关，只能反应相同样本的离散度，而实际工作中做比较很难做到相同的样本，因此为了消除样本个数的影响，增加可比性，将标准差（这里应该改为:离均差的平方）求平均值，这就是我们所说的方差成了评价离散度的较好指标。样本量越大越能反映真实的情况，而算数均值却完全忽略了这个问题，对此统计学上早有考虑，在统计学中样本的均差多是除以自由度（n-1)，它的意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。 标准差（SD） 由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。在统计学中样本的均差多是除以自由度

如何衡量数据的离散程度精编版

如何衡量数据的离散程 度精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】

如何衡量数据的离散程度 我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。常用的可以反映数据离散程度的统计量如下： 极差（Range） 极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差： 极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。 四分位距（interquartilerange，IQR） 我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征： 一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到： 如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。四分位距规避了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。 方差（Variance） 方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消： 方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。 标准差（StandardDeviation） 方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的： 基于均值和标准差就可以大致明确数据集的中心及数值在中心周围的波动情况，也可以计算正态总体的置信区间等统计量。

3 度量和计算

3 度量和计算 一、问题 ①我们用什么方法可以知道一条线段的长度？ ②如果不用直尺，怎么样才能去测量在几何画板里的一条线段的长度呢？ 教学内容 有一条线段，一个角和两个独立的点。 任务一：每个同学用几何画板里的工具去测量一下线段AB的长度。 提示：一条线段有三个对象，长度是计算线的长度，所以应该用箭头工具选择线段才能进行计算。 任务二：测量点C到点D的距离有多少？ 此时可以用选择工具选中点C和点D，然后选择“度量”菜单下的“距离”，即可测量出两点之间的距离。做一个比较，去测量一下点A到点B的距离。经过测量后，发现点A 到点B的距离和线段AB的长度是一样的。 任务三：测量一下这个角的角度是多少。 提示：一个角应该有5个对象组成，只需要按顺序选择三个点就可以计算角的度数。 回忆一下以前学过的几何知识，哪些性质是可以用我们今天学过的这几个工具去验证的，并且把它们用实际操作验证出来，得出结论。 如果实在想不起来，可以参考“课堂练习”中的提示，总结了几条性质，并列出来作为学生验证几何性质的例子。 课堂练习 1.角的内部，角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.直角三角形中，斜边上的中线长度等于斜边的一半。 3.等腰三角形底边上的两个角相等。 4.在同一个等腰三角形中，等边对等角。 5.勾股定理。（教材P30例2.9） 6.三角形三个内角和为180度。（教材P29例2.8） 7.等边三角形每个内角为60度。 8．直线与方程（教材P30例2.10） 二、度量 度量就是显示线段长度，我们在上面的例子已经接触了对线段和面积的度量，除了这两种度量外，其他的度量也非常容易掌握。而且，随着对象位置或大小的改变，这些度量值也自动改变。 对象的度量一般都是先选择需要度量的几何对象，然后用“度量”菜单里的相应命令。其中的“距离”命令既可以对两个点也可以对点到直线的距离进行度量。 我们以度量线段长度为例来介绍其操作步骤。 （1）选择需要度量的线段。 （2）在“显示”菜单中选择“参数选择”命令，即出现“对象参数的选择”对话框。 （3）根据需要设置有关参数，单击“确定”按钮关闭对话框。

离散数学 第2章 习题解答

第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x (是鸟 x F:) (会飞翔. G:) x x 命题符号化为 x F ?. G x→ ) ( )) ( (x (2)令x x (为人. F:) (爱吃糖 G:) x x 命题符号化为 x F x→ G ?? )) ( ) ( (x 或者 F x? x ∧ ? ) )) ( ( (x G (3)令x x (为人. F:) G:) (爱看小说. x x 命题符号化为 x F ?. G x∧ (x ( )) ( ) (4) x (为人. x F:) (爱看电视. G:) x x 命题符号化为 F x? ∧ ??. x G ( ) ( )) (x 分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的) F都是特性谓词。 (x 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 F x ? G x∧ ( )) ( ) (x

即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。 3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 )(x xF ? 其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。 （2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xG ? 其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xH ? 其中.15:)(=x x H 此命题在)(),(b a 中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析 1°命题的真值与个体域有关。 2° 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 )(x xF ? 这里，x x F :)(呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ))()((x G x F x →? 这里，x x F :)(为人，且)(x F 为特性谓词。x x G :)(呼吸。 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。

