第二十六章 二次函数

第二十六章 二次函数

测试1 二次函数y ＝ax 2及其图象

学习要求

1．熟练掌握二次函数的有关概念．

2．熟练掌握二次函数y ＝ax 2的性质和图象．

课堂学习检测

一、填空题

1．形如____________的函数叫做二次函数，其中______是目变量，a ，b ，c 是______且______≠0．

2．函数y ＝x 2的图象叫做______，对称轴是______，顶点是______．

3．抛物线y ＝ax 2的顶点是______，对称轴是______．当a ＞0时，抛物线的开口向______；当a ＜0时，抛物线的开口向______．

4．当a ＞0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x ＝______时的值最______．

5．当a ＜0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴的左侧，y 随x 的增大而______，而在对称轴的右侧，y 随x 的增大而______；函数y 当x ＝______时的值最______． 6．写出下列二次函数的a ，b ，c ．

(1)23x x y -= a ＝______，b ＝______，c ＝______． (2)y ＝πx 2

a ＝______，

b ＝______，

c ＝______．

(3)1052

12

-+=

x x y

a ＝______，

b ＝______，

c ＝______． (4)23

1

6x y --= a ＝______，b ＝______，c ＝______．

7．抛物线y ＝ax 2，｜a ｜越大则抛物线的开口就______，｜a ｜越小则抛物线的开口就______．

8．二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．

(1)y ＝2x 2如图( )；

(2)2

2

1x y =

如图( )； (3)y ＝－x 2如图( )； (4)231

x y -=如图( )；

(5)2

9

1x y =

如图( )；

(6)29

1

x y -=如图( )．

9．已知函数,2

3

2x y -=不画图象，回答下列各题．

(1)开口方向______； (2)对称轴______； (3)顶点坐标______；

(4)当x ≥0时，y 随x 的增大而______； (5)当x ______时，y ＝0；

(6)当x ______时，函数y 的最______值是______．

10．画出y ＝－2x 2的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值．

综合、运用、诊断

一、填空题

11．在下列函数中①y ＝－2x 2；②y ＝－2x ＋1；③y ＝x ；④y ＝x 2，回答：

(1)______的图象是直线，______的图象是抛物线． (2)函数______y 随着x 的增大而增大． 函数______y 随着x 的增大而减小． (3)函数______的图象关于y 轴对称． 函数______的图象关于原点对称． (4)函数______有最大值为______． 函数______有最小值为______．

12．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数)．

(1)若它是二次函数，则系数应满足条件______． (2)若它是一次函数，则系数应满足条件______． (3)若它是正比例函数，则系数应满足条件______．

13．已知函数y ＝(m 2

－3m )1

22--m m x

的图象是抛物线，则函数的解析式为______，抛物

线的顶点坐标为______，对称轴方程为______，开口______． 14．已知函数y ＝m 2

22+-m m x

＋(m －2)x ．

(1)若它是二次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． (2)若它是一次函数，则m ＝______，函数的解析式是______，其图象是一条______，位于第______象限． 15．已知函数y ＝m m

m x

+2，则当m ＝______时它的图象是抛物线；当m ＝______时，

抛物线的开口向上；当m ＝______时抛物线的开口向下．

二、选择题

16．下列函数中属于一次函数的是( )，属于反比例函数的是( )，属于二次函数

的是( ) A ．y ＝x (x ＋1) B ．xy ＝1

C ．y ＝2x 2－2(x ＋1)2

D ．132+=x y

17．在二次函数①y ＝3x 2；②223

4

;32x y x y ==

③中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为( )

A ．①＞②＞③

B ．①＞③＞②

C ．②＞③＞①

D ．②＞①＞③ 18．对于抛物线y ＝ax 2，下列说法中正确的是( )

A ．a 越大，抛物线开口越大

B ．a 越小，抛物线开口越大

C ．｜a ｜越大，抛物线开口越大

D ．｜a ｜越小，抛物线开口越大 19．下列说法中错误的是( )

A ．在函数y ＝－x 2中，当x ＝0时y 有最大值0

B ．在函数y ＝2x 2中，当x ＞0时y 随x 的增大而增大

C ．抛物线y ＝2x 2，y ＝－x 2，22

1

x y -=中，抛物线y ＝2x 2的开口最小，抛物线y

＝－x 2的开口最大

D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y ＝ax 2的顶点都是坐标原点

三、解答题

20．函数y ＝(m －3)2

32

--m m

x 为二次函数．

(1)若其图象开口向上，求函数关系式；

(2)若当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象．

拓展、探究、思考

21．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A (1，b )．

(1)求a ，b 的值；

(2)求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)； (3)求△OBC 的面积．

22．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (2，1)．

(1)求这个函数的解析式；

(2)写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标； (3)求△OAB 的面积；

(4)抛物线上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．

测试2 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 及其图象

学习要求

掌握并灵活应用二次函数y ＝ax 2＋k ，y ＝a (x －h )2，y ＝a (x －h )2＋k 的性质及图象．

课堂学习检测

一、填空题

1．已知a ≠0，

(1)抛物线y ＝ax 2的顶点坐标为______，对称轴为______． (2)抛物线y ＝ax 2＋c 的顶点坐标为______，对称轴为______． (3)抛物线y ＝a (x －m )2的顶点坐标为______，对称轴为______．

2．若函数1

22)2

1(++-=m m x

m y 是二次函数，则m ＝______．

3．抛物线y ＝2x 2的顶点，坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 增大而减小；当x ______时，y 随x 增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______． 4．抛物线y ＝－2x 2的开口方向是______，它的形状与y ＝2x 2的形状______，它的顶点坐标是______，对称轴是______．

5．抛物线y ＝2x 2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x ______时，y 随x 的增大而减小；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝2x 2向______平移______个单位得到．

6．抛物线y ＝3(x －2)2的开口方向是______，顶点坐标为______，对称轴是______．当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ＝______时，y 有最______值是______，它可以由抛物线y ＝3x 2向______平移______个单位得到．

二、选择题

7．要得到抛物线2)4(3

1-=

x y ，可将抛物线231

x y =( )

A ．向上平移4个单位

B ．向下平移4个单位

C ．向右平移4个单位

D ．向左平移4个单位

8．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( ) A ．y ＝2x 2与y ＝3x 2 B ．22

12+=

x y 与2122+=x y

C ．y ＝2x 2与y ＝x 2＋2

D ．y ＝x 2与y ＝x 2－2 9．顶点为(－5，0)，且开口方向、形状与函数231

x y -=的图象相同的抛物线是( )

