常微分方程

一：求x''+2x'+5x=4e(-t)+17sin2t
解：齐次方程的特征根方程为：Y(2)+2Y+5=0即得到特征根为：Y1=-1+2i,Y2=-1-2i
1,Y''+2Y'+5x=4e(-t)的一个特解
因为：x=Ae(-t)代入方程，则得A=1
即方程X''+2X'+5Y=4e(-t)
它的特解为：x1=e(-t)
2,再求方程X''+2X'+5Y=17sin2t的特解
设其特解为：x2=Bcos2t+Dsin2t
代入方程得：B=-4,D=1
即方程的通解：x=e(-t)(c1cos2t+c2sin2t)+e(-t)-4cos2t+sin2t

二：设R(t)为方程x'=Ax(A为n*n常数矩阵)的标准基解矩阵（即R(0)=E）,证明：R(t)R(-1)(t)=R(t-t0)其中t0为某一值。
证明：由于A是n*n常数矩阵
所以方程x'=Ax的基解矩阵L（t）满足dL(t)/dt=AL(t)
解之得：L(t)=A(At)
即L（t）是指数型，又根据增函数的特解知L(-1)(t)=e(-At)从而L(t)L(-1)(t0)=e(At)e(-At0)=e[
A(t-t0)]
所以命题得证：

三，求方程(x+1)dy/dx-ny=e[x](x+1)[n+1]的通解
解：将方程改写成：dy/dx-ny/x+1=e[x](x+1)[n]
求奇次线性微分方程：dy/dx-ny/x+1=0的通解
dy/dx-ny/x+1=0
y=c(x+1)[n]=c(x)(x+1)[n]
微分：dy/dx=dc(x)(x+1)[n]/dx+n(x+1)[n-1]c(x)
dc(x)/dx=e[x]
积分：c(x)=e[x]+c1
所以原方程的通解：y=(x+1)[n](e[x]+c1)

四，dy/dx=ay/x+(x+1)/x
解：P(x)=a/x,Q(x)=(x+1)/x
y=e[积分号a/xdx]（(x+1)/x*e[-积分号a/xdx]*dx+c）
=x[a](积分号x+1/x*x[-a]*dx+c)
x[a](积分号(x[-a]+x[-a-1])*dx+c)
当a=0时：y=x[0](积分号(x+1/x)dx+c)=x+lnlxl+c
a=1:y=x(积分号(x[-1]+x[-2])dx+c)=cx+xlnlxl-1
a=/0&a=/1:y=x[a](x[1-a]/1-a+(x)[-a]/-a+c)=cx[a]+x/(1-a)-1/a

五，求ydx+(y-x)dy=0
解：M=y,N=y-x.偏倒号M/偏倒号y=1,偏倒号N/偏倒号x=-1方程不是恰当的，方程改写为：dy/dx=y/x-y这是奇次方程。令y/x=u代入得到xdu/du+u=u/1-u
1-u/u[2]*du=dx/x
所以通解为：-1/u-lnlul=lnlxl-c
代回原变量，即得：x/y+lnlyl=c

六，x(4ydx+2xdy)+y[3](3ydx+5xdy)=0
解：对于方程y[3](3ydx+5xdy)=0有M=3y[4],N=5xy[3],偏倒号M/偏倒号y=12y[3],偏倒号N/偏倒号x=5y[3]
因为偏倒号M/偏倒号y-偏倒号N/偏倒号x/5xy[3]=7/5x
积分因子u=e[7/5]
用它成方程y[3](3ydx+5xdy)=0
3y[4]x[5/7]dx+5x[12/7]y[3]dy=0
即d(5/4x[12/5]y[4])=0
综上所述：2x[2]y+5/4x[12/5]y[4]=c或8x[2]y+5x[12/5]y[4]=c

七，求方程d[2]x/dt[2]+4dx/dt+4x=cos2t的通解
解：特征方程：r[2]+4r+4=0有重根r1=r2=-2
所以通解为：x=(c1+c2t)e[-2t]
我们来求形如x^=Acos2t+Bsin2t的特解，将它代入原方程，化简得：
8Bcos2t-8Asin2t=cos2t
所以：A=0,B=1/8,从而x^=1/8sin2t
原方程的通解为：x=(c1+c2t)e[-2t]+1/8sin2t

