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高考复习：函数的单调性

定义

定义域

区间

对应法则值域

一元二次函数一元二次不等式

映射

函数

性质

奇偶性

单调性周期性

指数函数

根式分数指数

指数函数的图像和性质

指数方程对数方程

反函数

互为反函数的函数图像关系

对数函数

对数

对数的性质

积、商、幂与根的对数

对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质

一、单调性

1．定义：如果函数f(x)y 对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、

(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .

(2) 导数法，若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导，①若，则f (x )在这个区间上是增函数；②若，则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论

1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为； 3．互为反函数的两个函数有的单调性；

4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g(x )的单调相同，则f [g(x )]为，若f (x ), g(x )的单调性相反，则f [g(x )]为 .

5．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调

1、增函数与减函数的定义：

定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，（1）若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数；（2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数。 2、单调性与单调区间

若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集；

（2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不， 1、定义法

步骤：(1)取值：设2121,x x A x x <∈且；

(2)作差：21()()f x f x -；

(3)变形：一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出；

(4)定号：即确定差21()()f x f x -的符号，当符号不确定时，可进行分区

间讨论；

(5)判断：根据增函数与减函数的定义下结论。

例讨论函数342+-=x x y 的单调性.

解：取x 1＜x 2，x 1、x 2∈R ，取值

f (x 1)－f (x 2)＝(x 12－4x 1+3)－(x 22－4x 2+3) 作差

＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4) 变形

当x 1＜x 2＜2时，x 1＋x 2－4＜0，f (x 1)＞f (x 2)，定号 ∴y ＝f (x )在(－∞, 2)单调递减．判断当2＜x 1＜x 2时， x 1＋x 2－4＞0，f (x 1)＜f (x 2)，

∴y ＝f (x )在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y ＝f (x )在(－∞, 2)单调递减，y ＝f (x )在(2, ＋∞)单调递增.

2、导数法：一般地，设函数y =f (x ) 在某个区间内有导数.

(1)如果在这个区间内y '>0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的增函数； (2)如果在这个区间内y '<0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的减函数. 利用导数确定函数的单调性的步骤：

(1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数； (3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．例已知函数

||ln )(2x x x f =，求函数)(x f 的单调区间；

解：函数)(x f 的定义域为{R x x ∈|且0≠x }

当0>x

时，

)1ln 2(1

ln 2)(2

+?=?+?='x x x

x x x x f

若2

10-

0)(<'x f ，)(x f 递减；

若2

1->e

，则

0)(>'x f ，)(x f 递增．

当0x

<时，由于)(x f 是偶函数，得)(x f 的递增区间是),(2

1---∞e 和

),(2

1∞+-

；递减区间是)0,(2

1--e 和),0(2

．

例1已知

?≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么

a 的取值范

围是（）

（A ）)1,0( （B ）)31

,0( （C ）)31,71[ （D ）)

1,71[

例2在区间)0,(-∞上为增函数的是（） A ．)

(log 2

1x y --= B ．

x x

y -=

1 C ．2

)1(+-=x y

D ．2

1x y +=

例

3 设1,0≠>a a ，函数x a x f -=)(是增函数，则不等式

0)75(log 2

>+-x x a 的解集为 ( ) 【（2，3）】例4 判断函数)0(1)(2≠-=

a x ax

x f 在区间（-1，1）上的单调性。

例5

设a >0且1≠a ，试求函数

)34(log 2

x x y a -+=的单调区间。例6已知函数)x (f =x a +1

+-x x (a ＞1)，证明：函数)x (f 在(-1,+∞)上为增函数.

证明方法一任取1x 、2x ∈(-1,+∞), 不妨设1x ＜2x ,则2x -1x ＞0,12x x a -＞1且01

>x a ，

∴

0)1(1

>-=--x x x x x a

a a a ，又∵x 1

+1＞0,x 2

+1＞0,

∴

)

1)(1()

(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x ＞0,

于是f(x 2)-f(x 1)=12

x x a a

-01

121122>+--+-+

x x x x 故函数)x (f 在（-1,+∞）上为增函数. 方法二 )x (f =)1(1

1>+-+a x a x , 求导数得

)

(x f '=a ln a x 2

)

1(1

x ,∵a ＞1,∴当x ＞-1时，a ln a x ＞0, 2

)1(1

+x ＞0, )

(x f '＞0在（-1，+∞）上恒成立，则)x (f 在（-1,+∞）上为增函数.

方法三 ∵1>a ,∴x a y =为增函数，

又1

112+-+=+-=

x x x y ，在（-1，+∞）上也是增函数. ∴1

+-+=x x a y x 在（-1，+∞）上为增函数.

