当前位置：文档库 › 第6章刚体的平面运动习题解答080814

第6章刚体的平面运动习题解答080814

第六章刚体的平面运动

本章要点

一、刚体平面运动的描述

1 刚体的平面运动方程：)(t x x A A =，)(t y y A A =，)(t ??=.

2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。二、平面运动刚体上点的速度

1 基点法：平面图形内任一点B 的速度，等于基点A 的速度与B 点绕基点转动速度的矢量和，即

BA A B v v v +=，

其中BA v 的大小为ωAB

v BA =，方向垂直于AB ，指向与图形的转动方向相一致。 2投影法

速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即

AB A AB B v v ][][=

3瞬心法

任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。

平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。

面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即

ωCM v M =，

其方向与CM 相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时，0=ω，则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体的角加速度不为零。解题要领：

1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单，。

2 由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。

3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是

常用的方法。

4 当用基点法时，要注意基点的速度矢和相对基点的速度矢组成速度平行四边形的两边，对角向才是这一点的速度矢。速度基点法能且只能解2个未知量，因此，在涉及的3个速度中至少有一个速度的大小和方向都是已知的，在画速度平行四边形时先画这个速度。

5 应用速度投影法时，要注意投影是有正负的，两点的速度必须协调，符合刚体的定义。

6 在找速度瞬心时，作速度矢量时要注意各速度的协调，同一刚体上的两点速度方向可以确定速度瞬心的位置。

三、平面运动刚体上点的加速度

平面图形上任意一点的加速度，等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和，即

t BA BA A B a a a a ++=，

进一步，当基点A 和所求点B 都作曲线运动时，它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度，上式写为

BA BA A A B B a a a a a a +++=+，其中 B

v a ρ2=

，A

n A

v a ρ2=

，2ωAB a n BA =，αAB a t

BA =，B A ρρ,分别为B A ,点的曲率半径。

特殊地，当刚体作瞬时平移时，0=n

BA a ，有加速度投影定理 AB A AB B ][][a a =. 解题要领

1 加速度基点法一般涉及6个加速度矢量，其中3个法向加速度是与速度或角速度有关，这可以通过速度分析求得，而t

BA a 的方向与B A ,垂直为已知，剩下5个因素中只可以存在2个未知量。

2 一般选加速度的大小和方向都已知的一点为基点。

3 加速度基点法最多涉及6个矢量，应通过列投影式解代数方程求解。投影式中等号一边是B 点加速度的投影，另一边是基点A 的加速度和相对于基点加速度投影的代数和，千万不能写成“平衡方程”的形式。

4 加速度投影定理只在刚体作瞬时平移时成立。

5 可以证明刚体作平面运动时也存在加速度瞬心，即加速度为零的点，但这必须在角速度和角加速度皆已知的情况下才能确定，因此无助于解题，所以没有“加速度瞬心法”。

第七章刚体的平面运动习题解答

6-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以角速度O

ω绕O 轴匀速转动，如图所示。如r AC BC OC ===，并取C 为基点，求椭圆规尺AB 的平面运动方程。解：AB 杆作平面运动，设0=t 时，0=?，则t 0ω?=。选AB 杆上的C 点位基点，建立平移坐标系y x C ''-，在图示坐标系中，AB 杆在固定坐标系xy O -的位置由坐标

),,(?C C y x 确定，所以AB 杆的平面运动方程为：

t r x C 0cos ω=，

t r y C 0sin ω=，

t 0ω?θ==.

6-2 杆AB 的A 端沿水平线以等速v 运动，在运动时杆恒与一半圆周相切，半圆周半径为R ，如图所示。如杆与水平线的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。

解：解法一：杆AB 作平面运动。选取A 为基点，由速度基点法

CA A C v v v +=，

作图示几何关系，图中v v A =，解得

θθsin sin v v v A CA ==，

A B 杆的角速度为 θ

ωcos sin 2R v AC v CA == （逆时针）. 解法二：在直角三角形△ACO 中，x

?sin ，对时间求导，得 x x

R 2

cos -=?? 其中，?,R x v x

== ，解得A B 杆的角速度为 R

v ???cos sin 2-= ，

（负号表示角速度转向与?角增大的方向相反，即逆时针）

题6-1图

题 6-2图

6-3 半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮转动，如图所示。如曲柄OA 以等角加速度α绕O 轴转动，当运动开始时，角速度0=O ω，转角0=?。求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。

解：动齿轮作平面运动。建立与曲柄OA 固结的转动坐标系

ξη-O ，和在动齿轮的A 点建立平移坐标系y x A ''-，如图

所示，从图中可见，因动齿轮和固定齿轮间没有滑动，所以存在关系

??r R =

小轮半径AM 相对平移坐标系y x A ''-，也即固定坐标系得转角为

)1(r R A +=+=????, 而 22

1t α?=，

可得小轮平面运动方程为

1cos()(2

t r R x A α+=， )2

1sin()(2

t r R y A α+=. 6-4 图示机构中，已知10.OA =m ，

10.BD =m ，10.DE =m ，310.EF =m ；

4=OA ωrad/s 。在图示位置时，曲柄OA 与水平线

OB 垂直；且B 、D 和F 在同一铅直线上，又

EF DE ⊥。求EF 的角速度和点F 的速度。

解：如图所示，对各构件进行速度分析. 1）AB 杆作平面运动. 因B A v v // ，所以AB 杆为瞬时平移，得

s m OA v v OA A B /4.0=?==ω.

2）BC 杆作平面运动. 由B C v v ,找得BC 杆的速度瞬心为D 点，所以，BC 杆上的速度分布好像与三角板DEC 一起绕D 作定轴转动一样，得

m/s 4.0==?=?

=B B C E v BD

DE DC v DE v ，方向如图示. 3）EF 杆作平面运动. 由F E v v ,找得EF 杆的速度瞬心为EF C ，故有

题 6-4图

题6-3图

r a d /s 333.1==

EF EC v ω，（顺时针）； m/s 462.0=?=EF EF F FC v ω，（方向向上）。

6-5 图示四连杆机构中，连杆由一块三角板ABD 构成。已知曲柄的角速度21=A O ωrad/s ，

1001=A O mm ，5021=O O mm ，50=AD mm 。当A O 1mm 铅直时，AB 平行于21O O ，且1O 、

A 、D 在同一直线上，角

30=?。求三角板ABD 的角速度和点D 的速度。

解：1AO 杆和2BO 杆作定轴转动，三角板ABD 做平面运动，由B A v v ,找得三角板ABD 的速度瞬心为ABD C 点，如图所示. 故

m /s 2.011=?=A O A AO v ω，三角板ABD 的角速度：

rad/s 07.1==

C v AB

D A ABD ω，（逆时针）.

D 点的速度：

rad/s 254.0=?=ABD ABD D D C v ω.

6-6 图示双曲柄连杆机构中，滑块B 和E 用杆BE 连接，主动曲柄OA 和从动曲柄OD 都绕O 轴转动。OA 以匀角速度120=ωrad/s 转动。已知100=OA mm ，120=OD mm ，

260=AB mm ，120=BE mm ，3120=DE mm 。求当曲柄OA 垂直于滑块的导轨方向时，

曲柄OD 和连杆DE 的角速度。

解：如图机构中，主动曲柄OA 作定轴转动， m/s 2.1=?=ωOA v A ，

AB 杆作平面运动，在图示瞬时，由B A v ,v 知，AB 杆作瞬时平移，有 m/s 2.1==A B v v .

