3、2、1、2几类不同增长的函数模型

3、2、1、2几类不同增长的函数模型

学案编写者：黄冈实验学校数学教师孟凡洲

一、【学习目标】

1、指数函数、对数函数、二次函数的增长差异；

2、幂函数、指数函数、对数函数的应用.

二、【自学内容和要求及自学过程】

阅读下列材料，结合教材第99-101页内容，回答下列问题

材料一：我们知道，对数函数y=x a log (a>1),指数函数y=a x

(a>1)与幂函数y=x n (n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数.但这三类函数的增长是有差异的.请观察下图，下图是函数y=log 2x,y=2x ,y=x 2的图像：

我们可以得到，在区间(0，+∞)上函数y=log 2x,y=2x ,y=x 2

均为单调 （增、减）函数， 的图象与另外两函数的图象没有交点，且总在另外两函数的图象的下方，y=2x 的图象与y=x 2的图象有两个交点 .

材料二：在计算器或计算机中，610*05.1常表示成1.05E+06或1.05E6.其中字母“E ”表示610的“底数”10，之后的整数6即为610的指数.如下图和下表所示为函数y=2x 与y=x 2的图像在大范围内的图像：

<1>请你根据材料一所述，在材料一的图像上标出使下列两个不等

式222log x x x <<和x x x 2log 22<<成立的自变量x 取值范围；

<2>由问题<1>你能得出怎样结论？

<3>通过材料二，你能得出什么结论？

结论：<1>取值范围分别是 ；<2>y=2x 的图象与y=x 2的图象有两个交点(2，4)和(4，16)，这表明2x 与x 2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x 当自变量x 越来越大时，可以看到 的图象就像与x 轴垂直一样，2x 的值快速增长，x 2比起2x 来，几乎有些微不足道.

归纳：一般地，对于指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=x n (n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，+∞)上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x 会小于x n ，但由于a x 的增长快于x n 的增长，因此总存在一个x 0，当x>x 0时，就会有 .

同样地，对于对数函数y=log a x(a>1)和幂函数y=x n (n>0)，在区间(0，+∞)上，随着x 的增大， 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x 轴平行一样.尽管在x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n ，但由于 的增长慢于 的增长，因此总存在一个x 0，当x>x 0时，就会有 .

综上所述，尽管对数函数log a x(a>1),指数函数y=a x (a>1)与幂函数y=x n (n>0)在区间(0，+∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增大， 的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n (n>0)的增长速度，而 的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x 0，当x>x 0时，就会有 .虽然幂函数y=x n (n>0)增长快于对数函数 增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称【“指数爆炸”】.

三、【练习与巩固】

例1：某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20 元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？

结论：设摊主每天从报社买进x 份，显然当x ∈［250，400］时，每月所获利润才

几类不同增长的函数模型教学设计范文整理

几类不同增长的函数模型教学设计 教学设计 2.1 几类不同增长的函数模型 整体设计 教学分析 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的． 三维目标 ．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异． ．恰当运用函数的三种表示方法并借助信息技术解决一些实际问题． ．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生的学习兴趣． 重点难点

教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模 型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题． 课时安排 课时 教学过程 第1课时 林大华 导入新 思路1． 一张纸的厚度大约为0.01c，一块砖的厚度大约为10c，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？ 解：纸对折n次的厚度：f＝0.01?2n，n块砖的厚度：g ＝10n，f≈105，g＝2. 也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解． 思路2． 请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异．推进新

新知探究 提出问题 如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数． 正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数． 某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数． 分别用表格、图象表示上述函数． 指出它们属于哪种函数模型． 讨论它们的单调性． 比较它们的增长差异． 另外还有哪种函数模型与对数函数相关． 活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路． 总价等于单价与数量的积． 面积等于边长的平方． 由特殊到一般，先求出经过1年、2年… 列表画出函数图象． 引导学生回忆学过的函数模型． 结合函数表格与图象讨论它们的单调性．

