( )
A .sin cos A A >
B .sin cos B A >
C .sin cos A B >
D .sin cos B B >
5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( ) A .090 B .060 C .0120 D .0150
6.在△ABC 中,若2
2tan tan b
a B
A =,则△ABC 的形状是( )
A .直角三角形
B .等腰或直角三角形
C .不能确定
D .等腰三角形
二、填空题
1.在△ABC 中,若,s in s in B A >则A 一定大于B ,对吗?填
_________(对或错) 2.在△ABC 中,若,1cos cos
cos 2
2
2
=++C B A 则△ABC 的形状是
______________。
3.在△ABC
中,∠C
是钝角,设
,c o s
c o s
,s
i n s
i n ,s
i n B A z B A y C x +=+== 则z y x ,,的大小关系是___________________________。
4.在△ABC 中,若b c a 2=+,则
=+-+C A C A C A s i n s
i n 3
1
c o s c o s c o s
c
o s ______。
5.在△ABC 中,若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是_______________。
6.在△ABC 中,若ac b =2
,则B B C A 2cos cos )cos(++-的值
是_________。
三、解答题
1.在△ABC 中,若)sin()()sin()(2
2
2
2
B A b a B A b a +-=-+,请
判断三角形的形状。
1. 如果△ABC
内接于半径为
R
的圆,且
,sin )2()sin
(sin
22
2
B b a
C A R -=-
求△ABC 的面积的最大值。
3.已知△ABC 的三边c b a >>且2
,2π
=-=+C A b c a ,求::a b c
4.在△ABC
中,若()()a b c a
b c a c +
+-+=
,
且t a n t a 33A C +
=+A
B
边上的高为,,A B C 的大小与边,,a b c 的长
[基础训练A 组]
一、选择题
1.C
tan 30,tan 302b b a c b c b a
=====-=2.A 0,sin 0A A π<<> 3.C cos sin()sin ,
,2
2
A A
B A B π
π
=->-都是锐角,则,,2
2
2
A B A B C π
π
π
->+<
>
4.D 作出图形
5.D 0
12sin ,sin 2sin sin ,sin ,302
b a B B A B A A ====或0
150
6.B 设
中间角
为
θ
,
则
2
2
2
58
7
1c
o
s ,60,
18
06012025
8
2
θθ+
-===-=??为所求 二、填空题
1.
12
11sin sin sin cos sin 22
2
A B A A A ==
≤
2.0
120 2
2
2
1c o s ,120
22
b c a
A A bc
+-=
=-
= 3.
26-
sin 215,,4sin 4sin 154sin sin sin 4
a b b A A a A A
B
B
======?
4. 0120 a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13,
令7,8,13a k b k c k ===
2
2
2
1cos ,12022
a b c
C C ab
+-==-
=
5. 4
,,sin sin sin sin sin sin A C B C
A B
A C
B C
A B B
A
C B A
C
+=
=
=+A C B C
+
sin )sin
cos
2
2
A B A B A B +-=+=-
m ax 4cos
4,()42
A B A C B C -=≤+=
三、解答题
1. 解
:
c
o a A
+
sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C
+=+-=
cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =,得2
A π
=
或2
B π
=
所以△ABC 是直角三角形。
2. 证明:将ac b
c a B 2cos 2
22-+=
,bc
a
c b A 2cos 2
22-+=
代入右边
得右边2
2
2
22
2
2
2
22()222a c b
b c a
a b c abc
abc
ab
+-+--=-
=
2
2a b a b ab
b
a
-=
=
-
=左边,
∴
)cos cos (
a
A b
B c a
b b
a -
=-
3.证明:∵△ABC 是锐角三角形,∴,2
A B π
+>即
02
2
A B π
π
>>
->
∴sin sin(
)2
A B π
>-,即s i n c A B >;同理
s i n c B C >
;sin cos C A >
∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++
4.解:∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=,即
2sin
cos
4sin
cos
2
2
2
2
A C A C
B B +-=,
∴
1sin
cos
2
2
2
4
B A
C -=
=
,而0,2
2
B π
<<
∴
cos
2
4
B =
∴sin 2sin
cos
22
2
4
4
B B B ==?
