流体力学引论

流体力学引论

2008/2－2008/6讲义

周铁

目录

第一章流体力学的基本概念 (4)

1.1 流体的连续介质模型 (4)

1.2 作用于流体上的力 (4)

1.2.1 质量力 (5)

1.2.2 表面力和应力 (5)

1.2.3 理想流体和静止流体的应力张量 (9)

1.3 流体的粘性和压缩性 (10)

第二章流体运动学 (14)

2.1描述流体运动的两种方法 (14)

2.1.1 Euler描述法 (14)

2.1.2 Lagrange描述法 (14)

2.1.3 两种描述的转换 (15)

2.2流场的几何描述 (17)

2.2.1 迹线 (17)

2.2.2 流线、流面和流管 (18)

2.2.3 脉线 (21)

2.2.4 流体线、流体面及其保持性 (22)

2.3质点加速度公式与质点导数 (23)

2.3.1 流体质点的加速度公式 (23)

2.3.2 质点导数 (24)

2.4 Helmholtz速度分解定理与流体本构方程 (25)

2.5 有旋运动与无旋运动 (29)

2.5.1 涡旋及相关概念 (29)

2.5.2 无旋流动 (31)

第三章流体动力学基本方程组 (33)

3.1建立流体动力学方程的方法 (33)

3.1.1 基本的物理定律 (33)

3.1.2 质量体与控制体 (33)

3.1.3 Reynolds输运定理 (34)

3.2流体动力学的积分方程 (35)

3.2.1 质量体上的方程 (35)

3.2.2 控制体上的方程 (36)

3.2流体动力学的微分方程 (37)

3.3热力学状态方程 (44)

第四章理想流体动力学 (47)

4.1 Euler方程 (47)

4.2初边值条件 (52)

4.2.1初始条件 (52)

4.2.2物理边界条件 (52)

4.3 Bernoulli方程 (54)

4.4 理想流体的旋涡运动 (56)

4.4.1 Kelvin速度环量定理 (56)

4.4.2 Lagrange定理 (57)

4.4.3 涡量满足的方程 (58)

4.4.4 涡线与涡管强度保持定理 (58)

4.4.5 旋涡的形成 (60)

4.4.6 由涡量场和散度场确定速度场 (61)

4.5 理想不可压无旋流动 (65)

4.5.1 速度势 (65)

4.5.2 三维点源、偶极子、圆球绕流 (68)

4.5.3 平面流动、流函数、复位势和复速度 (70)

4.5.4 轴对称流动 (79)

第五章粘性不可压流体动力学 (82)

5.1 不可压Navier-Stokes方程 (82)

5.2 粘性不可压流体的涡量与流函数 (84)

5.2.1 三维涡量方程 (84)

5.2.2 平面流动的流函数－涡量方程 (85)

5.3 无量纲化的不可压Navier-Stokes方程 (86)

5.4 N-S方程的几个分析解 (88)

5.5 层流和湍流 (93)

5.6 小雷诺数运动 (93)

5.6.1 Stokes方程 (93)

5.6.3 小雷诺数圆球绕流 (94)

5.7 层流边界层理论 (97)

5.7.1 边界层的概念 (98)

5.7.2 Prandtl边界层方程 (99)

5.7.3 边界层分离 (102)

5.8 湍流引论 (104)

5.8.1 Reynolds平均法则 (105)

5.8.2 湍流运动的Reynolds方程组 (106)

5.8.3 湍流运动的半经验理论 (108)

第六章气体动力学 (110)

6.1 基本方程 (110)

6.2 声速和Mach数 (115)

6.3 定常平面流动和流函数 (118)

6.4 有限振幅波的传播 (121)

6.5 正激波关系式和熵条件 (129)

参考书目 (135)

复习提纲 (136)

一、概念 (136)

二、方程 (136)

第一章 流体力学的基本概念

1.1 流体的连续介质模型

流体由分子组成，分子做随机热运动，并相互频繁碰撞，分子之间有比分子尺度大得多的间距。从微观来看, 流体是由大量分子组成的离散体, 其物理量的分布在空间和时间上都是不连续的。