几种不同类型的函数模型知 识点

几种不同类型的函数模型 一 函数模型及数学建模 函数模型是解决实际问题的重要数学模型，将实际问题中的变量关系用函数表现出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题． 那么如何建立数学模型呢？可按以下步骤完成． (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题． 建模过程示意图： 二 几种常见的函数模型 1．一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)； 2．反比例函数模型：f(x)＝＋b(k、b为常数，k≠0)； 3．二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)； 4．指数函数模型：f(x)＝ab x＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0， b≠1)； 5．对数函数模型：f(x)＝mlog a x＋n(m、n、a为常数，a>0， a≠1)； 6．幂函数模型：f(x)＝ax n＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)；

7．分段函数模型：这个函数模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛． 三 指、对、幂三种函数模型增长速度的比较 正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数的增长差异． 直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一 个“档次”上. 随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x1),y=log a x(a>1)和 y=x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上；（2）随着x的增大，y=a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n(n>0)的增长速度，表现为指数爆炸；（3）随着x的增大，y=log a x(a>1)的增长速度会越来越慢；（4）随着x的增大， y=a x(a>1)的图象逐渐表现为与y轴平行一样，而y=log a x(a>1)的图象逐渐表现为与x轴平行一样；（5）当a>1,n>0时，总会存在一个x0,当x>x0时，有a x＞x n＞log a x；（6）当0x0时，有log a x＜x n＜a x 一次函数模型 例1 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．

几类不同增长的函数模型

几类不同增长的函数模型 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( ) A ．一次函数 B ．二次函数 C ．指数型函数 D ．对数型函数 2．若()0,1x ∈，则下列结论正确的是( ) A ．122lg x x x >> B ．122lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．12lg 2x x x >> 3．四人赛跑，假设他们跑过的路程(){}() 1,2,3,4i f x i ∈和时间()1x x >的函数关系分别是()12f x x =，()22f x x =，()32log f x x =，()42x f x =，如果他们一直跑下去， 最终跑在最前面的人具有的函数关系是( ) A ．()12f x x = B ．()22f x x = C ．()32log f x x = D ．()42x f x = 4．西部某地区实施退耕还林，森林面积在20年内增加了5%，若按此规律，设2016 年的森林面积为m ，从2016年起，经过x 年后森林面积y 与x 的函数关系式为( ) A ． 1.0520mx y = B ．0.05120x y m ??=- ??? C ．()2015%x y m =+ D ．()15%x y m ??=+?? 5．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后的剩留量为y ，则x ，y 之间的函数关系为( ) A ．1000.9576x y = B.1000.9576 x y = C ．0.9576100x y ??= ??? D ．10010.042x y =- 6．下列函数中在某个区间()0,x +∞内随x 增大而增大速度最快的是（ ） A.100ln y x = B.100y x = C.1e 100 x y = D.1002x y =? 7．以下四种说法中，正确的是( ) A ．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