评价数据离散程度的指标

标准差 标准差（Standard Deviation），也称（mean square error），是各数据偏离的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。 标准差（Standard Deviation），在统计中最常使用作为程度（statistical dispersion）上的。标准差定义为的，反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质： 为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。 标准计算公式 假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为），其平均值为μ，公式如图1. 图1 标准差也被称为，或者实验标准差，公式如图2。 图2 简单来说，标准差是一组数据分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。

标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。 标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的。标准差数值越大，代表回报远离过去值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。 例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.078分，B组的标准差为2.16分（此数据是在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。 如是总体，根号内N=n，如是，标准差公式根号内N=（n-1)，因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)。 公式意义 所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一，即变异数)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。 深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在中，此范围所占比率为全部数值之68%。根据正态分布，两个标准差之内（深蓝，蓝）的

度量与分析

度量与分析过程手册

1.介绍 (1) 1.1.目的 (1) 1.2.总体描述 (1) 1.2.1.总体过程图/过程关系图 (1) 1.2.2.过程简述 (2) 1.3.使用范围 (2) 1.4.术语 (2) 2.角色和职责分配 (2) 3.过程 (2) 3.1.度量计划 (3) 3.1.1.目的 (3) 3.1.2.角色与职责 (3) 3.1.3.启动准则 (3) 3.1.4.输入 (3) 3.1.5.流程/步骤（活动流程图和任务） (3) 3.1.5.1.建立项目度量目标 (5) 3.1.5.2.确立项目度量时机 (5) 3.1.5.3.为每个度量时机制定详细度量分析计划 (5) 3.1.6.输出 (5) 3.1.7.结束准则 (5) 3.1.8.度量........................................................................................................... 错误！未定义书签。 3.2.过程2 ................................................................................................................ 错误！未定义书签。 4.实施建议 (9) 4.1.相关过程 (9) 4.2.模板 (9) 4.3.裁剪指南 (9)

文档信息 编写者编写日期2008-8-19 审核者审核日期 批准人批准日期 修订记录 日期修订版描述作者

1. 介绍 1.1. 目的 本文档用于描述项目中度量与分析过程的相关活动。 度量与分析的目的是开发和维持用于支持管理信息需要的度量能力。主要体现在以下几个方面： 理解。获得对过程、产品、资源等的理解；是评估、预测和改进活动的基础。定量的理解才是对事物本质的了解，真正“心中有数” 预测。通过建立预测模型，进行估算和计划。历史数据能够帮助我们预测和计划 评估。产品的质量、过程改进的效果等。对趋势的分析可以使我们找到问题出在哪里 改进。根据得到的量化信息，确定潜在的改进机会。度量本身不会改进过程；但它为我们提供了对计划、控制、管理和改进的可视性 1.2. 总体描述 1.2.1. 总体过程图/过程关系图 度量与分析过程 度量计划 收集 分析 项目管理部 项目经理 度量工程师 项目组成员 配置管理员 建立项目度量目标和度量要点 为每个度量点制定详细度量与分析 计划 收集度量数据分析度量数据 指导并配合完成度量计划提交度量数据 配置管理度量数据和分析结果库 是否结项 是 配合项目组归纳总结出组织级度量 跟踪度量数据和分析结果 否 分析并汇报 图 1

离散数学课后习题答案_屈婉玲(高等教育出版社)

第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.

(1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (?p→q)→(?q∨p)

CMMI5文档之度量与分析过程

度量与分析过程 文档编号：FHI_CMMI_MA_PRS 文档信息：度量与分析过程 文档名称：度量与分析过程 文档类别：CMMI过程 密级：内部秘密 版本信息：1.1 建立日期：2016-1-19 创建人：EPG 批准人：李庆林 批准日期：2016-2-25 存放位置：集成公司组织资产库/组织标准过程 编辑软件：Microsoft Office 2003 中文版

文档修订记录

目录 1.简介 (4) 1.1.目的 (4) 1.2.适用范围 (4) 1.3.引用文件 (4) 1.4.术语表 (4) 1.5.角色与职责 (4) 1.6.参考资料 (4) 2.工作过程概述 (4) 2.1.过程概述 (4) 2.2.过程结构描述 (5) 3.工作过程描述 (5) 3.1.定义度量与分析规格说明 (5) 3.2.实施项目度量与分析活动，并提供相应的结果 (7) 3.3.实施公司度量与分析活动，并提供相应的结果 (7) 4.支持文件 (10)