BE 作平移，B E v v =. 有E D v ,v 找得ED 杆速度瞬

心为D 点.在图示位置上可得 OD EB OA AB OE =--=

2，

题 6-5图

题 6-6图

由此可知

30=∠=∠OED ODE ，ED 杆角速度为 rad/s 77.53310===

v E DE ω， D 点的速度为

m/s 08.23

.3==

?=DE D CD v ω，曲柄OD 的角速度为

rad/s 32.17310===

v D

DO ω，（逆时针）. 6-7 使砂轮高速转动的装置如图所示。杆21O O 绕1O 轴转动，转速为9004=n r/min ，2

O 处用铰链连接一半径为2r 的动齿轮2，杆21O O 转动时，轮2在半径为3r 的固定内齿轮3上滚动，并使半径1121/r r =的轮1绕1O 轴转动。轮1上装有砂轮，随同轮1高速转动。求砂轮的转速。解：如图所示: 设轮1和杆21O O 的角速度分别为1ω和4ω，杆21O O 作定轴转动，故4212)(ωr r v O +=

轮1和轮2啮合点M 的速度 22O M v v =，注意

2132r r r +=，可得轮1的角速度

441

11112ωωω=+==r r r r v M ，（顺时针）轮1的转速为

mi n r/10800

1241==n n ，（顺时针）.

6-8 图示瓦特行星传动机构中，平衡杆A O 1绕1O 轴转动，并借连杆AB 带动曲柄OB ；而曲柄OB 活动地装在O 轴上；在O 轴上装有齿轮1，齿轮2的轴安装在连杆AB 的另一端。已知：330021==r r mm ，mm 7501=A O ，

mm 1500=AB ；又平衡杆的角速度

=O ωrad/s 。求当 60=θ和 90=β时，曲

柄OB 和齿轮1的角速度。

解：由图所示可知：点C 是AB 杆和轮II 的速度瞬心，故

1141

21O O A AB

A O CA v ωωω=??==，（逆时针）

题6-7图

题 6-8图

13375O AB B CB v ωω=?=，

杆OB 的角速度为

rad/s 75.32

1=+=

r r v B

OB ω，（逆时针）. 两齿轮啮合点M 的速度为AB M CM v ω?=, 则轮1的角速度为

rad/s 61

r v M

I ω，（逆时针）. 6-9 如图所示，轮O 在水平面上匀速滚动而不滑动，轮缘上固连销钉连接滑块B ，此滑块在摇杆A O 1的槽内滑动，并带动摇杆绕1O 轴转动。已知轮的半径50.R =m ，在图示位置时，

1AO 是轮的切线，轮心的速度20.=O v m/s ，摇杆与水平面的夹角为 60。求摇杆的角速度和

角加速度。

解：轮O 作匀速纯滚动，

v O

O =

ω，且0==O O ω

α ，点B 作合成运动。选销钉B 为动点，摇杆为动系。 1）速度分析：

O O v CB v 3a =?=ω

根据速度合成定理 r e a v v v +=作速度平行四边形，如图 (a)所示，求得

O v v v 2

30cos a r == , O v v v 2330sin a e == . 摇杆的角速度为 rad/s 2.01e

1==

O v O ω，（逆时针）.

题 6-9 图

题 6-9 速度和加速度分析图

2) 加速度分析：

ⅰ）选轮心O 为基点，则销子B 的加速度如图（b ）所示，有

t n BO BO BO O B a a a a a =++= （d ）

再选定销钉B 为动点，摇杆为动系，如图（c ），有

c r t e n e a a a a a +++=B (e)

由式（d ）,(e)得 n BO a = n e a + t

e a + r a + c a

大小： 2O R ω 12

1O B O ω? 11O B O α? ？ r 12v O ω

方向：如图（b ），（c ）所示

向BO 轴上投影

c t e n a a a BO +=，

解出 c n

τe a a a BO -=，于是摇杆的角加速度为

21t

e rad/s 0462.01

-==B

O a A

O α，

（逆时针）.

6-10 在图示机构中，已知：滑块A 的速度

200=A v mm/s ，400=AB mm 。求当CB AC =，

30=θ时杆CD 的速度。

解：选套筒上的销钉C 为动点，AB 杆为动系，动系作平面运动.

1）速度分析. 由B A v v ,找得AB 杆的速度瞬心AB C ，故AB 杆的角速度为 rad/s 1==A

C v AB A

AB ω，而C 点的牵连速度为

mm/s 200e =?=AB AB C C v ω，

由速度合成定理 r e a v v v += ，解得 m/s 115.0mm/s 33

200

30cos 2e r a =====

v v v v CD

2）加速度分析. AB 杆作平面运动，以A 为基点，有

题6-10图

题6-10速度分析图

B a = A a + t BA a + n

BA a

大小：？ 0 AB AB α? 2

AB AB ω?

方向: √ √ √ √ 向水平轴投影，列出

030cos 30sin n t =-

BA BA a a ，

解得 2

n t 330cot AB BA BA AB a a ω?=

，

于是求得AB 杆的角加速度为

rad/s 3t

==AB

a BA AB

α，（顺时针）. 再对套筒上的销钉C 作加速度分析，仍以此销钉C 为动点，AB 杆为动系，加速度合成定理为

c r e a a a a a ++=，

其中 A c A '''++==n

A c t C e a a a a a ，这里C '是A

B 杆上与

C 重合的点，所以

a a = A a + A c 't a + A c 'n

a + r a + c a 大小: ？ 0 AB AC α? 2

AB AC ω? ？ r 2v AB ω

方向: √ √ √ √ √ √

向η轴投影，列出

c t

e a 30cos a a a += ，

解出 m/s 667.03

103323332a ==???? ??+=

AC AC AC a . 即 m/s 667.0a ==a a CD ，（向下）.

6-11 直径为d 的圆轮沿直线轨道滚动而不滑动，长为l 的杆AB 在A 端与轮缘铰接，在B 端与沿倾角为

60的滑道而运动的滑块铰接。已知轮心O 点以速度0v 匀速运动。当

30=θ时，杆AB 处于水平。求此时滑块B 的速度和加速度。解：1）速度分析.

圆轮作纯滚动，与地面接触点0C 位速度瞬心，圆轮的角速度为 d

v O

O 2=ω 从而有

题6-10加速度分析图

O O A v d v 3cos =?=ω?.

AB 杆作平面运动，B A v v ,找得AB 杆的速度瞬心

AB C ，于是AB 杆的角速度为

C v AB A

AB =

ω，滑块B 的速度为 O A AB AB AB AB B v v A

C B

C B C v 3==?=ω，方向如图示. 2）加速度分析.

圆轮作匀角速纯滚动，轮心O 的加速度为零，以此为基点，容易求得轮缘上A 点的加速度为

v d a O

O A 2

222==ω，指向轮心.

AB 杆作平面运动，以A 为基点，计算B 点的加速度，有

t BA BA A B a a a a ++=，

其中2

n AB BA AB a ω?=，向x 轴投影，列出

30cos 60cos BA A B a a a += ，解得：

1232O B v l d a ???

