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第六章微分中值定理及其应用 - 琼州学院质量工程

第六章微分中值定理及其应用

习题

§1拉格朗日定理和函数的单调性

1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ，使0)(='ξf ：

（1）??

???

=≤<=;0,0,

10,1sin )(x x x x x f π （2）f （x ）=|x|，-1≤x ≤1。

2、证明：（1）方程033

=+-c x x （这里c 为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根；

（2）方程0=++q px x n （n 为正整数，p 、q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根。

3、证明定理6、2推论2。

4、证明（1）若函数f 在[a ，b]上可导，且m x f ≥')(，则

f （b ）≥f （a ）+ m （b - a ）；

（2）若函数f 在[a ，b]上可导，且M x f ≤'|)(|，则

|f （b ）- f （a ）|≤M （b-a ）；

（3）对任意实数1x ，2x ，都有|||sin sin |1221x x x x -≤-。 5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

（1）

a a

b a b b a b -<<-ln ，其中0

<<+arctan 12

，其中h >0。 6、确定下列函数的单调区间：

（1）f （x ）=2

3x x -；（2）f （x ）=x x ln 22

-；

（3）f （x ）=2

2x x -；（4）f （x ）=x

x 1

2-。

7、应用函数的单调性证明下列不等式：

（1）)3

,0(,3tan 3π∈->x x x x ；（2）

,0(,sin 2π

π∈<

；

（3）0,)

1(2)1ln(22

2>+-<+<-x x x x x x x 。

8、以s （x ）记由（a ，f （a ）），（b ，f （b ）），（x ，f （x ））三点组成的三角形面积，试对s （x ）应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。

9、设f 为[a ，b]上二阶可导函数，f （a ）=f （b ）=0，并存在一点),(b a c ∈使得f （c ）>0。证明至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(<''ξf 。

10、设函数f 在（a ，b ）内可导，且f '单调。证明f '在（a ，b ）内连续。

11、设p （x ）为多项式，α为p （x ）=0的r 重实根。证明α必定是)(x p '的r – 1重实根。

12、证明：设f 为n 阶可导函数，若方程f （x ）=0有n+1个相异的实根，则方程0

)()

(=x f n 至少有一个实根。

13、设a ，b >0。证明方程b ax x ++3

=0不存在正根。 14、证明：

,0(,sin tan π

∈>x x x x x 。 15、证明：若函数f ，g 在区间[a ，b]上可导，且)()(),()(a g a f x g x f ='>'，则在（a ，b]内有f （x ）>g （x ）。

§2柯西中值定理和不定式极限

1、试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？

2、设函数f 在[a ，b]上可导。证明：存在),(b a ∈ξ，使得 )()()]()([22

2ξξf a b a f b f '-=-。 3、设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数。证明： )()

(2)()(lim

a f h

a f h a f h a f h ''=--++→。 4、设2

0π

βα<<<。证明存在),(βαθ∈，使得

θα

ββ

αcot cos cos sin sin =--。

5、求下列不定式极限

（1）0lim →x x e x sin 1-；（2）x x

x 3cos sin 21lim 6

-→

π；

（3）0

lim

→x 1

cos )1ln(--+x x x ；（4）0lim →x x x x

x sin tan --；

（5）5sec 6tan lim

+-→

x x x π

；（6）0lim →x )1

1(--x

e x ；（7）0

lim →x x

x sin )

(tan ；（8）x

x x

-→11

lim ；

（9）0

lim →x x

x 1

2)1(+；（10）x x x ln sin lim 0

→；（11）0lim →x )sin 11(22x x -；（12）0lim →x 2

)tan (x x

x 。

6、设函数f 在点a 的某个邻域具有二阶导数。证明：对充分小的h ，存在10,<<θθ，使得

()()(2)()(2

h a f h a f h

a f h a f h a f θθ-''++''=--++。 7、求下列不定式极限：（1）2

sin

1cos(ln lim

x x π--→；（2）x x x ln )arctan 2(lim -+∞→π；

（3）x

x x sin 0

lim +

→；（4）x

x x 2tan 4

)

(tan lim π

→

；

（5）0lim →x ???

