基于直接传递函数法控制的矩阵变换器建模与仿真
毕业设计（论文）
题目基于直接传递函数调制的
矩阵阵变换器仿真
专业
班级
学生
指导教师
2013 年
西安理工大学本科生毕业设计（论文）
基于直接传递函数调制的矩阵
变换器仿真
专业：自动化
班级：自092班
作者：
指导教师：职称：
答辩日期：2013-06-18
摘要
本文首先研究了矩阵式变换器的基本原理，讨论了其双向开关的构成和换流方式。接着介绍了直接传递函数法调制策略，并对其开关矩阵进行了严密的数学推导。然后对直接传递函数法进行了Matlab仿真，得到不同输出频率下输出电压、电流波形，验证其正确性；对不同输出频率下的输出电流进行FFT分析，观察输出电流与总谐波畸变率THD，发现输出频率越高，总谐波畸变率越大；在相同输出频率条件下，观察不同开关频率下的总谐波含量THD，得到直接传递函数法低开关损耗的结论；说明直接传递函数法得到的开关矩阵在合成输入电流时出现的问题。最后，就仿真中出现的问题予以分析，并对直接传递函数法调制策略进行了展望。
关键词：矩阵变换器、直接传递函数法、Matlab仿真、总谐波含量THD
Ⅰ
赵丹：基于直接传递函数的矩阵变换器仿真
Abstract
The paper first analyses the basic principles of matrix converter, including bidirectional switch and commutation mode. With that, a direct transfer function approach is introduced, and then determining the switch matrix. Secondly, a completing simulation, using Matlab-Simulink, is discussed, obtaining the output voltage and current wave with different output frequency, and for each profile FFT transform the size of that harmonic distortion rate, finding that the higher the output frequency it required, the bigger the distortion rate it is. In the condition that the output frequency fixed, watching the relationship between switch frequency and harmonic distortion rate, and drawing a conclusion low switching losses of direct transfer function approach. The paper clarifies the problem when synthesizing the input current. In the end, the deficiency in the simulation is proposed, and the expectation about direct transfer function approach.
Keywords: matrix converter, direct transfer function approach, simulation, harmonic distortion rate
Ⅱ
西安理工大学本科生毕业设计（论文）
目录
第1章绪论 (1)
1.1 选题的目的及意义 (1)
1.2本课题在国内外的研究状况及发展趋势 (1)
1.3本课题主要研究内容 (3)
第2章矩阵式变换器的原理 (4)
2.1 矩阵变换器的原理 (4)
2.1.1矩阵变换器的基本拓扑 (4)
2.1.2矩阵变换器的双向开关构成 (5)
2.2矩阵变换器的换流方法 (7)
2.3直接传递函数法的调制原理 (9)
2.4 优化AV法 (15)
第3章直接传递函数法的Matlab仿真 (18)
3.1 Matlab仿真软件的介绍 (18)
3.2直接传递函数法的Matlab仿真 (19)
3.2.1双向开关的导通时间 (19)
3.2.2电压源 (21)
3.2.3双向开关模型 (22)
3.2.4输入电流的合成 (23)
3.2.5负载模型 (24)
第4章仿真结果的分析 (26)
Ⅲ
赵丹：基于直接传递函数的矩阵变换器仿真
4.1输出电压、电流的波形图 (26)
4.2输入电流的波形图 (30)
4.3 THD与输出频率的关系 (31)
4.4 开关频率与THD的关系 (32)
第5章总结与展望 (34)
5.1总结 (34)
5.2 展望 (36)
致谢 (37)
参考文献 (37)
Ⅳ
第1章绪论
1.1 选题的目的及意义
矩阵变换器(MC)由9个双向开关排成一个3行3列的开关矩阵，利用9个双向开关周期内的占空比来组成3行3列的开关调制矩阵，以决定矩阵变换器的变换关系。与传统变频器相比，矩阵变换器的优点是输出电压可控制为正弦波，频率不受电网频率的限制；输入电流也可控制为正弦波且和电压同相，功率因数为1，也可控制为需要的功率因数；能量可双向流动，适用于交流电动机的四象限运行；不通过中间直流环节而直接实现变频，效率较高。因此，矩阵变换器的电气性能是十分理想的。
矩阵变换器的调制策略是实现其功率开关器件控制的关键，各国学者对其进行了深入的研究，也提出了各种不同方法实现功率开关器件的调制策略。直接传递函数法是一种简单、容易实现并且应用广泛的方法。
本论文就是对基于直接传递函数调制的矩阵变换器利用Matlab／Simulink软件进行仿真。验证矩阵变换器的可实现性，直接传递函数法的正确性，为后续矩阵变换器的进一步研究打下了基础。
1.2本课题在国内外的研究状况及发展趋势
矩阵变换器(MC)的思想最初由L.Gyugyi和B.R.Pelly在1976年提出，但直到1979年意大利学者M.Venturini和A.Afesina才提出矩阵变换器存在理论以及控制策略，立即引起了全世界专家学者们广泛关注。目前世界上已经形成了以德国、英国、日本等几所著名大学为主导，西门子、罗克韦尔等传统专业技术公司，甚至有军方背景的研发团队，研究内容涵盖了矩阵变换器的各个方面。欧洲代表着矩阵变换器研究的最前沿，首先EUPEC
公司相继研发出25A、35A等多个不同电流等级的集成化功率模块，随后英国Dynex公司也推出了200A大功率双向可控开关集成模块。美国对矩阵变换器器件的研究虽然没有进入商业化生产，但是仍然促进了矩阵变换器飞速的发展。意大利学者Casadeid在博罗纳大学发表了许多相关的文章，内容包括输入电压不平衡时各种调制策略效果的优劣进行比较，系统的稳定性问题、各种实际因素对入功率因数的影响，开关热应力问题和新功率模块的试验等多个具体的实际方面。由此可以看出产业界正在努力提高变换器的性能，大大促进了矩阵变换器快速进入工业领域的步伐。