? ??+=，方向如图示.

6-12 图示配汽机构中，曲柄OA 长为r ，绕O 轴以等角速度0ω转动，r AB 6=，

r BC 33=。求机构在图示位置时，滑块C 的速度和加速度。

解：1）速度分析.

曲柄OA 作定轴转动，0ωr v A =.

AB 杆作平面运动，由B A v v ,找得AB 杆的速度瞬心AB C ，由此得AB 杆的角速度 3

ωω=

=r v A AB . B 点速度为

03ωωr B C v BA AB B =?=

题6-12图

题6-11 图

题6-11 AB 杆的加速度分析图

BC 杆作平面运动，由C B v v ,找得BC 杆的速度瞬心

BC C ，由此得BC 杆的角速度

60ω

ω==

C v BC B BC . 滑块C 的速度为 02

ωωr C C v BC BC C =

?=，向下. 注意到，如果题目只要求B 和C 点的速度，而不需要求杆的角速度，则用速度投影法求解更方便简捷。

2）加速度分析.

对AB 杆，选A 为基点，则B 点加速度为

B a = n A a + t BA a + n

BA a

大小：？ 2O r ω AB AB α?？ 2

AB AB ω?

方向：方向都已知，如图所示.

向AB 轴投影，得

30sin 30sin BA A B a a a -=

解得 2

1O B r a ω-=.

对BC 杆，选B 为基点，C 点加速度为

C a = B a + t CB a + n

CB a

大小：？ 23

1O r ω-

？ 2BC BC ω?

方向：方向都已知，如图所示

向BC 轴投影，得 2

330cos O CB B C r a a a ω=--=

，方向向上.

6-13 图示轻型杆式推钢机中，曲柄OA 借连杆AB 带动摇杆B O 1绕1O 轴摆动，杆EC 以铰链与滑块C 相连，滑块C

可

题6-12加速度分析图

题 6-13图

题6-12速度分析图

沿杆B O 1滑动。摇杆摆动时带动杆EC 推动钢材。已知

3/21b B O =，在图示位置时，3/4b BC =，5.0OA =ωrad/s ，2.0=r m ，

1=b m. 求滑块C 的绝对速度和绝对加速度，滑块C 相对于摇杆B O 1的速度和加速度。

解： 1）速度分析该机构速度分析如图（a ）.

AB 杆作平面运动，以A 为基点，OA A r v ω=，有

BA A B v v v +=

解出

m/s 115.030

cos ==

B v v ， m /s 0577.030tan == A BA v v ，

于是，杆B O 1的角速度为

rad/s 1732.011==

O v B

ω，（逆时针）；杆B A 的角速度为

rad/s 1667.0==

v BA

BA ω，

（顺时针）. 选取滑块上的销钉C 为动点，摇杆B O 1为动系，则 m /s 346.011e =?=ωC O v . 由速度合成定理 r e a v v v +=，解出滑块C 相对于摇杆B O 1的速度：

m/s 2.030tan e r == v v ,

滑块C 的绝对速度：

m/s 4.030cos e

a ==

v v v CE ，（向左）.

（2）加速度分析.

该机构加速度分析如图（b ），对AB 杆，以A 为基点，有 t B a + n B a = A a + t BA a + n

BA a

大小：？ 211ω?B O 2O r ω ？ 2

BA AB ω?

方向：方向都已知，如图（2）所示

(a) 题6-13速度分析图

(b)

题6-13加速度分析图

向水平轴投影，列出

30sin 30cos BA B B a a a -=+

，解出 ()

2m/s 0227.023

1-=+-

BA n B B a a a τ

，于是，杆B O 1的角加速度为 21t 1rad/s 0340.0-==B

O a B

α，

（逆时针）. 仍取滑块上的销钉C 为动点，摇杆B O 1为动系，则由

a a = t e a + n

e a + r a +c a

大小：？ 11α?C O 2

11ω?C O ？ r 12v ω

方向：方向都已知，如图（b ）所示

向ξ轴和C O 1轴投影

c t e a 30cos a a a -= ， r n

e a 30sin a a a -= ，

解出滑块C 的绝对加速度和相对于摇杆的加速度为

()

c t e a m/s 158.030

cos 1=-=

a a a

， 2

a n e r m/s 139.030sin =-= a a a .

6-14 图示行星齿轮传动机构中，曲柄OA 以角速度0ω绕O 轴转动，使与齿轮A 固结在一起的杆BD 运动，并借铰链B 带动BE 杆运动。如定齿轮的半径为2r ，动齿轮半径为r ，且

r AB 5=，图示瞬时，OA 在铅直位置，BD 在水平位置，杆BE 与水平线间成?角。求杆BE

上的点C 的速度和加速度。解：1）速度分析.

动齿轮A 在定齿轮O 上作纯滚动，所以，动齿轮A 上与定齿轮O 接触的这点AB C 就是动齿轮的A 的速度瞬心，于是有 03ωr v A =，03ωω==

v A

AB ，（逆时针）. 063ωωr B C v AB AB B =?=.

选BE 杆上的B 点为动点，套筒C 为动系，如图（a ）。由速度合成定理

r e a v v v v +==B ，

得

题 6-14图

()

0a r 865.690cos ω??r v v =--= ， ()0

622.290sin ω

θ?r v v =--=

式中(

)

1.2451arctan ==?. 从而杆BE 的角

速度为

e 618.0ωω==

v ，

（顺时针）. 当选BE 杆上的C '为动点时，牵连速度为零，

又因为杆相对于套筒是作平移，从而杆BE 上的

C '点的速度为

0r 865

.6ωr v v C =='. 3）加速度分析，如图（b ），小齿轮作平面运动，

选A 为基点，则B 点加速度为

n BA BA A B a a a a ++=,

式中因0=AB α得 0t

=BA a .另一方面，选杆上的B 点为动点，套筒为动系，则有

c r n e

e a a a a a +++=B ，

由此两式得

A a + n

BA a = t e a + n e a + r a + c a ，大小： 2

03ωr

25AB r ω ？ BC ?2e ω ？ r e 2v ω

方向：如图（b ）所示

向CB 轴投影，

e r n 45cos 45cos a a a a BA A +-=- 解出 2

0r 73.13ωr a =.

再选杆上C '为动点，套筒为动系，有

a C 'a = e C 'a + r C 'a + c C 'a

大小: ？ 0 r a r 2v e ω 方向: 见图（2）C 处得杆上C '点加速度为 20

c 22r 14.16ωr a a a C C =+=

题6-14速度分析图

题6-14加速度分析图

6-15 曲柄OA 以恒定的角速度2rad/s =ω绕轴O

转动，并借助连杆AB 驱动半径为r 的轮子在半径为R 的圆弧槽中作无滑动的滚动。设1m 2====r R AB

OA ，求图示瞬时点B 和点C 的速度和加速度。

解：1）速度分析. 如图（a

），点P 为轮子速度瞬心，AB 杆

作瞬时平移，有m

/s 2===ωR v v A B , 0=AB ω.轮B 的角速度为

rad/s 42===

ωωr

v B

B , m/s 828.222==?=ωωr P

C v B C .