1.简介 1.1.目的 开发和维持软件过程的度量能力，以便支持商业目标和管理信息的需要。 1.2.适用范围 项目和公司度量与分析工作。 1.3.引用文件 ●《项目策划过程》 1.4.术语表 测量（Measure）：是对一个项目或过程的某个特性（例如：规模、工作量、复杂性和缺陷）采 度量（Measurement）：是对一个项目或过程具有的某个特性的度的一个测量。例如：对产品规 分析（Analysis）：是整理、比较和解析度量结果并形成报告的行为。例如：对产品规模与工作 1.5.角色与职责 ●Goal-Driven Software Measurement–A Guidebook [SEI-HB02] 2.工作过程概述 2.1.过程概述 度量与分析过程的功能是从各种工程和管理过程中收集和分析度量数据并为相关的干系人报告度量结果，提供用于监控和改进项目过程和产品质量的管理信息。 度量与分析过程包括下列活动： ●定义度量与分析规格说明； ●实施项目度量与分析活动，并提供相应的结果；

离散数学 第2章 习题解答

习题 2.1 1．将下列命题符号化。 (1) 4不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：4。 “4不是奇数。”符号化为：?A(a) (2) 2是偶数且是质数。 解：设A(x)：x是偶数。B(x)：x是质数。a：2。 “2是偶数且是质数。”符号化为：A(a)∧B(a) (3) 老王是山东人或河北人。 解：设A(x)：x是山东人。B(x)：x是河北人。a：老王。 “老王是山东人或河北人。”符号化为：A(a)∨B(a) (4) 2与3都是偶数。 解：设A(x)：x是偶数。a：2，b：3。 “2与3都是偶数。”符号化为：A(a)∧A(b) (5) 5大于3。 解：设G(x,y)：x大于y。a：5。b：3。 “5大于3。”符号化为：G(a,b) (6) 若m是奇数，则2m不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：m。b：2m。 “若m是奇数，则2m不是奇数。”符号化为：A(a)→A(b) (7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。 解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。设D(x,y)：直线x相交于直线y。a：直线A。b：直线B。 “直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。”符号化为：C(a,b)??D(x,y) (8) 小王既聪明又用功，但身体不好。 解：设A(x)：x聪明。B(x)：x用功。C(x)：x身体好。a：小王。 “小王既聪明又用功，但身体不好。”符号化为：A(a)∧B(a)∧?C(a) (9) 秦岭隔开了渭水和汉水。 解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。a：秦岭。b：渭水。c：汉水。 “秦岭隔开了渭水和汉水。”符号化为：A(a,b,c) (10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。 解：设A(x)：x是东北人。B(x)：x怕冷。a：小李。 “除非小李是东北人，否则她一定怕冷。”符号化为：B(a)→?A(a) 2．将下列命题符号化。并讨论它们的真值。 (1) 有些实数是有理数。 解：设R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。 “有些实数是有理数。”符号化为：(?x)(R(x)∧Q(x))

如何衡量数据的离散程度

如何衡量数据的离散程度 我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。常用的可以反映数据离散程度的统计量如下： 极差（Range） 极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差： 极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。 四分位距（interquartile range，IQR） 我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征： 一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到：

如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。四分位距规避了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。 方差（Variance） 方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消： 方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。 标准差（Standard Deviation） 方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的： 基于均值和标准差就可以大致明确数据集的中心及数值在中心周围的波动情况，也可以计算正态总体的置信区间等统计量。 平均差（Mean Deviation） 方差用取平方的方式消除数值偏差的正负，平均差用绝对值的方式消除偏差的正负性。平均差可以用均值作为参考系，也可以用中位数，这里使用均值： 平均差相对标准差而言，更不易受极端值的影响，因为标准差是通过方差的平方计算而来的，但是平均差用的是绝对值，其实是一个逻辑判断的过程而并非直接计算的过程，所以标准差的计算过程更加简单直接。 变异系数（Coefficient of Variation，CV） 上面介绍的方差、标准差和平均差等都是数值的绝对量，无法规避数值度量单位的