但是, 在流体力学中, 我们所研究问题的特征尺度往往远大于分子平均自由程, 我们感兴趣的是流体的宏观性质, 即大量分子的统计平均性质.。这样就有理由不以个别分子作为研究对象，而是采用连续介质模型(continuum model )。连续介质模型的要点是：流体是由连续分布的流体质点组成的，每一个流体质点在任意时刻都有确定的宏观物理量（密度、速度、温度、压力等），这些物理量都可以表示为空间位置坐标和时间的分片光滑函数，因此可以根据物理学基本定律用微积分的方法建立流体运动满足的微分方程或积分方程。微元法是常用的分析方法。连续介质模型是出自数学处理的需要，有其适用范围。

作为例子，我们看看在连续介质模型中宏观物理量密度(density)ρ是如何定义的。 在流体中任取一点P ，围绕P 点作体积微元τΔ，记τΔ中的流体质量为m Δ。作比值/m τΔΔ，并令τΔ向P 点收缩。如果极限

0lim

m

ττΔ→ΔΔ (1.1)

存在，则称

0lim

m dm

d τρττ

Δ→Δ==Δ (1.2)

为流体在P 点的密度。一般来说，ρ是空间位置坐标T

(,,)x y z =x 和时间t 的函数

(,)(,,,)t x y z t ρρρ==x (1.3)

其单位在国际单位制(SI 制)中是3

kg/m 。

由(1.2)可推出，流体微元τΔ的质量与有限体τ的质量分别为 ,

.dm d m d τ

ρτρτ==∫ (1.4)

1.2 作用于流体上的力

在流体中取一个以封闭曲面S 为边界的体积τ，则作用于由τ代表的这部分流体上的外

力可分为两类，质量力（body force, 又称体积力）与表面力(surface force)。在SI 制中力的

单位是N （Newton ，牛顿），2

1N=1kg m/s ?。

1.2.1 质量力

质量力是作用在τ内每个流体质点上的外力，例如重力，惯性力，电磁力等。质量力用其在空间中的分布密度来表示。对τ内任一点M ，作一个包含它的流体微团，记其体积为

τΔ，质量为m Δ，作用于其质心处的质量力为Δf ，作比值/m ΔΔf ，并令流体微团向M

点收缩，如果极限

0lim

m m

Δ→ΔΔf

(1.5)

存在，则

01lim

m d d m dm d ρτ

Δ→Δ===Δf f f

F (1.6)

代表在点M 处单位质量流体所受到的质量力。F 一般是空间位置坐标T

(,,)x y z =x 和时间t 的函数，(,)t =F F x 称为质量力的空间分布密度，又称为质量力强度。 由(1.6)可推出，作用在流体微团d τ上的质量力为

d d ρτ=f F (1.7)

而作用在有限体积τ内的流体上的质量力为

d τ

ρτ∫F (1.8) 由此看出，质量力和体积成正比。

1.2.2 表面力和应力

表面力是与流体表面S 接触的其他流体或固体作用于曲面S 上的力，例如压力，摩擦

力等。表面力用其在表面上的分布密度来表示。对S 上的任一点M ，作一个包含M 且属于S 的面积微元S Δ。设S Δ的单位外法方向为n ，n 所指向的物体作用在S Δ面上的表面力为ΔP 。作比值/S ΔΔP ，令S Δ向P 收缩，若极限

0lim

S S Δ→ΔΔP

(1.9)

存在，则矢量

0lim

S d S dS

Δ→Δ==Δn P P

p (1.10)

就代表M 点处以n 为法向的单位面积上所受的表面力，称为表面力在S 上的分布密度，更

常用的术语为应力（stress ）。在国际单位制中，应力的单位是Pa （Pascal ，帕斯卡）

，21Pa=1N/m 。请注意，一般应力矢量n p 不仅是x 和t 的函数，还与表面的法方向n 有关，

而且由于粘性的作用，n p 的方向并不与n 一致。应力矢量n p 在法向和切平面都有分量。在法向的分量称为法向应力（正应力，normal stress ）；在切平面上的分量（两个）称为切向应力（剪应力，shear stress ）。

由(1.10)可知，作用在面积微元dS 上的表面力为

d dS =n P p (1.11)

作用在整个表面S 上的表面力为 S

dS ∫n p . (1.12)

过流体中任一点M 可以作无数个不同方向的表面，作用在它们上的表面力一般是不同的。因此要描写M 点的应力就要知道所有过M 的表面上所受的应力。在一个直角坐标系

{,,,}O x y z 中，n p 是矢径T (,,)x y z =r 和表面法向n 的函数。但是，过M 点的不同表面上

所受的应力并不是不相关的。事实上，只要知道三个坐标面上的应力，则任意方向的应力就确定了。即，流体中任一点的应力状况由三个矢量或九个标量完全决定。下面证明这一事实。