国内学术界对于矩阵变换器的研究起步较晚，从上世纪90年代中期才开始，南京航空航天大学、上海大学、哈尔滨工业大学、清华大学、湘潭大学等单位先后开展了这方面的研究工作，并达到了一定的水平。1994年南京航空航天大学庄心复教授对矩阵变换器空间矢量调制原理进行仿真和实验研究。1998年西安交通大学王汝文教授等对斩波调制和矩阵变换器控制的普遍性问题进行了研究，提出了一种功率因数可调，输入电流和输出电压为正弦的调制函数。上海大学朱贤龙博士以Saber软件为实验平台建立了基于空间矢量调制策略的三相/三相矩阵变换器的仿真模型，提出了一种优化控制方法，简化了调制过程，并降低了开关损耗。2000年湘潭大学开始矩阵变换器的研究，取得了一定的成绩，建立了矩阵变换器的仿真模型，制作了实验样机。2004年清华大学孙凯等对矩阵变换器在电源异常时的运行性能进行了分析，制作了实验样机。他们的研究成果对矩阵变换器的分析与设计具有较大的指导意义。
M.Venturini和A.Alsina在1980年首次全面地介绍了矩阵变换器的控制策略——直接传递函数法，该方法是一种简单容易实现并且控制效果良好的方法，因此得到了广泛的应用。
1.3本课题主要研究内容
第一章为绪论。这一章，刚开始介绍了写这篇文章的目的和意义，矩阵变换器的输出电压可以控制为正弦波，频率不受电网限制，功率因数可以控制为1，AC-AC直接变频，以及直接传递函数法简单容易等等这些优点成为人们关注矩阵变换器的原因，本课题也是为验证直接传递函数法的正确性而做。接着本文介绍了本课题在国内外的发展情况，国外一些学者正在火热地研究矩阵变换器，而中国还处于刚起步阶段。
第二章主要介绍了矩阵变换器的基本原理，这也为本文的研究提供了一个参考模型。在这一章，主要探讨了矩阵变换器的拓扑图，安全工作的原则；接着，本文讨论了矩阵变换器双向开关的构成，并简要分析了几种双向开关的优缺点；然后，本文大致介绍了矩阵变换器的换流方法-基于输出电流方向检测的四步换流策略；最后，本文中点研究了直接传递函数法调制策略，并通过图形的方式来说明调制的过程，同时推导出调制矩阵()
M t 的数学表达式。
第三章重点在直接传递函数调制策略的基础上建立Matlab的仿真模型，详细叙述了仿真各部分的构成及参数设定。
f下输出电压、第四章主要在Matlab仿真结果中研究了不同输出频率
o
电流的波形以验证直接传递函数调制策略的正确性；另外，本文还细致讨
f、采样周期数之间的关系。
论了总谐波含量THD与输出频率
第五章主要是对全文的工作作了总结，其中包括仿真中出现的一些问题以及直接传递函数法的弊端；另外，本文对矩阵变换器今后的研究工作进行了展望。
第2章 矩阵式变换器的原理
2.1 矩阵变换器的原理
2.1.1矩阵变换器的基本拓扑
矩阵变换器被定义为一种含有m n ?个双向开关的单级电力变换器，它可以将输入侧m 相电压源直接连接至n 相负载。实用的三相-三相交流矩阵式变换器包括33?共9个双向开关(,,;,,)ij S i A B C j a b c ==，每个双向开关具有双向导通和双向关断的能力，如图 2- 1所示。
图 2- 1三相-三相矩阵式变换器电路拓扑
通常情况下，矩阵式变换器的输入侧为三相电压源，而输出侧为三相感性负载（如电动机等设备），可等效为三相电流源，如图 2- 1所示。因此，根据电压源和电流源的特性，矩阵式变换器在工作过程中必须遵循两
个基本原则：
1）矩阵式变换器的三相输入端中任意两相之间不能短路，避免
电压源短路造成过电流（输入滤波器阻抗很小，短路电流很大）；
2）矩阵式变换器的三相输出端中的任意一相电路均不能断路，以
防止感性负载突然断路而产生过电压。
三相-三相交流矩阵变换器中的每个双向开关可用开关函数ij S 表示，定
义如下:
0 i {A, B, C};j {a, b, c}1 ij ij ij S S S ??=∈∈???关断导通 (2.1)
根据上面所述的矩阵变换器安全运行的两个基本原则，在运行过程中的某一时刻，连接到同一项输出的三个双向开关中，有且仅有一个开关可以导通，而另外两个开关必须关断，用开关函数表示如下：
1 i {A ,B , C}ia ib ic S S S ++=∈ (2.2)
在实际运行中，须根据控制目标的需要，采用一定的调制策略来选择相应的开关状态。具体的控制方法在2.3节中详述。
2.1.2矩阵变换器的双向开关构成
矩阵式变换器由9个双向开关组成，每个双向开关都具有双向导通和双向关断的能力。通常使用分立的电力电子器件IGBT 来实现矩阵式变换器的双向开关，共有三中构成方式：二极管桥式、共集电极式和共射极式，另外也可以采用新型逆阻式IGBT 反并联构成双向开关，如图 2- 2所示。
a)b)
c)d)
图 2- 2矩阵式变换器双向开关构成
a)二极管桥式结构 b)普通IGBT共射极式结构
c)普通IGBT共集电式结构 d)逆阻式IGBT反并联结构
图 2- 2a所示的二极管桥式双向开关有一个位于中间的普通IGBT和4个快恢复二极管组成。这种构成方式的主要优点在于，每个双向开关中仅包含一个开关器件，使得整个矩阵式变换器仅包括9个IGBT，可以降低电路成本。但这种方法也存在严重不足之处，由于在电流流通过程中需要经过3个开关器件，必然造成开关器件损耗的增大，而且这种双向开关中的电流方向很难控制。因此，在实际的矩阵式变换器开发中，很少采用二极管桥这种方式。
普通IGBT共射极式双向开关有两个带有反并联快恢复二极管的IGBT 连接而成，如图 2- 2b所示。两个IGBT的射极连接到一起，而两个集电极则分别与输入侧和输出侧相连。由于普通IGBT不能承受较大的反向电压，因此需要两个快恢复二极管为双向开关提供反向阻断能力。相对于二极管桥式双向开关，这种构成方式具有两个明显的优点：一是可以独立的控制电流方向；二是由于电流只经过两个开关器件，开关器件的导通损耗也随之减小。但是这种双向开关也存在缺点，由于两个IGBT的射极被连接在一起，因此每个双向开关都需要至少1个隔离电源为驱动电路供电，整个矩
阵式变换器则需要9个驱动用隔离电源。
相对于前两种构成方式，普通IGBT 共集电极式双向开关（见图 2- 2c ）不但具有期间导通损耗小、电流方向易控制等优点，而且可以减少驱动电路隔离电源的数量，因为三个射极相连的IGBT 可以和共用一个隔离电源为驱动信号供电，因此整个矩阵式变换器只需要6个隔离电源。因而，这种双向开关的构成方式也得到了比较广泛。本仿真也是采用这种方式的双向开关。
图 2- 2d 所示为逆阻式IGBT 。它解决了普通IGBT 不能反向截止的问题，使得双向开关可以简化为简单的反并联结构，省去了两个快恢复二极管。同共集电极式结构相同，采用逆阻式IGBT 双向开关的矩阵式变换器也仅需要6个隔离电源。而且，虽然单个RB-IGBT 的功率损耗略大于普通IGBT ，但根据测试，由RB-IGBT 组成的双向开关的总功率小于由普通IGBT 构成的双向开关。因此，采用逆阻式IGBT 作为开关器件是矩阵式变换器未来发展的方向。
2.2矩阵变换器的换流方法
传统的交-直-交变频电路一般是由一个全控器件和一个快恢复二极管构成一个开关单元，可以形成电流的自然续流通路，以避免感性负载电路断路故障的发生。显然，矩阵式变换器电路的换流要困难很多。