计量经济问答题及答案

1.什么是计量经济学它与经济学、统计学和数学的关系怎样 答:1、计量经济学是一门运用经济理论和统计技术来分析经济数据的科学和艺术，它以经济理论为指导，以客观事实为依据，运用数学、统计学的方法和计算机技术，研究带有随机影响的经济变量之间的数量关系和规律。2、经济理论、数学和统计学知识是在计量经济学这一领域进行研究的必要前提，这三者中的每一个对于真正理解现代经济生活中的数量关系是必要的，但不充分，只有结合在一起才行。 2计量经济学三个要素是什么经济理论、经济数据和统计方法。 3.计量经济学模型的检验包括哪几个方面其具体含义是什么 答:(1)经济意义检验，即根据拟定的符号、大小、关系，对参数估计结果的可靠性进行判断 (2)统计检验，由数理统计理论决定。包括:拟合优度检验、总体显着性检验。 (3)计量经济学检验，由计量经济学理论决定。包括:异方差性检验、序列相关性检验、多重共线性检验。(4)模型预测检验，由模型应用要求决定。包括:稳定性检验:扩大样本重新估计;预测性能检验:对样本外一点进行实际预测。 4.计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别 答:计量经济学揭示经济活动中各因素之间的定量关系，用随机性的数学方程加以描述;一般经济数学方法揭示经济活动中各因素之间的理论关系，用确定性的数学方程加以描述。 5.计量经济学模型研究的经济关系有那两个基本特征 一是随机关系，二是因果关系 6.计量经济学研究的对象和核心内容是什么 计量经济学的研究对象是经济现象，是研究经济现象中的具体数量规律。 计量经济学的核心内容包括两个方面:一是方法论，即计量经济学方法或者理论计量经济学。二是应用，即应用计量经济学。无论是理论计量经济学还是应用计量经济学，都包括理论、方法和数据三种要素。 7.计量经济学中应用的数据类型怎样举例解释其中三种数据类型的结构。 计量经济模型:WAGE=f(EDU,EXP,GEND,μ) 1、时间序列数据是按时间周期收集的数据，如年度或季度的国民生产总值。 2、横截面数据是在同一时间点手机的不同个体的数据。如世界各国某年国民生产总值。 3、混合数据是兼有时间序列和横截面成分的数据，如1985—2010世界各国GDP数据。

质量体系解读之度量与分析

质量体系解读之度量与分析 金融SQA毛曦 说起项目过程中的度量与分析，也许很多同事都认可这一过程的重要性，但真正在项目过程中开展度量分析活动，却少之又少。项目经理往往受限于项目进度、工作精力和能力局限，无法在项目过程中开展行之有效地度量与分析。 本文根据质量体系中的《度量与分析规程》，以及《度量使用指南》，结合项目实际，采用Q&A形式，对度量与分析进行简明扼要的解读说明。 Q1：度量分析目的何在，项目中有哪些人参与？ A1：度量分析的目的是开发和维持一个用于支持项目信息需要的度量能力。在项目过程中，一般来说，PM或QA负责项目数据的整体的度量和分析工作，项目组成员参与提供度量数据活动。 Q2：度量和分析整体实践流程是怎样的？ A2：度量和分析整体实践流程有如下流程： ●确立度量目的 ●详细说明度量方法 ●详细说明数据采集和存储规程 ●详细说明分析规程 ●采集度量数据 ●分析度量数据 ●存储数据和结果 ●交流结果 Q3：通常有哪些使用度量的例子？ A3：项目过程中，常见的的使用度量的例子有以下几种： ●挣值(EV) ●进度性能指标(SPI) ●缺陷密度 ●同行评审覆盖率 ●测试或验证的覆盖率

●可靠性度量,比如平均故障间隔时间 ●质量度量,比如严重缺陷数/总缺陷数 Q4：各过程域（PA）中度量的具体行为有哪些 A4：除去项目过程中常用的度量示例外，建议PM需要了解CMMI-DEV中，各PA的度量具体行为。 ●RM（Requirements Management，需求管理） 增加、删除、修改的需求数 需求易变性=（增加的+删除的+修改的）需求数/原有需求数 某个需求变更引起的工作量 ●PP（Project Planning，项目策划） 制定项目计划所花的工作量 项目计划的修订次数 每次修订计划时的成本、进度和工作量与原计划的差异 ●PMC（Project Monitoring and Control，项目监控） 打开和关闭的纠正行动数 项目里程碑日期 要执行的评审次数及类型 评审进度 ●PPQA（Process and Product Quality Assurance，过程及产品质量保证） 计划的和实际执行的客观过程评价偏差 计划的和实际执行的客观工作产品评价偏差 ●CM（Configuration Management，配置管理） 配置项的变更次数 配置审计次数 ●MA（Measurement and Analysis，度量分析） 使用进展和性能度量的项目百分比 已处理的度量目的的百分比 Q5：SEI建议的度量元有哪些？ A5：SEI，也即Software Engineering Institute（软件工程研究院），为卡耐基.梅隆大学的软件工程研究院，CMMI各相关模型均为SEI指导建立，SEI提出如下建议的度量元，以供度量分析时参考。

