高考数学 立体几何理科典型例题选讲

高考数学立体几何理科典型例题选讲.txt我们用一只眼睛看见现实的灰墙，却用另一只眼睛勇敢飞翔，接近梦想。男人喜欢听话的女人，但男人若是喜欢一个女人，就会不知不觉听她的话。立体几何理科典型例题选讲

1 ．（福建省三地09-10学年高二五校联考（理））如图在棱长为2的正方体中,点F为棱CD 中点,点E在棱BC上

(1)确定点E位置使面;

(2)当面时,求二面角的平面角的余弦值;

【答案】:(1)以A为原点,、、线为坐标轴建立如图空间直角坐标系

设

则面有且

得为中点

(2)面时取

设面的一个法向量为

且则取

得二面角的余弦值为

2 ．（广东省汕尾市08-09学年高二下学期期末考试（理））如图,四面体ABCD中,O、E分别是B D．BC的中点, ,

(Ⅰ)求证:平面BCD;

(Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;

(Ⅲ)求点E到平面ACD的距离.

【答案】(Ⅰ).证明:连结OC . 同理.

在中,由已知可得

即

∴平面

(Ⅱ)解:以O为原点,如图建立空间直角

坐标系,则

,

∴异面直线AB与CD所成角余弦的大小为

(Ⅲ)设E到平面ACD的距离为h,由E是BC的中点得B到平面ACD的距离为2h

又经计算得:

E到平面ACD的距离为

3 ．（浙江省温州市2010届高三八校联考（理））如图,在直三棱柱中,,?M、N分别是AC和BB1的中点?

(1)求二面角的大小?

(2)证明:在AB上存在一个点Q,使得平面⊥平面,并求出的长度?

【答案】:如图建立空间直角坐标系

(1)

∴

设平面的法向量为,平面的法向量为

则有

设二面角为θ,则

∴二面角的大小为60°?

(2)设

∵

∴,设平面的法向量为

则有:

由(1)可知平面的法向量为

∵平面⊥平面

∴即,

此时?

4 ．（2009高考(陕西文)）如图,直三棱柱中, AB=1,,∠ABC=60.

(Ⅰ)证明:;

(Ⅱ)求二面角A--B的大小?

【答案】(1)证三棱柱为直三棱柱,

,,

由正弦定理

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

如图,建立空间直角坐标系,

则

(2) 解,如图可取为平面的法向量

设平面的法向量为,

则

不妨取

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

5 ．

（北京市东城区08-09学年高二上学期期末）如图,已知P为矩形ABCD所在平面外一点,PA 平面ABCD,E、F分别是A B．PC的中点.

(Ⅰ)求证:EF∥平面PAD;

(Ⅱ)求证:EFCD;

(Ⅲ)若,∠PDA=45°,求EF与平面ABCD所成角的大小.

【答案】证明:如图,建立空间直角坐标系A-xyz,设AB=2a,BC=2b,PA=2c,

则A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2c).

∵E为AB的中点,F为PC的中点,

∴E(a,0,0),F(a,b,c).

(Ⅰ)∵=(0,b,c),=(0,0,2c),

=(0,2b,0),

∴=(+).

∴与、共面.

又∴平面PAD,

∴EF∥平面PAD

(Ⅱ)∵=(-2a,0,0),

∴·=(-2 a,0,0)·(0,b,c)=0.

∴EFCD

(Ⅲ)若∠PDA=45°则有2b=2c,即b=c.

∴=(0,b,b),=(0,0,2b).

∴<,>=

∴<,>=45°.

∵AP平面ABCD,

∴是平面ABCD的法向量.

∴EF与平面ABCD所成的角为90°-<,>=45°

6 ．（四川省遂宁市08-09学年高二下学期期末（文））如图,PA⊥平面ABCD,四边

形ABCD是正方形,PA=AD=2,M、N分别是A B．PC的中点.

(1)求二面角P-CD-B的大小;

(2)求证:平面MND⊥平面PCD;

(3)求点P到平面MND的距离.

【答案】(1)∵ PA⊥平面ABCD,

∴ AD是PD在平面ABCD上的射影.

由ABCD是正方形知AD⊥CD,

∴ PD⊥C D．

∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角.