为了确保换流工作安全进行，矩阵式变换器双向开关的换流一般采用多步换流策略。根据换流步骤依据的信息不同，多步换流策略一般分为基于输出电流方向检测和基于换流电压检测两类。通常，我们采用基于输出电流方向检测的多步换流策略。
在图 2- 3中，如果电流从变换器流向负载则电流方向信号为1，反之则为0以。以sgn_1L i =时为例，此时电流从变换器流向负载，并将从双向开关Aa S 换流到Ab S 。第一步，在开通1Ab S 前必须先关断2Aa S ，否则b U 和a U 会通过2Aa S 和1Ab S 形成电流短路回路；第二步，开通1Ab S ，如果a b U U <，
负载电流将立刻从1Aa S 转移到1Ab S ，换流发生在第二步，反之，如果a b U U ≥，则负载电流仍将流过1Aa S ，换流将发生在第三步；第三步，再开通2Ab S 前先关断1Aa S ，此时负载电流一定已转移到1Ab S ；第四步，开通2Ab S 。此时，双
向开关Aa S 换流到Ab S 的动作完成。当输出电流方向信号为0时，可采用相
同的方法分析出每一步应采取的换流动作。
2Ab a
U b U s g n _1L i = 条件：s g n _0L i = 条件：
A a A b S S →A a A b
S S →2A a S 1
A a S 2
A b S 1A b S 0t 1t 2t 3
t 2
A a S 1A a S 2A b S 1
A b S 0t 1t 2t 3t a)
b)c)
图 2- 3基于输出电流方向的双向开关四步换流策略
a)连接至同一相输出的两个双向开关
b)sgn_1L i =时的换流步骤 c)sgn_0L i =时的换流步骤
在实现四步换流策略的过程中，检测矩阵式变换器输出电流方向的方法主要有以下三种：
1）采用霍尔传感器或者电流互感器等电流测量元件：优点是简单方便，
容易实现，但缺点是在电流值较小时容易出现测量误差；
2）在主电路输出线上串联一对反并联的二极管：有点事检测结果比较准确，会使变换器的功率损耗增大，可靠性降低；
3）检测RB-IGBT 上管压降CE U ：优点是检测结果非常准确，但需对18
个RB-IGBT 均安装管压降检测电路，并增添逻辑电路，以判断实际电流方向，因而电路复杂，成本较高。
目前，在矩阵式变换器的开发过程中，检测输出电流方向一般采用方法1或者方法3。对于四步换流策略，在换流过程中，应锁存获取的输出电流方向信息，以避免换流步骤出错。当然，也有很多其他换流方法，这里不再赘述。
2.3直接传递函数法的调制原理
为了产生出需要的输出电压，就需要给九个双向开关ij S 产生合适的触发脉冲，调制就是这样一个过程。调制最主要的目标是从一个固定幅值、固定频率的的输入电压j v 中产生出一个幅值和频率都可变的正弦输出电压iN v 。最简单的方法就是考虑在一个时间窗口里，以期望的输出电压作为样本，而用输入电压瞬时值来合成一个信号，该信号的低频部分是期望的输出电压。
如果定于ij t 是开关ij S 闭合的时间，T 为样本间隔（即时间窗口的宽度），
则上述的合成原理可以用下式来表示： ()()()(); i {,,}ia A ib B ic C iN t v t t v t t v t v t A B C T ++== (2.3) jN v 是第j 项输出的低频部分，并且它在每个采样间隔都会变化。这种策略会产生高频输出电压，但电压的基波分量还是期望的输出波形。
显然，ia ib ic T t t t =++ j ?，因此占空比可以通过下面的方式定义： ,ia ia t m T = ,ib ib t m T = ic ic t m T
= (2.4)
把方程(2.3)延伸到输出的每一项，加上(2.4)，就可以得到如下的等式： ()()()()()()()()()() ()()()()()()()()A Aa Ab Ac a B Ba Bb Bc b o j C Ca Cb Cc c v t m t m t m t v t v t m t m t m t v t v t M t v t v t m t m t m t v t ???????
?????=?=???????????????????
(2.5) 其中，o v 是输出电压矢量的低频部分，i v 是输入电压矢量的瞬时值，()M t 是MC 的低频传递函数矩阵。同理,电流可以表示为： ()()()T j o i t M t i t =? (2.6) 其中，()[()()()]T j a b c i t i t i t i t =是输入电流矢量的低频部分，
()[()()()]T o A B C i t i t i t i t =是输出电流矢量的瞬时值，
()T M t 是()M t 的转置。 方程(2.5)和(2.6)是Venturini 调制方法的基础，并且我们可以得到如下结论：输出电压的低频部分是由输入电压的瞬时值合成的；输入电流的瞬时值是由输出电流的瞬时值合成的。
假定三相输入相电压为
()cos()()()cos(2/3)()cos(4/3)a im i j b im i c im i v t V t v t v t V t v t V t ωωπωπ????????==+????????+???? (2.7)
由于输出负载电流的低通特性是正弦的，所以三相输出电流为
000()cos()()()cos(2/3)()cos(4/3)A o o B o C o i t I t i t i t I t i t I t ωφωπφωπφ+????????==++????????++???? (2.8)
假设希望得到的输入电流为 ()cos()()()cos(2/3)()cos(4/3)A i i j B i i C i i i t I t i t i t I t i t I t ωωπωπ????????==+????????+???? (2.9)
希望得到的输出电压为
000()cos()()()cos(2/3)()cos(4/3)A om o B om C om v t V t v t v t V t v t V t ωωπωπ????
????==+????????+????
(2.10)
下面的有功功率平衡方程必须满足
3cos()322
i o i i
o i qV I V I P P φ=
==
(2.11)
其中，o P 和i P 是输出和输入的有功功率，q 是MC 的电压增益。
由此可以求得一组解，即低频调制矩阵()M t 为：
122412(0)12()12()3314212()12(0)12()3332412()12()12(0)332412(0)12()12()3312412()12()12(0)33312(qCS qCS qCS qCS qCS qCS qCS qCS qCS qCA qCA qCA qCA qCA qCA qCA ππαππππππαππ?
?++-+-??????+-++-+????
??
+-+-+????
++-+-+-+-++- 42)12(0)12()33qCA qCA ππ????????????
?