=
8
39
[综合训练B 组]
一、选择题
1.C
12,,,::sin :sin :sin :
:
1:2
6
3
2
2
2
2
A B C a b c A B C π
π
π
=
=
=
==
= 2.A
,A B A B
ππ+<<-,且,A B π-都是锐角,
s i n s i n ()
A B B π<
-= 3.D sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B === 4.D sin sin lg
lg 2,
2,sin 2cos sin cos sin cos sin A A A B C B C
B C
===
sin()2cos sin ,sin cos cos sin 0,B C B C B C B C +=-= sin()0,B C B C -==,等腰三角形
5.B 22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=
2
2
2
2
2
2
13,c o s ,6
022
b c a
b c a bc A A bc
+-+-==
=
= 6.C 222
2cos 9,3c a b ab C c =+-==,B 为最大角,1cos 7
B =-
7.D 2cos sin sin sin 22tan
2
sin sin 2sin
cos
2
2
A B A B A B a b A B A B A B a b
A B
+----=
=
=+-++, tan
2tan
,tan 022tan
2
A B
A B
A B A B ---=
=+,或tan 12A B +=
所以A B =或2A B π
+=
二、填空题
1.
3
392
2
11s i n ,4,1313
2
2
2
ABC S bc A c c a a ?=
=?====
9
s i n s i n s i n
s i 3
2
a b c a
A B C A ++=
==+
+
2.
>
,2
2
A B A B π
π
+>
>
-,即
s
i n ()2t a n t a n ()2
c
o s (
)
2
B A B B π
π
π
->
-=- cos 1sin tan B B
B ==
,1tan ,tan tan 1tan A A B B
>
>
3. 2 s i n s i n t a n t a n c o s c o s
B C B C B
C +=
+
s i n c o s c o s s i n
s i n ()
2s i n
1c o s c o s
s i n
s i n 2B
C B C B C A B
C A A
+++=
=
=
4. 锐角三角形 C 为最大角,cos 0,C C >为锐角
5.
60
222
231cos 22
b c a
A bc
+-+-=
=
=
=
6
.
2222
22222
222213,49,513,94a b c c a c b c c c c b a c ??+>>??+>+><<<???+>+>??
三、解答题
1.
解:1sin 4,2
A B C S bc A bc ?=
==
2222c o s ,5a b c b A b c =+-+
=,而c b >
所以4,1==c b
2. 证明:∵△ABC 是锐角三角形,∴,2
A B π
+>即
022
A B π
π
>>
->
∴sin sin(
)2
A B π
>-,即s i n c A B >;同理
s i n c B C >
;sin cos C A >
∴
sin sin sin sin sin sin cos cos cos ,
1cos cos cos A B C A B C A B C A B C
>>
∴1tan tan tan >??C B A
3.
证明
:
∵
sin sin sin 2sin
cos
sin()2
2
A B A B A B C A B +-++=++
2s i n
c o s 2s i n
c o s 2222A B
A B A B A B
+-++=+
2s i n
(c o s c o s )
2
22
A B
A B A B +-+=+
2c o s 2c o s c o s
2
22C
A B
=?
4c o s
c o s c o s 2
22
A
B C = ∴2
cos
2cos
2cos 4sin sin sin C B A C B A =++
4.证明:要证
1=++
+c
a b c
b a ,只要证
22
2
1a ac b bc ab bc ac c
+++=+++,
即222a b c ab +-=
而∵0120,A B +=∴060C =
2
2
2
2220
cos ,2cos 602a b c
C a b c ab ab ab
+-=+-==
∴原式成立。
5.证明:∵2
2
3cos
cos
2
2
2
C A b a c +=
∴1cos 1cos 3sin sin sin 2
2
2
C
A
B A
C ++?
+?
=
即sin sin cos sin sin cos 3sin A A C C C A B +++= ∴sin sin sin()3sin A C A C B +++=
即sin sin 2sin A C B +=,∴2a c b +=
[提高训练C 组]
一、选择题
1.C sin cos ),4
A A A π
+=+
而50,
sin()14
4
4
2
4
A A A π
π
ππ
π<<<+
<
?-
<+
≤
2.B
sin sin sin sin sin a b A B
A B c
C ++=
=+
2s i n c o s 2c o s 2
2
2A B
A B A B
+--==
3.D 0
11cos ,60,sin 2
2
A B C A A S bc A =
==
= 4.D 090A B +=则sin cos ,sin cos A B B A ==,00045,A <<
s i n c o s A A <
,00
4590,sin cos B B B <<>
5.C 2
2
2
2
2
2
1,,cos ,1202
a c
b b
c b c a bc A A -=++-=-=-=
6.B
2
2
sin cos sin cos sin ,,sin cos sin cos cos sin sin cos sin A B A B A
A A
B B A B B A B
?=== s i n 2s i n 2,2222A B A B A B π==+=或
二、填空题
1. 对 ,s i n s i n B A >则22a b a b A B R
R
>?>?> 2. 直角三角形
2
1(1c o s 21
c o s 2)
c o s ()1,2
A B A B +++++= 2
1(cos 2cos 2)cos ()0,2
A B A B +++=
2
cos()cos()cos ()0A B A B A B +-++= cos cos cos 0A B C =
3.
z y x <<
,,s i n c o s ,s i n c o s ,
2
2
A B A B A B B A y z π
π
+<
<
-<<< ,s i n s i n s i n ,,
c a b C A B x y x y z <+<+<<<
4
.