∵ PA=AD

∴∠PDA=45o,

即二面角P-CD-B的大小为45o

(2)如图,建立空间直角坐标系至A-xyz,则

P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0),M(1,0,0),

∵ N是PC的中点,

∴ N(1,1,1).

∴ (0,1,1),(-1,1,-1),(0,2,-2).

设平面MND的一个法向量为m=(x1,y1,z1),平面PCD的一个法向量为n=(x2,y2,z2). ∴ m,m,即有

令z1=1,得x1=-2,y1=-1.

∴ m=(-2,-1,1).

同理由n,n,即有

令z2=1,得x2=0,y2=1.

∴ n=(0,1,1,).

∵ m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0.

∴ m⊥n.

∴平面MND⊥平面PCD

(3)设P到平面MND的距离为d.

由(2)知平面MND的法向量m=(-2,-1,1)

∵ m=(0,2,-2)·(-2,-1,1)=-4,

∴ |m |=4.

又 |m|=,

∴ d=

即点P到平面MND的距离为

7 ．（瑞安中学2010届高三暑期总结性测试）如图,多面体ABCDS中面ABCD为矩形, ,E为CD四等分点(紧靠D点)?

(I)求证:AE与平面SBD

(II)求二面角A-SB-D的余弦值?

【答案】:(I)平面ABCD

又~,易证,

AE与平面SBD

(II)如图建立空间直角坐标系

,

设面SBD的一个法向量为

又

设面SAB的一个法向量为

, 所以所求的二面角的余弦为

8 ．（09北京崇文二模理）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面积是等腰直角三角形,∠A1B1C1=90°,A1C1=1,AA1=,N、M分别是线段B1 B．AC1的中点?

(I)证明:MN//平面ABC;

(II)求A1到平面AB1C1的距离

(III)求二面角A1-AB1-C1的大小?

【答案】(I)证明:取AC中点F,连结MF,BF,

在三角形AC1C中,MN//C1C且

,

(II)设A1到平面AB1C1的距离为h,AA1⊥平面A1B1C1

(III)三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,平面ABB1A1⊥平面A1B1C1,又点D是等腰直角三角形A1B1C1斜边A1B1的中点?

则C1D⊥A1B1

所以,;

平面A1B1BA内,过D作DE⊥AB1,垂足为E,连结C1E,则C1E⊥AB1;

是二面角,A1-AB1-C1的平面角,

在Rt

所以,二面角,A1-AB1-C1的大小为

9 ．（09海淀高三查漏补缺数学）在直平行六面体中,是菱形,,,.

(1)求证:平面;

(2)求证:平面平面;

(3)求直线与平面所成角的大小.

【答案】证明:(1)连接交于,连结.

在平行四边形中,,,

四边形为平行四边形.

.

平面,平面,

平面.

(2)在直平行六面体中,平面,

.

四边形为菱形,

.

,平面,平面,

平面.

平面,

平面平面.

(3)过作交于.

平面平面,平面平面,

平面.

为在平面上的射影.

是与平面所成的角.

设,在菱形中,,

.

在Rt中,.

,

.

.

.

(3)解法二:

连交于,分别以,,所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示. 设,在菱形中,,

,.

则(0,,0),(0,,0),

(1,0,2),(0,0,2).

(0,,2),(1,,2).

设平面的法向量(,,),

则

.令,则.

(0,,).

设与平面所成的角为.

.

命题意图:

熟悉立体几何中常见问题及处理方法,要求学生敏锐把握所给图形特征,制定合理的解决问题策略.立体几何主要是两种位置关系(平行、垂直),两个度量性质(夹角、距离).解决问题的方法也有两种:几何方法和向量方法.两种方法各有优缺点,前者难在"找"和"作"的技巧性,后者难在建系和计算上,究竟用哪种方法,到时根据自己的情况决断.

10．（09北京西城二模理）如图,在直三棱柱中,,D是AA1的中点.

(Ⅰ) 求异面直线与所成角的大小;

(Ⅱ) 求二面角C-B1D-B的大小;

(Ⅲ) 在B1C上是否存在一点E,使得平面? 若存在,

求出的值;若不存在,请说明理由.