?++-???? (2.12)
式中
010210()cos()CA()=cos[-(+2)t+]
1
[1tan()cot()]2
11[1tan()cot()]
2
m m i m i
i i om im
CS x t x x x V q V ωωωωωωα??αα??=+=-=+=-=-=
各变量满足
1200102
q αα≥≥≤≤
对MC 的控制策略作如下的假设：
（1）必须获得输入电压j v 和希望的输出电压,{,,}i iref v v i A B C ==的采样值。 （2）利用式(2.12)，矩阵()M t 一定可以计算出来。 （3）利用式(2.4)，可以得到导通时间ij t 。
（4）根据所示的第i 相输出，在ij t 期间必须产生9个脉冲。应该注意到这和开关函数()ij S t 的产生是一致的。
（5）必须用开关函数()ij S t 来控制MC 的双向开关在合适的情况下导通或者关断。
S
S
S
---[]
tim e m s
图 2- 4 第i 相输出的开关函数
在图 2- 4 第i 相输出的开关函数中，开关（采样）时间1T ms =，工
作时间0.4,0.2,0.4ia ib ic t ms t ms t ms ===。变量r 是一个斜率为1的斜坡函数，在每个采样间隔的起始处从零开始。此变量r 与ia ia ib t t t +和相比较产生
, , ia ib ic S S S 的导通脉冲，其中ia ia S t = ，ib S A B =? ，ic S A B =? ，即由此得到调制矩阵()M t 的各元素值。
根据这样的调制策略我们可以得到图 3- 1的输出电压。图中只表示了参考电压下的一项输出电压；可以理解为:由于切换合成原理，输出电压具有一个很重要的谐波分量。图 3- 2是图 3- 1的具体化，它很清晰地说明了输出电压是用输入电压的瞬态平均值合成的；在一个切换间隔内，即图中的周期T 内，输出电压在三相输入电压之间切换，在这个时间内，施加在
输出端的那一相输入电压决定它对输出电压低频部分的贡献。
图 3- 1 A相输出电压
在图 3- 1中，细线代表输入电压的a,b,c三相，灰线代表各相开关闭
合的时间
Aa ,, t
Ab Ac
t t,由式(2.3)可以得到
()()()
Aa a Ab b Ac c
A
t v t t v t t v t
v
T
++
=，粗
实线代表合成的输出电压A相。
-----310
-?[]
time ms
图 3- 2 一个周期内合成A 相输出电压
2.4 优化AV 法
应注意的是，由于平均工作的的原理，输出电压的低频部分不能超过任意时刻振幅的最大值。该基准可以在任意时刻达到它的最大值，比如说，
1.7t ms =,最坏的情况下的最大幅值为0.5i V ，所以MC 的电压增益就被限制在
0.5以下。
为了提高电压传输比，M.J.Maytum 和D.Colman 在输出相电压参考值中注入输入电压与输出电压的3次谐波，从而将直接传递函数法的电压传输比提高到0.866。这种方法即“优化AV 方法”。
此种方法得以应用是基于变换器自身所固有的性质：
（1）感性负载的情况下，输入矩阵变换器中的电流除含有与输入电压同频率的成分外，只含有与开关频率相同或者开关频率整数倍的谐波成分，而不含其他任何成分的谐波。并且，输出电压中除含有与输出电流相同频率外，也只含有与开关频率相同或者开关频率整数倍的谐波成分，而不含其他任何成分的谐波。
传递函数矩阵的状态空间最小实现
传递函数矩阵最小实现方法 降阶法人们在设计复杂系统时，总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真，以检查系统性能是否达到指标要求。给定严格真传递函数矩阵G(s)，为寻找一个维数最小的(A,B,C),使C(sl - A)」B二G(s)，则称该(A,B,C )是G(s)的最小实现，也称为不可约实现。最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论： (1)( A,B,C )为严格真传递函数矩阵G(s)的最小实现的充要条件是(A,B) 能控且(A,C)能观测。 (2)严格真传递函数矩阵G(s)的任意两个最小实现(A,B,C)与(A,B,C5之 间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵T使得式子 A =T」AT, B =T J B, C =CT 成立。 (3)传递函数矩阵G(s)的最小实现的维数为G(s)的次数n.，或G(s)的极点多项式的最高次数。 为了寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。求最小实现的方法有三种： 1、降阶法。根据给定的传递函数矩阵G(s)，第一步先写出满足G(s)的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足G(s)的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。 2、直接求取约当型最小实现的方法。若G(s)诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。 3用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。 下面主要研究降阶法(先求能控型再求能观测子系统的方法)并举例说明。 先求能控型再求能观测子系统的方法设(px q)传递函数矩阵G(s)，且p v q时，
Buck-boost变换器的建模与控制 第二次作业
Buck-boost 变换器的建模与控制 一、平均开关模型 图1给出buck-boost 变换器电路和它的开关网络电路。 v v + - a ） i 2 b) 图1 buck-boost 变换器及开关网络 a) buck-boost 变换器 b) 开关网络 开关导通时，端口电压、电流方程： 1212(t)(t)(t)0v (t)0v (t)v(t)v (t) g i i i =??=? ? =??=-? 开关关断时：此时，端口电压、电流方程： 12 12(t)0(t)(t)v (t)v (t)v(t)v (t)0g i i i =? ?=-?? =-??=? 平均化后的端口网络方程为：
1' 2'1 2 (t)d(t)(t)(t)d (t)(t)v (t)=d (t)(v (t)v(t)) v (t)=d(t)(v(t)v (t)) g g i i i i ?=?=-? ?-??-? 因为端口网络的电流和电压的幅值相同，因此，可以直接得到基本变换器开关网络的小信号交流平均模型，如图4所示。 Λ Λ 2 ' 图4 开关网络的直流及小信号交流平均开关模型 将开关网络带入到buck-boost 变换其中，可得到如图5所示的buck-boost 变换器的的直流及小信号交流平均开关模型。 + - V +v Λ g V +v g Λ 图5 buck-boost 变换器的直流及小信号交流平均开关模型 二、buck-boost 变换器的传递函数 为了方便推导buck-boost 变换器传递函数，利用和其等效的小信号交流模型如图所示。
v g Λ v(s) Λ 图6 buck-boost 变换器的小信号交流平均模型 对图6中的小信号模型，设置扰动源d=0Λ ，可得到图7和图8所示的简化电路。 v g Λ v(s) Λ ' 图7扰动源d=0Λ 时，buck-boost 变换器的小信号交流等效电路 v(s) Λ 图8扰动源d=0Λ 时，buck-boost 变换器的小信号最简等效电路 由图8中的电路，列写方程可以得到输出和输入电压之比，即电路的传递函数： 2 v ' (s)0 '1s (s)1(s)g g d R v D SC G SL D v R SC D Λ Λ Λ == =- ?+（）
自动控制复习题
第一章绪论 1.自动控制理论的三个发展阶段是（经典控制理论、现代控制理论、 智能控制理论） 2.偏差量指的是（给定量）与反馈量相减后的输出量 3.负反馈是指将系统的（输出量）直接或经变换后引入输入端，与 （输入量）相减，利用所得的（偏差量）去控制被控对象，达到减少偏差或消除偏差的目的。 4.对控制系统的基本要求有（稳定性、快速性、准确性） 5.稳定性是系统正常工作的必要条件，，要求系统稳态误差（要小） 6.快速性要求系统快速平稳地完成暂态过程，超调量（要小），调节 时间（要短） 7.自动控制理论的发展进程是（经典控制理论、现代控制理论、智 能控制理论） 8.经典控制理论主要是以（传递函数）为基础，研究单输入单输出 系统的分析和设计问题 第二章自动控制系统的数学模型 1.数学模型是描述系统输出量，输入量及系统各变量之间关系的（数 学表达式） 2.传递函数的分母多项式即为系统的特征多项式，令多项式为零， 即为系统的特征方程式，特征方程式的根为传递函数的（极点），分子的形式的根是传递函数的（零点）
3. 惯性环节的传递函数为（ 1 1 +Ts ） 4. 惯性环节的微分方程为（T ) () (t d t dc +c （t ）=r(t) 5. 振荡环节的传递函数为（G （s ）=n n s s 222 2ωζωω++） 6. 系统的开环传递函数为前向通道的传递函数与反馈通道的传递函数的（乘积） 7. 信号流图主要由（节点和支路）两部分组成 8. 前向通道为从输入节点开始到输出节点终止，且每个节点通过（一次）的通道 9. 前向通道增益等于前向通道中各个支路增益的（乘积） 10. 在线性定常系统中，当初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比称作系统的（传递函数） 11. 传递函数表示系统传递，变换输入信号的能力，只与（结构和参数）有关，与（输入输出信号形式）无关 12. 信号流图主要由两部分组成：节点和支路，下面有关信号流图的术语中，正确的是（B ） A ． 节点表示系统中的变量或信号 B ． 支路是连接两个节点的有向线段，支路上的箭头表示传递的方 向，传递函数标在支路上 C ． 只有输出支路的节点称为输入节点，只有输入支路的节点为输 出节点，既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点 D ． 前向通道为从输入节点开始到输出节点终止，且每个节点通过
Boost变换器系统建模及其控制.