高考中常用函数模型归纳及应用

高考中常用函数模型．．．． 归纳及应用 一． 常数函数y=a 判断函数奇偶性最常用的模型，a=0时，既是奇函数，又是偶函数，a ≠0时只是偶函数。关于方程解的个数问题时常用。 例1．已知x ∈(0, π],关于方程2sin(x+ 3 π )=a 有两个不同的实数解，则实数a 的取植范围是（ ）A ．[-2，2] B.[ 3,2] C.( 3,2] D.( 3,2) 解析；令y=2sin(x+3π ), y=a 画出函数y=2sin(x+3 π )，y=a 图象如图所示，若方程有两个不同的解，则两个函数图象有两个不同的交点， 由图象知( 3,2)，选D 二． 一次函数y=kx+b (k ≠0) 函数图象是一条直线，易画易分析性质变化。常用于数形结合解决问题，及利用“变元”或“换元”化归 为一次函数问题。有定义域限制时，要考虑区间的端点值。 例2．不等式2x 2 +1≤m(x-1)对一切│m │≤2恒成立，则x 的范围是（ ） A ．-2≤x ≤2 B. 4 31- ≤x ≤0 C.0≤x ≤ 47 1+ D. 4 7 1-≤x ≤ 4 1 3- 解析：不等式可化为m(x-1)- 2x 2 +1≥0 设f(m)= m(x-1)- 2x 2 +1 若x=1, f(m)=-3＜0 (舍) 则x ≠1则f(m)是关于m 的一次函数，要使不等式在│m │≤2条件下恒成立，只需? ? ?≥-≥0)2(0 )2(f f ，解之可得答案D 三． 二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 二次函数是应用最广泛的的函数，是连接一元二次不等式和一元二次方程的纽带。很多问题都可以化归和转化成二次函数问题。比如有关三次函数的最值问题，因其导数是二次函数，最后的落脚点仍是二次函数问题。 例3．（1）.若关于x 的方程x 2 +ax+a 2 -1=0有一个正根和一个负根，则a 的取值范围是（ ） 解析：令f(x)= x 2 +ax+a 2 -1由题意得f(0)= a 2 -1 ＜0,即-1＜a ＜1即可。 一元二次方程的根分布问题可借助二次函数图象解决，通常考虑二次函数的开口方向，判别式对称轴与根的位置关系，端点函数值四个方面。也可借助韦达定理。

FIR滤波器的窗函数法模型选择与设计

武汉工程大学 电气信息学院 《信号与系统分析处理（基于Matlab）》实验报告[ 4 ] 专业班级实验时间2010 年 12月 3 日学生学号实验地点 学生姓名指导教师 实验项目FIR滤波器的窗函数法模型选择与设计 实验类别设计实验实验学时3学时 实验目的及要求1.掌握用窗函数法、频率采样法设计FIR滤波器的原理及方法，熟悉响 应的计算机编程； 2.熟悉线性相位FIR滤波器的幅频特性和相频特性； 3.了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。 成绩评定表 类别评分标准分值得分合计 上机表现 按时出勤、遵守纪律 认真完成各项实验内容 30分 报告质量程序代码规范、功能正确 填写内容完整、体现收获70分 说明： 评阅教师：

日期： 2010年 11 月 3 日 实验内容 一、实验内容 1．熟悉FIR滤波器的理论知识，掌握Simulink工具包中FIR滤波器设计工具的不同窗函数类型。 2．选择矩形窗、汉明窗、汉宁窗、布莱克曼窗、凯撒窗等，设计采样频率为48KHz，通带截止频率为20KHz 的FIR滤波器，观察不同窗函数的频谱图及滤波器特征。 3．设计仿真模型，加载语音范围的频率激励信号，通过上述窗函数模型，对比分析仿真结果。 二、实验方法与步骤 1. 窗口法 窗函数法设计线性相位FIR滤波器步骤 ?确定数字滤波器的性能要求：临界频率{ωk}，滤波器单位脉冲响应长度N； ?根据性能要求，合理选择单位脉冲响应h(n)的奇偶对称性，从而确定理想频率响应H d(e jω)的幅频特性和相频特性； ?求理想单位脉冲响应h d(n)，在实际计算中，可对H d(e jω)按M(M远大于N)点等距离采样，并对其求IDFT得h M(n)，用h M(n)代替h d(n)； ?选择适当的窗函数w(n)，根据h(n)= h d(n)w(n)求所需设计的FIR滤波器单位脉冲响应； ?求H(e jω)，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度N，重复上述设计过程，以得到满意的结果。 窗函数的傅式变换W(e jω)的主瓣决定了H(e jω)过渡带宽。W(e jω)的旁瓣大小和多少决定了H(e jω)在通带和阻带范围内波动幅度，常用的几种窗函数有： ?矩形窗w(n)=R N(n)； ?Hanning窗； ?Hamming窗 ； ?Blackmen窗 ； ?Kaiser窗 。 式中I o(x)为零阶贝塞尔函数。 2. 频率采样法 频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应Hd(e jω)加以等间隔采样 然后以此Hd(k)作为实际FIR数字滤波器的频率特性的采样值H(k),即令 由H(k)通过IDFT可得有限长序列h(n) 将上式代入到Z变换中去可得