离散数学答案第二章习题解答

习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧?→?。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→? (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。 2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），?（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下： x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =??。 x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =???。 x x E :)(是偶数，)(x E 可表示为)2(x v v =??。 x x P :)(是素数，)(x P 可表示为)1)(()1(x u u x u v v u x =∨=?=???∧=?。

角的度量解决问题

附：电子教案表格表样 上里塬中心小学电子教案 上课时间9月27日备课人辛雪雪学科四年级数 学（上册） 课题角的度量·解决问题 教学目标 （一）知识与技能 进一步理解线段、射线、直线和角的相关概念，区分5种不同的角，用量角器和三角尺正确地量角、画角；灵活地运用相关知识解决问题。 （二）过程与方法 通过经历观察、操作、推理、表达等数学活动，培养学生发现问题、解决问题的能力。 （三）情感态度和价值观 引发数学思考，渗透数学思想，发展空间观念，提高应用意识。 教学重点 巩固有关线和角的基本概念与操作技能 教学难点初步感悟图形的性质。 教学准备 量角器、三角板、多媒体课件 教学过程备注

（一）知识梳理 1．谈话：回忆一下，我们都学习了哪些有关线和角的知识？ 预设：线段、射线和直线；角的分类；量角；画角 2．揭示课题 谈话：同学们学得可真不少，那么学习了这些新知识，有什么用呢？能不能帮助我们解决一些数学上和生活中的问题呢？这节课我们就一起来“解决问题”。（板书：解决问题） 【设计意图】为学生创设自主梳理知识要点的机会，有助于学生养成及时总结的习惯，使散落的知识点汇集成知识网络，深化对新知识的理解。 （二）实践应用 1．量一量 （1）量一量，队旗上的角。 谈话：同学们都知道，我们所佩戴的红领巾是队旗的一角，现在就让我们认识一下队旗，量一量队旗上的角。 ①出示图片 ②小组合作 探究新知 课堂作业练习 思维训练 回顾整理、反思提升

互相指一指这5个角，指出它们的顶点和边；独立量角后交流。 ③展示量角过程，交流量角方法及结果。 提问：量角时要注意什么。 （2）量一量，你有什么发现? ①出示图片： ②观察图中的角，有什么发现？ 预设：∠1和∠2可以组成一个平角；每相邻两个角合起来是一个平角。 ③思考：想一想，至少量出几个角，就能知道每个角的度数。 预设：一个钝角、一个锐角 ④量一量，你有什么发现？ 预设：对顶角相等；相邻角的和为180度等。 （3）先估计，再量出图中各角的度数。 ①谈话：估一估，图中的角大约多少度？是什么角？

离散数学答案(尹宝林版)第二章习题解答

第二章 谓词逻辑 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧?→?。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→? (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。 2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），?（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下： x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =??。 x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =???。 x x E :)(是偶数，)(x E 可表示为)2(x v v =??。