A ．2)5(3

1

-=x y

B ．531

2--=x y

C ．2)5(3

1

+-=x y

D ．2)5(3

1

+=x y

三、解答题

10．在同一坐标系中画出函数=+=

221,32

1y x y 3212-x 和2321

x y =的图象，并说明y 1，

y 2的图象与函数2

2

1x y =

的图象的关系．

11．在同一坐标系中，画出函数y 1＝2x 2，y 2＝2(x －2)2与y 3＝2(x ＋2)2的图象，并说明

y 2，y 3的图象与y 1＝2x 2的图象的关系．

综合、运用、诊断

一、填空题

12．二次函数y ＝a (x －h )2＋k (a ≠0)的顶点坐标是______，对称轴是______，当x ＝

______时，y 有最值______；当a ＞0时，若x ______时，y 随x 增大而减小． 13

14．抛物线1)3(2

1

2-+-=x y 有最______点，其坐标是______．当x ＝______时，y 的

最______值是______；当x ______时，y 随x 增大而增大．

15．将抛物线23

1

x y =向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析

式为______．

二、选择题

16．一抛物线和抛物线y ＝－2x 2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则

该抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－2(x －1)2＋3 B ．y ＝－2(x ＋1)2＋3 C ．y ＝－(2x ＋1)2＋3 D ．y ＝－(2x －1)2＋3

17．要得到y ＝－2(x ＋2)2－3的图象，需将抛物线y ＝－2x 2作如下平移( )

A ．向右平移2个单位，再向上平移3个单位

B ．向右平移2个单位，再向下平移3个单位

C ．向左平移2个单位，再向上平移3个单位

D ．向左平移2个单位，再向下平移3个单位

三、解答题

18．将下列函数配成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值．

(1)y ＝x 2＋6x ＋10 (2)y ＝－2x 2－5x ＋7

(3)y ＝3x 2＋2x (4)y ＝－3x 2＋6x －2

(5)y ＝100－5x 2 (6)y ＝(x －2)(2x ＋1)

拓展、探究、思考

19．把二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得

到二次函数1)1(2

1

2-+=x y 的图象．

(1)试确定a ，h ，k 的值；

(2)指出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．

测试3 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 及其图象

学习要求

掌握并灵活应用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质及其图象．

课堂学习检测

一、填空题

1．把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方成y ＝a (x －h )2＋k 形式为______，顶点坐标是

______，对称轴是直线______．当x ＝______时，y 最值＝______；当a ＜0时，x ______时，y 随x 增大而减小；x ______时，y 随x 增大而增大．

2．抛物线y ＝2x 2－3x －5的顶点坐标为______．当x ＝______时，y 有最______值是

______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x ______时，y 随x 增大而减小，当x ______时，y 随x 增大而增大．

3．抛物线y ＝3－2x －x 2的顶点坐标是______，它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴

的交点坐标是______．

4．把二次函数y ＝x 2－4x ＋5配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______．

5．已知二次函数y ＝x 2＋4x －3，当x ＝______时，函数y 有最值______，当x ______时，函数y 随x 的增大而增大，当x ＝______时，y ＝0．

6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______．

7．抛物线y ＝2x 2先向______平移______个单位就得到抛物线y ＝2(x －3)2

，再向______平移______个单位就得到抛物线y ＝2(x －3)2＋4．

二、选择题

8．下列函数中①y ＝3x ＋1；②y ＝4x 2－3x ；;422x x

y +=

③④y ＝5－2x 2

，是二次函数的有( ) A ．② B ．②③④ C ．②③ D ．②④

9．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是( )

A ．向下，(0，4)

B ．向下，(0，－4)

C ．向上，(0，4)

D ．向上，(0，－4) 10．抛物线x x y --

=2

2

1的顶点坐标是( ) A ．)21,1(- B ．)21

,1(- C ．)1,2

1(-

D ．(1，0)

11．二次函数y ＝ax 2

＋x ＋1的图象必过点( )

A ．(0，a )

B ．(－1，－a )

C ．(－1，a )

D ．(0，－a )

三、解答题

12．已知二次函数y ＝2x 2＋4x －6．

(1)将其化成y ＝a (x －h )2＋k 的形式；

(2)写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标； (3)求图象与两坐标轴的交点坐标； (4)画出函数图象；

(5)说明其图象与抛物线y ＝x 2的关系； (6)当x 取何值时，y 随x 增大而减小； (7)当x 取何值时，y ＞0，y ＝0，y ＜0；

(8)当x 取何值时，函数y 有最值?其最值是多少? (9)当y 取何值时，－4＜x ＜0；

(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积．

综合、运用、诊断

一、填空题

13．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

(1)若抛物线的顶点是原点，则____________；

(2)若抛物线经过原点，则____________；

(3)若抛物线的顶点在y轴上，则____________；

(4)若抛物线的顶点在x轴上，则____________．

14．抛物线y＝ax2＋bx必过______点．

15．若二次函数y＝mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝______，这个函数的解析式是______．

16．若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______．

17．若二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝______．

18．函数y＝x2－4x＋3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为______平方单位．

19．抛物线y＝ax2＋bx(a＞0，b＞0)的图象经过第______象限．

二、选择题

20．函数y＝x2＋mx－2(m＜0)的图象是( )

21．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，那么( )

A．a＜0，b＞0，c＞0

B．a＜0，b＜0，c＞0

C．a＜0，b＞0，c＜0

D．a＜0，b＜0，c＜0

22．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则( )

A．a＞0，c＞0，b2－4ac＜0

B．a＞0，c＜0，b2－4ac＞0

C．a＜0，c＞0，b2－4ac＜0

D．a＜0，c＜0，b2－4ac＞0

23．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如下图所示，则( )

A ．b ＞0，c ＞0，?＝0

B ．b ＜0，c ＞0，?＝0

C ．b ＜0，c ＜0，?＝0

D ．b ＞0，c ＞0，?＞0

24．二次函数y ＝mx 2＋2mx －(3－m )的图象如下图所示，那么m 的取值范围是( )

A ．m ＞0

B ．m ＞3

C ．m ＜0

D ．0＜m ＜3

25．在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )

26．函数x

ab

y b ax y =

+=22

1,(ab ＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( )

三、解答题

27．已知抛物线y ＝x 2－3kx ＋2k ＋4．

(1)k 为何值时，抛物线关于y 轴对称； (2)k 为何值时，抛物线经过原点．

28．画出2

3

212++-=x x y 的图象，并求：

(1)顶点坐标与对称轴方程；

(2)x 取何值时，y 随x 增大而减小? x 取何值时，y 随x 增大而增大?

(3)当x 为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少? (4)x 取何值时，y ＞0，y ＜0，y ＝0? (5)当y 取何值时，－2≤x ≤2?