几类不同增长的函数模型(1)

几类不同增长的函数模型（1） 一、教学目标 （一）知识目标： 1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异. 2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等几类不同增长的函数模型的意义. 3.恰当运用函数的三种表示法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题. （二）能力目标：初步培养学生应用数学知识解决实际问题的意识与能力。（三）情感目标：培养学生数学应用意识以及比较分析的数学思想，激发学生的学习热情. 二、教学重难点 （一）重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义. （二）难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题. 三、活动设计 1.自主学习，从实际问题出发能构建出相应的数学模型. 2.探究与活动，在教师的指引下通过列表、描点，画出相应函数模型的图形，并能比较发现它们的增长趋势. 四、教学过程 一、创设情景，引入新课 我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，能否举出一些函数模型的具体例子? 指数函数、对数函数、幂函数等等. 当我们面临一个实际问题时，应如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？如果我们能够找出相应的数学模型，又是如何去研究它的性质呢?本节课先通过具体实例来比较几类不同增长的函数模型的增长趋势.（板书几类不同增长的函数模型）二、讲解新课 例题剖析 【例1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？

建立函数模型的常用方法

建立函数模型的常用方法 函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题，另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，对此发展趋势进行预测，下面对建立函数模型解决实际问题常用的方法举例说明。 一、列表法 例1、某服装厂每天生产童装200套或西服50套，已知每生产一套童装需成本40元， 可获得利润22元；每生产一套西服需成本150元，可获得利润80元；已知该厂每月成本支出不超过23万元，为使赢利尽量大，若每月按30天计算，应安排生产童装和西服各多少天？（天数为整数），并求出最大利润。 分析：通过阅读、审题找出此问题的主要关系（目标与条件的关系），即“生产童装与西服的天数”决定了“利润”，所以将生产童装的参数变量设为x 天，则生产西服的天数为（30－x ）天，于是每项利润即可表示了。在把“问题情景”译为“数学语言”时，为便于数据处理，运用表格或图形处理数据，有利于寻找数量关系。 解：设生产童装的天数为x 天，则生产西服的天数为（30－x ）天，从而建立总利润模型为：y ＝22×200x ＋80×50（30－x ），化简得有＝400x ＋120000，同时注意到每月成本支出不超过23万元，据此可得40×200x ＋150×50（30－x ）≤230000，从中求出x 的取值范围为100≤≤x ，且x 为正整数，显然当x ＝10时赢利最大，最大利润124000max =y 元。 点评：现实生活中很多事例可以用一次函数知识和方法建模解决，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长，即为增函数，一次项系数为负时，为减函数。 二、拟合法 例2、某地西红柿从2月1日起上市，通过市场调查得到西红柿种植成本Q （单位：元/2 10kg ）与上市时间t （单位：天）的数据如下表： 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关 系：（1）b at Q +=；（2）c bt at Q ++=2；（3）t b a Q ?=；（4）t a Q b log ?= 利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。 解：（1）由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数不可 能是常数函数，从而用函数b at Q +=； t b a Q ?=； t a Q b log ?=中的任意一个进行描 述时都应有0a ≠，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合，所