1
s i n s i n 2s i n
,2s i n c o s 4s i n
c o s
22
22
A C
A C A C A C
A C
B +-+++
=
=
cos
2cos
,cos cos
3sin
sin
2
2
2
2
2
2
A C A C A C A C -+==
则2
2
1sin sin 4sin sin
3
22
A C A C =
1cos cos cos cos sin sin 3
A C A C A C +-+
2
2
(1cos )(1cos )14sin
sin
2
2
A C A C =---++
2
2
2
2
2sin
2sin
4sin
sin
112
2
2
2
A C A C =-?++=
5.
)2
,3[
π
π
2
tan tan tan tan tan ,tan tan()tan tan 1
A C
B A
C B A C A C +==-+=
-
2
t a n t a n
t a n t a n ()t a n 1
A C
B A
C B +=-
+=-
3
tan tan tan tan 2tan B B A C B
-=+≥=
3
tan 3tan ,tan 0tan 3
B B B B B π
≥>?≥
?≥
6.1 22,sin sin sin ,b ac B A C ==B B C A 2c o s c o s )c o s (++-
2
cos cos sin sin cos 12sin A C A C B B =+++- cos cos sin sin cos 12sin sin A C A C B A C =+++- cos cos sin sin cos 1A C A C B =-++
cos()cos 11A C B =+++=
三、解答题
1. 解:2222
2222
sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b
A B a A B A a b A B b A B B
++===--
c o s s i n ,s i n 2s i n 2,222c o s s i n
B A A B A B A B A
B π=
==+=或2
∴等腰或直角三角形
2.
解:2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=-
2
2
2
sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=
-
222
222
,cos 45
22
a b c
a b c C C ab
+-+-==
=
=
2
2
2
2,2sin ,2,sin c R c R C a b R C
===+-=
2
2
22
22,R a b ab ab +=+≥≤
2
1sin 2
4
4
S ab C ab =
=
≤
2
max 2
12R S +=
另法:1sin 2sin 2sin 2
4
4
S ab C ab R A R B =
=
=
??
2
2sin 2sin sin sin 4
R A R B A B =
?=
2
1[cos()cos()]2
A B A B =?
?--+
2
2
1[cos()2
2
(1)
2
2A B =??-+
≤
?+
2
m ax 2
S R ∴=
此时A B =取得等号
3. 解
:
s
i
n
2
2
A C
A C B
+-+
=
1sin
cos
,cos
sin 2sin
cos
222
424
2
2
4
B A
C B B B B -==
=
==
3,,,2
4
2
4
2
B B A
C A C B A C π
ππ
π-=
+=-=-
=
-
333sin sin(
)sin
cos cos
sin 4
4
4
4
A B B B πππ=-=-=
1sin sin(
)sin
cos cos
sin 4
4
4
4C B B B π
π
π
=-=-=
::sin :sin :sin a b c A B C ==)77(:7:)77(-
+
4. 解
:
2
2
1()
(2
a b c +
+-
t a n t a n t a n ()
,
1t a n t a n
1
t a n t a n
A C A C A C A C ++==--
t a n t a n 3A C =
+
tan tan 3A C +=+
得tan 1
tan 2tan 1tan 2A A C C =??=+
???
?
==+???
?
7545
4575A A C C ??==????==???
?
