2019-2020学年高三数学第一轮复习 正弦定理与余弦定理(1)学案 理.doc
2019-2020学年高三数学第一轮复习正弦定理与余弦定理（1）学案
理
一、知识梳理：【必修五第2页——第10页】
1、直角三角形各元素之间的关系:如图1,在RtABC中，C= ，BC=a，AC=b，Ab=c。
（1）、三边之间的关系：+=；（勾股定理）
（2）、锐角之间的关系：A+B=
（3）、边角之间的关系：（锐角三角函数的定义）：
sinA=cosB= sinB=cosA= ,tanA
2、斜三角形各元素之间的关系：如图2，ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、
B、C的对边。
（1）、三角形内角之间的关系：A+B+C= ；sin(A+B)=sinC,
cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC
sin； cos；
（2）、三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（3）、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等；即
=2R (2R为外接圆的直径)
正弦定理变形：a=2R ；；
；；；
a：b：c=
（4）、余弦定理：=-2bccosA; =-2accosB;-2abcosC;
余弦定理变形：cosA= ; cosB=; cosC=
3、三角形的面积公式：
（1）、=a=b=c（，，分别表示a，b，c三边上的高）
（2）、=absinC=bcsinA=casinB
（3）、=2=
（4）、= ；
（5）、=rs（r为内切圆半径，）
4、解三角形：由三角形的六个元素（即三个内角和三条边）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其它未知元素的问题叫做解三角形，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等，解三角形问题一般可以分为下面两个情形：若给出是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形为斜三角形，则称为解斜三角形。
5、实际问题中的应用：
（1）、仰角和俯角：
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标线在水平线上方的角叫做仰角，目标线在水平线下方的角叫俯角。
图四
东
西 南
北
图三俯角仰角铅
垂
线视线
视线
水平线
（2）、方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的角。
（3）、坡度角：坡面与水平面所成的二面角的度数。
（4）、距离、角度的测量
测量距离问题；测量高度问题；测量角度问题。
β
α
D
C B A
βαH G E D
E B A 小河流
小河流C A B C
D
B
A
二、题型探究
【探究一】：利用正余弦定理解三角形
例1：【2015年课标2】（17）.（本小题满分12分）
?ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，?ABD 是?ADC 面积的2倍。
(Ⅰ) 求 sin sin B C
； (Ⅱ) 若AD =1,DC =22
，求BD 和AC 的长. 【试题解析】今年的高考题型有变化，17题原考核为三角函数或数列，2015年有调整，考查解三角形问题，本题重点考查了三角的解法及二个重要定理，具体考查了内分平分线的性质，三角形的面积公式，正弦定理和余弦定理及解题能力运算能力。
(Ⅰ)解： 1sin 2
ABD S AB AD ABD ?=?,1sin 2DAC S AC AD ACD ?=?, 因为AD 平分∠BAC ，所以,ABD ACD ∠=∠又ABD S ?=2DAC S ?，所以2AB AC = , 在三角形ABC 中， 由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ==.
(Ⅱ)由内角平分线定理可得2AB BD AC DC
== , 因为22
DC = ,所以2BD =；在?ABD 、?ADC 中，则余弦定理得 2222cos AB BD AD BD AD BDA =+-?,2222cos AC DC AD DC AD CDA =+-? 2222222326AB AC BD AD BD DC +=++=又由2AB AC =，所以1AC =。
例2: 【2014安徽】设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ)求??
? ??
+4sin πA 的值. （Ⅰ）因为B A 2=，所以B B B A cos sin 22sin sin ==．
由正、余弦定理得 ac
b c a b a 222
22-+?=． 因为3=b ，1=c ，所以122
=a ，32=a ． （Ⅱ）由余弦定理得3