先介绍一些符号和名词： 9 关于表面的方向：若S 为封闭曲面，则取外法向n 为S 正向；若S 为非封闭曲面，则

规定其一边为正。 9 记正向所指那一边的流体作用在dS 上的应力为n p ，负向所指那一边的流体作用在dS 上的应力为?n p ，则有?=?n n p p ，因为它们是作用力和反作用力的关系。

9 记应力矢量n p 在三个坐标轴上的投影为：,,,nx ny nz p p p 。这样应力的分量具有两个下

标，第一个表示作用面的方向，第二个表示应力的投影方向。

9 记x 轴正方向上的应力矢量为x p ，x 轴负方向上的应力矢量为x ?p 。类似地有

,,,y y z z ??p p p p 。

9 以M 为顶点作一个微元直角四面体MABC ，MA 与x 轴平行且MA ＝x Δ，MB 与y 轴

平行且MB ＝y Δ，MC 与z 轴平行且MC ＝z Δ。设△ABC 的面积为S Δ，单位法向矢量为n ：

cos(,)cos(,)cos(,)n x n y n z =++n i j k (1.13)

或简写为

x y z n n n =++n i j k (1.14)

△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积分别用x S Δ，y S Δ，z S Δ表示，有

,,x x y y z z S n S S n S S n S Δ=ΔΔ=ΔΔ=Δ (1.15)

四面体MABC 的体积为

1

3

S h τΔ=Δ? (1.16)

其中h 为M 到△ABC 的距离。当四面体MABC 保持形状相似地向M 点收缩（即

,,x y z ΔΔΔ趋于0）时，h 为一阶无穷小量，S Δ为二阶无穷小量，τΔ为三阶无穷小量。

现在考虑微元四面体MABC 的力学平衡关系式。设作用于此四面体的质量力强度为F ，根据Newton 第二定律，有

x x y y z z d d S S S S ρτρτ???=+Δ+Δ+Δ+Δn a F p p p p (1.17)

其中a 为加速度。将等式两端同除S Δ，并注意 0lim 0,,,y x z x y z S S S S n n n S S S S

τ

Δ→ΔΔΔΔ====ΔΔΔΔ (1.18) 故有

0x x y y z z n n n ???+++=n p p p p (1.19)

利用前面的记号，有

x x y y z z n n n =++n p p p p (1.20)

此式说明过一点的任意面上的应力由通过该点三个相互垂直面上的应力所确定。即，只要知道一点的三个互相垂直的应力，该点任意应力就可以用此式计算出来。因此称(,,)x y z p p p 为该点的应力状态。

在直角坐标系{,,,}O x y z 中应力状态可表为

x xx xy xz y yx yy yz z zx zy zz p p p p p p p p p =++=++=++p i j k

p i j k p i j k

(1.21) 于是一点的应力状态还可以用三阶方阵

P xx

xy xz yx

yy yz zx

zy

zz p p p p p p p p p ????

=??????

(1.22) 来表示。(1.20)式的分量形式为

nx x xx y yx z zx

ny x xy y yy z zy nx x xz y yz z zz

p n p n p n p p n p n p n p p n p n p n p =++=++=++ (1.23) 用矩阵形式表示为

T (,,)(,,),P xx

xy

xz nx ny nz x y z yx

yy

yz zx

zy zz p p p p p p n n n p p p p p p ??

?

?

==???????

n p n (1.24) 三阶方阵P 是一个二阶张量，称为应力张量（stress tensor ）

。应力张量与方向n 无关，它只是空间位置和时间的函数P=P(,)t x ，它完全表达了给定点在给定时刻的应力状态。与矢量相同，应力张量各分量与坐标系的选择有关，但应力张量本身不依赖与坐标系的选取。

下面进一步证明应力张量还是对称张量，即T

P =P 。

证明的出发点是动量矩原理：有限质量体的动量矩增长率等于作用在该质量体上的外力矩之和。为表达方便，记123,,x x x y x z ===，123,,x y z ===p p p p p p 。

在流体中任取有限体τ，作用在其表面S 的外力矩为

()S i i i

S

S

dS n dS =×=×∑∫∫∫∫n L r p r p

其中1,2,3i =。作用在τ上的质量力矩为

()d ττ

ρτ=×∫∫∫L r F 。

有限体的动量矩用K 表示，其增长率为

()d d dt τ

ρτ=×∫∫∫K

r a 。

根据动量矩原理 S d dt

τ=+K

L L

即

()()()i i

i

S

d n dS d ττ

ρτρτ×=×+×∑∫∫∫∫∫∫∫∫r a r p r F (1.25) 利用Gauss 公式 ()()i i i i

i

i

S

n dS d x τ

τ?

