常量代换法
常量代换法
江苏省兴化市中堡中学陈梓人
某些代数题中的常量（常数）若能用字母或含字母的代数式来表示，可使原题简化，这种方法称为常量代换法．常量代换法是换元法的一种，多用于计算、求值、解方程（组）中．
分析：观察题中不同的三个值是连续整数，若把中间一个值用一个字母代换，那么其余两个值很容易表示为这个字母的代数式，这样就把原题转化为分式化简的问题了．
解：设1991=a，则
1990＝a-1，1992＝a＋1．
分析：注意已知条件与所求代数式中均含有数字5，如果能用含x的代数式表示数字“5”，原题便变为多项式的计算，那就简便多了．
∴5=x2+2x+1，6=x2+2x+2．
∴原式=x3＋x2-（x2＋2x＋2）x＋（x2＋2x＋1）=x3+x2-x3-2x2-2x+x2+2x ＋1＝1
例3．解方程（1992-x）2＋（x-1991）2=1
分析：若展开计算非常麻烦，仔细观察，发现（1992-x）＋（x-1991）=1，于是可把右边的1转化为这个代数式的平方，因而原题左边小括号不必展开就可消去．
解：原方程可化为
（1992-x）2＋（x-1991）2
＝[（1992-x）+（x-1991）]2
即（1992-x）2+（x-1991）2
=（1992-x）2+2（1992-x）（x-1991）＋（x-1991）2
于是（1992-x）（x-1991）=0
解得x
=1992，x2=1991
1
也可以把原方程写为
（1992－x）2＋（x－1991）2
＝（1992-x）＋（x-1991）
移项，因式分解后，也能得出
（1992-x）（x-1991）＝0
例4．解方程组
分析：本题若用加减法解当然不难，但注意到常数之间的平方关系，则可另辟蹊径．
则原方程组可转化为
∵a≠b，∴a、b是方程t2-yt-x=0的两实根，由韦达定理得a+b=y，ab=-x．
含这个字母的代数式，则三次根号内很容易看出是某代数式的完全立方式．
16=3·5+1=3x2＋1
分析：观察其指数规律，可设21/22=a，则原题可化为a的有理式．
解设21/22=a，则
解不等式(知识点、题型详解)
不等式的解法 1、一元一次不等式ax b > 方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则b x a > ；若0a <,则b x a < ；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈?。 【例1-1】（1）21 33 ax -> 解：此时，因为a 的符号不知道，所以要分：a =0，a >0, a <0这三种情况来讨论. 由原不等式得a x >1, ①当a =0时，? 0>1.所以，此时不等式无解. ② 当a >0时，? x > a 1, ③当a <0时，?x -+-a b x b a 。 解：R a ∈，012>+-a a ∴ 01)1(32 2<+-++-a a x a a 的解为3 1-
等量代换法习题
等量代换法习题 练习一： 1、如果1个梨的重量等于2个苹果的重量，1个苹果的重量等于3个桃的重量。问一个梨的重量等于几个桃的重量？ 2、如果1个菠萝的重量等于6个苹果的重量，同时又等2根香蕉的重量。问一根香蕉的重量等于几个苹果的重量？ 3、如果1个足球相当于2个排球的重量，一个排球相当于20个乒乓球的重量，假设一个乒乓球重8克，那么一个足球重多少克？ 4、1只猴子等于2只兔子的重量，1只兔子的重量等于3只小鸡的重量。已知每只小鸡重200克。1只猴子重多少克？ 练习二： 1、1只兔子的重量＋1只猴子的重量＝8只鸡的重量 3只兔子的重量＝9只鸡的重量 1只猴子的重量＝（）只鸡的重量 2、1只松鼠的重量＋1只兔子的重量＝5只鸭的重量
2只松鼠的重量＝6只鸭的重量 1只兔子的重量＝（）只鸭的重量 3、用3个鹅蛋可换9个鸡蛋，2个鸡蛋可换4个鸽子蛋，用5个鹅蛋能换多少个鸽子蛋？ 4、20只桃子可换2只香瓜，9只香瓜可换3只西瓜，8只西瓜可换多少只桃子？ 5、2头小猪可换4只羊，3只羊可换6只兔子，3头猪可换几只兔子？ 练习三： 1、1个苹果的重量＋1个桃子的重量＋1个菠萝的重量＝630克 1个桃子的重量＋1个菠萝的重量＋1个梨的重量＝730克 1个苹果的重量＋1个桃子的重量＋1个梨的重量＝330克 1个苹果的重量＋1个菠萝的重量＋1个梨的重量＝800克 求这四种水果各多少克？ 2、1只鸡的重量＋1只猴的重量＝15千克 1只鸭的重量＋1只猴的重量＝18千克 1只鸡的重量＋1只鸭的重量＝13千克 求这三种动物各多少千克？ 3、1筐苹果的重量＋1筐橘子的重量＝90千克 1筐香蕉的重量＋1筐橘子的重量＝140千克 1筐苹果的重量＋1筐香蕉的重量＝150千克 求这三种水果各多少千克/ 4、红气球的个数＋蓝气球的个数＋绿气球的个数＝35只 白气球的个数＋蓝气球的个数＋绿气球的个数＝43只 红气球的个数＋白气球的个数＋绿气球的个数＝33只 红气球的个数＋蓝气球的个数＋白气球的个数＝48只 求这四种气球各有多少只？ 1、3包巧克力的价钱等于两袋糖的价钱，12袋牛肉干的价钱等于3包巧克力的价钱，一袋糖的价钱等于几 袋牛肉干的价钱？ 2、一只小猪的重量等于8只鸡的重量，4只鸡的重量等于6只鸭的重量。2只鸭的重量等于6条鱼的重量。 问两只小猪的重量等于几条鱼的重量？ 3、一只菠萝的重量等于4根香蕉的重量，两只梨子的重量等于一只菠萝的重量，一只梨子的重量等于几根 香蕉的重量？
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
浅谈用换元法证明不等式