2）加速度分析.

AB 杆作平面运动，取A 为基点，对B 作加速度分析，如图（a ），有

B a + n

B a = A a + t

BA a + n

BA a

大小: ？ r

v B 2

ωR ？ 02=R BA ω

方向: 如图（a ）所示

分别向AB 轴和BP 轴投影，得

=-=BA B a a , 0t

=-=BA B a a

故B 点加速度为m/s 82n ==

v a a B B

B ，m /s 8n

t =-=B BA a a . AB 杆的角加速度为 2t m/s 8==AB a BA AB

α. 轮B 的角加速度为

2t m /s 0==AB

a B

B α. 轮作纯滚动，取B 为基点，作

C 点的加速度分析，如图（b ）所示，即

C a = B a + n CB a + t

CB a

大小：？ n

B a r B 2

ω 0=r B α

方向：如图（b ）所示

题 6-15图

题 6-15（a ）图

题 6-15（b ）图

故点C 加速度 222m/s 31.11=+=

CB B C a a a .

6-16图示机构中，曲柄OA 以等角速度0ω作定轴转动，并带动连杆ABD 及DF 运动，E 处为一有固定支承德套筒，它可绕E 点摆动。已知机构尺寸为r OA =，

r BD AB 2==，且在图示位置时，r DE 5= ，试求此

瞬时杆DF 的角速度及角加速度。解：1）速度分析.

AD 杆作平面运动，由B A v v ,找得AD 杆的速度瞬心

AD C ，于是有

0ωr v A =，4

0ω

ω==

A C v AD A AD ， 02ωωr D C v AD AD D =?=，

其中r D C AD 24=.

DF 杆作平面运动，由E D v v ,找得DF 杆的速度瞬心

DF C ，于是有

ωω==

D C v DF D

DF ，（顺时针方向）.

其中r D C DF 3

. 若以D 为动点，套筒E 为动系，则由速度合成定理求得

0r 55

454

ωr v v D ==.

2）加速度分析.

AD 杆作平面运动，以A 为基点，B 点加速度为

B a = A a + t BA a + n

BA a

大小：？ 20ωr AD r α2？ 2

2AD r ω

方向：如图（b ）所示

向铅锤轴列投影式：

题6-16图

题6-16图(a)

(

)

0s i n c o s n

=-+??

BA BA A a a a 解得

20t

15ωr a BA -=, 20t 3215ωα-==AB

a BA AD

，（逆时针）.

仍以A 为基点，D 点加速度分析如图（b ）所示，有

t DA DA A D a a a a ++=，

式中有3个未知量，故再选D 为动点，套筒E 为动系，有

c r n e t e a a a a a a a +++==D

由上两式相等得

A a + t

DA a

+ n

DA a = t e a + n e a + r a + c a

大小： 20ωr AD AD α? 2AD AD ω? ？ 2

DF ED ω? ？ r 2v DF ω

方向：如图（b ）所示上式向水平轴投影，

()

c t e n t cos sin a a a a a

DA DA A

+=++??

解出 2

e 5200

63ωr a -

=, DF 杆的角加速度为 2020t e 315.020063ωωα-=-==r DE

a DF

，（逆时针）.

6-17 图中滑块A 、B 、C 以连杆AB 、AC 相铰接。

滑块B 、C 在水平槽中相对运动的速度恒为m/s 1.6=s

。求当50mm =x 时滑块B 的速度和加速度。解：1）速度分析.

滑块A 、B 、C 都作直线运动，设C B A v v v ,,方向如图所示，由题意可知存在关系

v v C B =+，（a ） 0=+C B a a . (b)

又，杆AB 和AC 都作平面运动，由速度投影法得

题6-16（b ）图

题6-17图

θθsin cos A C v v =，（c ）

ββsin cos A B v v =. (d)

解得 βθ

c o t c o t B C v v =，或B C v v θ

cot cot =，代入（a ）式，导出 s

v B β??c o t

c o t c o t

， (e) 当50mm =x 时，()

38.6713050arccos ==β，()

13.53150sin 130arcsin =?=β?，于是 m/s

029.1cot cot cot =+=

v B β

m /s 571.0=-=B C v s

v . r a d /s 575.8==

C v AB B

AB ω ,rad/s 758.4=AC ω 将（e ）式对时间求导，注意到AB

ωβ-= ，AC ω?-= ，导出

()

s a B β?β??β

sin 22sin 2sin -= 代入数据，得2m /s 237

.5-=B a .负号表示B a 的实际方向与图示方向相反。

6-18 在周转传动装置中，半径为R 的主动齿轮以角速度0ω和角加速度0α作反时针转向转动，如图所示。而长为3R 的曲柄OA 以同样的角速度和角加速度绕O 轴作顺时针转向转动。点M 位于半径为R 的从动齿轮上，在垂直于曲柄的直径的末端。求点M 的速度和加速度。

解：1）设OA 为动系，以轮O 为对象，则

a ωω=，

0e ωω-=，轮O 的相对角速度r O ω满足

r e a ωωω+=，即

r 00O ωωω+-=，

解得0r 2ωω=O ，（逆时针）.从而轮A 的相对角速

题6-17速度分析图

题6-18图

题6-18（a ）图

度

0r r 2ωωω==O A ，（逆时针）. 和相对角加速度为

0r r 2ααα==O A ，（逆时针）.

轮A 的绝对角速度为和绝对角加速度为 0r e a ωωωωω=+==A ，（逆时针）.

0r e a ααααα=+==A ，（逆时针）.

2）轮A 作平面运动，以A 为基点. ⅰ）速度分析：

03ωR v A =，0ωR v MA =

根据速度合成法 MA A M v v v +=

以M 为动点，仍以OA 为动系，则

02210ωR v v v MA A M =+=.

ⅱ）加速度分析：

由加速度合成法的M 点的加速度

MA MA A A M

a a a a a +++=

大小：？ A A OA OA R R R R αωαω22

方向：？如图（b ）所示

03αωR R a a a t MA n A Mx -=-=

00ωαR R a a a n MA t A My -=-= 于是M 点加速度的大小为

()(

)

()

0040202

21210ωαωα-+=-+-=

R a a a a

a n A

t MA n

MA t A M .

