高数下册总结(同济第六版)
高数（下）小结
一、微分方程复习要点
解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解.
一阶微分方程的解法小结：
方程
编号
类型一般形式解法备注
1型
可分离变量
方程
)
(
)
(y
x
y?
φ?
='或
)
(
)
(=
+dy
y
N
dx
x
M分离变量法
有些方程作代换后可
化为1型
2型齐次方程
)
(
x
y
yφ
='或
)
(
y
x
x?
='
令化
或
y
x
u
x
y
u=
=
为1型求解
有时方程写成
)
(
y
x
xφ
='令u
y
x
=化
为1型求解
3型线性方程
)
(
)
(x
Q
y
x
P
y=
+'
或
)
(
)
(y
Q
x
y
P
x=
+'
1．常数变易法
2．凑导数法：同乘
Pdx
e?
有时方程不是关于
y
y'
,线性方程，而是
关于x
x'
,线性方程
4型贝努里方程
α
y
x
Q
y
x
P
y)
(
)
(=
+'
或
α
x
y
Q
x
y
P
x)
(
)
(=
+'
令z
y=
-α
1或
z
x=
-α
1化为3型求
解
有时方程不是关于
y
y'
,的贝努里方程，
而是关于x
x'
,
贝努里方程
5型全微分方程
)
,
(
)
,
(=
+dy
y
x
Q
dx
y
x
P
其中
y
P
x
Q
?
?
=
?
?
(,)
u x y c
=
(,)
u x y为原函数
有时乘以一个积分因
子可化为5型
二阶微分方程的解法小结：
齐次方程"'0y py qy ++=的通解y 为：
判别式
两特征根情况 通 解
240p q ->
相异实根1r ，2r x r x r e c e c y 2121+= 042=-q p
二重实根0r
()x r e x c c y 021+=
240p q -<
共轭复根βαi r ,±=2
1
()x c x c e y x ββαsin cos 21+=
非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解*
y 的形式为：
()x f 的形式
特征根情况
*y 的形式
()rx m P x e
r 不是特征根
()rx m x e Q
r 是k 重特征根
()x m x x e αk Q 12r k r k =??
?=??
是单根是二重根
()()cos sin x l n e P x x P x x αββ?+???
i αβ±不是特征根 ()()()
()12cos sin x m m e Q x x Q x x αββ??+??i αβ
±是特征根
()()()()12cos sin x m m xe Q x x Q x x αββ??+??
类 型
特 征 求 解 方 法
备 注 ()
()x f y
n =
缺,x y ' n 次积分
求解见上册 ()'
"y ,x f y = 缺
y
令'"',y p y p ==，降为一阶方程
降价后是关于p ，x 的一阶方程
(
)'
"
y
,y f y =
缺x
令
()y p y '=，
dy
dp
p y '
'=降为一阶方程 降价后是关于
p ,y
的一阶方
程
()p y f dy
dp
p
,= ()y py qy f x '''++=
,p q 常
系数
通解y y y *+=
y y *及见下表
主要:
一阶1、可分离变量方程、线性微分方程的求解； 2、二阶常系数齐次线性微分方程的求解； 3、二阶常系数非齐次线性微分方程的特解
二、多元函数微分学复习要点
一、偏导数的求法 1、显函数的偏导数的求法 在求
x z ??时，应将y 看作常量，对x 求导，在求z y
??时，应将x 看作常量，对y 求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式.
2、复合函数的偏导数的求法
设()v ,u f z =，()y ,x u ?=，()y ,x v ψ=，则
x v v z x u u z x z ?????+?????=??，y
v
v z y u u z y z ?????+?????=?? 几种特殊情况：
1）()v ,u f z =，()x u ?=，()x v ψ=，则dx dv v z x u du dz dx dz ???+???= 2）(),z f
x v =，()y ,x v ψ=，则x v
v f x f
x z ?????+??=??，
y
v u f y z ?????=?? 3）()u f z =，()y ,x u ?=则x u du dz x z ???=??，y
u du dz y z ???=?? 3、隐函数求偏导数的求法 1）一个方程的情况
设()y ,x z z =是由方程()0=z ,y ,x F 唯一确定的隐函数，则
()0≠-=??z
z
x
F F F x z
， ()0≠-
=??z
z
y F F F y
z
或者视()y ,x z z =，由方程()0=z ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出
()z z x y
????或. 2）方程组的情况 由方程组()()??
?==0
0v ,u ,y ,x G v ,u ,y ,x F 两边同时对()x y 或求导解出()z z
x y ????或即可.