×=×?∑∑

∫∫∫∫∫r p r p 以及

(),,

i i i i i i i i i

x x x x y z x ???×=×+×???=++=∑p r

r p p r r i j k e

代入(1.25)，并使用“约定求和记号”得

()0i

i i i

d x τ

ρρτ?×+×

+×?×=?∫∫∫p e p r r F r a 。 对此式使用积分中值定理，消去公因子τ，再令0τ→，注意同时||0→r ，于是有

i i ×=e p 0。 (1.26)

利用(1.21)，又有

i i ij i j p ×=×e p e e 。

再由i j j i k ×=?×=e e e e e ，就可推出ij ji p p =。这就证明了应力张量的对称性。

1.2.3 理想流体和静止流体的应力张量

一般来说运动流体的应力张量有六个分量。一种最简单的流体模型称为理想流体，其中任意一点的应力张量是各向同性张量，即

0P 00I 00p p p p ?????

=?=????????

(1.27)

其中p 是一个大于零的标量，负号表示应力作用方向与作用面的外法方向相反，I 为三阶单位阵。任取一个方向n ，由(1.24)式，

p =?n p n (1.28)

这说明理想流体中每一点处任意面上只有法向应力（正应力），而且同一点各不同方向上的法向应力大小都是相等的。p 称为理想流体的压强（pressure ），它是空间位置与时间的函数

(,)p p t =x

在理想流体中只用一个标量函数就完全刻画了任一点的应力状态。理想流体的另一个定义是无粘性的流体，它对切向变形无任何抵抗能力。

再考虑静止流体，此时流体可以是理想的（无粘的），也可以是粘性的。根据流体的易流动性，流体在静止时不能承受切向应力，因此只要是静止流体，在其中任一点处其任一面上的切向应力必为零，即。由(1.23)式，对于任意方向(,,)x y z n n n =n ，有

, , . nx x xx ny y yy nz z zz p n p p n p p n p ===

并存在标量nn p ，使得nn p =n p n ，即

, , . nx nn x ny nn y nz nn z p p n p p n p p n ===

由,,x y z n n n 的任意性可得

.xx yy zz nn p p p p ===

所以，与理想流体一样，静止流体的应力张量也可写成P=-I p 。此时p 的物理意义是静力学压强又称为热力学压强，它刻画了静止流体中每一点的应力状态。

1.3 流体的粘性和压缩性

流体与固体的根本区别是流体具有易流动性。静止固体在剪切力作用下发生剪切变形后可以达到新的静平衡状态。静止流体不能承受剪切力，任易小的剪切力都能驱动流体使之持续地流动，也就是说，静止流体中的应力只有压强。当流体运动时，流体微团表面除了压强外还有剪应力。流体流动时，微团之间具有抵抗相互滑移运动的性质，这种性质称为流体的粘性（Viscosity ）。

比较常见的流体，如空气或水，它们的粘性具有以下性质：

在厚度为dy 的薄层流体运动中，如果上下速度差为du ，则作用在流体薄层面上的剪应力与du 成正比，与薄层厚度dy 成反比，即

xy du

p dy

∝

。 (1.29) 这一规律称为牛顿粘性定律，满足这一关系的流体称为牛顿流体。式(1.29)可进一步写为

xy du

p dy

μ

= (1.30) μ是流体的一个物理常数，称为动力学粘性系数(dynamic (absolute) viscosity coefficient)简称

粘性系数，在SI 制中其单位是帕秒（Pa s ?）或2

N s/m ?。还有另一个常用的粘性系数ν，它等于动力学粘性系数除以密度

μ

νρ

=

(1.31) ν称为运动学粘性系数（kinematics viscosity coefficient ），在SI 制中其单位是2

m /s 。

粘性是流体的物理特性，它表示流体各部分之间动量传递的难易程度即流体抵抗剪切变形的能力。根据是否考虑粘性，把流体分为两类：理想流体和粘性流体。根据牛顿粘性定律，粘性应力的大小不仅与粘性系数有关，还与流场的速度梯度有关。即使粘性系数较大，可流场的速度梯度很小，剪应力仍不大，就可以按无粘流动来处理。相反，即使粘性系数小但速度梯度大也得按粘性流动处理。速率U 和问题的尺度L 有关。粘性作用的大小可以用