题6-17（b ）图

理论力学课后习题答案第6章刚体的平面运动分析

第6章刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 2 2 1t α?= （3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角表示杆的角速度。解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆 AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。解：R v R v A A ==ω 习题6-1图 A B C v 0 h 习题6－2图 P AB v C A B C v o h 习题6－2解图习题6-3解图习题6-3图 v A = v v B = v

平面机构的运动分析答案

1．速度瞬心是两刚体上瞬时速度相等的重合点。 2．若瞬心的绝对速度为零，则该瞬心称为绝对瞬心；若瞬心的绝对速度不为零，则该瞬心称为相对瞬心。 3．当两个构件组成移动副时，其瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处。当两构件组成高副时，两个高副元素作纯滚动，则其瞬心就在接触点处；若两个高副元素间有相对滑动时，则其瞬心在过接触点两高副元素的公法线上。 4．当求机构的不互相直接联接各构件间的瞬心时，可应用三心定理来求。 5．3个彼此作平面平行运动的构件间共有 3 个速度瞬心，这几个瞬心必定位于一条直线上。 6．机构瞬心的数目K与机构的构件数N的关系是K＝N(N－1)/2 。 7．铰链四杆机构共有 6 个速度瞬心，其中 3 个是绝对瞬心。 8．速度比例尺μ ν 表示图上每单位长度所代表的速度大小，单位为： (m/s)/mm 。加速度比例尺μa表示图上每单位长度所代表的加速度大小，单位为 (m/s2)/mm。 9．速度影像的相似原理只能应用于构件，而不能应用于整个机构。 10．在摆动导杆机构中，当导杆和滑块的相对运动为平动，牵连运动为转动时（以上两空格填转动或平动），两构件的重合点之间将有哥氏加速度。哥氏加速度的大小为2×相对速度×牵连角速度；方向为相对速度沿牵连角速度的方向转过90°之后的方向。二、试求出图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置(用符号 ij P直接标注在图上)。 P 24）

12 三、在图a 所示的四杆机构中， l AB =60mm,l CD =90mm ，l AD =l BC =120mm ，ω2=10rad/s ，试用瞬心法求： 1）当φ＝165°时，点C 的速度v C ； 2）当φ＝165°时，构件3的BC 线上速度最小的一点E 的位置及速度的大小； 3）当v C ＝0时，φ角之值（有两个解）；解：1）以选定的比例尺μl 作机构运动简图（图b ）。 2）求v C ，定出瞬心P 13的位置（图b ） a ) （P 13） P P 23→∞

清华大学版理论力学课后习题集标准答案全集第6章刚体平面运动分析

6章刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。解：R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωAB v C A B C v o h θ 习题6－2解图习题6-3解图习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB

刚体的平面运动动力学课后答案

刚体的平面运动刚体的平面运动刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。一、刚体的平移（平动）刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体作平移或平动。平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。二、刚体的定轴转动刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。（1）定轴转动刚体的运动方程： )(t f =? （2）定轴转动刚体的角速度： )(t f ==?ω （3）定轴转动刚体的角加速度： )(t f ===?ω α （4）定轴转动刚体上一点P 的速度和加速度用矢量表示速度： r v ?=ω （7－1）加速度：v r a a a ?+?=+=ωαn t （7－2）其中：ωα,为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，r 是由转轴上任一点引向P 点的矢径。三、刚体的平面运动刚体在运动过程中，若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运动。 1、刚体平面运动的角速度和角加速度在平面图形上任取两点A 、B ，过这两点的连线某一基准线的夹角为θ（如图7-2）。当刚体运动时这个夹角将随时间变化)(t θ，刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为： θ ω =，（7－3） θω α == （7－4） 2、刚体平面运动的运动方程平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为： )(),(), (321t f t f y t f x A A ===? （7－5）其中：A 点称为基点（如图7-3所示）。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平图7－1 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。

第八章刚体的平面运动习题解答资料

习题 8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度O ω绕轴O 转动，初始时OC 水平，如图8-28所示。OC = BC = AC =r ，取C 为基点，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。图8-28 t t r y t r x O O C O C ω?ωω===sin cos 8-2 半径为R 的圆柱缠以细绳，绳的B 端固定在天花板上，如图8-29所示。圆柱自静止下落，其轴心的速度为3/32gh v A =，其中g 为常量，h 为轴心A 至初始位置的距离。试求圆柱的平面运动方程。图8-29 3/32gh v A = 3/22 gh v A = 3/g a A = 3/2gt x A = 0=A y )3/(2r gt A =? 8-3 杆AB 的A 端以等速v 沿水平面向右滑动，运动时杆恒与一半径为R 的固定半圆柱面相切，如图8-30所示。设杆与水平面间的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。图8-30 瞬心法 θ θθθ ωcos sin cot sin 2R v R v AI v A = = = 基点法 θsin v v CA = θθ θθωcos sin cot sin 2R v R v CA v CA = == 8-4 图8-31所示两平行齿条同向运动，速度分别为v 1和v 2，齿条之间夹一半径为r 的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心O 的速度。图8-31 AB B A v v v += ωr v v 221+= r v v 22 1-= ω OB B O v v v += 2 2 12v v r v v O += +=ω 8-5 两直杆AC 、BC 铰接于点C ，杆长均为l ，其两端A 、B 分别沿两直线运动，如图8-32所示。当ADBC 成一平行四边形时，m/s 4.0m/s,2.0==B A v v ，试求此时点C 的速度。图8-32

刚体的平面运动1答案

刚体的平面运动作业1参考答案 1．图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。如曲柄OA 以等角加速度α 绕O 轴转动，当运动开始时，角速度ω0=0，转角?0=0，求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。答案： 2A 2 2 )(21 , 2 sin )( , 2 cos )(t r R r t r R y t r R x A A α?αα+= +=+= 2．图示平面机构中，曲柄OA =R ，以角速度ω 绕O 轴转动。齿条AB 与半径为 2 R r =的齿轮相啮合，并由曲柄销A 带动。求当齿条与曲柄的交角θ =60o时，齿轮的角速度。答案：顺时针 31ωω= 提示：可先用速度投影法求出齿条上与齿轮重合点的速度。

3．图中曲柄OA 长150mm ，连杆AB 长200mm ，BD 长300mm 。设OA ⊥OO 1时，AB ⊥OA ，θ =60o，曲柄OA 的角速度为4rad/s ；求此时机构中点B 和D 的速度以及杆AB 、O 1B 和BD 的角速度。答案：逆时针顺时针顺时针 rad/s 3 4 , rad/s 4 , rad/s 3 , mm/s 800 , mm/s 34001 O =====BD B AB D B v v ωωω 提示：在图示瞬时，杆AB 的速度瞬心为点C ，杆BD 的速度瞬心为点E 。 4．图示平面机构中，曲柄长OA =r ，以角速度ω0绕O 轴转动。某瞬时，摇杆O 1N 在水平位置，而连杆NK 和曲柄OA 在铅垂位置。连杆上有一点D ，其位置为 DK =31 NK ，求D 点的速度。答案：←= 3 2 0ωr v D 提示：在图示瞬时，杆AB 瞬时平动，杆KN 的速度瞬心为点N 。

第3章平面机构的运动分析答案

一、填空题： 1．速度瞬心是两刚体上瞬时速度相等的重合点。 2．若瞬心的绝对速度为零，则该瞬心称为绝对瞬心；若瞬心的绝对速度不为零，则该瞬心称为相对瞬心。 3．当两个构件组成移动副时，其瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处。当两构件组成高副时，两个高副元素作纯滚动，则其瞬心就在接触点处；若两个高副元素间有相对滑动时，则其瞬心在过接触点两高副元素的公法线上。4．当求机构的不互相直接联接各构件间的瞬心时，可应用三心定理来求。5．3个彼此作平面平行运动的构件间共有 3 个速度瞬心，这几个瞬心必定位于一条直线上。 6．机构瞬心的数目K与机构的构件数N的关系是K＝N(N－1)/2 。 7．铰链四杆机构共有6个速度瞬心，其中3个是绝对瞬心。 8．速度比例尺μν表示图上每单位长度所代表的速度大小，单位为：(m/s)/mm 。？加速度比例尺μa表示图上每单位长度所代表的加速度大小，单位为(m/s2)/mm。9．速度影像的相似原理只能应用于构件，而不能应用于整个机构。 10．在摆动导杆机构中，当导杆和滑块的相对运动为平动，牵连运动为转动时（以上两空格填转动或平动），两构件的重合点之间将有哥氏加速度。哥氏加速度的大小为2×相对速度×牵连角速度；方向为相对速度沿牵连角速度的方向转过90°之后的方向。 P直接标注在图上)。二、试求出图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置(用符号 ij