概要 ? 2?设计要求 ? 2.LC参数的设计 ? 3?小信号模型的建立 拿4.串联超前滞后补偿网络的设计 ? PSIM中对电路波形的仿真 oost变换器电路参数设计要求 ? 1. 1技术指标 *输入电压：V=500v 输出电压：V= 700v *开关频率：50kHz ?额定功率：10.5kw
亿”2 G ?心心 Boost 变换器系统电路图结构 Boost 变换器的负反馈控制系统传递函数图 其中4(、为占空比至输出的传递函数,6(?为PWM 脉宽调制器的传递函数. 表希反 備通路的传递函数， 为补偿网络的传递函数。 其中 为未加补偿网络时的回路增益函数，称之为原始回路增益 函数Q3 为待设计的补偿网络函数
LC 参数的选取 *田已知可得：输岀额定电流:/<)= A =j°lr 10 =i54 % -- * 占空比：D=1-^ =2.857 &严伫= 46.6670 ?求解 临界电感 ° * ?当变换器工作在临界状态时，其电感电流波形如图所示: V -匕 V V 」_■- 7)7；=』(1 一 /刀 7； = 2/° = 2」 L L R I =匕 Q(1 — OF c _ ~~27^ .计算得 Q= 0.068mH 选取 厶竝选L=0.08mH 电容值的选取 ?二极管关闭时，电容向负载提供直流电流, 7(X) *田此，得出临界电感值如下: ?二极管开通，同时向电容以及负载提供 ?电流，电容充放电荷量相同。 AV =也==比。7, ° C C RC 取纹波z\V ；)vl2V ?临界电容由公式得 1)X1。 A X AV 0,2857x15 50x10*12 = 7 」“F ?在此选U >￡? C = 9pF 2 Boost 变涣殊临界状态电感电流波形
传递函数矩阵的状态空间小实现
传递函数矩阵的状态空间最小实现
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传递函数矩阵最小实现方法 ——降阶法 人们在设计复杂系统时，总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真，以检查系统性能是否达到指标要求。给定严格真传递函数矩阵()G s ，为寻找一个维数最小的（A,B,C ）,使1()()C sI A B G s --=，则称该（A,B,C ）是()G s 的最小实现，也称为不可约实现。最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论： （1）（A,B,C ）为严格真传递函数矩阵()G s 的最小实现的充要条件是（A,B ）能控且（A,C ）能观测。 （2）严格真传递函数矩阵()G s 的任意两个最小实现（A,B,C ）与(,,)A B C 之间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵T 使得式子 11,,A T AT B T B C CT --===成立。 （3）传递函数矩阵()G s 的最小实现的维数为()G s 的次数n δ，或()G s 的极点多项式的最高次数。 为了寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。求最小实现的方法有三种： 1、降阶法。根据给定的传递函数矩阵()G s ，第一步先写出满足()G s 的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足()G s 的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。 2、直接求取约当型最小实现的方法。若()G s 诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。 3用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。 下面主要研究降阶法（先求能控型再求能观测子系统的方法）并举例说明。 先求能控型再求能观测子系统的方法设（p ×q ）传递函数矩阵()G s ，且p ＜q 时，优先采用本法。取出()G s 的第j 列，记为j ()G s ，是j u 至()y s 的传递函
控制系统的数学模型及传递函数
控制系统的数学模型及传递函数 2-1 拉普拉斯变换的数学方法 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作： 称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数 拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当时，，M，a为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 —拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数 2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数 4．指数函数 5．正弦函数sinwt 由欧拉公式：
所以， 6．余弦函数coswt 其它的可见表2-1：拉氏变换对照表
三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s), 则有：，此式可由定义证明。 2、位移定理 (1)实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a 有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：， 令t-a=τ,则有上式=
电力电子建模与控制仿真作业
电力电子建模与控制 基于BUCK变换器反馈控制设计 专业：电气工程 姓名：________ 荏 学号：13S053072
BUCK 变换器反馈控制设计 第一部分：设计目标 图1 Buck 变换器系统 根据给定的条件，要求完成以下设计任务： 1?建立系统的传递函数TF ; 2. 给定参数：主电感 L 50 H R C 0.05 ,V g 30V V 。 15V ，R 5 C 100 F ,R 0 。设计补偿网络Gc(s); 3. 画出补偿前后系统传递函数的bode 图； 4. 讨论补偿传递函数Gc(s)对于系统零点、极点、输出调节、输出阻抗及对 系统动态性能的影响。 第二部分：传递函数的建立与仿真 、系统开环传递函数建立: 图2 统一电路模型 对于给定的buck 变换器电路，如图1所示。 |?|
表1 BUCK 变换器统一电路模型参数 i) 1. BUCK 变换器占空比至输出传递函数 G vd (s): 由以上模型和参数课求得占空比至输出的传递函数 G vd (s): 2. 主拓扑参数选择: 本文控制系统中反馈电阻选择：R X 1bbk ,R y 1bbk ，即反馈系数 1 H(s)孑开关频率为f s 1bbkHz ，参考电压为5V ，锯齿波幅值3V 。 3. 工作方式： 根据BUCK 变换器电流连续与断续状态的临界电感公式为 1 D?V g D 2 T s D ? 利用Matlab 软件画出G b (s)的bode 图，如图3所示，从图中可以看出，系 统的幅值裕度无穷大，然而，相角裕度比价小，只有 Pm=15.7deg 不符合系统的 要求。 CgnwTW C, V g (R sR c RC) G vd (s) R (L R c RC) s LC (R R c ) s 2 (1) 1 crit 2L 代入给定的参数值，可知, 电感电流 I I crit ，电路工作在连续CCM 模式。 二、补偿前系统传递函数 bode 图 1?原始回路增益函数G 0(s) G b (s) H(s)G.(s)G vd (s) V g (R sRRC & RV m 1 s(R F C RC s 2 LC(R R) (3) 代入相应数值后 100 1 100 1OO 3 2.补偿前系统传递函 G b (s) 5 30(5 2.5 10 s) 5 7.5 10 5 s 25.25 10 9 s 2 bode 图 5 2.5 10 5 s 1 1.5 10 5 s 5.05 109 s 2
由传递函数转换成状态空间模型