或
当
75,45A C ==时
,
1),8sin b c a A
====
当00
45,75A C ==
时,1),8sin b c a A
====
∴
当
000
75,60,45
A B C ===时
,
8
4
(3
2
6
)
,
8
(
3
1
)
,
a c =-=
-
当0
45,60,75A B C ===
时,8,1)a b c ===。
必修五解三角形常考题型非常全面
必修五解三角形常考题型 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 【典型题剖析】 考察点1:利用正弦定理解三角形 例1 在V ABC 中,已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c. 【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。 解:::1:2:3,A . ,,, 6 3 2 1::sin :sin :sin sin :sin :sin :1 2.6 3 2 2A B C B C A B C a b A B C ππ π π π π π =++=∴= = = ∴=== =Q 而 【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式,要做到灵活应用。 例2在ABC 中,已知 ,C=30°,求a+b 的取值范围。 【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数,然后再求解。 解:∵C=30°, ,∴由正弦定理得: sin sin sin a b c A B C === ∴ )sin (150°-A ). ∴ )[sinA+sin(150° )·2sin75°·cos(75° -A)= 2 cos(75°-A) ① 当75°-A=0°,即A=75°时,a+b 取得最大值 2 ; ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A <150°,∴0°<A <150°, ∴-75°<75°-A <75°,∴cos75°<cos(75°-A)≤1, ∴> 2 cos75° = 2 × 4 . 综合①②可得a+b 的取值范围为 ,8+ 考察点2:利用正弦定理判断三角形形状 例3在△ABC 中,2 a ·tanB=2 b ·tanA ,判断三角形ABC 的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系,利用角的关系判断△ABC 的形状。
解三角形典型例题
1.正弦定理和余弦定理 在△ABC 中,若角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,R 为△ABC 外接圆半径,则 2.S △ABC =2ab sin C =2bc sin A =2ac sin B =4R =2(a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R ,r . 1.在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A c; a-b解三角形的必备知识和典型例题及习题
解三角形的必备知识和典型例题及习题 一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C =90°,AB =c ,AC =b ,BC =a 。 (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2。(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A +B =90°; (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A =cos B =c a ,cos A =sin B =c b ,tan A =b a 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A 、B 、C 为其内角,a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 (1)三角形内角和:A +B +C =π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。 3.三角形的面积公式: (1)?S = 21ah a =21bh b =2 1ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高); (2)?S =21ab sin C =21bc sin A =21ac sin B ; 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型: (1)两类正弦定理解三角形的问题: 第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题: 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 5.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。
高一必修5解三角形练习题及答案
第一章 解三角形 一、选择题 1.在A B C ?中,a =03,30;c C == (4) 则可求得角045A =的是( ) A .(1)、(2)、(4) B .(1)、(3)、(4) C .(2)、(3) D .(2)、(4) 2.在ABC ?中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( ) A .10=b , 45=A , 70=C B .60=a ,48=c , 60=B C .14=a ,16=b , 45=A D . 7=a ,5=b , 80=A 3.在ABC ?中,若, 45=C , 30=B ,则( ) A ; B C D 4.在△ABC ,则cos C 的值为( ) A. D. 5.如果满足 60=∠ABC ,12=AC ,k BC =的△ABC 恰有一个,那么k 的取值范围是( ) A B .120≤三、解答题 11. 已知在ABC ?中,cos A = ,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边. (Ⅰ)求tan 2A ; (Ⅱ)若sin()2 B π += ,c =求ABC ?的面积. 解: 12. 在△ABC 中,c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边,5 82 22bc b c a - =-,a =3, △ABC 的面积为6, D 为△ABC 内任一点,点D 到三边距离之和为d 。 ⑴求角A 的正弦值; ⑵求边b 、c ; ⑶求d 的取值范围 解:
解三角形典型例题答案
1. 解:cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =,得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明:将ac b c a B 2cos 222-+=,bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边, ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3.证明:∵△AB C 是锐角三角形,∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-,即sin cos A B >;同理sin cos B C >;sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解:∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=,即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=, ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解:22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解:2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=-
(完整版)高中数学必修五解三角形测试题及答案
(数学5必修)第一章:解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1.在△ABC 中,若0 30,6,90===B a C ,则b c -等于( ) A .1 B .1- C .32 D .32- 2.若A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( ) A .A sin B .A cos C .A tan D . A tan 1 3.在△ABC 中,角,A B 均为锐角,且,sin cos B A >则△ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 4.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为060,则底边长为( ) A .2 B . 2 3 C .3 D .32 5.在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于( ) A .006030或 B .006045或 C .0060120或 D .0015030或 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A .090 B .0120 C .0135 D .0150 二、填空题 1.在Rt △ABC 中,090C =,则B A sin sin 的最大值是_______________。 2.在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3.在△ABC 中,若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4.在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13,则C =_____________。 5.在△ABC 中,,26-= AB 030C =,则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1. 在△ABC 中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么?