《几类不同增长的函数模型》教案

《几类不同增长的函数模型》教案 教学目标 使学生通过投资回报实例，对直线上升和指数爆炸有感性认识. 通过阅读理解题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及起数学含义. 体验由具体到抽象及数形结合的思维方法. 教学重难点 重点：将实际问题转化为函数模型，比教常数函数、一次函数、指数函数模型的增长差异；结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸等不同函数型增长的函义. 难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题. 教学过程 背景:(1)圆的周长随着圆的半径的增大而增大： L=2πR (一次函数) (2)圆的面积随着圆的半径的增大而增大： S=πR2(二次函数) （3）某种细胞分裂时，由1个分裂成两个，两个分裂成4个……，一个这样的细 胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是y = 2x(指数型函数) . 2、例题 例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案呢？ 投资方案选择原则： 投入资金相同，回报量多者为优 (1)比较三种方案每天回报量 (2) 比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案. x/天方案一方案二方案三 y/ 元 增长量/ 元 y/ 元 增长量/ 元 y/元增长量/元 1 40 0 10 0.4

2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12. 8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 … … … … … … … 30 40 300 10 214748364.8 107374182.4 根据上表我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据. 解：设第x 天所得回报为y 元，则 方案一：每天回报40元； y=40 (x ∈N*) 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x ∈N*) 方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番. Y=0.4×2x-1(x * N ) 图112-1

几种不同类型的函数模型题型及解析

几种不同类型的函数模型题型及解析 1.在定义域（0，+∞）内随着x的增大，增长速度最快的是（）A．y=100 B．y=10x C．y=lgx D．y=e x 分析：本题考察对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，直接根据常数函数、正比例函数、指数函数、对数函数的增长差异，得出结论 解：由于函数y=100是常数函数，函数y=2x是正比咧函数，函数y=e x是指数函数，函数y=lgx是对数函数， 由于指数函数的增长速度最快，所以选D 2.在区间（3，+∞）上，随着x的增大，增长速度最快的函数（）A y=x2 B y=2x C y=2x D y=log2x 分析：本题考察对数函数、指数函数与幂函数的增长差异，在同一坐标系画出四个函数的图象，比较图象上升的平缓程度，可得答案． 解：在区间（3，+∞）上，①y=x2，②y=2x，③y=2x，④y=log2x的 图象如右图所示，由图可知y=2x的函数值随着x的增大增长速度最 快，所以选B 3.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是（） A．y=100x B．y=log100x C．y=x100D．y=100x 分析：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底 数大于1的指数函数增长最快． 解：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数 y=100x增长速度最快．所以选D 4.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关于年数x的函数关系较为近似的是（） A．y=0.2x B．C．D．y=0.2+log16x 分析：利用所给函数，分别令x=1，2，3，计算相应的函数值，即可求得结论． 解：对于A，x=1，2时，符合题意，x=3时，y=0.6，与0.76相差0.16；对于B，x=1时，y=0.3；x=2时，y=0.8；x=3时，y=1.5，相差较大，不符合题意；对于C，x=1，2时，符合题意，x=3时，y=0.8，与0.76相差0.04，与A比较，符合题意；对于D，x=1时，y=0.2；x=2时，y=0.45；x=3时，y＜0.7，相差较大，不符合题意；故选C 5.假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？ 解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y＝10x (x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N*)进行描述. 三个函数，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析．作出三个函数的图象如图所示．由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四

几类不同增长的函数模型的教学设计与反思.doc

“几类不同增长的函数模型”的教学设计与反思 台州市第一中学蒋茵 一、教学内容与内容解析 几类不同增长的函数模型是必修1第三章“函数的应用”的重要内容 .它比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异，并结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 对于函数增长的比较分为三个层次：（1）以实例为载体让学生切实感受不同函数模型的增长差 异；（2）采用图、表两种方法比较三个函数（y = x：y = 2、，y=log X）的增长差异；（3）将结2 论推广到一般的指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异 其中（1）为第一课时的内容，（2）、（ 3）为第二课时的内容. 学生在本节内容学习之前，己经有了指数函数、对数函数以及幕函数的相关知识，在这里进一步 研究几类不同增长的函数模型的增长差异有着承上启下的作用.让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幕函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点与差异，同时将感受到的这种差异应用在后续的函数模型实例中 二、教学目标与目标解析 1.教学目标： （1）借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数间的增长差异. （2）结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 （3）恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格），并借助信息技术解决一些实际问题. （4）在实际问题解决过程中，体会数学的作用与价值，形成分析问题、解决问题的能力. 2.教学目标解析： 目标（1）、（2）是教学的重点，落实好目标（1）、（2）是实现教学目标（3）、（4）的前提与保证.