拓展、探究、思考

29．已知函数y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)和y 2＝mx ＋n 的图象交于(－2，－5)点和(1，4)点，

并且y 1＝ax 2＋bx ＋c 的图象与y 轴交于点(0，3)．

(1)求函数y 1和y 2的解析式，并画出函数示意图； (2)x 为何值时，①y 1＞y 2；②y 1＝y 2；③y 1＜y 2．

30．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分；图象过点A (－3，0)，对称轴为x

＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b ．其中正确的是________________．(填序号)

测试4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 解析式的确定

学习要求

能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式． 一、填空题

1．二次函数解析式通常有三种形式：①一般式________________；②顶点式________ __________；③双根式__________________________(b 2－4ac ≥0)．

2．若二次函数y ＝x 2－2x ＋a 2－1的图象经过点(1，0)，则a 的值为______．

3．已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为),0,2

3

( 则它与x 轴的另一个交点为______．

二、解答题

4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，求：

(1)对称轴方程____________； (2)函数解析式____________；

(3)当x ______时，y 随x 增大而减小； (4)由图象回答：

当y ＞0时，x 的取值范围______； 当y ＝0时，x ＝______；

当y ＜0时，x 的取值范围______．

5．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．

6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．

7．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．

8．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(－2，5)，且当x＝2时，y＝－3，求这个二次函数的解析式，并判断点B(0，3)是否在这个函数的图象上．

9．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．

10．抛物线过(－1，－1)点，它的对称轴是直线x＋2＝0，且在x轴上截得线段的长度为,2

2求抛物线的解析式．

综合、运用、诊断

11．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式．

12．把抛物线y＝(x－1)2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3，0)，求平移后的抛物线的解析式．

13．二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值等于－3a，且它的图象经过(－1，－2)，(1，6)两点，求二次函数的解析式．

14．已知函数y1＝ax2＋bx＋c，它的顶点坐标为(－3，－2)，y1与y2＝2x＋m交于点(1，

6)，求y1，y2的函数解析式．

拓展、探究、思考

15．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为A，B(B在A左侧)，与y轴的交点为C，OA＝OC．下列关系式中，正确的是( )

A ．ac ＋1＝b

B ．ab ＋1＝c

C ．bc ＋1＝a

D ．

c b

a

=+1 16．如图，正方形ABCD 的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形

ABCD 的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直，若小正方形边长为x ，且0＜x ≤10，阴影部分的面积为y ，则能反映y 与x 之间的函数关系的大致图象是( )

17．如图，在直角坐标系中，Rt △AOB 的顶点坐标分别为A (0，2)，O (0，0)，B (4，0)，

把△AOB 绕O 点按逆时针方向旋转90°得到△COD ．

(1)求C ，D 两点的坐标；

(2)求经过C ，D ，B 三点的抛物线的解析式； (3)设(2)中抛物线的顶点为P ，AB 的中点为M (2，1)，试判断△PMB 是钝角三角形，直角三角形还是锐角三角形，并说明理由．

测试5 用函数观点看一元二次方程

学习要求

1．理解二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x 轴的交点与一元二次方程两根之间的联系，灵活运用相关概念解题．

2．掌握并运用二次函数y ＝a (x －x 1)(x －x 2)解题．

课堂学习检测

一、填空题

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有交点，则b2－4ac______0；

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0两根为x1，x2，则二次函数可表示为y＝_________ ____________．

2．若二次函数y＝x2－3x＋m的图象与x轴只有一个交点，则m＝______．

3．若二次函数y＝mx2－(2m＋2)x－1＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______．

4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过P(1，0)点，则a＋b＋c＝______．

5．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c满足a－b＋c＝0，则这条抛物线必经过点______．

6．关于x的方程x2－x－n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n的顶点在第______象限．

二、选择题

7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0( )

A．没有实根

B．只有一个实根

C．有两个实根，且一根为正，一根为负

D．有两个实根，且一根小于1，一根大于2

8．一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2－4x＋3的图象交点( )

A．只有一个B．恰好有两个

C．可以有一个，也可以有两个D．无交点

9．函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是( )

A．有两个不相等的实数根

B．有两个异号实数根

C．有两个相等的实数根

D．无实数根

10．二次函数y＝ax2＋bx＋c对于x的任何值都恒为负值的条件是( ) A．a＞0，?＞0 B．a＞0，?＜0

C．a＜0，?＞0 D．a＜0，?＜0

三、解答题

11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标是方程x2＋x－2＝0的两个

根，且抛物线过点(2，8)，求二次函数的解析式．

12．对称轴平行于y 轴的抛物线过A (2，8)，B (0，－4)，且在x 轴上截得的线段长为3，

求此函数的解析式．

综合、运用、诊断

一、填空题

13．已知直线y ＝5x ＋k 与抛物线y ＝x 2＋3x ＋5交点的横坐标为1，则k ＝______，交点

坐标为______．

14．当m ＝______时，函数y ＝2x 2＋3mx ＋2m 的最小值为?9

8

二、选择题

15．直线y ＝4x ＋1与抛物线y ＝x 2＋2x ＋k 有唯一交点，则k 是( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．－1 16．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若ac ＜0，则其图象与x 轴( )

A ．有两个交点

B ．有一个交点

C ．没有交点

D ．可能有一个交点

17．y ＝x 2＋kx ＋1与y ＝x 2－x －k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 值为( )

A ．0

B ．－1

C ．2

D ．

4

1 18．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2

＝0的根的情况是( )

A ．无实根

B ．有两个相等实数根

C ．有两个异号实数根

D ．有两个同号不等实数根

19．已知二次函数的图象与y 轴交点坐标为(0，a )，与x 轴交点坐标为(b ，0)和(－b ，

0)，若a ＞0，则函数解析式为( )

A ．a x b a

y += B ．a x b

a y +-=22

C ．a x b

a y --

=22

D ．a x b a y -=2

2 20．若m ，n (m ＜n )是关于x 的方程1－(x －a )(x －b )＝0的两个根，且a ＜b ，则a ，b ，

m ，n 的大小关系是( )

A ．m ＜a ＜b ＜n

B ．a ＜m ＜n ＜b

C ．a ＜m ＜b ＜n

D ．m ＜a ＜n ＜b

三、解答题

21．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如

(1)(2)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 是常数)的两个根x 1，x 2的取值范围是下列选项中的哪一个______．

①223

,02121<<<<-

x x ②25

2,21121<<-<<-x x

③2

52,02121<<<<-x x

④22

3

,21121<<-

<<-x x 22．m 为何值时，抛物线y ＝(m －1)x 2＋2mx ＋m －1与x 轴没有交点?

23．当m 取何值时，抛物线y ＝x 2与直线y ＝x ＋m

(1)有公共点；(2)没有公共点．

拓展、探究、思考

24．已知抛物线y ＝－x 2－(m －4)x ＋3(m －1)与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点．

(1)求m 的取值范围．

(2)若m ＜0，直线y ＝kx －1经过点A 并与y 轴交于点D ，且25=?BD AD ，求抛物线的解析式．

测试6 实际问题与二次函数

学习要求

灵活地应用二次函数的概念解决实际问题．

课堂学习检测

1．矩形窗户的周长是6m ，写出窗户的面积y (m 2)与窗户的宽x (m)之间的函数关系式，判断此函数是不是二次函数，如果是，请求出自变量x 的取值范围，并画出函数的图象．

2．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8m ，水位上升3m ， 就达到警戒水位CD ，这时水面宽4m ，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．

3．如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1m 的A 处飞出(A 在y 轴上)，运动员乙在距O 点6m 的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4m 高．球第一次落地后又弹起．据试验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；

(2)运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米?(取734=，562=)

综合、运用、诊断

4．如图，有长为24m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a ＝10m)．

(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；

(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，

并说明围法；如果不能，请说明理由．

5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；

(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大

销售利润为多少?

6．某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．

(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；

(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?

7．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．

根据图象提供的信息，解答下列问题：

(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；

(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

3)求第8个月公司所获利润为多少万元?