正弦定理余弦定理综合应用解三角形经典例题老师
一、知识梳理 1.内角和定理:在ABC ?中,A B C ++=π;sin()A B +=sin C ;cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角,反之亦然. 2.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一:R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二: ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三:::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四: sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一:2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二: 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ,可求出角C ,再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ,由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ,求出a ,再由余弦定理,求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ,由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ,由正弦定理sin sin a b A B = ,求出另一边b 的对角B ,由C =π-(A +B ),求出c ,再由sin sin a c A C =求出C ,而通过sin sin a b A B = 求B 时,可能出一解,两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一:利用正弦定理解三角形
解三角形单元测试题(附答案)
解三角形单元测试题 班级: ____ 姓名 成绩:______________ 一、选择题: 1、在△ABC 中,a =3,b =7,c =2,那么B 等于( ) A . 30° B .45° C .60° D .120° 2、在△ABC 中,a =10,B=60°,C=45°,则c 等于 ( ) A .310+ B .( ) 1310 - C .13+ D .310 3、在△ABC 中,a =32,b =22,B =45°,则A 等于( ) A .30° B .60° C .30°或120° D . 30°或150° 4、在△ABC 中,a =12,b =13,C =60°,此三角形的解的情况是( ) A .无解 B .一解 C . 二解 D .不能确定 5、在△ABC 中,已知bc c b a ++=2 2 2 ,则角A 为( ) A . 3 π B . 6 π C .32π D . 3π或32π 6、在△ABC 中,若B b A a cos cos =,则△ABC 的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的范围是( ) A .()10,8 B . ( ) 10,8 C . ( ) 10,8 D . ()8,10 8、在△ABC 中,已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 9、△ABC 中,已知===B b x a ,2, 60°,如果△ABC 两组解,则x 的取值范围( ) A .2>x B .2最新解三角形测试题(附答案)
解三角形单元测试题 一、选择题: 1、在△ABC 中,a =3,b =7,c =2,那么B 等于( ) A . 30° B .45° C .60° D .120° 2、在△ABC 中,a =10,B=60°,C=45°,则c 等于 ( ) A .310+ B .( ) 1310 - C .13+ D .310 3、在△ABC 中,a =32,b =22,B =45°,则A 等于( ) A .30° B .60° C .30°或120° D . 30°或150° 4、在△ABC 中,a =12,b =13,C =60°,此三角形的解的情况是( ) A .无解 B .一解 C . 二解 D .不能确定 5、在△ABC 中,已知bc c b a ++=2 2 2 ,则角A 为( ) A . 3 π B . 6 π C .32π D . 3π或32π 6、在△ABC 中,若B b A a cos cos =,则△ABC 的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形 7、已知锐角三角形的边长分别为1,3,a ,则a 的范围是( ) A .()10,8 B . ( ) 10,8 C . ( ) 10,8 D . ()8,10 8、在△ABC 中,已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 9、△ABC 中,已知===B b x a ,2, 60°,如果△ABC 两组解,则x 的取值范围( ) A .2>x B .2解三角形的必备知识和典型例题及习题
解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 2 2 2 (1)三边之间的关系: a + b =c 。(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A=cos B=a c ,cos A=sin B= b c ,tan A= a b 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c 分别表示A、B、C的对边。(1)三角形内角和:A+B+C=π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 a sin A b sin B c sin C 2R (R为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a = b + c -2bc cos A; b =c +a -2ca cos B; c =a +b -2ab cos C。 3 .三角形的面积公式: (1)S =1 2 ah a= 1 2 bh b= 1 2 ch c(h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高); (2)S =1 2 ab sin C= 1 2 bc sin A= 1 2 ac sin B; 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型: (1)两类正弦定理解三角形的问题: 第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题: 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 5.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。
解三角形练习题及答案
解三角形练习题及答案
解三角形习题及答案 一、选择题(每题5分,共40分) 1、己知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为( ). A .90° B .120° C .135° D .150° 2、在△ABC 中,下列等式正确的是( ). A .a ∶b =∠A ∶∠B B .a ∶b =sin A ∶sin B C .a ∶b =sin B ∶sin A D .a sin A =b sin B 3、若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为( ). A .1∶2∶3 B .1∶3 ∶2 C .1∶4∶9 D .1∶ 2∶3 4、在△ABC 中,a =5 ,b = 15,∠A =30°,则c 等于( ). A .2 5 B .5 C .2 5 或5 D .10或5 5、已知△ABC 中,∠A =60°,a =6,b =4,那么满足条件的△ABC 的形 状大小 ( ). A .有一种情形 B .有两种情形 C .不可求出 D .有三种以上情形 6、在△ABC 中,若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 是( ). A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不能确定 7、)( 37sin 83sin 37cos 7sin 的值为??-?? A.23- B.2 1- C.21 D.23 8、化简 1tan15 1tan15 +-等于 ( )
A B C .3 D .1 二、填空题(每题5分,共20分) 9、已知cos α-cos β=2 1,sin α-sin β=3 1,则cos (α-β)=_______. 10、在△ABC 中,∠A =105°,∠B =45°,c =2,则b = . 11、在△ABC 中,∠A =60°,a =3,则C B A c b a sin sin sin ++++= . 12、在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则最大角的余弦值等于 . 班别: 姓名: 序号: 得分: 9、 10、 11、 12、 三、解答题 13、(12分)已知在△ABC 中,∠A =45°,a =2,c =6,解此三角形. 14、(14分)已知2 1 )tan(=-βα,7 1tan -=β,求)2tan(βα-的值
解三角形专题高考题练习附答案
解三角形专题 1、在ABC ?中,已知内角3 A π = ,边BC =设内角B x =,面积为y . (1)求函数()y f x =的解析式和定义域; (2)求y 的最大值. 3、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.2 1 222ac b c a =-+ (1)求B C A 2cos 2 sin 2++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值. 4、在ABC ?中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量(2sin ,m B =, 2cos 2,2cos 12B n B ? ?=- ?? ?,且//m n 。 (I )求锐角B 的大小; (II )如果2b =,求ABC ?的面积ABC S ?的最大值。 5、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -= (I )求cos B 的值; (II )若2=?,且22=b ,求c a 和b 的值.