浅谈用换元法证明不等式 刘景 （茂名学院高州师范分院数学与计算机系 307数学1班） [摘要]换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中。 [关键词]换元；不等式；化繁为简 不等式的概念：作为表达同类量之间的大小关系的一种数学形式，不等式必须在定义了大小关系的有序集合上研究．由于复数域没有定义大小，所以不等式中的数或字母表示的数都是实数．用符号＞或＜联结两个解析式所成的式子，称为不等式．不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。要处理好不等式的证明，必须注意： 1、熟练地掌握不等式的基本性质、重要不等式。 2、扎实的掌握不等式证明的常规方法。 3、注意和其他知识联系和综合运用。 4、不断地总结证明不等式的规律和技巧，不断地从正反两方面汲取解题经验。 我们知道,无论在中学,还是在大学,不等式的证明都是一个难点。人们在证明不等式时创造了许多方法（比较法、综合法、分析法、辨别式法、构造函数法、反证法、放缩法等等）,其中有换元法。
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 不等式的证明有三难：证明入口难，条件使用难，变形方向难．如果用换元法，引进恰当的新元素，可将题目中分散的条件联系起来，或把隐含的条件显示出来，或把条件与结论联系起来，或变形为熟悉的问题．因此，换元法常常可以攻破三道难关。 下面我们探索怎样用换元法证明不等式的几种方法。 一、几何换元法 例1、在△ABC 中，b CA a BC c AB ===,,,内切圆交AB 、BC 、CA 分别于D 、E 、F ，如图1，则可设x z c z y b y x a +=+=+=,,,其中0,0,0>>>z y x 。几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意两边之和大于第三边的不等关系的功效。 设c b a ,,为三角形三边，求证：3≥-++-++-+c b a c b c a b a c b a 图1 证明：设,,,x z c z y b y x a +=+=+=，其中0,,>z y x 则c b a c b c a b a c b a -++-++-+=y x z x z y z y x 222+++++ =?????????? ??++???? ??++??? ??+y x x y y z x y x z z x 21322221=??? ? ???+?+?≥y x x y y z z y x z z x 原不等式得证。
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式 一.方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数得系数为正。 使用方法: ①在数轴上标出化简后各因式得根,使等号成立得根,标为实点,等号不成立得根要标虚点。 ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“〉”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2－ｘ)3<0 (2) 错误!≤1 解: (1) 原不等式等价于(x ＋４)(x+5)2(x —２)3＞0 (2) 根据穿根法如图 不等式解集为 {x x< １ 3 或＼f( 1 , 2 )【例２】 解不等式:(１)2x 3－x 2—1５x 〉０;(2)(x+4)(x+5)2(2—x)3<0。 【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式得积,则一元高次不等式ｆ(x)＞0(或f(ｘ)＜0)可用“穿根法"求解,但要注意处理好有重根得情况、 解:(1)原不等式可化为
x(２ｘ＋５)(x-3)〉0 顺轴.然后从右上开始画曲线顺次经过三个根,其解集如图(５－1)得阴影部分. (2)原不等式等价于 (x+4)(ｘ+5)2(ｘ-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|ｘ＜-5或－５＜ｘ〈—4或x ＞2｝、 【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意．．．．．．．．．．．．．．:．①各一次项中．．．．．．x ．得．系数必为正．．．．．;．②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．(．２．)．得解法转化为不含重．．．．．．．．．根得不等式．．．．．,．也可直接用“穿根法．．．．．．．．．",．．但注意．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．.．其法如图．．．． (5．．－．２．)． .． 二. 数轴标根法”又称“数轴穿根法” 第一步:通过不等式得诸多性质对不等式进行移项,使得右侧为0。(注意:一定要保证x 前得系数为 正数) 例如:将x^3—2x^2—x+2>0化为(x-2)(x-１)(x+1)＞０ 第二步:将不等号换成等号解出所有根。 例如:(x —２)(x-1)(x+1)=0得根为:x １＝2,x ２＝1,x ３=—1 第三步:在数轴上从左到右依次标出各根。 例如:—1 1 ２ 第四步:画穿根线:以数轴为标准,从“最右根”得右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,一上一下依次穿过各根、 第五步:观察不等号,如果不等号为“〉",则取数轴上方,穿根线以内得范围;如果不等号为“<”则取数轴下方,穿根线以内得范围。ｘ得次数若为偶数则不穿过,即奇过偶不过。 例如:
穿根法解高次不等式
穿根法解高次不等式 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法: ①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点, 等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿 透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使 “<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2) x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或 (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图