八，已知x=sint/t是方程x''+2/t*x'+x=0的解，试求方程的通解。
解：这里P(t)=2/t
x=sint/t(c1+c积分号t[2]/sin[2]t*1/t[2]dt)
=sint/t(c1-ccost)=1/t(c1sint-ccost)

九，求方程dy/dx=x+y[2]通过点（0，0）的第三次近似解
解：L0(x)=y0=0
L1(x)=y0+积分号（0到x）(t+L0(t)[2])dt=积分号(0到x)tdt=x[2]/2
L2(x)=y0+积分号（0到x）(t+L1(t)[2])dt=积分号(0到x)(t+t[4]/4)dt=x[2]/2+x[5]/20
L3(x

)=y0+积分号（0到x）(t+L2(t)[2])dt=积分号(0到x)(t+t[4]/4+t[7]/20+t[10]/400)dt=x[2]/2+x[5]/20+x[8]/10+x[11]/4400
所以方程dy/dx=x+y[2]通过点（0，0）的第三次近似解
y3=x[2]/2+x[5]/20+x[8]/10+x[11]/4400

十，求方程dy/dx=x-y[2]通过点（1,0）的第二次近似解
解：L0(x)=y0=0
L1(x)=y0+积分号（1到x）(t-L0(t)[2])dt=x[2]-1/2
L2(x)=y0+积分号（1到x）(t-L1(t)[2])dt=x[2]/2-1/4*x+1/6x[3]-1/20*x[5]-11/30

十一，x''-x=cost x1=e[t] x2=e[-t]
解：应用常数变易法，令x=c1(t)*e[t]+(t/2)e[-t]
将它代入方程：e[t]c1'(t)+e[-t]c2(t)=0
及e[t]c1'(t)-e[-t]c2'(t)=cost
解得：c1'(t)=1/2cost*e[-t],c2'=-1/2e[t]cost
由此c1(t)=(sint-cost)/4*e[-t]+r1
c2(t)=-1/4(sint+cost)e[t]+r2
所以原方程的通解为：x=r1e[t]+r2e[-t]-1/2cost

十二，求方程y=(dy/dx)[2]-xdy/dx+x[2]/2的解
解：令dy/dx=P得：y=P[2]-xP+x[2]/2
两边求导：P=2PdP/dx-xdy/dx-P+x
或(dP/dx-1)(2P-x)=0
所以P=x+c,P=x/2
将它们代入y=P[2]-xP+x[2]/2得到方程的通解：
y=x[2]+cx+c[2]，y=x[2]/4

十三，设u(x,y)是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的积分因子，从而求得可微函数U（x,y）,使得du=u(Mdx+Ndy)试证：u^(x,y)也是方程积分因子的充要条件是u-(x,y)=uL(U)其中L(t)是t的可微函数。
证明：f(x)在（负无穷大，正无穷大）上连续，任取一点x0(-(负无穷大，正无穷大),作逼近数列{xn}:xn+1=f(xn)，n=0,1,2……（1）数列{xn}的收敛等价于级数
x0+E(k=1到正无穷大)（xk-xk-1）(2)的收敛性，由于(x1-x0)=lf(x0)-x0l,lx2-x1l=lf(x1)-f(x0)l<=Nlx1-x0l=Nlf(x0)-x0l
由数学归纳法可知：lxk-xk-1l<=N[k-1]lf(x0)-x0l
由假设N<1,所以级数E(k=1到正无穷大)N[k-1]lf(x0)-x0l收敛
由级数收敛的比较判别法知，级数（2）绝对收敛，从而数列{xn}收敛，设lim (n-无穷)xn=x*,由f(x)的连续性知，（1）式两端当n-无穷时取极限，即有x*=f(x*),即x*是方程x=f(x)的解，
下证唯一性：设x=f(x)有两个解x*1,x*2则
x*1=f(x*1),x*2=f(x*2)
由已知条件知：lx*1-x*2l=lf(x*1)-f(x*2)l<=Nlx*1-x*2l
因为：N<1,即有x*1=x*2
所以x=f(x)存在唯一的解