> " 12 三、在图a 所示的四杆机构中，l AB =60mm,l CD =90mm ， l AD =l BC =120mm ， ω2=10rad/s ，试用瞬心法求： : a ) 24）（P 13） P P 23→∞

刚体平面运动习题

刚体平面运动习题第八章刚体平面运动的练习 1.真或假(勾选正确和交叉错误) 8-1。刚体的平面运动是一种运动，在这种运动中，刚体上的任何一点与固定平面之间的距离总是平行的。()8-2。平面图形的运动可以看作基点的平移和围绕基点的旋转的组合。()8-3。平面图形上任意两点的速度都相等地投影在一个固定的轴上。()()()8-6。瞬时速度中心的速度为零，加速度为零。()8-7。刚体的平移也是一种平面运动。()2。填空(在横线上写出正确答案) 8-8。在直线轨道上纯滚动时，圆轮与地面接触点的速度为。8-9。平面图上任意两点的速度在上投影中相等。 8-10。瞬时刚体平移时的角速度是:刚体上每个点的速度；每个点的加速度。 3.简短回答问题 8-11。确定图中所示平面运动物体的瞬时速度中心的位置。AbabaccωOboaωOdbω(b)Co(a)(c)图8-11 (d) 8-12。如果一个刚体在一个平面上运动，下面平面图中A和B的速度方向是正确的吗？问题8-12图(c) 8-13。下图中O1A和AC的速度分布是否正确？ 8-14。当圆形车轮在曲线上滚动时，某一瞬时车轮中心的速度vo和加速度ao，而车轮的半径是R，即车轮中心的角度加速度是多少？如何确定瞬时速度中心的加速度的大小和方向？

蟹爪兰O1VβA01ωO2P 8-13 图8-14 8-15。为什么用基点法计算平面图中单个点的加速度时没有科里奥利加速度？4.计算问题 8-16。椭圆规AB由曲柄OC驱动，曲柄OC以均匀的角速度ω O绕O轴旋转。如图所示，如果以C为基点，OC=BC=AC=r，试着找出椭圆规AB的平面运动方程。 8-17。半径为R的齿轮由曲柄OA驱动，沿半径为R的固定齿轮滚动，如图所示。曲柄以均匀的角加速度α绕O轴旋转，并设定初始角速度ω。角加速度α？0.角落？？0.如果选择移动齿轮的中心C点作为基点，试着找出移动齿轮的平面运动方程。 yay rarαφBMMoxorBx 8-16图ωOO 图8-17 8-18。曲柄和连杆机构，称为OA = 40cm厘米，连杆AB = 1m米，曲柄OA绕O轴以N？180转/分钟均匀旋转，如图所示。当曲柄臂与水平线成45度角时，试着找出连杆臂的角速度和中点的速度。 8-19。众所周知，曲柄OA=r，连杆BC=2r，曲柄OA处于均匀角速度ω？4顺时针旋转/秒，如图所示。试着找出图中瞬时点B的速度和连杆BC的角速度。 AMnOBArOB302rCω问题8-18 图8-19 8-20。如图所示，筛选机通过曲柄OA驱动筛BC摆动。众所周知，

理论力学-刚体的平面运动

第七章刚体的平面运动一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。（） 2．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（） 3．刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。（） 4．某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ =永远成立。（） 5．刚体作平面运动，若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。（） 6．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。（） 7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。（）二、选择题 1．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动，已知B 端的速度为B u ，则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为。 ①u B sin θ； ②u B cos θ； ③u B /sin θ； ④u B /cos θ。 2．在图示内啮合行星齿轮转动系中，齿轮Ⅱ固定不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r 1和r 2，曲柄OA 以匀角速度ω0逆时针转动，则齿轮Ⅰ对曲柄OA 的相对角速度ω1r 应为。 ①ω1r =（r 2/ r 1）ω0（逆钟向）； ②ω1r =（r 2/ r 1）ω0（顺钟向）； ③ω1r =[(r 2+ r 1)/ r 1] ω0（逆钟向）； ④ω1r =[(r 2+ r 1)/ r 1] ω0（顺钟向）。

3．一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶点A、B、C、D的速度方向如图（a）、图（b）所示，则图（a）的运动是的，图（b）的运动是的。 ①可能； ②不可能； ③不确定。 4．图示机构中，O1A=O2B。若以ω1、ε1与ω2、ε2分别表示O1A杆与O2B杆的角速度和角加速度的大小，则当O1A∥O2B时，有。 ①ω1=ω2，ε1=ε2； ②ω1≠ω2，ε1=ε2； ③ω1=ω2，ε1≠ε2； ④ω1≠ω2，ε1≠ε2。三、填空题 1．指出图示机构中各构件作何种运动，轮A（只滚不滑）作；杆BC作；杆CD作；杆DE作。并在图上画出作平面运动的构件、在图示瞬时的速度瞬心。 2．试画出图示三种情况下，杆BC中点M的速度方向。

第八章刚体的平面运动习题解

第八章刚体的平面运动习题解 [习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。解：椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为： t r r x C 0cos cos ω?== t r r y C 0sin sin ω?== t 0ω?-=（顺时针转为负）。 [习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。解： αω =dt d dt d αω= 1C t +=αω 100C +?=α 01=C t αω= t dt d αω? == tdt d α?= 222 1C t +=α? 2202 1 0C +?=α 02=C 22 1t α?=

2cos )(cos )(2 t r R r R x A α?+=+= 2 sin )(sin )(2 t r R r R y A α?+=+= A A r t r R OA v ωαω=?+=?=)( t r r R A αω?+= t r r R dt d A α??+= dt t r r R d A ??+= α? 32 2 C t r r R A +??+=α? 32020C r r R +??+= α 03=C 22t r r R A α??+= 故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为： 2 cos )(2 t r R x A α+= 2 sin )(2 t r R y A α+= 22t r r R A α??+= [习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。已知：如图所示，CB AC =， →A v ，→ B v 求证：)(2 1→ →→ +=B A C v v v 证明：

理论力学刚体平面运动部分参考答案

一、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ， AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。一、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ，AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。（18分）解：（1）速度分析及计算：AB 杆和圆轮作平面运动，选A 为基点 BA A B v v v += OA 杆绕O 轴转动：ω?=R v A AB=2R ，圆轮半径为R ，所以杆AB 与水平面夹角为30° 速度平行四边行如图。由图中几何关系可得： 3/330tan ω?= =R v v A B C 为速度瞬心，此瞬时，圆轮可看成绕速度瞬心C 做定轴转动。 O 轴转动： 2ω?==R a a n A A 由速度平行四边行中几何关系可得： 3 / 230cos /ω?==R v v A BA 所以：22 2 3 2 2// ω?== = R R v AB v a BA BA n BA 选A 为基点，则B 点加速度: τ ++=BA n BA a a a a A B 将上式向x 轴投影得：n BA a a a n --= 30cos 30cos