落实目标（1）、（2）的过程中可以创设问题情景，并通过层层递进的问题串，让学生在不断观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题、解决问题的能力，实现目标（4）. 目标（3）要求“恰当运用”对于学生初学时是不易达到的目标，教学时通过学生自主探究，相互 交流，教师适时提问引导，合作完成.另外利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幕函数的增长差异.还使学生接触到更多的数学知识和思想方法 三、教学问题诊断分析

函数模型及其应用 知识点与题型归纳

●高考明方向 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. ★备考知考情 1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点． 2.常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力． 3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主. 一、知识梳理《名师一号》P35 感谢下载载

知识点一几类函数模型 知识点二三种增长型函数之间增长速度的比较 1.指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)： 在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时，有a x＞x n. 感谢下载载

2．对数函数y＝log a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)：对数函数y＝log a x(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何，总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，当x＞x0时，有log a x＜x n 由1、2可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，当x＞x0时，有a x＞x n＞log a x. 注意：《名师一号》P36 问题探究问题1、2 问题1 解决实际应用问题的一般步骤是什么？ (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系， 初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转 化为符号语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； 感谢下载载

几类不同增长的函数模型教案

3.2.2 几类不同增长的函数模型 （一）教学目标 1．知识与技能 利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识. 2．进程与方法 在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力. 3．情感、态度与价值观 在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣. （二）教学重点与难点 重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升 难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养. （三）教学方法 尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策. （四）教学过程 回顾复习 择，这三种方案的回报如下： 元； 元； . 三种方案所得回报的增长情况

再作三个函数的图象 在第1~3天，方案一最多；在第天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二

观察图象发现，在区间[10，1000] 上，模型y=0.25x，y=1.002x的图 象都有一部分在直线y=5的上方， 只有模型y=log7x+1的图象始终 y=5的下方，这说明只有按模 . 所以该模型不符合要求； 时，是否有 2 变化的数据如下表

．中学数学建模的主要步骤

例1 有一批影碟机（VCD ）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场用如下的方法促销，买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费最小. 【解析】设单位购买x 台影碟机， 在甲商场购买，每台的单价为800 – 20x ，则总费用 280020,(118)440,(18)x x x y x x ?-≤≤=?>? 在乙商场购买，费用y = 600x . （1）当0＜x ＜10时，(800x – 20x 2)＞600x ∴购买影碟机低于10台，在乙商场购买. （2）当x = 10时，(800x – 20x 2) = 600x ∴购买10台影碟机，在甲商场或在乙商场费用一样. （3）当10＜x ≤18时，(800x – 20x 2)＜600x ∴购买影碟机多于10台且不多于18台，在甲商场购买. （4）当x ≥18时，600x ＞440x ∴购买影碟机多于18台，在甲商场购买. 答：若购买小于10台，去乙商场购买；若购买10台，在甲商场或在乙商场费用一样多；若购买多于10台，在甲商场购买. 【评析】实际应用问题求解，理解题意建立模型是关键，建好模型后实际问题使自然转化为数学问题. 例2 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出四种函数模型：y = ax + b ，y = ax 2 + bx + c ，y = a 2 1x + b ，y = ab x + c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？ 【解析】本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型. 由题意知A （1，1），B （2，1.2），C （3，1.3），D （4，1.37）. （1）设模拟函数为y =ax +b ，将B 、C 两点的坐标代入函数式，有?? ?=+=+2.123.13b a b a ，解得? ??==11 .0b a 所以得y =0.1x +1. 因此此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.