雷诺

x u

u=0 ⊿y

数（Reynolds number ）Re 定量地表示

Re UL

UL ρ

ν

μ

=

=

(1.32)

雷诺数是一个无量纲数。当Re 1 时，可以忽略粘性作用，认为流体是理想流体。 由于压强变化而引起流体密度的变化称为流体的压缩性。气体和液体的压缩性有明显区别。气体的密度随压强增高而增大，随温度升高而减小，具有明显的可压缩性。气体密度与压强、温度的关系用热力学状态方程表示：

(,)p p T ρ= (1.33)

在大部分情形下液体的密度不随压强变化，但随着温度的增加而稍有减小：

00[1()]T T ρρβ=?? (1.34)

其中β称为膨胀系数，它表示单位温升液体密度的相对变化率。

按运动中流体密度的相对变化率的大小可把流动分为可压缩流和不可压缩流两类。如果不计温度的效应，压强的变化引起流体体积和密度的变化常用体积弹性模量K 来度量

/dp

K d ττ

=?

(1.35) 即压强的变化与体积相对变化之比，其中负号表示压强增大体积减小。取流体中一个体积为

τ的质点团，它在运动中质量是不变的，即ρτ=常数，取微分得

d d τ

ρ

τ

ρ

?

=

代入(1.35)式可得

/dp

K d ρρ

=

(1.36)

体积模量的单位与压强相同，在SI 制中为Pa 或2

N/m 。水的体积模量约为9

2

210N/m ×，空气的约为5

2

1.410N/m ×。体积模量越大说明流体越不易被压缩。

由于流体的可压缩性决定流体内部声音的传播速度，故也常用声速来表示流体的可压缩性。声速a 的定义为

a =

= (1.37)

气体一般视作可压缩的，但当气体流动速度远小于当地声速时，气体的密度变化很小，因此这种低速气体流动可以作为不可压流动处理。即气体的压缩性可以用其流速与当地声速之比来衡量，这个比值称为马赫数（Mach number ）

U

Ma a

=

(1.38)

Ma<的气体可以当作不可压缩流体。马赫数是一个无量纲数。一般认为0.3

第二章 流体运动学

2.1描述流体运动的两种方法

第一种方法是Euler 方法，第二种是Lagrange 方法。

2.1.1 Euler 描述法

Euler 描述法又称当地法，它着眼于空间的每个点。它在给定的时空坐标系中考察流体各物理量的分布。在Euler 描述法中时空坐标是自变量，称为Euler 变量，空间坐标称为Euler 坐标，其他物理量都是Euler 变量的函数。

在Euler 描述法中最重要的流体物理量是速度V 和压强p 。在直角坐标系{,,,}O x y z 中，在时刻t 它们可表为

(,)(,,,),(,)(,,,).

t x y z t p p t p x y z t ====V V x V x (2.1)

除了个别的线或面之外，总假设这些函数是光滑的。当,,x y z 固定t 变化时，它们表示在空间某点处速度和压力的时间变化规律；当t 固定,,x y z 变化时，它们表示速度和压力在空间的分布，称为速度场和压力场。用Euler 观点描述流体运动时，场论的知识是常用的数学工具。

均匀场：场函数不依赖于空间变量x 。 定常场：场函数不依赖于时间变量t 。 在Euler 描述法中经常考察空间的面（控制面）或空间的体（控制体）。这样做是非常有意义的，例如要求流体流过物体表面时的作用力，只要分析物体表面的速度分布和压强分布就够了，不必了解表面以外区域的每个流体质点的运动过程。

2.1.2 Lagrange 描述法

Lagrange 法又称随体法。它着眼于流体质点，跟随流体质点一起运动，记录流体质点在运动过程中各物理量随空间位置和时间的变化规律。通常取初始时刻某流体质点的空间坐标