【答案】 (Ⅰ)如图,以B为原点,B C．B（）

A．BB1分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,

则,

,

,

异面直线与所成的角为

(Ⅱ)解:直三棱柱,,

又,

平面

如图,连接BD,

在中,,

,即,

是CD在平面内的射影,

,

为二面角C-B1D-B的平面角

,

,

二面角C-B1D-B的大小为

11．（09北京宣武二模文）如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD的中点?

(1)求证:D1E⊥平面AB1F;

(2)求二面角C1-EF-A的余弦值?

【答案】解法1:(1)连结A1B,则D1E在侧面ABB1A1上的射影是A1B,

又∵A1B⊥AB1,

∴D1E⊥AB1,

连结DE,

∵D1E在底面ABCD上的射影是DE,E、F均为中点,

∴DE⊥AF,

∴D1E⊥AF

∵AB1∩AF=A

∴D1E⊥平面AB1F

(2)∵C1C⊥平面EFA,连结AC交EF于H,

则AH⊥EF,

连结C1H,则C1H在底面ABCD上的射影是CH,

∴C1H⊥EF,

∴∠C1HA为二在角C1-EF-A的平面角,它是∠C1HC的邻补角?

解法2:(1)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系?

(2)由已知得为平面EFA的一个法向量,

∵二面角C1-EF-A的平面角为钝角,

∴二面角C1-EF-A的余弦值为

12．（09北京宣武二模理）如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1=BC=2,且M是BC的中点,点N在CC1上?

(1)试确定点N的位置,使AB1⊥MN;

(2)当AB1⊥MN时,求二面角M-AB1-N的大小?

【答案】解法1:(1)连结M（）

A．B1M,过M作MN⊥B1M,且MN交CC1点N,

在正△ABC中,AM⊥BC,

又∵平面ABC⊥平面BB1C1C,

平面ABC∩平面BB1C1C=BC,

∴AM⊥平面BB1C1C,

∵MN平面BB1C1C,

∴MN⊥AM?

∵AM∩B1M=M,

∴MN⊥平面AMB1,∴MN⊥AB1?

∵在Rt△B1BM与Rt△MCN中,

即N为C1C四等分点(靠近点C)?

(2)过点M作ME⊥AB1,垂足为R,连结EN,

由(1)知MN⊥平面AMB1,

∴EN⊥AB1,

∴∠MEN为二面角M-AB1-N的平面角?

∵正三棱柱ABC-A1B1C1,BB1=BC=2,

解法2:(1)以点M为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

∴N点是C1C的四等分点(靠近点C)?

(2)∵AM⊥BC,平面ABC⊥平面BB1C1C,

且平面ABC∩平面BB1C1C=BC,

∴AM⊥平面BB1C1C,

∵MN平面BB1C1,∴AM⊥MN,

∵MN⊥AB1,∴MN⊥平面AMB1,

13．（09北京朝阳二模文）如图,四棱锥的底面是矩形,底面,为边的中点,与平面所成的角为,且,.

(Ⅰ) 求证:平面;

(Ⅱ)求二面角的大小.

【答案】：因为底面,

所以是与平面所成的角,

由已知,

所以.

建立空间直角坐标系(如图).

由已知,为中点.

于是、、、

(Ⅰ)易求得,, .

因为, ,

所以,.

因为,所以平面

(Ⅱ)设平面的法向量为,

由得解得,

所以.

因为平面,所以是平面的法向量, 易得.

所以.

所以二面角的大小为

14．（北京丰台09高三一模理）(本小题共14分)如图,在正三棱柱中,,是的中点,点在上,? (Ⅰ)求所成角的正弦值;

(Ⅱ)证明;

(Ⅲ) 求二面角的大小.

【答案】：如图,在正三棱柱中,,是的中点,点在上,?

(Ⅰ)求所成角的正弦值;

(Ⅱ)证明;(Ⅲ) 求二面角的大小.

解:(Ⅰ)在正三棱柱中,

,又是正△ABC边的中点,

,

∠为所成角

又 sin∠=

(Ⅱ)证明: 依题意得 ,,

因为由(Ⅰ)知, 而,

所以所以

(Ⅲ) 过C作于,作于,连接

,

又是所求二面角的平面角

,

二面角的大小为

15．（武汉二中08-09学年高二年级下学期期末）如图, 在三棱柱中, 侧面,

为棱的中点, 已知, ,

, , 求:

(1)异面直线与的距离;

(2)二面角的平面角的正切值.