几种不同类型的函数模型知识点

几种不同类型的函数模型 一 函数模型及数学建模 函数模型是解决实际问题的重要数学模型，将实际问题中的变量关系用函数表现出来，然后对函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题． 那么如何建立数学模型呢？可按以下步骤完成． (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际问题． 建模过程示意图： 二 几种常见的函数模型 1．一次函数模型：f(x)＝kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0)； 2．反比例函数模型：f(x)＝k x ＋b(k 、b 为常数，k ≠0)； 3．二次函数模型：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)； 4．指数函数模型：f(x)＝ab x ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0，b>0，b ≠1)； 5．对数函数模型：f(x)＝mlog a x ＋n(m 、n 、a 为常数，a>0，a ≠1)； 6．幂函数模型：f(x)＝ax n ＋b(a 、b 、n 为常数，a ≠0，n ≠1)； 7．分段函数模型：这个函数模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛． 三 指、对、幂三种函数模型增长速度的比较 正确认识“直线上升”、“指数爆炸”、“对数增长”和幂函数的增长差异． 直线上升反映了一次函数(一次项系数大于零)的增长趋势，其增长速度均匀(恒为常数)；在区间(0，＋∞) 上，尽管函数y ＝a x (a>1)，y ＝log a x(a>1)和y ＝x n (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不在同一个“档次”上. 随着x 的增大，y ＝a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n>0)的增长速度，而y ＝log a x(a>1) 的增长速度则会越来越慢，因此总会存在一个x 0，当x>x 0时，就有log a x1),y=log a x(a>1)和y=x n (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不 同，而且不在同一个“档次”上；（2）随着x 的增大，y=a x (a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=x n (n>0) 的增长速度，表现为指数爆炸；（3）随着x 的增大，y=log a x(a>1)的增长速度会越来越慢；（4）随着x 的增大，y=a x (a>1)的图象逐渐表现为与y 轴平行一样，而y=log a x(a>1)的图象逐渐表现为与x 轴平行一样；（5）当a>1,n>0 时，总会存在一个x 0,当x>x 0时，有a x ＞x n ＞log a x ；（6）当0x 0时，有log a x ＜x n ＜a x 一次函数模型 例1 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y 1(元)、y 2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示． 图(1) 图(2) (1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算，在一个月(30天)内使用哪种卡便宜． 思路点拨：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．

§3.2.1 几类不同增长的函数模型

§3.2.1 几类不同增长的函数模型 一、教学目标: 1. 知识与技能 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义, 理解它们的增长差异性. 2. 过程与方法 能够借助信息技术, 利用函数图象及数据表格, 对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较, 初步体会它们的增长差异性; 收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等), 了解函数模型的广泛应用. 3. 情感、态度、价值观 体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用. 二、 教学重点、难点： 1. 教学重点 将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2．教学难点 选择合适的数学模型分析解决实际问题. 三、 学法与教学用具： 1. 学法：学生通过阅读教材，动手画图，自主学习、思考，并相互讨论，进行探索. 2．教学用具：多媒体. 四、教学设想： （一）引入实例，创设情景. 教师引导学生阅读例1，分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作指导. （二）互动交流，探求新知. 1. 观察数据，体会模型. 教师引导学生观察例1表格中三种方案的数量变化情况，体会三种函数的增长差异，说出自己的发现，并进行交流. 2. 作出图象，描述特点. 教师引导学生借助计算器作出三个方案的函数图象，分析三种方案的不同变化趋势，并进行描述，为方案选择提供依据. （三）实例运用，巩固提高. 1. 教师引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益. 学生通过自主活动，分析整理数据，并根据其中的信息做出推理判断，获得累计收益并给出本例的完整解答，然后全班进行交流. 2. 教师引导学生分析例2中三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，进一步体会三种基本函数模型在实际中广泛应用，体会它们的增长差异. 3．教师引导学生分析得出：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，学会对数据的特点与作用进行分析、判断。 4．教师引导学生利用解析式，结合图象，对例2的三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解答过程. 进一步认识三个函数模型的增长差异，并掌握解答的规范要求. 5．教师引导学生通过以上具体函数进行比较分析，探究幂函数n y x =（n ＞0）、指数函数n y a =（a ＞1）、对数函数log a y x =（a ＞1）在区间（0，+∞）上的增长差异，并从函数的性质上进行研究、论证，