二、全微分的求法 方法1：利用公式dz z
u
dy y u dx x u du ??+??+??=
方法2：直接两边同时求微分，解出du 即可.其中要注意应用微分形式的不变性：
z
z du dv u
v dz z z dx dy
x
y ???+????=????+????
三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法
1）设空间曲线Г的参数方程为 ()
()()??
?
??===t z t y t x ωψ?，则当0t t =时，在曲线上对应点
()0000z ,y ,x P 处的切线方向向量为()()(){}
000t ,t ,t T '''ωψ?=
，切线方程为
()()()
00
0000t z z t y y t x x '''ωψ?-=
-=- 法平面方程为 ()()()()()()0000000=-+-+-z z t y y t x x t '''ωψ?
2）若曲面∑的方程为()0=z ,y ,x F ，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量
{}
P z y x F ,F ,F n =
，切平面方程为
()()()()()()0000000000000=-+-+-z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z ,y ,x F z y x 法线方程为
()()()
0000
00000000z ,y ,x F z z z ,y ,x F y y z ,y ,x F x x z y x -=
-=-
若曲面∑的方程为()y ,x f z =，则在点()0000z ,y ,x P 处的法向量
()(){}10000-=,y ,x f ,y ,x f n y x
，切平面方程为
()()()()()00000000=---+-z z y y y ,x f x x y ,x f y x 法线方程为
()()1
000000--=
-=-z z y ,x f y y y ,x f x x y x 四、多元函数极值（最值）的求法 1 无条件极值的求法
设函数()y ,x f z =在点()000y ,x P 的某邻域内具有二阶连续偏导数，由(),0x f x y =，
(),0y f x y =，解出驻点()
00,x y ，记()00y ,x f A xx =，()00y ,x f B xy =，
()00y ,x f C yy =.
1）若2
0A
C B ->，则()y ,x f 在点()00,x y 处取得极值，且当0A <时有极大值，当0
A >时有极小值.
2） 若20AC B -<，则()y ,x f 在点()00,x y 处无极值.
3） 若02
=-B AC ，不能判定()y ,x f 在点()00,x y 处是否取得极值.
2 条件极值的求法
函数()y ,x f z =在满足条件()0=y ,x ?下极值的方法如下：
1）化为无条件极值：若能从条件()0=y ,x ?解出y 代入()y ,x f 中，则使函数(,)z z x y =成为一元函数无条件的极值问题.
2）拉格朗日乘数法
作辅助函数()()()y x y x f y x F ,,,λ?+=，其中λ为参数，解方程组
()()()()()()()????
?
?
?????
=+=+=0,0,,,0,,,y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ?λ?λ?令令 求出驻点坐标()y ,x ，则驻点()y ,x 可能是条件极值点.
3 最大值与最小值的求法
若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值. 主要:
1、偏导数的求法与全微分的求法；
2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法
3、最大值与最小值的求法
三、多元函数积分学复习要点
七种积分的概念、计算方法及应用如下表所示：
积分类型 积分记号 定义及几何意义
积分区域 积 分 元 素 被积函数
一重积分
?b
a
dx x f )(
i i n
i x f ??∑=→)(lim 1
0ξλ
曲边梯形面积
区间[,]a b
dx =x ?
一元函数
二重积分
??D
d y x f σ),(
i i i n
i f σηξλ??∑=→),(lim 1
曲顶柱体体积
平面区域D
?
??=θσrdrd dxdy
d 二元函数
三重积分
???Ω
dv
z y x f ),,(
i
i i i n
i v f ??∑=→),(lim ,1
0ζηξλ
空间区域Ω
2sin dxdydz dv rdrd dz
r drd d θ?θ???=???
三元函数
第一类曲线积分
??L
L
ds
z y x f ds
y x f ),,(),(
i i i n
i s f ??∑=→),(lim 1
0ηξλ
平面或空间曲线L
ds=22)()(dy dx +
=222122()()x y dt dx y r r d θθθ?''+??'+??
?'+?
二元或三元函数
第二类曲线积分
??
L
L dx
z y x f dx
y x f ),,(),(
i i i n
i x f ??∑=→),(lim 1
0ηξλ
平面或空间曲线L
cos dx ds α=
二元或三元函数
第一类 曲面积分
??∑
ds z y x f ),,(
i
i i n
i s f ??∑=→),,(lim 1
0ζηξλ
空间曲面∑
221cos x y
z z dxdy
ds dxdy
γ?++?=??
?
三元函数 第二类曲面积分
??