拓展、探究、思考

8．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，且OC＝OB＝3OA．

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点，直线AD，BC交于点P，试判断直

线AD，BC是否垂直，并证明你的结论；

(3)在(2)的条件下，若点M，N分别是射线PC，PD上的点，问：是否存在这样的点

M，N，使得以点P，M，N为顶点的三角形与△ACP全等?若存在请求出点M，

N的坐标；若不存在，请说明理由．

测试7 综合测试

一、填空题

1．若函数y＝x2－mx＋m－2的图象经过(3，6)点，则m＝______．

2．函数y＝2x－x2的图象开口向______，对称轴方程是______．

3．抛物线y＝x2－4x－5的顶点坐标是______．

4．函数y＝2x2－8x＋1，当x＝______时，y的最______值等于______．

5．抛物线y＝－x2＋3x－2在y轴上的截距是______，与x轴的交点坐标是____________．6．把y＝2x2－6x＋4配方成y＝a(x－h)2＋k的形式是_______________．

7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．

(1)对称轴方程为____________；

(2)函数解析式为____________；

(3)当x______时，y随x的增大而减小；

(4)当y＞0时，x的取值范围是______．

8．已知二次函数y＝x2－(m－4)x＋2m－3．

(1)当m＝______时，图象顶点在x轴上；

(2)当m＝______时，图象顶点在y轴上；

(3)当m＝______时，图象过原点．

二、选择题

9．将抛物线y＝x2＋1绕原点O旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( ) A．y＝－x2B．y＝－x2＋1 C．y＝x2－1 D．y＝－x2－1 10．抛物线y＝x2－mx＋m－2与x轴交点的情况是( )

A．无交点B．一个交点

C．两个交点D．无法确定

11．函数y＝x2＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别为( )

A．4和－3 B．5和－3 C．5和－4 D．－1和4 12．已知函数y＝a(x＋2)和y＝a(x2＋1)，那么它们在同一坐标系内图象的示意图是( )

13．y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，那么下面六个代数式：abc ，b 2－4ac ，a

－b ＋c ，a ＋b ＋c ，2a －b ，9a －4b 中，值小于0的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

14．若b ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象如下列四图之一所示，根据图象分

析，则a 的值等于( )

A ．

2

5

1+- B ．－1 C ．

2

5

1-- D ．1

三、解答题

15．已知函数y 1＝ax 2＋bx ＋c ，其中a ＜0，b ＞0，c ＞0，问：

(1)抛物线的开口方向?

(2)抛物线与y 轴的交点在x 轴上方还是下方? (3)抛物线的对称轴在y 轴的左侧还是右侧?

(4)抛物线与x 轴是否有交点?如果有，写出交点坐标； (5)画出示意图．

16．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次

函数的解析式．(试用两种不同方法)

17．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时有最小值－4，且图象在x 轴上截得线

段长为4，求函数解析式．

习题word版：第26章 二次函数

第26章 二次函数 26．1 二次函数 01 基础题 知识点1 二次函数的定义 1．下列各式中，y 是x 的二次函数的是(B ) A ．y ＝ax 2＋bx ＋c B ．x 2＋y －2＝0 C ．y 2－ax ＝－2 D ．x 2－y 2＋1＝0 2．在自由落体公式h ＝12 gt 2 (g 为常量)中，h 与t 之间的关系是(C ) A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．二次函数 D ．以上答案都不对 3．下列函数中，是二次函数的是①④⑥．(填序号) ①y ＝13x 2－5x ＋612；②y ＝3x 2＋1；③y ＝(x －1)2－x 2 ； ④y ＝x(x －1)；⑤y ＝13x ＋32；⑥y ＝12－12 m ＋m 2 . 4．已知两个变量x ，y 之间的关系式为y ＝(a －2)x 2 ＋(b ＋2)x －3. (1)当a ≠2时，x ，y 之间是二次函数关系； (2)当a ＝2且b ≠－2时，x ，y 之间是一次函数关系． 知识点2 实际问题中二次函数关系式 5．在一个边长为2的正方形中挖去一个边长为x(0＜x ＜2)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 与x 的函数关系式是(B ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝4－x 2 C ．y ＝x 2－4 D ．y ＝4－2x 6．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售价为x 元，则可卖出(350－10x)件商品，则该商品的销售利润y 元与售价x 元的函数关系式为(B ) A ．y ＝－10x 2－560x ＋7 350 B ．y ＝－10x 2＋560x －7 350 C ．y ＝－10x 2＋350x D ．y ＝－10x 2＋350x －7 350 7．某车的刹车距离y(m )与开始刹车时的速度x(m /s )之间的关系满足二次函数y ＝120x 2 (x>0)．若该车某次的刹车距 离为5 m ，则开始刹车时的速度为(C ) A ．40 m /s B ．20 m /s C ．10 m /s D ．5 m /s 8．菱形的两条对角线的长度之和为26 cm ，则菱形的面积S(cm 2 )与其中一条对角线的长x(cm )之间的函数关系式为

第二十六章二次函数试题

九年级（下）二次函数单元检测题 、选择题（每小题i0分，共30分) 2 i 二-3x 、y2x 3 是（） 得到的图象的函数解析式为y =x2 - 2x “，则b与c分别等于 A、6, 4 B、一8, i4 C、一6, 6 D、一8, —i4 4、如图所示，抛物线顶点坐标是P （i, 3）,则函数y随自变量的x的取值范 围是（ A、x>3 2 y二x -2x -i的图象在x轴上截得的线段长为（ B、3 2 C、2 3 D、3 3 6、抛物线、二-￡ 2kx 2与x轴交点的个数为（ A、0 B、i C、2 D、以上都不对 7、抛物线y =ax2■ bx ?c（a =0），对称轴为直线为（） A、一1 x = 2，且经过点(3, 0),贝U a +b +c的 值 2 8、若方程ax bx ? c = 0的两个根是一3 和 i,那么二次函数二ax2 bx c的图象的 对称轴是直线（A、x = —3 ) B、x = 一2 C、x = 一i 9、函数y = ax b与y = ax2 bx c的图象如图所示, 则下列选项中正确的是（ A、ab 0, c 0 B、ab ：：0, c 0 C、ab 0,c ：：0 D、ab 0, c 1已知二次函数y i y^|x2，它们的图像开口由小到大的顺序 ■■■■ y3B、yz ^2 - y i c、y i ：： y z ：： y2 D、y2 -y z ■ yi 2、抛物线y = （x-2）2的顶点坐标是（ A、（2, 0） B、(-2, 0) D、( 0,- 2) 3、二次函数y = x2亠bx亠c的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位, ) B、x<3 C、x>i D、x

华东师大数学九年级下《第26章二次函数》单元测试题含答案

华东师大版数学九年级下册第26章二次函数单元测试题 一、选择题 1．将二次函数y＝x2－2x＋3化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为( ) A．y＝(x＋1)2＋4 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2＋4 D．y＝(x－1)2＋2 2．把抛物线y＝－x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的抛物线所对应的函数表达式为( ) A．y＝－(x＋1)2＋3 B．y＝－(x＋1)2－3 C．y＝－(x－1)2＋3 D．y＝－(x－1)2－3 2 x …－5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是x＝－5 2 4．若抛物线y＝2x2＋3上有三点A(1，y 1)，B(5，y 2 )，C(－2，y 3 )，则y 1 ，y 2 ，y 3 的大小 关系为( ) A．y2＜y1＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1 5．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是( ) A．－1＜x＜5 B．x＜－1且x＞5 C．x＜－1或x＞5 D．x＞5 6．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元/个售出时每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价( ) A．5元 B．10元 C．15元 D．20元 7．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为( ) A．－3 B．3 C．－9 D．0 8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，下列结