二、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加速度αOA =0，θ=60°。图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。二、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加速度αOA =0，图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。解：以A 为基点，根据速度合成定理BA A B v v v +=，对B 进行速度分析, 在速度平行四边形中得： cm /s 30310=?=?===OA v v v oA B A BA ω 选A n B A B A a a a a ++= τ A B 即：n B A B A B n B a a a a a ++=+ττA B 点作加速度矢量图如图。由题可知： 222cm /s 90310=?=?=ωOA a n A 222cm/s 5.3724 30===AB v a BA n BA 22 2cm/s 5.372430===BC v a B n B 将 B 点作加速度矢量式向y 轴投影得： τBA n BA n A n B a a a a +-=- 60cos 30sin 得： 2cm /s 75.63 -=τBA a 因此得杆AB 的角加速度：

15春地大《理论力学》在线作业一答案

15春地大《理论力学》在线作业一答案一、单选题（共 25 道试题，共 100 分。） 1. 在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应保持静止或等速直线运动状态。 A. 正确 B. 错误正确答案：A 2. 杆OA绕固定轴O转动，某瞬时杆端A点的加速度分别如图（a）、（b）、（c）所示。则该瞬时（）的角速度为零 A. 图（a）系统 B. 图（b）系统 C. 图（c）系统。正确答案：A 3. 刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 A. 正确 B. 错误正确答案：B 4. 刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 A. 正确 B. 错误正确答案：A 5. 在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。 A. 正确 B. 错误正确答案：B 6. 冲量的量纲与动量的量纲相同。 A. 正确 B. 错误正确答案：A 7. 刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。 A. 正确 B. 错误正确答案：B 8. 作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。 A. 正确 B. 错误

正确答案：A 9. 任意质点系（包括刚体）的动量可以用其质心（具有系统的质量）的动量来表示。 A. 正确 B. 错误正确答案：A 10. - A. A B. B C. C D. D 正确答案：A 11. - A. A B. B C. C D. D 正确答案：A 12. 作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。 A. 正确 B. 错误正确答案：A 13. 在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。 A. 正确 B. 错误正确答案：B 14. 一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量 A. 平行 B. 垂直 C. 夹角随时间变化正确答案：B 15. 下列关于刚体平面运动的说法错误的是（） A. 刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变 B. 可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形在自身平面内的运动代替刚体的整体运动 C. 刚体的平面运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动 D. 基点可以是平面图形内任一点，通常其运动状态未知正确答案：D 16. 关于刚体的平面运动，下列说法正确的是（） A. 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点的选择无关 B. 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择无关，而绕基点转动的规律与基点的选择有关

《理论力学》第八章刚体的平面运动习题解

第6章刚体的平面运动习题解答080814

第六章刚体的平面运动本章要点一、刚体平面运动的描述 1 刚体的平面运动方程：)(t x x A A =，)(t y y A A =，)(t ??=. 2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。二、平面运动刚体上点的速度 1 基点法：平面图形内任一点B 的速度，等于基点A 的速度与B 点绕基点转动速度的矢量和，即 BA A B v v v +=，其中BA v 的大小为ωAB v BA =，方向垂直于AB ，指向与图形的转动方向相一致。 2投影法速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即 AB A AB B v v ][][= 3瞬心法任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即 ωCM v M =，其方向与CM 相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时，0=ω，则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体的角加速度不为零。解题要领： 1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单，。 2 由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。 3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是

刚体的平面运动作业习题参考答案1

8-1 图示四杆机构1OABO 中，AB B O OA 2 1 1= =；曲柄OA 的角速度s rad /3=ω。求当090=?而曲柄B O 1重合于1OO 的延长线上时，杆AB 和曲柄B O 1的角速度。参考答案：因OA 杆作定轴转动，故OA v A ?=ω。AB 杆做平面运动其速度瞬心为O 点， s rad OA v A AB /3=== ωω，而OA OB v AB B ?=?=ωω3，所以s rad s rad B O OA B O v B B O /2.5/3333111≈==?== ωωω（逆时针） 8-2 四连杆机构中，连杆AB 上固联一块三角板 ABD 。机构由曲柄A O 1带动。已知：曲柄的角速度s rad A O /21=ω；曲柄cm A O 101=，水平距离cm O O 521=；AD=5cm ,当A O 1铅垂时， AB 平行于21O O ，且AD 与1AO 在同一直线上；角030=?。求三角板ABD 的角速度和D 点的速度。参考答案：三角板 ABD C ，由此可得： s rad ctg O O AO AO AC v A O A /07.121111=?+?==?ωω s cm CD v D /35.25=?=ω 8-7 如图所示，在振动机构中，筛子的摆动由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄OA 的转速cm OA r n 30min,/40==。当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，090=∠BAO ，求此瞬时筛子BC 的速度。解：由图示机构知BC 作平行移动，图示位置时，B v 与CBO 夹角为30°，与AB 夹角为60°。 A v B v A v B v

刚体的平面运动作业参考答案

刚体的平面运动作业参考答案 1．图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。如曲柄OA 以等角加速度α 绕O 轴转动，当运动开始时，角速度ω0=0，转角?0=0，求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。答案： 2A 2 2 )(21 , 2 sin )( , 2 cos )(t r R r t r R y t r R x A A α?αα+= +=+= 2．图示平面机构中，曲柄OA =R ，以角速度ω 绕O 轴转动。齿条AB 与半径为 2 R r =的齿轮相啮合，并由曲柄销A 带动。求当齿条与曲柄的交角θ =60o时，齿轮的角速度。答案：顺时针 31ωω= 提示：可先用速度投影法求出齿条上与齿轮重合点的速度。

理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析

第6章刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0 ω=0 ?= 0 2 2 1t α?= （3）起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ?=CP CP 0 ，即 θ?r R = ?θr R =， ??r r R A +=（4）将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ? ? ??? +=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωA v C A B C v o h θ 习题6－2解图

习题6-6图习题6-6解图 l ? υ l 2B O 1ωA B A υB υO 1 O AB ωω 解：图（a ）中平面运动的瞬心在点O ，杆BC 的瞬心在点C 。图（b ）中平面运动的杆BC 的瞬心在点P ，杆 AD 做瞬时平移。 6－6 图示的四连杆机械OABO 1中，OA = O 1B = 2 1 AB ，曲柄OA 的角速度ω= 3rad/s 。试求当示。?= 90°而曲柄O 1B 重合于OO 1的延长线上时，杆AB 和曲柄O 1B 的角速度。解：杆AB 的瞬心在O 3===ωωOA v A AB rad/s ωl v B 3= 2.531===ωωl v B B O rad/s 6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A 有向右的速度v A = 0.8m/s ，试求卷轴中心O 的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？解：如图 333.16 .08 .03.09.0==-=A O v ωrad/s 2.16 89.09.0=?==O O v ωm/s 卷轴向右滚动。 ω ω 习题6-5解图 O O 1 A B C O O 1 A B D v B v v v v B v v P (a (b 习题6-7图