不等式解集为 {x x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 【例2】 解不等式：(1)2x 3-x 2-15x ＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】 如果多项式f(x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0 顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分． (2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x ＜-5或-5＜x ＜-4或x ＞2｝． 【说明】 用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x ．的系．．数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2)．．．的解法转化为不含重根．．．．．．．．．．的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿”．．．．．．．．其法如．．．．图．(5．．－．2)．． ．．
等量代换
第八课时：等量代换法 知识点 1、等量代换的思想：相等的量可以互相代替。 2、运用等量代换法来解决生活中的实际问题。 3、在解决等量代换数学问题的过程中，初步体会等量代换数学题的思想方法。 教学目标 1．使学生能初步学会等量代换的方法，接受等量代换的思想。 2．培养学生的观察力及初步的逻辑推理能力。 3、让学生在经历解决问题的过程中，获得经验，让学生充分感受生活中处处有数学，数学与生活息息相关，形成我要学好数学的精神风貌。 4、在学习过程中培养学生团结、友好合作，营造和谐共进的氛围。 教学内容 【典型例题】 例1、1只河马的体重等于2只大象的体重，1只大象的体重等于10匹马的体重。 1匹马的体重是320千克，这只河马的体重是多少千克？ 解题策略： 1匹马的体重是320千克，10匹马的体重就是320×10＝3200(千克) ，这也就是１只大象的体重。又知１只河马的体重等于2只大象的体重，用2只大象的体重代替1只河马，则这只河马体重是3200×2＝6400(千克) 【画龙点睛】 也可以这样想：1只大象的体重是10匹马的体重，即2只大象的体重就等于2个10匹马的体重，即20匹马的体重，因为2只大象的体重与1只河马的体重相等，所以1只河马的体重就是20匹马的体重。320×（2×10）＝6400(千克) 【举一反三】 1、已知1个=3个, 1个=5个。那么1个=（）个 2、△＋△＋△＋□＝25，□＝△＋△。求△＝？□＝？ 3、一只菠萝的重量等于2只梨的重量，也等于4只香蕉的重量，还等于2只苹果、1只梨、1只香蕉的重量之和。那么1只菠萝等于几只苹果的重量？ 4、一条鱼，鱼头重9千克，?ㄊ??鰊头重量等于鱼身一半加鱼尾的重量，而鱼身的重量等于鱼头加鱼尾的重量。问：这条鱼重几千克？ 同步练习
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
数轴标根法又称数轴穿根法或穿针引线法
“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法” 是高次不等式的简单解法 当高次不等式f（x）>0（或<0）的左边整式、分式不等式φ（x）/h（x）>0（或<0）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积（x－a1）（x－a2）…（x －an）的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间f （x）、φ（x）/h（x）的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。 为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法”，如图1（图片自上而下依次为图一，二，三，四）。 步骤 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x前的系数为正数） 例如：将x^3-2x^2-x+2>0化为(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。 第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的根。