福建省石狮市九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质4学案无答案新版华东师大版

二次函数的图象（4） 【学习目标】 1.会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象. 2.会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题。 3.渗透数开结合的思想方法。 【重点】二次函数2 )(h x a y +=+k 的图象和性质 【难点】抛物线2ax y =平移后得到抛物线2)(h x a y +=+k 时，确定平移的方向和距离。 【使用说明与学法指导】 先预习P3—P4内容，勾画课文中的重点，然后独立完成导学案，疑惑随时记录在课本或预习案上，准备课上讨论质疑； 预 习 案 一、预习导学： 1. 把抛物线y ＝－12 x 2向____平移_____个单位,再向____平移_______个单位,就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2－1. 2.抛物线y ＝a (x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状___________,位置________________. 3. 抛物线y ＝a (x －h)2＋k 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，当a>0时，函数有最 值，当x= 时，函数的最 值是 ；当a<0时，函数有最 值，当x= 时，函数的最 值是 ； 二、我的疑惑: 合作探究 探究一：二次函数2)(h x a y +=+k 的图象： 例1：画出函数y=(x+1)2-2的图象,并根据图象完成下列表格： X …… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …… y …… …… 导 学 案 装 订 线

【针对性训练】 1.二次函数5)4(22+-=x y 的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）。 A.向上，直线x=4,（4，5） B. 向上，直线x=-4,（-4，5） C.向上，直线x=4,（4，-5） D. 向下，直线x=-4,（-4，5） 2.将抛物线122+-=x y 向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ） A.1)1(22---=x y B. 3)1(22++-=x y C. 1)1(22++-=x y D. 3)1(22+--=x y 探究二：二次函数k h x a y ++=2)(的性质： 例2：已知：抛物线3)1(4 32--=x y （1）写出抛物线的开口方向、对称轴。（2）函数y 有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值。 二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象与性质 例2及例3的基础上，我们再来研究第7页的问题1，即研究函数y ＝2（x －1）2＋1的图象和性质． 分 析 我们已经知道函数y ＝2（x －1）2的图象与函数y ＝2x 2的图象之间的关系．

2018-2019学年九年级数学下册第26章二次函数26-1二次函数同步练习新版华东师大版

26.1 二次函数 知|识|目|标 1．通过对教材“问题1”“问题2”中所列函数关系式共同点的探索，归纳出二次函数的定义，并会判断一个函数是不是二次函数． 2．类比根据实际问题列出一次函数关系式的方法，能根据实际问题或几何图形写出二次函数的关系式及自变量的取值范围． 目标一能识别二次函数 例1 教材补充例题下列函数：①y＝x＋2；②y＝2x2；③y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数)； ④y＝3 x2；⑤y＝x(x＋1)；⑥y＝－ 1 3 x2－x＋2；⑦y＝(x＋1)2－x(x＋1)．其中y一定是x的 二次函数的有哪些？请指出二次函数中相应的a，b，c的值． 【归纳总结】 1．一个函数是二次函数必须同时满足： (1)函数关系式是整式；(2)化简后自变量的最高次数是2；(3)二次项系数不等于零．三者缺一不可． 2．确定二次函数中各项系数时，应先将关系式化为一般形式，注意各项系数应包括它前面的符号． 目标二会列二次函数关系式 例2 教材练习第1题针对训练如图26－1－1，有长为30 m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度为15 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形菜园．设菜园的一边AB＝x m，总面积为S m2，求S关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围． 图26－1－1 【归纳总结】列二次函数关系式“三步法”： (1)审清题意，找到实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，分析各量之间的关系，找出等量关系． (2)根据实际问题中的等量关系，列出二次函数关系式，并化成一般形式． (3)根据实际问题的意义及所列函数关系式，确定自变量的取值范围．

知识点一 二次函数的概念 定义：形如__________________________________的函数叫做二次函数． 其中x 是自变量，ax 2，bx ，c 分别是二次函数的二次项、一次项和常数项．a ，b ，c 分别是 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项．自变量x 的取值范围是__________． 知识点二 列二次函数关系式 根据题意用自变量表示出题目中的相关量，然后列出函数关系式．列出函数关系式后，要注意标明自变量的取值范围． 当m 为何值时，y ＝(m ＋1)是关于x 的二次函数？ 解：令x 的指数是2，即m 2－3m －2＝2， 解得m 1＝－1，m 2＝4. 所以当m ＝－1或m ＝4时，y ＝(m ＋1)是关于x 的二次函数． 以上解答过程正确吗？若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程． 教师详解详析 【目标突破】 例1[解析] ①自变量的最高次数是1，不是二次函数；②是二次函数，a ＝2，b ＝0，c ＝0；③当a ＝0时不是二次函数；④函数关系式不是整式，故不是二次函数；⑤是二次函数，a ＝1， b ＝1， c ＝0；⑥是二次函数，a ＝－13 ，b ＝－1，c ＝2；⑦化简得y ＝x ＋1，不是二次函数． 解：y 一定是x 的二次函数的有②⑤⑥. ②y ＝2x 2：a ＝2，b ＝0，c ＝0； ⑤y ＝x(x ＋1)：a ＝1，b ＝1，c ＝0；

初中数学九年级下册第26章《二次函数

新课标人教版初中数学九年级下册第26章《二次函数》精品教案 第1课时 26.1 二次函数 一、阅读教科书第4—6页上方 二、学习目标： 1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点： 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 四、基本知识练习 1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－32 x 2＋30x ；③y ＝200x 2 ＋400x ＋200．这三个式子中，虽 然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一 般地，如果y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2 ＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2 ＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3 ＋2x 2 （5）y ＝x ＋1 x 五、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)x m m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋1 2 B ． y ＝3 (x －1)2 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝1 x 2 －x 3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2 ＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 5．已知y 与x 2 成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3． 求：（1）函数y 与x 的函数关系式； （2）当x ＝4时，y 的值； （3）当y ＝－1 3 时，x 的值．

(完整版)第26章_反比例函数_全章教案

10 26．1．1 反比例函数的意义（2 课时） 一、教学目标 1．使学生理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数解析式，体会函数的模型思想 二、重点难点 重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式难点：理解反比例函数的概念 三、教学过程 （一）、创设情境、导入新课 问题：电流I、电阻R、电压U 之间满足关系式U=IR ，当U ＝220V 时，1）你能用含有R的代数式表示I 吗？ 2）利用写出的关系式完成下表： 当R 越来越大时，I 怎样变化？当R 越来越小呢？ （3）变量I 是R 的函数吗？为什么？ 概念：如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成y k（k为常数，k 0）的形x 式，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x 不能为零。 （二）、联系生活、丰富联想 1. 一个矩形的面积为20 cm2，相邻的两条边长分别为xcm 和ycm 。那么变量y 是变量x 的函数吗？为什么？ 2. 某村有耕地346.2 公顷，人数数量n 逐年发生变化，那么该村人均占