? ??-++x x x x 1)1ln(2)1(；（6）0lim →x )1

(cot x x -；（7）0

lim

→x x e x x

-+1

)1(；（8）??

? ??-+∞→x x arctan 2lim π。

8、设f （0）=0，f '在原点的某邻域内连续，且0)0(≠'f 。证明：

1lim )

→x f x x 。

9、证明定理6、6中0)(lim ,0)(lim ==+∞

→+∞

→x g x f x x 情形时的洛必达法则。 10、证明：2

3)(x e x x f -=为有界函数。 §3泰勒公式

1、求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式：（1）f （x ）=

+11；

（2）f （x ）= arctanx 到含5

x 的项；

（3）f （x ）= tanx 到含5

x 的项。 2、按例4的方法求下列极限：

（1）0lim →x 3)1(sin x x x x e x +-；（2）?????

???? ??+-∞→x x x x 11ln lim 2

；（3）0

lim

→x ??

??-x x x cot 11。 3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：（1）f （x ）=542

++x x ，在x = 1处；（2）f （x ）=

+11

，在x = 0处。 4、估计下列近似公式的绝对误差：

（1）6

sin 3

x x x -≈，当|x|≤21；

（2）]1,0[,8

2112

∈-+≈+x x x x 。 5、计算：（1）数e 准确到9

10-；（2）lg11准确到5

10-。

§4函数的极值与最大（小）值

1、求下列函数的极值：

（1）f （x ）=43

2x x -；（2）f （x ）=

12x x

+；（3）f （x ）=x

x 2)(ln ；（4）f （x ）=)1ln(21arctan 2

x x +-。

2、设

f （x ）=??

???=≠.0,0,

0,1sin 24

x x x

x （1）证明：x = 0是极小值点；

（2）说明f 的极小值点x = 0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。

3、证明：若函数f 在点0x 处有)0(0)(),0(0)(00<>'><'-+

x f x f ，则0x 为f 的极大（小）值点。

4、求下列函数在给定区间上的最大最小值：

（1）y =]2,1[,1553

-++-x x x ；

（2）y =???

???-2,0,tan tan 22πx x ；

（3）y =

),0(,ln +∞x x 。

5、设f （x ）在区间I 上连续，并且在I 上仅有唯一的极值点0x 。证明：若0x 是f 的极大（小）值点，则0x 必是f （x ）在I 上的最大（小）值点。

6、把长为l 的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？

7、有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V 时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？

8、设用某仪器进行测量时，读得n 次实验数据为n a a a ,,21。问以怎样的数值x 表达所要测量的真值，才能使它与这n 个数之差的平方和为最小。

9、求一正数a ，使它与其倒数之和最小。 10、求下列函数的极值：

（1）f （x ）=|)1(|2-x x ；

（2）f （x ）=1

)

1(2

42+-+x x x x ；（3）f （x ）=3

2)1()1(+-x x 。

11、设f （x ）=x bx x a ++2

ln 在2,121==x x 处都取得极值，试求a 与b ；并问这时f 在1x 与2x 是取得极大值还是极小值？

12、在抛物线px y 22

=哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。

13、要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为BC= a km 的B 城，轮船运费的单价是α元/km ，火车运费的单价是β元/km （β>α），试求运河边上的一点M ，修建铁路MB ，使总运费最省。

§5函数的凸性与拐点

1、确定下列函数的凸性区间与拐点：

（1）y =2536322

3+--x x x ；（2）y =x

x 1+；（3）y =x

x 12

+；（4）y =)1ln(2

+x ；（5）y =

x +。 2、问a 和b 为何值时，点（1，3）为曲线y =2

bx ax +的拐点？

3、证明：

（1）若f 为凸函数，λ为非负实数，则λf 为凸函数；（2）若f ，g 均为凸函数，则f+g 为凸函数；

（3）若f 为区间I 上凸函数，g 为J ?f （I ）上凸增函数，则g ·f 为I 上凸函数。 4、设f 为区间I 上严格凸函数。证明：若0x I ∈为f 的极小值点，则0x 为f 在I 上唯一的极小值点。

5、应用凸函数概念证明如下不等式：

（1）对任意实数a ，b ，有)(2

b a

b a e e e

+≤

+；（2）对任何非负实数a ，b ，有b a b a arctan arctan 2arctan 2+≥??