在数轴上标根得：-1 1 2 画穿根线：由右上方开始穿根。 因为不等号为“>”则取数轴上方，穿跟线以内的范围。即：-1 高次不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法: ①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2) x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4 (2) 变形为 (2x-1)(x-1) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x x<1 3 或 1 2 ≤x≤1或x>2}. 【例2】解不等式：(1)2x3-x2-15x＞0；(2)(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0． 【分析】如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)＞0(或f(x)＜0)可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况． 解：(1)原不等式可化为 x(2x+5)(x-3)＞0 顺轴．然后从右上开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图(5－1)的阴影部分． (2)原不等式等价于 (x+4)(x+5)2(x-2)3＞0 ∴原不等式解集为｛x|x＜-5或-5＜x＜-4或x＞2｝． 【说明】用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．x．的系 ．． 数必为正；②对于偶次或奇次重根可参照．．．．．．．．．．．．．．．．．．(2) ．．．的解法转化为不含重根 ．．．．．．．．．． 的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意．．．．．．．．．．．．．．．．．．．“奇穿偶不穿” ．．．．．．．．其法如 ．．．．图．(5．．－．2)．．．． 专题：数轴穿根法 “数轴穿根法”又称“数轴标根法” 第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证x 前的系数为正数） 例如： (x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：将不等号换成等号解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x 1=2，x 2=1，x 3=-1 第三步：在数轴上从左到右依次标出各根。 例如：-1 1 2 第三步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去，一上一下依次穿过各根。 第四步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围。 例如： 若求(x-2)(x-1)(x+1)>0的解。 因为不等号威“>”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：-1 三角函数变换的方法总结 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。 【例1】已知θ同时满足和,且a、b均不为0，求a、b的关系。 解析：已知 显然有： 由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0 即有：acosθ＋b=0 又 a≠0 所以，cosθ＝－b/a ③ 将③代入①得：a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a 即a4＋b4＝2a2b2 ∴（a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜ 点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。 （2）变换角的形式 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。 【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。 解析：设θ＋15°＝α，则 原式＝sin（α＋60°）＋cos （α+30°）－cosα ＝（sinαcos60°＋cosαsin60°）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－cosα ＝sinα＋cosα＋cosα－sinα－cosα ＝0 点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。 【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝ 证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β） 所以有：sin （α＋β） cosβ－cos （α＋β） sinβ＝Ａsin （α＋β） ∴ sin （α＋β）（ cosβ－Ａ）＝cos （α＋β） sinβ .. .. . . . . 用换元法解不等式 【摘要】换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中，按照所证不等式的 结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。 换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中，换元法一般有增量换元、三角换元、代数换元等几种方法。 【关键词】 换元法 三角换元 代数换元 做任何事情都要讲究方法。方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。解答数学问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方确，问题就容易解决。波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。” 换元法是数学中的一个基本方法之一。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进 新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量围的选取，一定要使新变量围对应于原变量的取值围，不能缩小也不能扩大。