§8,刚体的平面平行运动

§8、刚体的平面平行运动一、基本动力学方程：在运动学部分我们已经讲过，刚体的平面平行运动可以看作随任意选定的基点的平动和绕通过基点的垂直轴的转动。但是在讨论动力学问题时，对基点的选取就不能这样随心所欲了。通常选质心为基点，而将刚体的平面平行运动分解为随质心的平动和绕质心的转动。质心在运动平面上的运动状况只要用两个质心坐标x c 、y c 就能确定；刚体绕质心且垂直于运动平面的转动轴的转动可以用一转过的角度θ来表示。因此，在动力学中确定刚体平面平行运动的三个自由度通常就是，x c 、y c 和θ这三个量。平面平行运动的动力学基方程所要确定的就是外力及外力矩与x c 、y c 、θ这三个量的关系。应用质心运动定理很容易得到，确定质心的运动规律的动力学方程是：∑=外ix c F x m ；∑=外iy c F y m ，再应用质心动量矩定理可以得到，确定刚体绕通过质心且垂直于运动平面的轴线而转动的动力学议程为：∑=外ic c c M I θ [等于作用于刚体上的所有外力对质心c 的力矩的代数和]其中的I c 是刚体对通过质心且垂直于运动平面的转轴的转动惯量。这三个方程就是解决刚体平面平行运动的动力学问题的基本方程。对刚体的平面平行运动问题的求解，我们尽量用这1、三个基本方程的方法来解决。2、由于三个基本方程只能解三个未知量，如果所求的问题，它的未知量要是多于三个的话，这时我们还得根据几何约束的情况，找出约束关系。平面平行运动的约束关系，一般来说有平动和转动的关系。除了应用上面这三个基方程之外，有时也可配合应用动能定理和机械能守中定律。二、动能定理、机械能守恒律：由柯尼希定理可得，刚体平面平行运动时的动能就等于质心的运动动能+刚体绕质心的转动动能：222222*********w I y m x m w I mv T c c c c c ++=+= 。由刚体动能定理的一般表达式：外dW dT = 可得平面平行运动刚体的动能定理的具体表达式为：外dW w I y m x m d c c c =++)2 12121(222 如果作用在刚体上的所有力为有势力dV dW -=外，或者无势力不做功，则d(T+V)=0因此可得平面平行刚体的机械能守恒式为： const E V T ←=+，即：E V I mv c c =++222 121ω。应用这种方法求解的主要优点是：由于不做功的力在方程中不出现，∴可避免考虑那些不做功的约束力，另外计算时可以少积一次分而简单些。但是这些优点也正好是它的缺点，无法由它求出不做功的力，而上面的第

一、刚体平面平行运动学

一、刚体平面平行运动学. 刚体平面平行运动是指刚体运动时，任何一点始终在平行于某一固定平面内作运动，因此，只须研究任一和固定平面平行的平面运动就行，也就是说，可用一薄片来表示刚体的运动。 1、刚体平面平行运动的处理方法和速度、加速度刚体平面平行运动可视为在刚体上取一点（称为基点，而且常取质心）的平动和绕基点的转动这两种运动的合成。如图3.7.1，选取固定坐标系Oxyz，和动系，其中动系固定在刚体平面上并随刚体一起运动，原点A（x0，y0）为基点，刚体绕过A（x0，y0)点，且垂直于平面的轴转动（与定轴转动不同，此处转轴不固定，称为能够为瞬时轴），刚体中任一点P在Oxyz系位置矢量r，在动系中位置矢量r'，基点对定系的位矢为r A ，满足r=r A+r'（1）设刚体绕瞬时轴的转动角速度为（方向垂直于纸面向外），则 P点的速度（2） P点的加速度（3）（2）式表明：P点的速度等于基点的速度v A与绕基点的速度ω×r'的矢量和。（3）式的等式右边第一项为基点加速度a A，第二项为因转动角速度变化引起的加速度（称为转动加速度），第三项叫向心加速度，（3）式表明：刚体中任一点的加速度为基点的加速度、转动加速度、向心加速度的矢量和。二、转动瞬心（简称瞬心） 1、转动瞬心的定义和性质

刚体平面平行运动时，速度为零的点叫瞬心，记为C.转动瞬心的性质是： ①瞬心是唯一的，不同时刻有不同的瞬心； ②瞬心的速度为零，但它加速度并不为零.否则刚体为定轴转动. ③瞬心可以在刚体上、也可以在刚体外。 ④对瞬心而言，刚体上任一点P的速度都垂直于瞬心c与该点p的连线CP。 2、瞬心的确定方法一：观察法：凡滚而不滑的刚体与另一物体的接触点就是瞬心。例如：车轮沿地面滚而不滑的沿直线运动，接触点就是瞬心C，轮子运动时，接触点C在地面上留下的轨迹叫定瞬心曲线（或叫空间极迹），而在运动物体（轮子）上留下的轨迹叫动瞬心曲线（或叫本体极迹）（见图3.7.2）。方法二：作图法：已知刚体中两点A、B的速度V A,V B，则分别自A、B点作垂直于V A,V B的直线，其交点C即瞬心(如图3.7.3）。方法三：数学方法：已知ω和基点的位置A(x0，y0）,则可解方程式[书P197的（3．7．6）]求出瞬心在定系中的坐标，或解方程[书P197的( 3．7．7）]求出瞬心在动系中坐标： 3、瞬心法求解刚体平面平行运动运动学的一般步骤。

(完整word版)刚体的基本运动

第三章刚体力学 §3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 刚体运动微分方程 §3.4 刚体平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与定轴转动 §3.7刚体的平面平行运动 §3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量 1.刚体是特殊质点组dr ij =0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。 2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需9个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6个变量即可。刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α,β,γ。二、刚体的运动分类 1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行. 任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动) 2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ 3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。可以用平行于固定平面的截面代表刚体。需要三个独立变量。 4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。需三个独立的欧拉角。 5.一般运动: 平动+转动 §3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴. 刚体在dt 时间内转过的角位移为d n ，则角速度定义为 0lim t d t dt ?→?== ?n n ω 角速度反映刚体转动的快慢。线速度与角速度的关系： ,t d d d d =??∴= =r v r n r ωr Q

第6章刚体的平面运动习题解答080814

理论力学课后习题答案 第6章 刚体的平面运动分析

平面机构的运动分析答案

清华大学版理论力学课后习题集标准答案全集第6章刚体平面运动分析

刚体的平面运动动力学课后答案

第八章刚体的平面运动习题解答资料

刚体的平面运动1答案

第3章 平面机构的运动分析答案

刚体平面运动习题

理论力学-刚体的平面运动

第八章 刚体的平面运动习题解

理论力学 刚体平面运动部分参考答案

15春地大《理论力学》在线作业一答案

《理论力学》第八章 刚体的平面运动习题解

第6章刚体的平面运动习题解答080814

刚体的平面运动作业习题参考答案1

刚体的平面运动作业参考答案

理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析

§8,刚体的平面平行运动

一、刚体平面平行运动学

(完整word版)刚体的基本运动

理论力学课后习题答案第6章刚体的平面运动分析

第3章平面机构的运动分析答案

第八章刚体的平面运动习题解

理论力学刚体平面运动部分参考答案

《理论力学》第八章刚体的平面运动习题解