由传递函数转换成状态空间模型——方法多!!! SISO 线性定常系统 高阶微分方程化为状态空间表达式 SISO ()()()()()()m n u b u b u b y a y a y a y m m m n n n n ≥+++=++++--- 1102211ΛΛ )(2 211110n n n n m m m a s a s a s b s b s b s G +++++++=---ΛΛ 假设1+=m n 外部描述 ←—实现问题：有了内部结构—→模拟系统 内部描述 SISO ? ??+=+=du cx y bu Ax x & 实现问题解决有多种方法，方法不同时结果不同。 一、 直接分解法 因为 1 0111 11()()()()()()()() 1m m m m n n n n Y s Z s Z s Y s U s Z s U s Z s b s b s b s b s a s a s a ----?=? =?++++++++L L ???++++=++++=----) ()()() ()()(11 11110s Z a s a s a s s U s Z b s b s b s b s Y n n n n m m m m ΛΛ 对上式取拉氏反变换，则 ? ??++++=++++=----z a z a z a z u z b z b z b z b y n n n n m m m m &Λ&Λ1) 1(1)(1)1(1)(0 按下列规律选择状态变量，即设)1(21,,,-===n n z x z x z x Λ&，于是有
?????? ?+----===-u x a x a x a x x x x x n n n n 12113 221Λ&M && 写成矩阵形式 式中，1-n I 为1-n 阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。只要系统状态方程的系数阵A 和输入阵b 具有上式的形式，c 阵的形式可以任意，则称之为能控标准型。 则输出方程 121110x b x b x b x b y m m n n ++++=--Λ 写成矩阵形式 ??????? ? ????????=--n n m m x x x x b b b b y 12101 1][M Λ 分析c b A ,,阵的构成与传递函数系数的关系。 在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A 、b 、c 矩阵的所有元素。 例：已知SISO 系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型。 4 2383)()(2 3++++=s s s s s U s Y 解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即
传递函数模型的建模
传递函数模型的建模 一、实验目的 熟悉传递函数模型的建模方法 二、预备知识 熟练掌握互相关函数特征 三、实验内容 对数据集Lydia Pinkham进行传递函数模型的建模 四、实验仪器与材料(或软硬件环境) SAS/ETS软件 五、实验程序或步骤 传递函数模型的建模 1、开机进入SAS系统。 2、建立名为exp6的SAS数据集，输入如下程序： data sales; input x y; t=_n_; cards; 输入广告支出及销售数据 ; run; 3、保存上述程序，绘序列图，输入如下程序： proc gplot data=sales; symbol1i=spline c=red; symbol2i=spline c=green; plot x*t=1 y*t=2; run; 4、提交程序，输出图像见图1、图2.仔细观察两序列图形，发现x,y发展趋势大致相同，x与y均为非平稳时间序列，且x为领先指标。
图1 图2 5、先观察t x 和t y 的相关情况，看是否要做差分，输入如下程序： proc arima data =sales; identify var =y crosscorr =(x) nlag =12; run ; proc arima data =sales; identify var =x nlag =12; run ; 6、提交程序，观察t x 的t y 自相关和互相关系数，如图3为y 的自相关图，图4为x 的自相关图，发现它们的自相关图都衰减得很慢，表明它们均为非平稳
时间序列，对它们进行差分运算。 图3 图4 7、对x、y分别做差分运算并查看它们的自相关系数及互相关系数，输入如下 程序（输出y、x自相关图见图5、图6；图7x的偏相关系数图；互相关系数图见图7）： proc arima data=sales; identify var=y(1) crosscorr=(x(1)) nlag=12; run; proc arima data=sales; identify var=x(1) nlag=12; run;
8 传递函数矩阵的零极点
第七章：矩阵分式描述 传递函数矩阵的矩阵分式描述是复出频域理论中表征线性时不变系统输入输出关系的一种基本模型。 采用矩阵分式描述（MFD ）和多项式矩阵理论可使线性时不变系统的频域分析和综合的理论和方法简便和实用。 主要介绍：1、矩阵分式描述的形式和构成 2、矩阵分式描述的真性和严真性 3、矩阵分式描述的不可简约性 7-1 矩阵分式描述的基本概念 矩阵分式描述（MFD ）的实质：就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之比。 MFD 形式上是对标量有理分式形式传递函数g(s)相应表示的一种推广 右MFD ： 对p 输入，q 输出线性时不变系统。有理分式矩阵G(s)，存在多项式矩阵p q s N ?)(和多项式矩阵p p s D ?)(使下式成立： 称p p p q s D s N ?-?)()(1为G(s)的一个右MFD 。 左MFD ：p q L q q L p q s N s D s G ??-?=)()()(1 称p q L q q L s N s D ??-)()(1 为G(s)的一个左MFD 。 例：8.1 构造G(s)的一个右MFD ，=)(s G ?? ???++++?????210 210 1 1 2s s s s s s 方法：先确定各列的最小公分母，)2(1+=s s d c 22s d c = )2(3+=s d c 1 2 22)2(10)1(012210 ) 2() 1(01 ) 2(2)(-???? ? ?????++?? ???+++???? ? =?????++++++????? =s s s s s s s s s s s s s s s s s s s G p p p q p q s D s N s G ?-??=)()()(1
二用MATLAB建立传递函数模型
《自动控制原理》实验指导书 北京科技大学自动化学院控制科学与工程系 2013年4月
目录 实验一典型系统的时域响应和稳定性分析 (1) 实验二用MATLAB建立传递函数模型 (5) 实验三利用MATLAB进行时域分析 (13) 实验四线性定常控制系统的稳定分析 (25) 实验五利用MATLAB绘制系统根轨迹 (29) 实验六线性系统的频域分析 (37) 实验七基于MATLAB控制系统频域法串联校正设计 (51) 附录1 MATLAB简介 (58) 附录2 SIMULINK简介 (67)
实验一典型系统的时域响应和稳定性分析 一、实验目的 1．研究二阶系统的特征参量(ξ、ωn) 对过渡过程的影响。 2．研究二阶对象的三种阻尼比下的响应曲线及系统的稳定性。 3．熟悉Routh判据，用Routh判据对三阶系统进行稳定性分析。 二、实验设备 PC机一台，TD-ACC+教学实验系统一套。 三、实验原理及内容 1．典型的二阶系统稳定性分析 (1) 结构框图：如图1-1所示。 图1-1 (2) 对应的模拟电路图：如图1-2所示。 图1-2 (3) 理论分析 系统开环传递函数为：G(s)=? 开环增益：K=? 先算出临界阻尼、欠阻尼、过阻尼时电阻R的理论值，再将理论值应用于模拟
电路中，观察二阶系统的动态性能及稳定性，应与理论分析基本吻合。在此实验中由图1-2，可以确地1-1中的参数。 0?T =， 1?T =，1?K = ?K ?= 系统闭环传递函数为：()?W s = 其中自然振荡角频率：?n ω=；阻尼比：?ζ=。 2．典型的三阶系统稳定性分析 (1) 结构框图：如图1-3所示。 图1-3 (2) 模拟电路图：如图1-4所示。 图1-4 (3) 理论分析 系统的开环传函为:()()?G s H s = 系统的特征方程为:1()()0G s H s +=。 (4) 实验内容 实验前由Routh 判断得Routh 行列式为： S 3 S 2 S 1 S 0 为了保证系统稳定，第一列各值应为正数，因此可以确定
Buck变换器建模和仿真
Buck 变换器的建模与仿真 (一)Buck 变换器的性能指标 带有反馈控制回路Buck 变换器的电路图如图（1-1）所示，我们假定其工作在CCM 方式。其基本电路参数为： 输入电压g V =2030V 输出电压V =12V 输出纹波125mV （1%） 电压跌落250mV （最大，2003out I mA A =） 开关频率s f =100kHz 最大输出电流4A 输入电流最大纹波0.4A(峰峰值 ) 图（1-1）带有反馈控制回路的直流斩波电路 （二）Buck 变换器参数的选择 1. 滤波电感0L 的选择 由di u L dt =得 6 .max 0.max ()(3012)410180H 0.14 in out on out V V T dt L u di I μδ--?-??====??