??+。 6、证明：若f ，g 均为区间I 上凸函数，则F （x ）= max{f （x ），g （x ）}也是I 上凸

函数。

7、证明：（1）f 为区间I 上凸函数的充要条件是对I 上任意三点321x x x <<，恒有

(1)(1

)(133

2211

≥=?x f x x f x x f x ；

（2）f 为严格凸函数的充要条件是Δ>0。 8、应用詹森不等式证明：（1）设),,2,1(0n i a i =>，有

a a a a a a a a a n

n n n

+++≤

≤+++ 212121111；

（2）设),,2,1(0,n i b a i i =>，有

i q i p

i p i n i i i b a b a 11111??

? ????? ??≤∑∑∑===，其中11

0,0=+>>q

p q p 。 §6函数图象的讨论

按函数作图步骤，作下列函数图象：

（1）y =201562

--+x x x ；（2）y =2

)

1(2x x +；（3）y = x – 2arctanx ；（4）y =x

-；

（5）y =3

553x x -；（6）y =2

x e

-；

（7）y =3

2)1(x x -；（8）y =23

2)2(||-x x 。

总练习题

1、证明：若f （x ）在有限开区间（a ，b ）内可导，且)(lim )(lim x f x f b

x a

x -

+→→=，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)(='ξf 。

2、证明：若x >0，则（1）)

(211x x x x θ+=

+，其中

)(41≤≤x θ；（2）2

)(lim ,41)(lim 0

+∞→→x x x x θθ。 3、设函数f 在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，且a ·b >0。证明存在),(b a ∈ξ，使得

)()()

()(1

ξξξf f b f a f b

a b a '-=-。 4、设f 在[a ，b]上三阶可导，证明存在),(b a ∈ξ，使得 )()(12

)]()()[(21)()(3ξf a b b f a f a b a f b f '''--'+'-+

=。 5、对f （x ）=ln （1+x ）应用拉格朗日中值定理，试证：对x ≥0有 11

)1ln(10<-+<

x 。

6、设n a a a ,,,21 为n 个正数，且

f （x ）=x

x x n a a a 121???

?+++ 。证明：（1）n

n x a a a x f 210

)(lim =

→；

（2）},,,max{)(lim 21n x a a a x f =∞

→。

7、求下列极限：

（1）)

1ln(/121

)1(lim x x x -→--

；（2）20)

1ln(lim x

x xe x x +-→；

（3）x

x x x sin 1sin

lim

→。

8、设h >0，函数f 在);(h a U 内具有n+2阶连续导数，且0)()

2(≠+a f n ，f 在)

;(h a U 内的泰勒公式为

10,)!

1()(!)()()()(1

)1()(<<+++++'+=+++θθn n n n h n h a f h n a f h a f a f h a f 。

证明：2

lim 0

→n h θ。 9、设k >0，试问k 为何值时，方程arctanx – kx = 0存在正实根。

10、证明：对任一多项式p （x ），一定存在1x 与2x ，使p （x ）在（-∞，1x ）与（2x ，+∞）分别严格单调。 11、讨论函数

???=≠+=,0,0,

0,1sin 2)(2x x x

x x

x f （1）在x=0点是否可导？

（2）是否存在x=0的一个邻域，使f 在该邻域内单调？

12、设函数f 在[a ，b]上二阶可导，0)()(='='b f a f 。证明存在一点),(b a ∈ξ，使得

|)()(|)

|)(|2

a f

b f a b f --≥

''ξ。 13、设函数f 在[0，a]上具有二阶导数，且M x f ≤'')(|，f 在（0，a ）内取得最大值。试证

Ma a f f ≤'+'|)(||)0(|。

14、设f 在[0，+∞）上可微，且0)0(),()(0=≤'≤f x f x f 。证明：在[0，+∞）上f （x ）≡0。

15、设f （x ）满足0)()()()(=-'+''x f x g x f x f ，其中g （x ）为任一函数。证明：若)(0)()(1010x x x f x f <==，则f 在[0x ，1x ]上恒等于0。