下面通过几个例题介绍几种换元的思想和方法。 一、增量换元 若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一变量。 例1 设()1,0,,∈z y x 并且它们的和为2 ，求证 3 4 1≤ ++≤zx yz xy . 分析与证明 由条件()1,0,,∈z y x 可令3211,1,1a z a y a x -=-=-=，且()1,0,,321∈a a a ，则 元高次不等式的解法 The manuscript was revised on the evening of 2021 一元高次不等式的解法 步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇过偶不过），定解 穿根法（零点分段法）（高次不等式：数轴穿根法: 奇穿，偶不穿）解题方法：数轴标根法。 解题步骤： （1）首项系数化为“正” （2）移项通分，不等号右侧化为“0” （3）因式分解，化为几个一次因式积的形式 （4）数轴标根。 求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n 解法：①将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->形式，并将各因式中的x 系数化“+”(为了统一方便) ②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点。（即从右向左、从上往下：看x 的次数：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过）。注意：奇穿偶不穿。 ④若不等式（x 系数化“+”后）是“0>”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“0<”,则找“线”在x 轴下方的区间： 注意：“≤或≥”标根时，分子实心，分母空心。 例1： 求不等式223680x x x --+>的解集。 解：将原不等式因式分解为：(2)(1)(4)0x x x +--> 由方程：(2)(1)(4)0x x x +--=解得1232,1,4x x x =-==，将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图 由图可看出不等式223680x x x --+>的解集为：{}|21,4x x x -<<>或 （1）()()()()00,f x f x g x g x >??> ()() ()()(2)00;f x f x g x g x 不等式解法15种典型例题 典型例题一 例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2<-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或0)( 三角代换公式 常用的三角代换可以总结为以下几种： 1. 代数问题中的三角代换 （1）对于1≤x ，可做代换?sin =x ，或?cos =x ；对于1≥x ，可做代换?sec =x ，或?csc =x ；对于R x ∈，可做代换?tan =x ，或?cot =x . （2）形如()()∞+∈=+,0,,a y x a y x ，可作代换??2 2 c o s ,s i n a y a x ==；形如 ()()0,,0,≠∞+∈=-a y x a y x ，可作代换??22tan ,sec a y a x ==. （3）形如2 2 2 a y x =+，可作代换??cos ,sin a y a x ==；形如2 22a y x =-，可作代 换??tan ,sec a y a x ==. （4）形如()()∞+∈=+,0,,3 3 3 a y x a y x ，可作代换??3 232cos ,sin a y a x ==. （5）形如()()∞+∈≤+,0,1y x y x ，可作代换() 1cos ,sin 2 2 2 2 ≤==r r y r x ??；形如 ()()∞+∈≥+,0,1y x y x ，可作代换()1cos ,sin 2222≥==r r y r x ??. （6）形如122≤+y x ，可作代换() 1cos ,sin ≤==r r y r x ??；形如12 2≥+y x ，可作 代换() 1cos ,sin ≥==r r y r x ??. （7）形如x -1可作代换?2 s in =x ，或?2 c o s =x ；形如 22a x +，可作代换 ?tan a x =；形如22a x -，可作代换?sec a x =，或?csc a x =；形如22x a -，可 作代换?sin a x =，或?cos a x =. （8）形如2 2 2211,12,12x x x x x x +-+-，可作代换?tan =x ，或? cot =x ；形如xy y x xy y x -++-1,1，可作代换βαtan ,tan ==y x . （9）形如x y z z y x =++，可作代换γβαt a n ,t a n ,t a n ===z y x （其中Z ∈=++n n ,πγβα）. （10）形如1=++zx yz xy ，可作代换2 tan ,2 tan ,2 tan γ β α ===z y x （其中 ()Z ∈+=++n n ,12πγβα）. 用换元法解不等式 【摘要】换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中，按照所证不等式的 结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。 换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中，换元法一般有增量换元、三角换元、代数换元等几种方法。 