2 有耕地面积 m （公顷/人）是全村人口数 n 的函数吗？为什么？ 三）、举例应用 创新提高： 例 1 ． （补充） 下列等式中，哪些是反比例函数 1） y 3x （2） y 2 （3） xy ＝ 21 x （4）y 5 （5） y 1 3 x 2 x 例 2 ． （补 充） 当 m 取什么值时，函数 y 2 （m 2）x 3 m2是反比例函数？ （四）、随堂练习 1 ．苹果每千克 x 元，花 10 元钱可买 y 千克的苹果，则 y 与 x 之间的函数关 系式 为 2．若函数 y （3 m ）x 8m2是反比例函数，则 m 的取值是 （五）、小结：谈谈你的收获 （六）、布置作业 反比例函数概念形成的过程中，大家应充分利用已有的生活经验和背景知识， 注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深理解。 26．1．2 反比例函数的图象和性质（ 1） 教学目标

第二十六章二次函数测试题

第二十六章二次函数测试题 一、 选择题：（每题3分，共30分） 1、抛物线()322+-=x y 的顶点坐标是（ ） A （－2，3） B （2，3） C （－2，－3） D （2，－3） 2、抛物线21323 y x x =-+-与2y ax =的形状相同，而开口方向相反， 则a =（ ） A 1 3 - B 3 C 3- D 13 3．二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。 4．抛物线122+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 5．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（ ） A ．2)1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2++=x y D ．2)1(2-+=x y 班级 姓名

6．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论： ① 0a b c ++<；② 0a b c -+<；③20b a +<；④0abc >. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①② 7．直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ） A.(0，0) B.(1，－2) C.(0，－1) D.(－2，1) 8．18.已知函数y=3x 2-6x+k(k 为常数)的图象经过点A(0.85,y 1)，B(1.1,y 2),C( 2 ,y 3),则有( ) (A) y 1y 2>y 3 (C) y 3>y 1>y 2 (D) y 1>y 3>y 2 9．函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＜3 B ．k ＜3且k ≠0 C ．k ≤3 D ．k ≤3且k ≠0 10．已知反比例函数x k y = 的图象在二、四象限，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ）

第26章反比例函数教案

第二十六章 反比例函数 26.1.1反比例函数的意义 教学目标：知识目标：理解反比例函数的意义；能够根据已知条件确定反比例函数的表达式。能力目标： 培养学生探索能力和分析解决问题的能力。 情感态度：1.经历反比例函数的形成过程，使学生体验函数是描述变量间的对应关系的重要 数学模型。2.通过学习反比例函数，培养学生的合作交流意识。 教学重点：理解反比例函数的意义，确定反比例函数的表达式。 教学难点：反比例函数表达式的确定。 教学准备：多媒体课件、小黑板等。 教学过程 一、创设问题情境、导入新课 结合章前图和实际生活中旅游的实例提出问题： 合肥到北京的铁路全长约1080km,一列火车从合肥开往北京，以90km/h 的速度匀速行驶，求： （1）列车行驶的路程s 与时间t 的函数关系式， （2）列车距离北京的路程s 与行驶时间t 的函数关系式。 请学生完成，教师评析，并出示思考题（见教材P2） 下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？这些函数有什么共同特征？ （1）京沪铁路全程为1463km ，某次列车的平均速度v （单位:km ／h ）随此次列车的全程运行时间t （单位：h ）的变化而变化； （2）某住宅小区要种植一个面积为10002 m 的矩形草坪，草坪的长y （单位：m ）随宽x （单位：m ）的变化而变化； （3）已知北京市的总面积为1.68×4 10平方千米，人均占有的土地面积S （单位：平方千米／人）随全市总人口n （单位：人）的变化而变化。 学生完成，教师归纳：上述三个问题的函数表达式分别为：n S x y t v 4 1068.1,1000,1463?=== 这三个表达式有什么共同特征？你能用一个一般式来表示吗？ 二、探究新课 1、探究反比例函数的定义 让学生把这些式子与已学的正比例函数、一次函数进行比较，进而归纳反比例函数的定义：一般地，形如x k y = （k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。其中是x 自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数。 2、试试眼力 下列哪些式子表示y 是关于x 的反比例函数？每一个反比例函数中相应的k 值是多少？ . 2)8(,)7(,32 )6(,123)5(,3)4(,16)3(,5)2(,4)1(1-=-=-===+=- ==x y x y x y xy x y x y x y x y 组织学生讨论，教师进行讲解。

第二十六章二次函数全章测试

第二十六章 二次函数全章测试 一、填空题 1．抛物线y ＝－x 2＋15有最______点，其坐标是______． 2．若抛物线y ＝x 2－2x －2的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，则过A ，B 两点的直线的解析式为____________． 3．若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与抛物线y ＝x 2－4x ＋3的图象关于y 轴对称，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式为______． 4．若抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，S △ABC ＝3，则b ＝______． 5．二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象的顶点与原点的距离为5，则c ＝______． 6．二次函数222 12 --=x x y 的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°，再向左平移3个单位，向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为____________． 二、选择题 7．把二次函数2 5 3212++=x x y 的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函 数图象顶点是( ) A ．(－5，1) B ．(1，－5) C ．(－1，1) D ．(－1，3) 8．若点(2，5)，(4，5)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上，则它的对称轴是( ) A ．a b x - = B ．x ＝1 C ．x ＝2 D ．x ＝3 9．已知函数42 12 --= x x y ，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是( ) A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＞－2 D ．－2＜x ＜4 10．二次函数y ＝a (x ＋k )2＋k ，当k 取不同的实数值时，图象顶点所在的直线是( ) A ．y ＝x B ．x 轴 C ．y ＝－x D ．y 轴 11． y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，那么下面六个代数式：abc ，b 2－4ac ，a －b ＋c ， a ＋ b ＋ c ，2a －b ，9a －4b 中，值小于0的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示， 有下列结论：①abc ＞0；②a ＋b ＋c ＝2；2 1 >a ③；④b ＜1． 其中正确的结论是( ) A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④