这里我们取0L 为180H μ 最大负载时的峰值电流为 .max .max 40.054 4.22 peak out out I I I A δ =+ =+?= 2. 滤波电容0C 的选择 由du i c dt =得 其向量形式为 I j cU ω= I jcU ω= 所以需要穿越频率的带宽为 2out c out out I f C V π?= ? 如果假定穿越频率为10kHz 250892.8 out c out V m Z m I ?= ==Ω? 原则上为了留有设计裕量，电阻的阻抗按13计算阻抗选取 根据上面计算结果，我们可以在Rubycon 公司的ZL 系列，16V 中选取以下规格： C=330F μ ,760C rms I mA =@105A C =? ,72ESR low R m =Ω@20A T C =? ,220ESR low R m =Ω@10A T C =-? 电容ESR 的阻抗应小于输出电容在穿越频率处的阻抗
Matlab控制系统传递函数模型
MATLAB及控制系统 仿真实验 班级：智能0702 姓名：刘保卫 学号：06074053(18)
实验四控制系统数学模型转换及MATLA实现 一、实验目的 熟悉MATLAB的实验环境。 掌握MATLAB建立系统数学模型的方法。 二、实验内容 (注：实验报告只提交第2题) 1、复习并验证相关示例。 (1)系统数学模型的建立 包括多项式模型(TranSfer FunCtiOn，TF)，零极点增益模型(ZerO-POIe，ZP), 状态空间模型 (State-SPace,SS )； (2)模型间的相互转换 系统多项式模型到零极点模型(tf2zp ),零极点增益模型到多项式模型(zp2tf ), 状态空间模 型与多项式模型和零极点模型之间的转换(tf2ss,ss2tf,zp2ss …)； (3)模型的连接 模型串联(SerieS ),模型并联(parallel ),反馈连接(feedback) 2、用MATLAB故如下练习。 x+2 :6{J?=——；----- (1)用2种方法建立系统?-的多项式模型。 程序如下： %?立系统的多项式模型(传递函数) %方法一，直接写表达式 s=tf('s') GSI=(S+2)∕(s^2+5*s+10) %方法二，由分子分母构造 num=[1 2]; den=[1 5 10]; Gs2=tf( nu m,de n) figure PZmaP(GS1) figure PZmaP(GS1) grid On 运行结果： 易知两种方法结果一样 Tran Sfer fun Cti on: Tran Sfer fun Cti on:
S + 2 s^2 + 5 S + 10 Tran Sfer fun Cti on: S + 2 s^2 + 5 S + 10 ^)=1° 第3章 开关变换器的状态空间平均建模 开关变换器是通过调整开关元件的工作状态实现开关变换器输出电压的调整，在一个开关周期内，开关变换器是一个周期性时变电路，但在每一个开关工作状态，开关变换器又可以看作是一个线性电路。因此，不能用常规的线性电路理论对开关变换器进行分析，而必须研究适用于开关变换器的建模分析方法。 3.1 CCM 开关变换器的状态空间平均模型 3.1.1 CCM 开关变换器的状态空间方程及其近似解 对于在开关周期T 内有两个开关工作状态的开关变换器，即开关变换器工作在CCM 模式，可以分别写出它在每一个开关工作状态的状态方程，并进行求解。 工作状态1：在一个开关周期的[0，DT ]时间段，开关变换器的状态方程为： d ()()()d t t t t =+11x A x B u (3.1a) 工作状态2：在一个开关周期的[DT ，T ]时间段，开关变换器的状态方程为： d ()()()d t t t t =+22x A x B u (3.1b) 其中：x (t )是状态向量；u (t )是输入向量；A 1、A 2、B 1、B 2分别是工作状态1和工作状态2对应的状态矩阵和输入矩阵。 （I ）开关工作状态1对应的状态方程的解为 ()()0d t t e t t e ττ?111A A u x =x()+B (3.2) 当开关变换器的开关频率(f s =1/T )远大于状态方程的特征频率f 0，即f s >> f 0时，存在下述线性近似关系 DT DT e +≈11A I A (3.3) 将式(3.3)代入式(3.2)，可得 00 ()()0()d 0d DT DT DT DT e t DT e t e τ ττ τ +=+ ??111A A A 111I A B u x()=x()+B u x() (3.4a) 当开关变换器的输入向量u (t )在一个开关周期内是常数，或相对于开关频率是慢变化量时，可以 自动控制原理习题 一、(20分) 试用结构图等效化简求下图所示系统的传递函数 ) ()(s R s C 。 解： 所以： 3 2132213211)()(G G G G G G G G G G s R s C +++= 二．（10分）已知系统特征方程为06363234=++++s s s s ，判断该系统的稳定性，若 闭环系统不稳定，指出在s 平面右半部的极点个数。(要有劳斯计算表) 解：劳斯计算表首列系数变号2次，S 平面右半部有2个闭环极点，系统不稳定。 三．（20分）如图所示的单位反馈随动系统，K=16s -1,T=0.25s,试求： （1）特征参数n ωξ，； （2）计算σ%和t s ; （3）若要求σ%=16%，当T 不变时K 应当取何值 解：（1）求出系统的闭环传递函数为： 因此有： （2） %44%100e %2 -1-=?=ζζπ σ （3）为了使σ%=16%，由式 可得5.0=ζ，当T 不变时，有： 四．（15分）已知系统如下图所示， 1．画出系统根轨迹（关键点要标明）。 2．求使系统稳定的K 值范围，及临界状态下的振荡频率。 解 ① 3n =，1,2,30P =，1,22,1m Z j ==-±，1n m -= ②渐进线1条π ③入射角 同理 2?2135sr α=-? ④与虚轴交点，特方 32220s Ks Ks +++=，ωj s =代入 222K K -0=1K ?= ，s = 所以当1K > 时系统稳定，临界状态下的震荡频率为ω 五．（20分）某最小相角系统的开环对数幅频特性如下图所示。要求 （1） 写出系统开环传递函数； （2） 利用相角裕度判断系统的稳定性； （3） 将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。 传递函数矩阵最小实现方法 ——降阶法 人们在设计复杂系统时，总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真，以检查系统性能是否达到指标要求。给定严格真传递函数矩阵()G s ，为寻找一个维数最小的（A,B,C ）,使1()()C sI A B G s --=，则称该（A,B,C ）是()G s 的最小实现，也称为不可约实现。最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论： （1）（A,B,C ）为严格真传递函数矩阵()G s 的最小实现的充要条件是（A,B ）能控且（A,C ）能观测。 （2）严格真传递函数矩阵()G s 的任意两个最小实现（A,B,C ）与(,,)A B C 之间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵T 使得式子 11,,A T AT B T B C CT --===成立。 （3）传递函数矩阵()G s 的最小实现的维数为()G s 的次数n δ，或()G s 的极点多项式的最高次数。 为了寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。求最小实现的方法有三种： 1、降阶法。根据给定的传递函数矩阵()G s ，第一步先写出满足()G s 的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足()G s 的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。 2、直接求取约当型最小实现的方法。若()G s 诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。 3用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。 下面主要研究降阶法（先求能控型再求能观测子系统的方法）并举例说明。 先求能控型再求能观测子系统的方法设（p ×q ）传递函数矩阵()G s ，且p ＜q 时，优先采用本法。取出()G s 的第j 列，记为j ()G s ，是j u 至()y s 的传递函 控制系统仿真 [教学目的] 掌握数字仿真基本原理 控制系统的数学模型建立 掌握控制系统分析 [教学内容] 一、控制系统的数学模型 sys=tf(num,den)%多项式模型，num为分子多项式的系数向量，den为分母多项式的系%数向量，函数tf（）创建一个TF模型对象。 