【答案】 (1)建立如图所示空间直角坐标系?

由于,,,

,在三棱柱中有

,,,

,∴,

故,即

又面,故?因此是异面直线与的公垂线段,

则,故异面直线与的距离为1?

(2)由已知有,,故二面角的平面角的大小为向量与的夹角?因,

故,即?

16．如图,在四棱锥中,底面四边长

为1的菱形,, ,

,为的中点?

(Ⅰ)求异面直线AB与MD所成角的大小;

(Ⅱ)求点B到平面OCD的距离?

【答案】

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

,

(1)设与所成的角为,

,

与所成角的大小为

(2)

设平面OCD的法向量为,则

即

取,解得

设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,

, .

所以点B到平面OCD的距离为

17．（2009高考(湖北文)）如图，四棱锥S＝ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD ＝a,点E是SD上的点，且DE＝a(0<≦1). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(Ⅰ)求证：对任意的（0、1），都有AC⊥BE:

(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为600C，求的值。

【答案】本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（Ⅰ）证发1：连接BD，由底面是正方形可得ACBD。

SD平面ＡＢＣＤ，BD是BE在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理得ACBE.

(II)解法1：SD平面ABCD，ＣＤ平面ＡＢＣＤ， SDC D．

又底面ＡＢＣＤ是正方形，ＣDＡD，又ＳＤAD=D，CD平面SAD。

过点D在平面SAD内做DFAE于F，连接CF，则CFAE，

故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°

在Rt△ADE中，AD=, DE= ， AE= 。

于是，DF=

在Rt△CDF中，由cot60°=

得，即=3 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

，解得=

18．（广东省佛山一中2010届高三第一次模拟考试（理））如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,, 底面, ,为的中点,为的中点.

(Ⅰ)证明:直线平面;

(Ⅱ)求异面直线与所成角的大小;

(Ⅲ)求点到平面的距离.

【答案】

作于点P,如图,分别以

所在直线为轴建立坐标系.

,

,

(1)

设平面的法向量为,则

即 , 取,解得

(2)设与所成的角为,

,

, 即与所成角的大小为

(3)设点到平面的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,

由 , 得

所以点到平面的距离为

19．（2009高考(江西文)）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的大小；

（3）求点到平面的距离．

【答案】解：方法一：

（1）证：依题设，M在以BD为直径的球面上，则有BM⊥P D．

因为PA⊥平面ABCD，则有PA⊥AB，又AB⊥AD，

所以AB⊥平面PAD，则有AB⊥PD，因此有PD⊥平面ABM，

所以平面ABM⊥平面PC D．

（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，

设平面ABM的一个法向量，由⊥，⊥可得

，令，则，即．设所求角为，

则，

所求角的大小为．

（3）设所求距离为，由，，得．

20．（2009高考(海南宁夏理)）如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的倍,P为侧棱SD上的点?

(Ⅰ)求证:AC⊥SD;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,w使得BE∥平面PAC?若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由?

【答案】解法一

(Ⅰ)连接,设交与,由题意,,在正方形中,,所以,得

(Ⅱ)设正方形边长为,则,又,所以,连接,Y由(Ⅰ)知,,所以,所以是二面角P-AC-D的平面角,由,知

所以,即二面角P-AC-D的大小是

(Ⅲ)在SC上存在一点E,使得BE∥平面PAC

由(Ⅱ)知,,故可在上取一点,使,过作得平行线与SC的交点即为E,连,在中,由于,故平面平面,得BE∥平面PAC,由于,所以

解法二

(Ⅰ)连接,设交与,由题意,平面,以为坐标原点,分别为轴,轴,轴正方向建立直角坐标系如图, 设底面边长为,则于是

,,,

,

所以,从而

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,平面的一个发向量

平面的一个发向量,设所求二面角为,

则,,即二面角P-AC-D的大小是

(Ⅲ)在SC上存在一点E,使得BE∥平面PAC

由(Ⅱ)知,为平面的一个发向量,

设,则

,即当时,

而不在平面内,所以BE∥平面PAC

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