第26章-反比例函数练习题

y 第26章反比例函数练习题 一、选择题 1、下列函数中，ｙ是x反比例函数的是（） Ａ、1 2+ =x y B、 2 2 x y=Ｃ、 x y 5 1 =D、x y= 2 2、已知圆柱侧面积是１０0πcm2，底面半径为ｒ（ｃm2），高线长为ｈ（cm),则h关于r的函数的图象大致是( ) 3、一个直角三角形的两直角边长分别为y x，,其面积为2,则y与x之间的关系用图象表示大致为(） 4、已知反比例函数)0 (< =k x k y的图像上有两点A(1x，1y）,Ｂ(2x,2y），且2 1 x x<，则 2 1 y y-的值是（） A 正数 B 负数 C 非正数 D 不能确定 ５、函数a ax y- =与 x a y=(ａ≠０）在同一直角坐标系中的图象可能是( ）. A.? B. Ｃ．? D． 6、已知反比例函数的图像经过点（a,b)，则它的图像一定也经过（ ) A (－a，－b) B （a,－b) Ｃ(－a，b）Ｄ (0，0） ７、若点(3,4）是反比例函数 x m m y 1 2 2- + =的图象上一点,则此函数图象必须经过点（）. A（2,6）B(2，－6) C（４，－３）Ｄ(３,-4) 8、在同一直角坐标平面内，如果直线x k y 1 =与双曲线 x k y2 =没有交点，那么 1 k和 2 k的关系一定是( ） Ａ、 1 k＜０, 2 k＞０?B、 1 k＞０, 2 k<0 C、 1 k, 2 k同号?Ｄ、 1 k, 2 k异号 9、如右图，直线l和双曲线)0 (> =k x k y交于Ａ、B两点,P是线段AＢ上的点（不与A、 B重合),过点Ａ、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、ＯB、OP, 设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、△POE面积是S3、则( ) A． S1＜S２<Ｓ３ B. S1>Ｓ2＞S3Ｃ． S１=S2>Ｓ3Ｄ. S１=S2

人教版数学九下《第26章二次函数》word小结与复习

第26章 《二次函数》小结与复习（1） 教学目标： 理解二次函数的概念，掌握二次函数y ＝ax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y ＝ax2经过适当平移得到y ＝a(x －h)2＋k 的图象。 重点难点： 1．重点：用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数y ＝ax2图象的性质。 2．难点：二次函数图象的平移。 教学过程： 一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点 1．二次函数的概念，二次函数y ＝ax 2 (a ≠0)的图象性质。 例：已知函数4m m 2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小? 学生活动：学生四人一组进行讨论，并回顾例题所涉及的知识点，让学生代表发言分析解题方法，以及涉及的知识点。 教师精析点评，二次函数的一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)。强调a ≠0．而常数b 、c 可以为0，当b ，c 同时为0时，抛物线为y ＝ax 2(a ≠0)。此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y 轴，即直线x ＝0。 (1)使4m m 2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数，则m 2＋m －4＝2，且m ＋2≠0，即： m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得；m ＝2或m ＝－3，m ≠－2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m ＋2＞0， (3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m ＋2＜0。 抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。 强化练习；已知函数m m 2x )1m (y ++=是二次函数，其图象开口方向向下，则m ＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y 随x 的增大而增大，当x_____0时，y 随x 的增大而减小。 2。用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律，例：用配方法求出抛物线y ＝－3x 2－6x ＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y ＝－3x 2。 学生活动：小组讨论配方方法，确定抛物线画法的步骤，探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。 教师归纳点评： (1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义，指出抛物线的一般式与顶点 式的互化关系： y ＝ax 2＋bx ＋c ————→y ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a (2)强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。 (3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动，分析完例题后归纳； 投影展示： 强化练习： (1)抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线y ＝x 2－2x ＋1，求：b 与c 的值。

第26章 二次函数单元测试卷(含答案)

第二十六章 二次函数单元测试卷 班级 姓名 座号 成绩 一、选择题(每题5分,共30 分) 1.下列各式中,y 是x 的二次函数的是( B ) A.2 1xy x += B.220x y -+= C.21y x = D.243y x -= 2.抛物线2 2(3)4y x =-+-的顶点坐标是( A ) A.(-3, -4) B.(-3, 4) C.(3, -4) D.(-4, 3) 3.把二次函数23y x =的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数表达式是( D ) A.23(2)1y x =-+ B.23(2)1y x =+- C.23(2)1y x =-- D.23(2)1y x =++ 4.二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论 ①0a >,②0c >,③240b ac ->,其中正确的有( C ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.根据下列表格中的二次函数2(0,)y ax bx c a a b c =++≠、、为常数的自变量x 与函数y 的2C.1.44＜x ＜1.45 D.1.45＜x ＜1.46 6.在同一直角坐标系中,一次函数y ax c =+和二次函数2y ax c =+的图象大致为( B ) 二、填空题(每题5分,共30分) 7.抛物线2245=++y x x 的对称轴是直线1x =-. 8.把二次函数247y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式是 2(2)3y x =-+. 9.抛物线294y x px =-+与x 轴只有一个公共点,则p 的值是12 ±. 10.汽车刹车后行驶的距离s (单位:m )与行驶的时间t (单位:s )的函数关系式是 2124s t t =-,汽车刹车后到停下来前进了9 m . 11.已知二次函数23(1)y x k =-+的图象上有三点1)A y ,2(2,)B y ,3()C y ,则1y 、 2y 、3y 的大小关系为 >> 321y y y . 12.二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A B 、两点,P 为它的顶点,则PAB S ?= 8 . A B D

人教版第二十六章二次函数单元测试卷(附参考答案)

第26章 二次函数 单元测试卷 一、选择题： 1、二次函数y=x 2-(12-k)x+12,当x>1时，y 随着x 的增大而增大，当x<1时，y 随着x 的增大而减小，则k 的值应取（ ） （A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）9 2、下列四个函数中，y 的值随着x 值的增大而减小的是（ ） （A ）x y 2=;（B ）()01>=x x y ;（C ）1+=x y ;（D ）()02>=x x y 3、已知二次函数y=ax 2+bx 的图象经过点A （-1，1），则ab 有 ( ) （A ）最小值0; （B ）最大值 1; （C ）最大值2; （D ）有最小值41- 4、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则（ ） （A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c; （C ）bc+1=a; （D ）以上都不是 5、若二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点在第一象限，且经过点（0， 1），（-1，0）， 则S=a+b+c 的变化范围是 ( ) （A ）01; (C) 10,b<0时,它的图象经过( ) A.一、二、三象限 ; B.一、二、四象限;C ．一、三、四象限; D.一、二、三、四象限. 9、若00, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax 2+bx+ c 的是（ ）

第26章二次函数练习题(一)

第26章二次函数练习题（一） 一、选择题 1、抛物线y=12x 2 向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A. y=12(x+8)2-9 B. y=12(x-8)2+9 C. y=12(x-8)2-9 D. y=12 (x+8)2 +9 2、 在平面直角坐标系中，将二次函数2 2x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（ ） A ．222 -=x y B ．222 +=x y C ．2 )2(2-=x y D ．2 )2(2+=x y 3、抛物线3)2(2 +-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 4、 如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度大小不变，则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为（ ） 5、 二次函数2 (1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ． 23 6、 抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ， B ．()m n -， C ．()m n -， D ．()m n --， 7、根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴 【 】 A ．只有一个交点 B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D ．无交点 8、 二次函数2 365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-， B ．(18)， C ．(12)-， D ．(14)-， 9、函数y =ax ＋1与y =ax 2 ＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） 10、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2 -x-2 B 、y=121212++- x C 、y=12 1 212+--x x D 、y=22++-x x 11、已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中准确的个数（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ） A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 13、已知抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴有两个不同的交点，则关于x 的一元二次方程ax 2 +bx+c=0根的情况是 ( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．由b 2 -4ac 的值确定 14、已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0. ②该函数的图象关于直线1x =对称.③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中准确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 15.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．22y x =- B ．2 2y x = C ．2 1 2 y x =- D ．212y x = 16、已知二次函数2 y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论： 20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中准确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 B ． C ． D ． 1 1 1 1 x o y y o x y o x x o y