sys=zpk(z,p,k)%z为系统的零点向量，p为系统的极点向量，k为增益值，函数zpk（）创建一个ZPK模型对象。 （一）控制系统的参数模型 1、TF模型 传递函数 num=[b m b m-1b m-2…b1b0] den=[a m a m-1a m-2…a1a0] sys=tf(num,den) 【例1】系统的传递函数为。 >>num=[01124448]; >>den=[11686176105]; >>sys=tf(num,den); >>sys Transfer function: s^3+12s^2+44s+48 ------------------------------------- s^4+16s^3+86s^2+176s+105 >>get(sys) >>set(sys) >>set(sys,'num',[212]) >>sys Transfer function: 2s^2+s+2 ------------------------------------- s^4+16s^3+86s^2+176s+105 【例2】系统的传递函数为。 >>num=conv([20],[11]); >>num num= 2020 >>den=conv([100],conv([12],[1610])); >>sys=tf(num,den) Transfer function: 20s+20 ------------------------------- s^5+8s^4+22s^3+20s^2 【例3】系统的开环传递函数为，写出单位负反馈时闭环传递函数的TF模型。>>numo=conv([5],[11]); >>deno=conv([100],[13]); >>syso=tf(numo,deno); >>sysc=feedback(syso,1) Transfer function: 5s+5 ---------------------- s^3+3s^2+5s+5 【例4】反馈系统的结构图为： R (1) 机械平移系统 在所有初始条件均为零的情况下，对上式进行拉氏变换，得 (2) 机械旋转系统 包含定轴旋转的机械系统用途极其广泛。其建模方法与平移系统非常相似。只是这里将质量、弹簧、阻尼分别变成转动惯量、扭转弹簧、旋转阻尼。 图3.3所示为一机械旋转系统，旋转体通过柔性轴（用扭转弹簧 表示）与齿轮连接。旋转体在粘性介质中旋转，因而承受与旋转速度成正比的阻尼力矩。 设齿轮转角 为系统输入量，旋转体转角 为系统输出量，据此建立系统的运动微分方程（忽略轴承上的摩擦）。扭转弹簧左、在此处键入公式。右端的转角分别为 、 ，设它加给旋转体的扭矩为 （当 时，弹簧的扭矩为零），则 ；旋转体上除了受弹簧的扭矩外，也受阻尼扭矩 作用，因而 有扭矩平衡方程 和旋转阻尼特性方程 由以上三式整理可得机械旋转系统运动微分方程 ()()()() 2o o o i ms X s BsX s KX s F s ++=K )(i t θ)(o t θ)(i t θ)(o t θ)(t T K o i θθ=i o ()[()()]K T t K t t θθ=-)(t T B 2o 2d ()()()d K B J t T t T t t θ=-o d ()()d B T t B t t θ= 3.6.1 机械系统 在控制系统中，经常要将旋转运动变换成直线运动。例如用电动机和丝杠螺母装置可控制工作台沿直线运动，见图3.55，这时可以用一等效惯量直接连接到驱动电动机的简单系统来表示。工作台等直线运动部件的质量 ，按等功原理可折算到电动机轴上，如图3.55b 所示，其等效惯量为 （3.96） ——丝杠螺距，定义为丝杠每转一周工作台移动的直线距离。 此外，在控制系统中常用齿轮传动装置来改变转矩、转速和角位移，使系统的能量从一处传递到系统的另一处。图3.56a 表示一对啮合的齿轮副，在理想情况下，惯量和摩擦 2o o o i 2d d ()()()()d d J t B t K t K t t t θθθθ++ =m 22πL J m ??= ?? ?L 第三章 例3-1 系统的结构图如图3-1所示。 已知传递函数 )12.0/(10)(+=s s G 。 今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间t s 减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。试确定参数K h 和K 0的数值。 解 首先求出系统的传递函数φ（s ），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件 对照。 一阶系统的过渡过程时间t s 与其时间常数成正比。根据要求，总传递函数应为 ) 110/2.0(10 )(+= s s φ 即 H H K s K s G K s G K s R s C 1012.010)(1)()()(00++=+= )()11012.0(101100s s K K K H H φ=+++= 比较系数得 ??? ??=+=+10 10110101100 H H K K K 解之得 9.0=H K 、100=K 解毕。 例3-10 某系统在输入信号r (t )=(1+t )1(t )作用下，测得输出响应为： t e t t c 109.0)9.0()(--+= （t ≥0） 已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s φ。 解 因为 22111)(s s s s s R +=+= )10()1(10109.09.01)]([)(22 ++=+-+= =s s s s s s t c L s C 故系统传递函数为 1 1.01 )()()(+== s s R s C s φ 解毕。 例3-3 设控制系统如图3-2所示。 试分析参数b 的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。 解 由图得闭环传递函数为 1 )()(++= s bK T K s φ 系统是一阶的。动态性能指标为 ) (3)(2.2)(69.0bK T t bK T t bK T t s r d +=+=+= 因此，b 的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。解毕。 例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。试确定系统的传递函数。 解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1， 而是3。系统模型为 22 223)(n n n s s s ω ξωωφ++= 然后由响应的%p M 、p t 及相应公式，即可换算出ξ、n ω。 %333 3 4)()()(%=-=∞∞-=c c t c M p p 1.0=p t （s ） 1+Ts K bs 4 3 0 0.1 t 图3-34 二阶控制系统的单位阶跃 响应 h (t ) 1.根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点和无穷远处 2.系统开环传递函数有3个极点，2个零点，则有3条根轨迹 3.根轨迹是连续的且关于实轴对称 4.已知系统的开环传递函数为G(S)=K/S+3,则(-2,j0)点不在更轨迹上 5.已知(-2,j0)点在开环传递函数为G(S)=K/（S+4）（S+1）的系统的更轨迹上，则改点对应的k值为2 6.开环传递函数为G(S)=K/S+1,则实轴上的更轨迹为（-∞，-1] 7.已知系统的开环传递函数为G(S)=K/(S+(S+,则该闭环系统的稳定状况为稳定 8.开环传递函数为G(S)=K/(S+1)(S+2)(S+3),当K增大时，该闭环系统由稳定到不稳定 9.系统开环传递函数为G(S)=K/(S+1)(S+3),则实轴上的根轨迹为[-3,-1] 10.设开环传递函数为为G(S)=K/S(S+2),在根轨迹的分离处，其对应的k值为1 11.单位反馈系统开环传递函数为两个“S”多项式之比G(S)=M(s)/N(s),则闭环特征方程为M(S)+N(S)=0 1.适合于应用传递函数描述的系统是线性定常系统 2.某0型单位反馈系统的开环增益K,则在r(t)=1t2/2输入下的稳态误差为∞ 3.动态系统0初始条件是指t开关变换器的状态空间平均建模
自动控制原理典型习题含答案
传递函数矩阵的状态空间最小实现
控制系统Matlab仿真 (传递函数)
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自动控制原理习题及其解答-第三章
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