16、证明：定圆内接正n 边形面积将随n 的增加而增加。 17、证明：f 为I 上凸函数的充要条件是对任何1x ，I x ∈2，函数

))1(()(21x x f λλλ?-+=

为[0，1]上的凸函数。

18、证明：（1）设f 在（a ，+∞）上可导，若)(lim ),(lim x f x f x x '+∞

→+∞

→都存在，则

0)(lim ='+∞

→x f x 。

（2）设f 在（a ，+∞）上n 阶可导，若)(lim x f x +∞

→和)(lim )

(x f

n x +∞

→都存在，则

),,2,1(0)(lim )

(n k x f

k x ==+∞

→。

19、设f 为),(+∞-∞上的二阶可导函数。若f 在),(+∞-∞上有界，则存在

),(+∞-∞∈ξ，使0)(=''ξf 。

习题答案

§2柯西中值定理和不定式极限

5、（1）1；（2）

；（3）1；（4）2；（5）1；（6）21；（7）1；（8）e 1；

（9）1；（10）0；（11）3

-；（12）31

e ；

7、（1）2

π-

；（2）0；（3）1；（4）1

-e ；（5）

21；（6）0；（7）2

e -；（8）1

-e 。 §3泰勒公式

1、（1）f （x ）=)(2!!)!12()1(!223

212113n n

n x x n n x x ο+--++?

+- ；（2）f （x ）=)(51315

53x x x x ο++-；

（3）f （x ）=)(15

23155

3x x x x ο++

+。 2、（1）31；（2）21；（3）3

。

3、（1）f （x ）=3

2)1()1(7)1(1110-+-+-+x x x ；（2）f （x ）=1

)

1()1()1(1++-+-+-+++-n n n n

n x x x x x θ ，10<<θ。 4、（1）!

521|)(|54?≤

x R ；（2）161

|)(|2

≤x R 。 5、（1）取718281828.2,12≈=e n ；（2）04139.1。

§4函数的极值与最大（小）值

1、（1）极大值16

2723=

??f ；（2）极小值f （-1）= -1，极大值f （1）=1；（3）极小值f （1）= 0，极大值22

4)(e

e f =；（4）极大值f （1）=

2ln 2

4-π

。 5、（1）最小值f （-1）= -10，最大值f （1）=2；（2）最小值14=??

??πf ，无最大值；（3）最小值()e

e f 22

-=-。

6、边长为

l 。 7、半径与高之比为1：1。 8、取n

a a a x n

++=

21。

9、取a=1。

10、（1）极小值0)1()0(=±=f f ，极大值3

31=?

??? ??±

f ；（2）极小值f （- 1）= - 2，极大值f （1）=2；（3）极小值f （1）=0，极大值3125

3456

51=??

? ??f 。 11、1,6

,32x b a -=-

=极小值点，2x 极大值点。 12、)2,(p p ±。 13、

2α

βα

-a 。

§5函数的凸性与拐点

1、（1）凹区间)2

,(-∞，凸区间??? ??+∞,21，拐点??

??213,21；

（2）凹区间)0,(-∞，凸区间()+∞,0；

（3）凹区间)0,1(-，凸区间),0(),1,(+∞--∞，拐点)0,1(-；（4）凹区间),1(),1,(+∞--∞，凸区间)1,1(-，拐点()2ln ,1±；

（5）凹区间?

? ??-31,31，凸区间???? ??+∞???? ??-∞-,31

,31,，拐点???? ??±43,31。 2、2

,23=-

=b a 。 §6函数图象的讨论

（1） x

)5,(--∞

- 5 )2,5(--

- 2 )1,2(-

1 ),1(+∞

y ' + 0 — — — 0 + y ''

— — — 0 + + + y

增凹 ↗ 极大值

80)5(=-f 减凹 ↘

拐点

)26,2(- 减凸 ↘

极小值

28)1(-=f

增凸 ↗

（2）

)3,(--∞

- 3 )1,3(--

)0,1(-

0 ),0(+∞

y '

+ 0 — + 0 + y ''

— — — — 0 + y

增凹 ↗

极大值

827- 减凹 ↘

增凹 ↗

拐点

)0,0(

增凸 ↗

渐近线12

,1-=-=x y x ；（3） x

)1,(--∞

- 1 )0,1(-

0 )1,0(

1 ),1(+∞

y ' + 0 — — — 0 + y ''