数据离散程度的度量

数据离散程度的度量复习学案 一、教学内容：第10章数据离散程度的度量 二、复习目标： 1、通过复习熟练掌握考察数据离散程度的量及意义。 2、能根据数据统计结果作出简单判定与决策。 三、本章知识结构： 极差——概念 概念——用科学 方差——公式——计算器 数据离散程度的度量计算方 标准差——概念——差和标 公式——准差。 四、依据知识结构翻阅课本与笔记本记忆基本知识点 1、检查知识点 2、完成下列题目： （1）样本2，3，0，5，-7，6的极差是。 （2）下面几个概念中，能体现一组数据离散程度的是。 A、平均数 B、中位数 C、众数 D、极差 （3）数学老师对小明参加的4次中考模拟的考试成绩进行统计分析，判断小明成绩是否稳定的应计算的数学量是。 A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差 （4）已知1，2，3，4，5的方差为s2，则11,12，13，14，15这组数的方差是。 3、专题研究： （1）甲、乙两个小组各6名同学，某次数学测验成绩如下： 甲：76，90，84，86，81，81 乙：82，80，85，89，79，80 甲组的众数是，乙组的中位数是，甲组的方差是，乙组的方差是，由计算知学习成绩较稳定的小组是。 （2）为了从甲、乙两名射击选手中选出一人参加射击比赛，辅导员对它们的实际水平进行了测试，每人射击10次，成绩如下： 甲：9，9，10，8，6，10，10，8，10，8 乙：10，8，7，10，10，10，10，8，7，8 你如何帮助辅导员作出决策？ 四、课堂达标： 1、下列说法正确的是（）

A、如果两名运动员的训练成绩的平均数、众数、中位数相同则他们的成绩一样 B、一组数据的方差总是大于标准差 C、一组数据的方差越大，则这组数据的波动越小 D、一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小 2、已知一组数据为-1，0，x，1，-2的平均数是0那么这组数据的方差是。 3、一组数据x1，x2，……x n的方差s2=0.36，则这组数据x1，x2，…… x n，x的方差是（）。 4、一个样本的方差s2=1/50【（x1- 5）2+（x2- 5）2+……+（x n- 5）2】那么这个样本的容量是，平均数是。 5、已知样本x1，x2，……x n的方差为2，平均数是6，则3x1+2，3x2+2，…… 3x n+2的方差是，平均数是。 五、小结（学生先独立小结，小组再整合）： 六、作业：

如何衡量数据的离散程度

如何衡量数据的离散程度 Revised by Jack on December 14,2020

如何衡量数据的离散程度 我们通常使用均值、中位数、众数等统计量来反映数据的集中趋势，但这些统计量无法完全反应数据的特征，即使均值相等的数据集也存在无限种分布的可能，所以需要结合数据的离散程度。常用的可以反映数据离散程度的统计量如下： 极差（Range） 极差也叫全距，指数据集中的最大值与最小值之差： 极差计算比较简单，能从一定程度上反映的数据集的离散情况，但因为最大值和最小值都取的是极端，而没有考虑中间其他数据项，因此往往会受异常点的影响不能真实反映数据的离散情况。 四分位距（interquartile range，IQR） 我们通常使用箱形图来表现一个数据集的分布特征： 一般中间矩形箱的上下两边分别为数据集的上四分位数（75%，Q3）和下四分位数（25%，Q1），中间的横线代表数据集的中位数（50%，Media，Q2），四分位距是使用Q3减去Q1计算得到： 如果将数据集升序排列，即处于数据集3/4位置的数值减去1/4位置的数值。四分位距规避 了数据集中存在异常大或者异常小的数值影响极差对离散程度的判断，但四分位距还是单纯的两个数值相减，并没有考虑其他数值的情况，所以也无法比较完整地表现数据集的整体离散情况。 方差（Variance） 方差使用均值作为参照系，考虑了数据集中所有数值相对均值的偏离情况，并使用平方的方式进行求和取平均，避免正负数的相互抵消： 方差是最常用的衡量数据离散情况的统计量。 标准差（Standard Deviation） 方差得到的数值偏差均值取平方后的算术平均数，为了能够得到一个跟数据集中的数值同样数量级的统计量，于是就有了标准差，标准差就是对方差取开方后得到的：

评价数据离散程度的指标

评价数据离散程度的指 标 文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]

标准差 标准差（Standard Deviation），也称（mean square error），是各数据偏离的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的，标准差未必相同。 标准差（Standard Deviation），在统计中最常使用作为程度（statistical dispersion）上的。标准差定义为的，反映组内个体间的离散程度。测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质： 为非负数值，与测量资料具有相同单位。一个总量的标准差或一个的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。 标准计算公式 假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为），其平均值为μ，公式如 图1. 图1 标准差也被称为，或者实验标准差，公式如图2。 图2

简单来说，标准差是一组数据分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。 例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。 标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。 标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的。标准差数值越大，代表回报远离过去值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。 例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为17.078分，B组的标准差为2.16分（此数据是在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。 如是总体，根号内N=n，如是，标准差公式根号内N=（n-1)，因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)。 公式意义