【关键词】 换元法 三角换元 代数换元 做任何事情都要讲究方法。方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。解答数学问题关键也在于掌握思考问题的方法，思维方法正确，问题就容易解决。波利亚说过：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。” 换元法是数学中的一个基本方法之一。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进 新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。下面通过几个例题介绍几种换元的思想和方法。 一、增量换元 若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一变量。 例1 设()1,0,,∈z y x 并且它们的和为2 ，求证 3 4 1≤ ++≤zx yz xy . 分析与证明 由条件()1,0,,∈z y x 可令3211,1,1a z a y a x -=-=-=，且()1,0,,321∈a a a ，则 1321=++a a a . ()()()()()()133221111111a a a a a a zx yz xy --+--+--=++∴ ()()1332213212-3a a a a a a a a a +++++= 11133221>+++=a a a a a a 又 ()1332213-1a a a a a a ++()()1332212 3213a a a a a a a a a ++-++= =1332212 32221a a a a a a a a a ---++ ()()()[] 02 1 213223221≥++++-= a a a a a a ， 3 1 133221≤++∴a a a a a a . 1332211a a a a a a zx yx xy +++=++Θ， 34 3111=+≤++<∴zx yz xy . 例 2 已知2,2>>b a ，求证 ab b a <+. 证 设n b m a +=+=2,2，显然0,0>>n m . 则()()n m n m ab b a ++-+++=-+2222 mn n m n m ----++=2244 0<---=mn n m 故ab b a <+. 注 增量换元的目的，在于从不等式b a ≥转化为x b a +=这个等式。再应用这个不等式往不等转化，以达到证题的目的。 二、三角换元 在解某些不等式，迭用适当的三角函数换元，把代数问题转化为三角问题，从而充分利用函数的性质解决问题。 例3 若1=++r q p ，且1,,0≤≤r q p ，求证：3≤++r q p . 几个常见的三角替换及其在解题中的应用 广东顺德李兆基中学 唐秋生 （5283000） 《高中数学必修四》三角函数的平方关系为1cos sin 22=+x x ，这个等式结果简单，学生也容易掌握，但教师在教学中要善于研究和发现它的灵活运用则不那么简单，在高三复习中，强调知识的综合性，我们完全可以把这个问题进行拓展和引申。这里不凡称之为三角替换换，下面仅介绍几个常见的替换，并谈谈它在几个典型问题中的应用，以供教学中参考。 [替换模型一] 222R y x =+，则可作替换 [替换模型二]0,0,0,>>>=+c b a c b a ，则可作替换 ?????==θ θ 2 2 sin cos c b c a )2,0(πθ∈ [替换模型三] 21x y -=，可作替换 θcos =x ，],0[πθ∈ θsin =x 或 ，]2 ,2[π πθ-∈ 一、利用三角代换研究有理函数的最值 [例1].已知y x 、满足122=+y x ，求)1)(1(xy xy w +-=的最值 解：由条件可作替换： 则：2)(1)1)(1(xy xy xy w -=+-=2)cos sin 2(4 1 1θθ-= 2)2(sin 4 1 1θ- = 显然1)2(sin 02≤≤θ ?]1,4 3[∈w θcos =x θsin =y )2,0[πθ∈ θcos R x = θsin R y = )2,0[πθ∈ [例2].已知4422=+y x ，求y x y xy x M 24222++++=的最值 解：由条件可作替换： 则：y x y xy x M 24222++++= θθθθθθsin 2cos 2sin 4cos sin 4cos 422++++= 2)cos (sin 2)cos (sin 22++++=θθθθ 再令]2,2[cos sin -∈+=θθt 则2 3 )21(22++=t M 如图，由于]2,2[-∈t 所以，当21 -=t 时，2 3min =M 当2=t 时，226m ax +=M [例3].求函数3 cos 1 sin ++= θθy 的值域 解：设 则u v 、满足方程122=+u v ，即动点),(u v P 在单位圆122=+u v 上 所以 3 cos 1 sin ++= θθy ? )3()1(----= v u y 设点)1,3(--M ，),(u v P 则MP k v u y =----= ) 3() 1(，如图，由平面几何知识 容易求得?=∠60AMB ?]3,0[∈k [例4].已知122=+y x （0≥y ），求y x +的最大值和最小值 法1：(三角化)由条件可作替换 则)4 sin(2cos sin π θθθ+ ?=+=+y x ， θcos 2=x θsin =y )2,0[πθ∈ θcos =v θsin =u )2,0[πθ∈ θcos =x θsin =y ],0[πθ∈高次不等式的解法
专题8-数轴穿根法
三角函数变换的方法总结
用换元法解不等式
元高次不等式的解法
不等式解法15种典型例题
三角代换公式
用换元法解不等式
(完整版)几个常见的三角替换及其在解题中的应用