— — —

0 +

+ +

增凹 ↗

极大值

1)5(π

-=-f

减凹 ↘ 拐点

)0,0( 减凸

↘

极小值

1)1(π

增凸 ↗

渐近线y = x – π，y = x +π；

)1,(-∞

1 )2,1(

2 ),2(+∞

y ' + 0 — — — y ''

—

— —

0 +

增凹 ↗

极大值

f 1)1(=

减凹 ↘

拐点

? ??e 2,2 减凸 ↘

渐近线y = 0；（5）奇函数 x

??? ?

?21,0

??1,21 1

),1(+∞

y '

0 — — — 0 + y ''

0 —

+ +

拐点

)0,0(

减凹 ↘

拐点

? ??-247,21 减凸 ↘

极大值

2)1(-=f

增凸 ↗

（6）偶函数

??+∞,21 y ' 0 — — — y ''

—

极大值

f （0）=1

减凹 ↘

拐点

??21,21e 减凸 ↘

渐近线y = 0；

??? ?

-∞-51,

)0,5

(- 0 ??

? ??52,0 5

2 ??

? ??+∞,52 y '

不存在 —

y ''

— 0 + 不存在 + + +

增凹

↗

拐点

????

????? ??--32

5156,51

增凸

↗ 极大值 0

减凸 ↘

极小值

????

? ????? ??-32

5253,52

增凸

↗

（8）设510

321,51032121+=-=x x ， x

()1,x ∞-

)0,(1x

??21,0 2

1 y '

— — — 不存在 + 0 y ''

0 —

不存在

—

— y

减凸 ↘

拐点

())(,11x f x

减凹 ↘ 极小值 0 增凹 ↗

极大值

2214921??

? ??=??? ??f x

),2

(2x 2x

()2,2x

2 ),2(+∞

y ' — — — 0 + y ''

— 0 +

+ + y

减凹 ↘

拐点

())(,22x f x 减凸

↘

极小值

0)2(=f

增凸 ↗

总练习题

7、（1）e ；（2）

；（3）0。典型习题解答

1、（§1的第2（1）题）方程033

=+-c x x （这里c 为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根。

证明：记c x x x f +-=3)(3，设f （x ）=0在[0，1]内有两个不同的实根21,x x ，且

21x x <，则0)()(21==x f x f 。

又由于f 在],[21x x 上连续，在),(21x x 内可导，所以0)(..),,(21='∈?ξξf t s x x 。即0)1(32=-ξ。故]1,0[),(1210??±=x x ξ（矛盾）

。因此方程033

=+-c x x （这里c 为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根。 2、（§1的第5（1）题）应用拉格朗日中值定理证明不等式a

b a b b a b -<<-ln ，其中0

证明：由于

a a

b a b b a b -<<-ln a

a b a b b a a b a b b a b 1

ln ln 1ln ln <--

故可令f （x ）=lnx ，),0(],[+∞?∈b a x ，然后利用拉格朗日中值定理便得证。

3、（§1的第7（1）题）应用函数的单调性证明不等式)3

,0(,3tan 3π

∈->x x x x 。证明：设3

tan )(3x x x x f +-=，则)3,0(,0tan )(2

2π∈>+='x x x x f ，所以f 在

,0(π内严格递增。又f （x ）在x = 0处连续且f （0）= 0，故当)3,0(π

∈x 时，f （x ）>0，即)3

,0(,3tan 3π

∈->x x x x 。 4、（§2的第2题）设函数f 在[a ，b]上可导。证明：存在),(b a ∈ξ，使得 )()()]()([22

ξξf a b a f b f '-=-。证明：由于

()()[]

ξξξξ=='

-='-?'-=-x x x f a b a f b f x f a b a f b f )(|)]()([)()()]()([222222

[]0)

()()]()([222='

---?=ξ

x x f a b a f b f x 。

故构造函数)()()]()([)(2

x f a b a f b f x x F ---=，由于f 、2

x 在[a ，b]上连续，（a ，b ）内可导，所以F （x ）在[a ，b]上连续，（a ，b ）内可导，且)()()()(2

a f

b b f a b F a F -==，故由罗尔定理知，0)(..),,(='∈?ξξF t s b a 。

即[

]0)

()()]()([2

22='

---=ξ

x x f a b a f b f x 。

5、（§2的第5（1）题）求不定式极限0lim →x x e x sin 1

-。

解：0lim →x x e x sin 1-=0lim →x )(sin )1(''

-x e x =0lim →x x e x cos =1。

6、（§3的第2（1）题）求极限0lim →x 3

)1(sin x x x x e x +-。

解：因为

)(3)(!3)(!21sin 332

3322x x x x x x x x x x x e x

οοο+++=??