6、在ABC ?中,cos A = ,cos B =. (Ⅰ)求角C ; (Ⅱ)设AB =,求ABC ?的面积. 7、在△ABC 中,A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,已知向量(1,2sin )m A =u r , (sin ,1cos ),//,.n A A m n b c =++=r u r r 满足 (I )求A 的大小;(II )求)sin(6π+B 的值. 8、△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,且有sin2C+3cos (A+B )=0,.当13,4==c a ,求△ABC 的面积。 9、在△ABC 中,角A 、B 、C 所对边分别为a ,b ,c ,已知1 1tan ,tan 2 3 A B ==,且最长边的边长为l.求: (I )角C 的大小; (II )△ABC 最短边的长.
(完整版)解三角形三类经典题型
解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1:已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状. 解:∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ,∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形. 例2:在△ABC 中,若B=ο 60,2b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵2b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο ο ο 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3:在△ABC 中,已知2 2 tan tan b a B A =,试判断△ABC 的形状. 解:法1:由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =,化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ,∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形. 法2:由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? , 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4:在△ABC 中,(1)已知sinA=2cosBsinC ,试判断三角形的形状; (2)已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++,试判断三角形的形状. 解:(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC -cosBsinC=0即sin(B -C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ,结合正、余弦定理得
解三角形练习题及答案
解三角形练习题及答案 解三角形习题及答案 、选择题(每题5分,共40分) 1、己知三角形三边之比为5 : 7 : 8,则最大角与最小角的和为(). A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 2、在厶ABC中,下列等式正确的是(). A. a : b=Z A :Z B B . a : b= sin A : sin B C. a : b= sin B : sin A D . asin A= bsin B 1 : 2 : 3,则它们所对的边长之比为( 3、若三角形的三个内角之比为 A. 1 : 2 : 3 B . 1 : 3 : 2 C . 1 : 4 : 9 D . 1 :;』2 : 3 4、在厶ABC中,a= V5 , b= 尿,/ A= 30 °贝卩c等于(). A. 2 5 B. --:5C . 2 ;5或■、5 D. . 10或■,5 5、已知△ ABC中,/ A= 60° a=76 , b= 4,那么满足条件的厶ABC的形 状大小(). A .有一种情形B.有两种情形
C .不可求出 D .有三种以上情形 6、在厶ABC 中,若a2+ b2—c2v 0,则4 ABC 是(). A .锐角三角形B.直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不能确定 7、sin7cos37 -sin 83 sin 37 的值为( ) A.—一 2 B. 1 2 C. 1 2 n 3 D.— — 8、化简1 T:等于( ) A. 3 B.二 C. 3 D. 1 2 二、填空题(每题5分,共20分) 9、已知cos a —cos B 二丄,sin a —sin 3 =丄,贝S cos (a —B )= . 2 3 10、在厶ABC 中,/ A= 105° / B= 45° c=忑,贝S b= _____________ . a + b + c 你在厶ABC 中,/ A= 60° a= 3,则sinA + sinB + sinC = --------- ? 12、在厶ABC中,若sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4,则最大角的余弦值等于__ . 班别:__________ 姓名: _____________ 序号:_______ 得分: _______ 9、______ 10、_______ 11、 ________ 12、__________
九年级数学下册《解直角三角形》典型例题(含答案)
《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=60°,a=4,解这个三角形. 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值.可根据直角三角形中各元素间的关系解决. 解 (1) ; (2)由a b B =tan ,知 ; (3)由c a B = cos ,知860cos 4cos =?==B a c . 说明 此题还可用其他方法求b 和c . 例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°,∠A=30°,3=b ,解这个三角形. 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ . ∴ . 解法二 133330tan =?=?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题. 例 3 设 中, 于D ,若 ,解三 角形ABC .