(,,)a b c A 作为该质点的标记，,,a b c 称为Lagrange 坐标或随体坐标，,,,a b c t 称为

Lagrange 变量。一个流体质点，不管它什么时候运动到哪里，其Lagrange 坐标是不改变的。流体质点的其他物理量，如位置x ，速度V ，压强p 等都是Lagrange 变量的函数，如：

(,)(,,,),

(,)(,,,),(,)(,,,),

t a b c t t a b c t p p t p a b c t ======x x A x V V A V A (2.2) 其中位置函数(,)t =x x A 就是该流体质点的运动轨迹方程，它满足：

1) 在初始时刻，(,0)=x A A 。

2) 对固定的t ，x 与A 的函数关系是一一对应。 而这个质点的速度就是其位置的时间变化率

(,,,)

(,,,)a b c t a b c t t

?=

?x V (2.3)

加速度就是速度的时间变化率 22

(,,,)(,,,)

(,,,)a b c t a b c t a b c t t t

??==??V x a (2.4)

2.1.3 两种描述的转换

用Lagrange 方法和Euler 方法描述同一物理量时，二者必然有一定的关系。设表达式

(,,,)f a b c t 表示流体质点在t 时刻的某物理量，表达式(,,,)g x y z t 表示空间点(,,)x y z 处在t 时刻的同一物理量。如果流体质点(,,)a b c 恰好在t 时刻运动到空间点(,,)x y z 处，即

(,,,),

(,,,),

(,,,),

(,,,)(,,,)

x x a b c t y y a b c t z z a b c t g x y z t f a b c t ==== (2.5)

将(2.5)的前三式代入第四式，有

(,,,)((,,,),(,,,),(,,,),)f a b c t g x a b c t y a b c t z a b c t t = (2.6)

当Jacobi 行列式

(,,)

0(,,)

x y z a b c ?≠? (2.7)

时，,,a b c 又可写成,,x y z 的函数，于是有

(,,,)((,,,),(,,,),(,,,),)g x y z t f a x y z t b x y z t c x y z t t = (2.8)

例如，如果已知Lagrange 描述下的位移函数(,)t =x x A 以及每个质点的运动速度为

(,)

(,)t t t

?==

?x A V V A 则

((,),)t t =V V A x

就是速度场的Euler 表达式。

例：给定Lagrange 坐标下位移表达式：

2,,t t t k

k k

x ae

y be z ce ?

===

其中k 为常数。求Euler 速度场。 解：先求速度的Lagrange 坐标表达式

22,,t t t

k k k x a y b z c u e v e w e t k t k t k

????==?====???

再将位移函数的反函数

2,t

t t k

k

k

a xe

b ye

c ze ?

?

===

代入速度表达式，得速度场Euler 表达式为

211,,u x v y w z k k k

=?

== 如果已知Euler 速度场(,)E t =V V x ，要求Lagrange 坐标下的位移函数，需求解一阶ODE 组初值问题

(,)

(0)E d t dt

==x

V x x A

(2.9) 得到质点位移表达式(,)t =x x A 。

例：给定Euler 坐标下速度场表达式：,u x t v y t =+=+，试求在0t =时刻位于(,)a b 点的流体质点的运动轨迹。 解：解ODE 组

,,dx

x t dt

dy

y t dt

=+=+

得

1211

t t

x c e t y c e t =??=??

再根据初始条件(0),(0)x a y b ==可确定121,1c a c b =+=+。所以流体质点轨迹方程为

(1)1(1)1

t t

x a e t y b e t =+??=+??

练习1：已知Lagrange 坐标下的速度表达式为

(1)1(1)1

t t

u a e v b e =+?=+?

式中,a b 为0t =时流体质点所在位置的坐标。试求：

(1) 2t =时刻流体质点的分布规律； (2) 1,2a b ==时这个质点的运动规律； (3) 流体质点的加速度；

(4) Euler 坐标下的速度与加速度。

2.2流场的几何描述 2.2.1 迹线

流体质点在空间中的运动轨迹称为迹线（pathline ）。迹线是Lagrange 观点下的概念。在Lagrange 坐标下，固定位置函数(,)t =x x A 中的A ，即选定一个流体质点，就得到该流体质点的迹线的参数方程。迹线是流场中实际存在的线。对某个做了标记的流体质点录像，就可记录到迹线。喷气式飞机在天空中画出的线就是迹线。在定常流场中通过某一固定点的迹线只有一条，但在非定常流场中通过同一点的迹线可以有很多！

如果已知Euler 坐标下的速度场

T ((,,,),(,,,),(,,,))u x y z t v x y z t w x y z t =V

则只要求解ODE 组

(,,,)(,,,)(,,,)dx

u x y z t dt dy

v x y z t dt dz

w x y z t dt ?=???=???=??