????+-??????+++=,

所以

0lim →x 3)

1(sin x

x x x e x +-=0lim →x 3

)(3133=??????+x x ο。 7、（§4的第1（1）题）求函数f （x ）=4

2x x -的极值。

解：令0)23(246)(2

32=-=-='x x x x x f ，解得2

3,021=

=x x 。又0923<-=??

? ??''f ，所以在23=

x 处f （x ）有极大值16

27。由于当)1,0(0U x ∈时，0)(>'x f ，故在x = 0的邻域内f 严格递增，所以在x = 0处f （x ）不能取得极值。

8、（§5的第1（1）题）确定函数y =2536322

+--x x x 的凸性区间与拐点。解：令0612=-=''x y ，得2

1=x 。当21<

x 时，0<''y ，故函数y 在??? ??

∞-21,内为凹函数；当21>

x 时，0>''y ，故函数y 在??

??+∞,21内为凸函数。由于在??

? ??+210

U 与??? ??-210

U 内y ''的符号相反，故??

??213,

21为曲线的拐点。 9、（§5的第5（1）题）应用凸函数概念证明不等式)(2

b a

b a e e e +≤

+，其中R b a ∈?,。

证明：设,)(x e x f =则),(,0)(+∞-∞∈>=''x e x f x 。故f （x ）为),(+∞-∞上凸函数。从而对2

,,21=

==λb x a x ，有 )(211)(21211212121x f x f x x f ???

??-+≤????????? ??-+??

? ??

即)(2

b a

a e e e

+≤

+，其中R b a ∈?,。

第3章微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得'()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理

条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，则导数存在0值。如果翻来覆去变形无法弄到两端相等，那么还是别用罗尔定理了，两端相等，证明0值是采用罗尔定理的明显特征。拉格朗日定理是两个端点相减，所以一般用它来证明一个函数的不等式： 122()()-()1()m x f x f x m x <<；一般中间都是两个相同函数的减法，因为这样便于直接应用拉格朗日，而且根据拉格朗日的定义，一般区间就是12[,]x x 。 5、洛必达法则应用注意正常求极限是不允许使用洛必达法则的，洛必达法则必须应用在正常求不出来的不定式极限中。不定式极限有如下7种： 000,,0*,,0,1,0∞∞ ∞∞-∞∞∞ 每次调用洛必达方法求解极限都必须遵从上述守则。 6、泰勒公式求极限。如果极限是0 lim () x x f x → 那么就在0x 附近展开。如果极限是

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

第六章微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用引言在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理教学章节：第六章微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及

微分中值定理及其应用

分类号UDC 单位代码密级公开学号 2006040223 四川文理学院学士学位论文论文题目：微分中值定理及其应用论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学提交论文日期：2010年4月20日论文答辩日期：2010年4月28日学位授予单位：四川文理学院中国达州 2010年4月

目录摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言第一章微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)

数学分析之微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时）教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。教学重点：中值定理。教学难点：定理的证明。教学难点：系统讲解法。一、引入新课：

通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲授新课：（一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.wendangku.net/doc/758627187.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且

一元微分中值定理练习题

一元微分中值定理练习题一、证明ff (nn )(ξξ)=00成立 1.若函数f(x)在(a,b)内有二阶导数，且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3),其中 a 0, 证明存在ξ∈(a,b)，使得f ′′(ξ)=0。 4.设曲线y=f(x)在[a,b]上二阶可导，连接点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线交曲线于点C（c,f(c)）(a

微分与积分中值定理及其应用

第二讲微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理微分中值定理罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ．朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导；则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ．

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。