分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素.本题CD不是的边,所以应先从Rt入手. 解在Rt中,有: ∴ 在Rt中,有 说明(1)应熟练使用三角函数基本关系式的变形,如: (2)平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用,本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理.事实上,还可以用面积公式求出AB的值: 所以解直角三角形问题,应开阔思路,运用多种工具. 例4在中,,求. 分析(1)求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长,也可以根据其中规则面积的和或差; (2)不是直角三角形,可构造直角三角形求解.
解如图所示,作交CB的延长线于H,于是在Rt△ACH中,有,且有 ; 在中,,且 , ∴; 于是,有, 则有 说明还可以这样求:
解三角形练习题及答案
第一章 解三角形 一、选择题 1.己知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为( ). A .90° B .120° C .135° D .150° 2.在△ABC 中,下列等式正确的是( ). A .a ∶b =∠A ∶∠B B .a ∶b =sin A ∶sin B C .a ∶b =sin B ∶sin A D .a sin A =b sin B 3.若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为( ). A .1∶2∶3 B .1∶3∶2 C .1∶4∶9 D .1∶2∶3 4.在△ABC 中,a =5,b =15,∠A =30°,则c 等于( ). A .25 B .5 C .25或5 D .10或5 5.已知△ABC 中,∠A =60°,a =6,b =4,那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( ). A .有一种情形 B .有两种情形 C .不可求出 D .有三种以上情形 6.在△ABC 中,若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 是( ). A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不能确定 7.在△ABC 中,若b =3,c =3,∠B =30°,则a =( ). A .3 B .23 C .3或23 D .2 8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边.如果a ,b ,c 成等差数列,∠B =30°,△ABC 的面积为 2 3 ,那么b =( ). A . 2 3 1+ B .1+3 C . 2 3 2+ D .2+3 9.某人朝正东方向走了x km 后,向左转150°,然后朝此方向走了3 km ,结果他离出发点恰好3km ,那么x 的值是( ).
高二数学解三角形测试题附答案
解三角形测试题 一、选择题: 1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于() A.60°B.60°或120°C.30°或150°D.120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是()A.a=1,b=2 ,c=3 B.a=1,b=2,∠A=30°C.a=1,b=2,∠A=100°D.b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC中,有() A.cosA>sinB且cosB>sinA B.cosAsinB且cosBsinA 4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形 5、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB-sinA)x2+(sinA-sinC)x +(sinC-sinB)=0有等根, 那么角B ()A.B>60°B.B≥60°C.B<60°D.B ≤60° 6、满足A=45,c=6,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为() A.4 B.2 C.1 D.不定 7、如图:D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β, α(α<β),则A点离地面的高度AB等于() A B
A . )sin(sin sin αββα-a B .)cos(sin sin βαβ α-?a C . )sin(cos sin αββα-a D .) cos(sin cos βαβ α-a 8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距 ( ) A .a (km) B .3a(km) C .2a(km) D .2a (km) 二、填空题: 9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 10、在ΔABC 中,A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____. 11、在ΔABC 中,若S ΔABC = 4 1 (a 2+b 2-c 2 ),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中,a =5,b = 4,cos(A -B)=32 31 ,则cosC=_______. 三、解答题: 13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60°,b 2=ac ; ②b 2tanA=a 2tanB ; ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2-b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A -B). 14、已知ΔABC 三个内角A 、B 、C 满足A+C=2B, A cos 1+ C cos 1 =- B cos 2 , 求2 cos C A -的值. 15、二次方程ax 2-2bx+c=0,其中a 、b 、c 是一钝角三角形的三边,且以b 为最长. D C
解三角形经典例题及解答
知识回顾: 4、理解定理 (1) 正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使 a ksinA , ________________ , c ksinC ; (2)」 b J 等价于 ______________________ sin A sin B sin C (3) 正弦定理的基本作用为: 正弦、余弦定理 1、直角三角形中,角与边的等式关系:在 Rt ABC 中,设 BC=a ,AG=b , AB=c , 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有 -sin A ,- sin B ,又sinC 1 -,从而在直角三 c c c 角形ABC 中,-?- sin A b sin B c si nC 2、当 ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是CD 根据任意角三角函数的定义, 有 CD=asinB bsinA ,则 一- b ,同理可得一 sin A sin B sin C b sin B 从而」- sin A b sin B c sin C 3、正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的 ____ 的比相等,即旦 sin A b sin B c sin C c b a c sin C sin B ' sin A sin C
① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a bsinA ; b sin B ② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值, 如 sin A a sin B ; sinC . b (4) 一般地,已知三角形的某些边和角,求其它的边和角的过程叫作 解三角形? 5、知识拓展 6、 勾股定理: ___________________________________ 7、 余弦定理:三角形中 __________ 平方等于 _______________________ 减去 _____________ ______________ 的两倍,即a 2 b 2 8、余弦定理的推论: cosC ____________________________ 。 9、在 ABC 中,若a 2 b 2 c 2,则 ______________________ ,反之成立; 典型例题: a b sin A sin B c si nC 2R ,其中2R 为外接圆直径. c 2 cosA cosB
解三角形练习题及答案91629
解三角形习题及答案 一、选择题(每题5分,共40分) 1、己知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为( ). A .90° B .120° C .135° D .150° 2、在△ABC 中,下列等式正确的是( ). A .a ∶b =∠A ∶∠B B .a ∶b =sin A ∶sin B C .a ∶b =sin B ∶sin A D .a sin A =b sin B 3、若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为( ). A .1∶2∶3 B .1∶3 ∶2 C .1∶4∶9 D .1∶ 2∶3 4、在△ABC 中,a =5 ,b = 15,∠A =30°,则c 等于( ). A .2 5 B .5 C .2 5 或5 D .10或5 5、已知△ABC 中,∠A =60°,a =6,b =4,那么满足条件的△ABC 的形 状大小 ( ). A .有一种情形 B .有两种情形 C .不可求出 D .有三种以上情形 6、在△ABC 中,若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 是( ). A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不能确定 7、)( 37sin 83sin 37cos 7sin 的值为??-?? A.23- B.21- C.2 1 D.23 8、化简 1tan15 1tan15 +-等于 ( )
A B C .3 D .1 二、填空题(每题5分,共20分) 9、已知cos α-cos β=2 1,sin α-sin β=3 1,则cos (α-β)=_______. 10、在△ABC 中,∠A =105°,∠B =45°,c =2,则b = . 11、在△ABC 中,∠A =60°,a =3,则C B A c b a sin sin sin ++++= . 12、在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则最大角的余弦值等于 . 班别: 姓名: 序号: 得分: 9、 10、 11、 12、 三、解答题 13、(12分)已知在△ABC 中,∠A =45°,a =2,c =6,解此三角形. 14、(14分)已知2 1 )tan(=-βα,7 1tan -=β,求)2tan(βα-的值
实用文档之解三角形经典练习题集锦(附答案)
实用文档之"解三角形" 一、选择题 1.在△ABC 中,若0 30,6,90===B a C ,则b c -等于( ) A .1 B .1- C .32 D .32- 2.若A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( ) A .A sin B .A cos C .A tan D . A tan 1 3.在△ABC 中,角,A B 均为锐角,且,sin cos B A >则 △ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 4.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角 为0 60,则底边长为( ) A .2 B .23 C .3 D .32 5.在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于( ) A .006030或 B .006045或 C .0 060120或 D .0 015030或 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是 ( ) A .090 B .0120 C .0135 D .0 150 二、填空题 1.在Rt △ABC 中,0 90C =,则B A sin sin 的最大值是_______________。 2.在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3 . 在△ABC 中,若 ====a C B b 则,135,30,20 _________。 4.在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13,则 C =_____________。 5.在△ABC 中,,26-=AB 030C =,则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1.在△ABC 中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么? 2.在△ABC 中,求证: )cos cos (a A b B c a b b a -=- 3.在锐角△ABC 中,求 证: C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。 4.在△ABC 中,设,3 ,2π =-=+C A b c a 求B sin 的 值。 解三角形 一、选择题 1.在△ABC 中,::1:2:3A B C =,则::a b c 等于 ( ) A .1:2:3 B .3:2:1 C .2 D .2 2.在△ABC 中,若角B 为钝角,则sin sin B A -的值( ) A .大于零 B .小于零 C .等于零 D .不能确定 3.在△ABC 中,若B A 2=,则a 等于( ) A .A b sin 2 B .A b cos 2 C .B b sin 2