∑
dxdy z y x f ),,(
i i i i n
i x f ??∑=→),,(lim 1
ζηξλ
空间曲面∑ γcos ?=ds dxdy
三元函数
高数同济版下
计 算 方 法 应 用 转动慣量X I 重心x 其它（面积.体积.功等） 见 上 册
表后*所示
1）??)
()
(21x x b
a
fdy dx
?? or ??)
()
(21y y d
c
fdy dx ??
2)
??)
()
(21)sin ,cos (θθ
β
α
θθθ
r r rdr r r f d
x I ??
=
D
d y σρ2
x ??
??=
D
D
d d x σ
ρσ
ρ
1体积
??-=
xy
D d z z
V σ)(12
2）曲面面积
A=
??
++xy
D y x dxdy z z 221
1)
?
??
)
,()
,(21y x z y x z D fdz d X Y
σ
2)???Z
D c c
fdxdy dz
2
3) 柱面坐标法 4）球面坐标法
x
I =
???Ω
+dv z y
ρ)(22
x ??????
Ω
Ω
=
dv
dv
x ρρ
体积V=
???Ω
dv
1）
22((),())f t t x y dt β
α
φ?''+?
2)
dx y x y x f b
a
'+?2
1))(,(
3）
22(()cos ,()sin )()()f r r r r d β
α
θθθθθθθ
'+?
4）化为第二类曲线积分
x I =?
?L
ds y ρ2
x =
??L
L
ds
ds
x ρρ
曲线所围面积 A=
?-L
ydx xdy 2
1
?'β
α
φ?φdt t t t f )())(),(()1 2）
dx x y x f b
a
))(,(?
3）?-
β
α
θθθθθθd r r r f )sin()sin )(,cos )((
4）
?L
ds y x f αcos ),( 5）green 公式计算法
6）折线计算法（积分与路径无关时）；7）连续变形原理计算法； 8）N L -公式计算法
1） 功 W=?
+L
Qdy Pdx
求二元函数的“原函数”
??
++X Y
D y x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(
x
I =
x =
????
∑
∑
ds
ds
x ρρ
面积S=
??∑
ds
*定积分的几何应用
定积分应用的常用公式： (1)面积()()[]?-=
dx x g x f S b a
（X -型区域的面积）
()()[]
θθθβαd r r S ?
-=2
1
2221 （θ-型区域的面积） (2)体积
()?=dx x A V b a （横截面面积已知的立体体积）
()2b xx a V f x dx π=? （(),,,0y f x x a x b y ====所围图形绕x 轴旋转所得
的立体体积）
()xy 2b a V x f x dx π=?? （(),,,0y f x x a x b y ====所围图形绕y 轴旋转的立
体体积）
()2()b y c a V f x c dx π==-? （(),,,y f x x a x b y c ====所围图形绕轴y c =旋转
的立体体积）
??∑
?+ds z y
ρ)(22
1）直接代入法 ??±
xy
D dxdy y x z y x f )),(,,(
2）Gaus 公式计算法 ； 3）投影转移法
cos ((,),,))
cos yz
D f x y z y z dydz α
γ
??
(3)弧长
()
()
()
'2
'2'2
2'2
1
b
a
b
a t t
y dx
S x y dt
r r d
β
α
θ
?+
?
?
=+
?
?
?+
?
?
?
?
直角坐标形式
参数方程形式
极坐标形式
计算时注意：（1）正确选择恰当的公式；（2）正确的给出积分上下限；（3）注意对称性使问题简化；（4）注意选择恰当的积分变量以使问题简化．
计算多元函数的积分时要注意利用对称性简化积分的计算：
1）、对二、三重及第一类的线面积分，若积分区域关于变量x对称，则当被积函数关于x为奇函数时，该积分为0，当被积函数关于变量x为偶函数时，则该积分为相应一半区域积分的二倍.
2）、对第二类的线面积分，关于积分变量的对称性理论与上相同，关于非积分变量
的对称性理论与上相反.
3）、若积分区域,x y的地位平等（即将表示区域的方程,x y互换不变），则将被积函
数中,x y互换积分不变.此称之为轮换对称性.
主要
1、交换二次积分的积分次序；
2、化三重积分为球面坐标或柱面坐标下的三次积分；
3、green公式计算法；
4、Gaus公式计算法；
5、两曲面所围体积与旋转体的体积计算．
6.平面图形面积的计算。
所以：
()() ()()()()()()0
1()1() z z p x p y
p y p x p y z u p x z u
x y u u
????-
''
+=+=
''??--