或

(,,,)(,,,)(,,,)

dx dy dz

dt u x y z t v x y z t w x y z t === (2.10)

就可得到迹线的表达式。在方程(2.10)中，t 为自变量，而,,x y z 都是t 的函数。

2.2.2 流线、流面和流管

流线（streamline ）是Euler 速度场在某时刻的向量线。它是某一固定时刻的空间曲线，该曲线上任一点的切向量与流体在这点的速度矢量方向相同。固定时刻0t ，设流线的参数方程为()s =x r ，则其上一点的切向量为d r 。如果流体在这点的速度为0(,)t V x ，由流线的定义，有

0d ×=r V (2.11)

即 000(,,,)(,,,)(,,,)

dx dy dz

u x y z t v x y z t w x y z t ==

(2.12) 或

00

wdy vdz wdx udz vdx udy ?=?=?= (2.13) 这就是流线满足的微分方程，如果给定流线的起始点就可以通过积分(2.13)得到流线的解析

表达式。在方程(2.12)或(2.13)中，时间t 为参数而不是自变量，求积分时应将t 看成常数。 大多数情况下，在某一时刻通过空间一点只能作一条流线，因为该时刻在同一点处只能有一个速度方向，所以流线通常不能相交。但在流场中速度为零的点（称为驻点），或速度为无穷大的点（称为奇点）处，流线可以相交。

流线是某时刻的速度场向量线，迹线是某质点在一段时间内运动的轨迹。某时刻位于空间一点的流体质点将沿着该时刻的流线方向运动，并在此流线上流下一微段迹线，但此后由于流动的不定常性，速度方向发生改变，该质点将沿新的流线方向运动，又在新的流线上留下微段迹线，如此继续下去。由此可见迹线与流线在一般情况下是不会重合。在定常流动中流线不变，且所有处于流线上的质点只能沿流线运动，流线与迹线重合。在不定常流中一般不重合。习题：讨论流场满足什么条件时流线与迹线重合。

例：给定速度场,,0u x t v y t w =+=?+=。

(1) 求0t =时，通过点(1,1,0)M ??的流线。 (2) 求0t =时位于(1,1,0)M ??处的质点的迹线。

解：

（1） 流线的微分方程为

dx dy dz u v w

==，因0w =，故0dz =，即z =常数，由流线过M 点知流线位于0z =坐标平面上。在t 时刻，流线方程为dx dy

x t y t

=

+?+，其中t 为参数。积分后得流线族为

()()x t y t C +?+=

其中积分常数C 取不同的值将表示不同的流线。将0,1,1t x y ==?=?代入知

1C =?，所以所求流线方程为1

0xy z =??=?

（2） 迹线满足的微分方程为

,,0dx dy dz

x t y t dt dt dt

=+=?+= 求解这个非齐次常系数线性ODE 组，得

1231,1,t t x C e t y C e t z C ?=??=+?=

将初值(0)1,(0)1,(0)0x y z =?=?=代入，得1230C C C ===。因此，0t =时位于(1,1,0)M ??处的质点的迹线为

1,1,0x t y t z =??=?=

消去t 后，得到一条xy 平面上的直线

2x y +=?

如图所示，此时流线与迹线不重合。

练习：已知流体质点运动轨迹为

1,1x at y bt =+=?

其中,a b 为常数。试求流线族并证明此时流线与迹线是重合的。

流线的概念给我们研究流场性质带来很大方便，这是因为流场中的流线族可以清楚地表示出流场中各点处流体运动的速度方向及大小。下面我们从流线的概念引申出流面和流管的概念。

在流体占据的空间中画一条封闭曲线C ，只要C 本身不是流线，过其每一点作流线，则这些流线就组成一个曲面，称为流管。如果曲线C 不是封闭的，则过其上每点的流线就形成流面。

由于流管的侧表面是由流线组成的流面，根据流线的定义，流面上任一点的法向和当地流场速度方向垂直，即在流面上总有

0?

=

V n

因此流体不能穿越流面。

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