第二十六章 二次函数

二次函数同步训练 1．1 二次函数 一、知识点： 一般地，形如____________________ ________的函数，叫做二次函数。其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 二、基本知识练习 1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3 2 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一 项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数． 3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝x (x －5)＋2 （3）y ＝3x 3＋2x 2 （4）y ＝x ＋1 x 三、综合训练 1．y ＝(m ＋1)x m m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________． 2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋1 2 B ． y ＝3 (x －1)2 C ．y ＝(x ＋1)2－x 2 D ．y ＝1 x 2 －x 3．若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（ ） A ．a ＝1 B ．a ＝±1 C ．a ≠1 D ．a ≠－1 4．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 5．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 6．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．

2013新人教版九下第26章《二次函数》word期末复习测试

一、选择题 1．抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是直线（ ） A ．2-=x B ．2=x C ．3=x D ．3-=x 2 ） A ．开口向下，顶点坐标 B ．开口向上，顶点坐标 C ．开口向下，顶点坐标 D ．开口向上，顶点坐标 3．二次函数222+-=x x y 与坐标轴的交点个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4．将抛物线22y x =的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为( ) A ．22(1)y x =+ B ．22(1)y x =- C ．221y x =+ D ．221y x =- 5．已知：抛物线的顶点在x 轴上，则 b 的值一定是（ ） A 1 B 2 C －2 D 2或－2 6.如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知 不等式20ax bx c ++<的解集是 A ．15x -<< B ．5x > C ．15x x <->且 D ．15x x <->或 7．下列各图中有可能是函数y =ax 2+c ） 8．若二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是(53)，(53)，(53)-，(53)-， y x

（ ） A ．m =l B ．m >l C ．m ≥l D ．m ≤l 9．将抛物线y ＝2x 2－12x ＋16绕它的顶点旋转180°，所得的解析式是( ) A. y ＝－2x 2－12x ＋16 B. y ＝－2x 2＋12x －16 C. y ＝－2x 2＋12x －19 D. y ＝－2x 2＋12x －20 10．抛物线y =ax 2+bx +c 的图角如图，则下列结论：①abc >0；②a +b +c =2；③a ④b <1．其中正确的结论是（ ） （A ）①② （B ）②④ （C ）②③ （D ）③④ 二、填空题 11．已知函数()x x m y m 3112+-=+，当=m 时，它是二次函数. 12．二次函数错误！未找到引用源。的图象与错误！未找到引用源。轴交点的坐标是__________________ 135个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为 ． 14．若抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则抛物线的函数关系式为 ． 15．二次函数y ＝x 2－6x ＋c 的图象的顶点与原点的距离为5，则c ＝______． 16．如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：米） 与小球运动时间t （单位：秒）的函数关系式是29.8 4.9h t t =-，那么小球运动中的最大高度h =最大 ． 17．抛物线y ＝x 2－x －2与坐标轴交点为点A 、B 、C ，则三角形ABC 的面积为 ▲ ． 18．某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数关 系式是y =60x ﹣1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行 m 才能停下来．

第二十六章 二次函数(知识点复习)

第二十六章 二次函数 一、知识点盘点 1、二次函数的图象和性质 解析式 顶点坐标 对称轴 图象 y ＝ax 2(a ≠0) y ＝ax 2＋k(a ≠0) y ＝a(x －h)2(a ≠0) y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0) 2、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的系数与图象的关系 （1）a 决定抛物线的开口方向、大小及最大值或最小值。 a ＞0 开口向 有最 值；a ＜0 开口向 有最 值。 ︱a ︱越大，开口越 ；︱a ︱越小，开口越 。 （2）a 、 b 决定抛物线的对称轴和顶点位置。 b ＝0 对称轴是 ，顶点在 ；a 、b 同号 对称轴在y 轴的 侧， a 、b 异号 对称轴在y 轴的 侧； （3） c 的符号决定抛物线与y 轴的交点位置。 x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O x y O

（0，c ）是抛物线与y 轴的交点坐标。当c ＝0 抛物线过 ；c ＞0 抛物线交y 轴 ；c ＜0 抛物线交y 轴 。 （4）b 2－4ac 的符号决定抛物线与x 轴公共点的个数 b 2－4a c ＞0 抛物线与x 轴有 个公共点；b 2－4ac ＝0 抛物线与x 轴有 个公共点；b 2－4ac ＜0 抛物线与x 轴有 个公共点。 （5）抛物线的特殊位置与系数的关系 顶点在x 轴上 b 2－4ac 0；顶点在y 轴上 b 0； 顶点在原点 ；抛物线经过原点 。 3、二次函数关系式的形式及对称轴、顶点坐标 （1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，其对称轴为直线x ＝－ b 2a ，顶点坐标 为（－ b 2a ，4ac －b 2 4a ）. （2）顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)，其对称轴为直线x ＝h ，顶点坐标为（h,k ）。 （3）交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0 )，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴两个交点的横坐标，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根。 4、抛物线的平移规律 将抛物线y ＝ax 2(a ≠0)沿y 轴向上（ ）或向下（ ）平移︱k ︱个单位长度，即可得到抛物线y ＝ax 2＋k(a ≠0)；将抛物线y ＝ax 2(a ≠0)沿x 轴向左（ ）或向右（ ）平移︱h ︱个单位长度，即可得到抛物线y ＝a(x －h)2(a ≠0)；将抛物线 y ＝ax 2(a ≠0)沿x 轴向左（ ）或向右（ ）平移︱h ︱个单位长度，即可得到抛物线 ，然后再将得到的抛物线沿y 轴向上（ ）或向下 （ ）平移︱k ︱个单位长度，即可得到抛物线y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)。 5、二次函数最值的求法 （1）配方法：将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)用配方法化为y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)的形式，顶点坐标为（h,k ），对称轴为直线x ＝h,当a ＞0时，y 有最小值，即当x ＝h 时，y 最小值＝k ；当a ＜0时,y 有最大值，即当x ＝h 时，y 最大值＝k 。 （2）公式法：直接利用顶点坐标公式。 当a ＞0时，y 有最 值，即当x ＝－ b 2a 时，y 最小值＝4ac －b 2 4a ；当a ＜0时，y 有最 值，即当x ＝－ b 2a 时，y 最大值＝4ac －b 2 4a 。 6、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的关系 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴有两个公共点(x 1,0)、(x 2,0) 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个不相等的实数根x ＝x 1，x ＝x 2 b 2－4ac ＞0； 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴有唯一公共点(x 1,0) 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个相等的实数根x ＝x 1＝x 2 b 2－4ac ＝0； 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴没有公共点 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）没有实数根 b 2－4ac ＜0。 二、知识点达标练习 1、下列函数中，是二次函数关系的是（ ） A 、y ＝x ＋1x B 、y ＝x 3 x C 、y ＝（3x －1）2－9x 2 D 、y ＝（x ＋2）2－4x 2、已知四个函数（1）y ＝－4x ；（2）y ＝12 x －3；（3）y ＝10 x （x ＜0）；（4）y ＝－x 2(x ＞0)。