函数模型的应用

函数模型的应用 一、选择题 1．下表显示了函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断其最可能的函数模型是( ) x 45678910 y 15171921232527 A.一次函数模型B．二次函数模型 C．指数型函数模型D．对数型函数模型 2．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( ) A．800米B．900米 C．1 000米D．1 200米 3．某沙漠地区的某时段气温f(t)与时间t的函数关系是f(t)＝－t2＋24t－101(4≤t≤18)，则该沙漠地区在该时段的最大温差是( ) A．54 B．58 C．64 D．68 4．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p＋q 2 B. p＋1q＋1－1 2 C.pq D.p＋1q＋1－1 5．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是( ) A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000) D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 6．某种细胞每15分钟分裂一次(1→2)，这种细胞由1个分裂成4 096个需经过( ) A．12小时B．4小时 C．3小时D．2小时 7．某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( ) A．45.606万元B．45.6万元

几种不同增长的函数模型

2013年-2014学年河南永城市高级中学高一年级数学学案 几种不同增长的函数模型 永城市高中：陆 洋 1、记住常见增长函数的定义、图像、性质，体会直线上升、对数增长、指数爆炸的含义 2 195页到101页，要读三遍。 2 1 （1）线性函数模型 线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变。 （2）指数函数模型 指数函数模型y=x a （a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越 快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”。 （3）对数函数模型 对数函数模型y=x a log （a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓。 (4)幂函数模型 幂函数的增长速度介于指数增长和对数增长之间。 2、指数函数、对数函数和冥函数的增长差异 一般地，在区间（0,+∞）上，尽管函数y=x a （a>1）, y=x a log （a>1）和y=n x (n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着x 的增大，y=x a （a>1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=n x (n>0)的增长速度，而 y=x a log （a>1）的增长速度则会越来越慢。 因此，总会存在一个0x ，使得当x>0x 时，就有x a log 1,n>0) 3.解决应用题的一般步骤 ① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； ② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； ③ 解模：求解数学模型，得出数学结论； ④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义 1）函数2x y =与x y 2=在()+∞,4上哪一 个增长得更快些？ （2）观察在同一坐标系中，函数2x y =，x y 2=，x y 2log =的图像，当 0x x >时， x x x 22log 2>>，则0x 的最小值是多少？

关于几类不同增长的函数模型作业推荐

几类不同增长的函数模型 一、选择题 1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用() A．一次函数B．二次函数 C．指数型函数D．对数型函数 2．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB， 直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线 l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为() 3．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表： x 123… y 138… 下面的函数关系式中，能表达这种关系的是() A．y＝2x－1 B．y＝x2－1 C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2 4.如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法 中，正确的是() (1)这几年人民生活水平逐年得到提高； (2)生活费收入指数增长最快的一年是2000年；

(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年； (4)虽然2002年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善． A ．1项 B ．2项 C ．3项 D ．4项 二、填空题 5．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 6．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到________只． 7．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表： 其中与x 呈对数型函数变化的变量是________，呈指数型函数变化的变量是________，呈幂函数型函数变化的变量是________． 8．假设某商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A ，那么广告效应D ＝a A －A ，当A ＝________时，取得最大广告效应．此时取入R ＝________． 三、解答题 9．一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价2 3优惠．”这两家旅 行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠． 10．某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20