例7. (2009〃福建文)已知函数

21(),3

f x x ax bx =++且

'(1)0f -=

（I ）试用含a 的代数式表示b ；

（Ⅱ）求

()f x 的单调区间；

（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点

1122(,()),(,())M x f x N x f x ，

证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点；解法一：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++；

（II ）

由

'(1)120f a b -=-+=得21b a =-

（Ⅱ）由（I ）得

321()(21)3

f x x ax a x =

++- 故2

'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-

令

'*()0f x =，则1x =-或12x a =-

①当1a >时，121

a -<-

当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：

由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和，单调减区间

为(12,1)a -- ②由1a

=时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R

③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)

-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- 综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，

单调减区间为(12,1)a --；当1a

=时，函数()f x 的单调增区间为R ；

当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --

（Ⅲ）当1a =-时，得

21()33f x x x x =

--；

由

3'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=

由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区

间为

(1,3)-

所以函数

()f x 在

121.3

x x =-=处取得极值。故

(1,).(3,9)3

M N --

所以直线MN 的方程为

813

y x =-- 由22

133813y x x x y x ?=--????=--??

得32330x x x --+= 令32()33F x x x x =--+ 易得

(0)30,(2)3F F =>=-<

，而

()F x 的图像在

(0,2)内是一条连续不断的曲线，

故()F x 在(0,2)内存在零点0x

，这表明线段MN 与曲线

()f x 有异于

,M N 的公共点

解法二：

（I ）同解法一（Ⅱ）同解法一。（

Ⅲ

）

当

a =-时，得

21()33f x x x x x

--，由

'()230f x x

x =--=，得1

21,3x x =-= 由（Ⅱ）得

()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为

(1,3)

-，所以函数

()

f x 在

121,3

x x =-=处取得极值，故

(1,),(3,9)3

M N --

所以直线MN 的方程为8

y x =--

由32133813y x x x y x ?=--???

?=--??

得

32330

x x x --+=；

解得

1231,1.

x x x =-==

12331211

35119,,33x x x y y y =-=??=???

∴???=-==-?????

所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11

(1,)3

D 上是增(减)函数的方法有：(1) 定义法.其过程是：作差——变形——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2) 求导法.其过程是：求导——判断导函数的符号——下结论.

2．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.

3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围. 1：讨论函数f （x ）=x+x

a （a ＞0）的单调性. 2. 判断函数f(x)=

12-x 在定义域上的单调性.

变式训练：求函数y=

log （4x-x 2）的单调区间.

3. 求下列函数的最值与值域：

（1）y=4-

23x x -+; (2)y=x+x

4;(3)y=

)2(122+-++x x .

变式训练：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf （x ）=f （x+1）-f （x ）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （x ＞0）台的收入函数为R （x ）=3 000x-20x 2 (单位：元)，其成本函数为C （x ）=500x+4 000（单位：元），利润是收入

与成本之差.

（1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x ）；

（2）利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）是否具有相同的最大值？

4．（2009·广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2

x x =f(x 1)-f(x 2)，

且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；

（2）判断f(x ）的单调性；

（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 变式训练：函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.

（1）求证：f(x)是R 上的增函数；

（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2

-m-2)＜3.

补充例题：

【例2】设a >0且1≠a ，试求函数)34(log 2x x y a -+=的单调区间。【例1】判断函数)0(1

)(2

≠-=

a x ax

x f 在区间（-1，1）上的单调性。【例3】求函数)21(3

)(2

≤≤-=

x x x x f 的值域。补充练习：

1．在区间)0,(-∞上为增函数的是（）

A ．)(log 2

1x y --= B ．x

x y -=

1 C ．2)1(+-=x y D ．21x y +=

2．已知偶函数)(x f 在区间],0[π上单调递增，那么下列关系成立的是（）

A ．)(π-f >)2(-f >)2

(π

B ．)(π-f >)2

(π

-f >)2(-f

C ．)2(-f >)2

(π

f >)(π-f

D ．)2

(π

f >)2(-f >)(πf

3．已知函数)(x f 在),(∞+-∞内是减函数，0,,≤+∈b a R b a 且，则有（）

A ．)()()()(b f a f b f a f --≤+

B ．)()()()(b f a f b f a f --≥+

C ．)()()()(b f a f b f a f -+-≤+

D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+

4．函数2

x e e y --=的反函数是（）

A ．是奇函数，且在),0(∞+上是减函数

B ．是奇函数，且在),0(∞+上是增函数

C ．是偶函数，且在),0(∞+上是减函数

D ．是偶函数，且在),0(∞+上是增函数

5．函数x

y +-=

11的减区间是 6．函数5

42)

1(+-=x x y 的单调减区间是

7．若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是 8．已知奇函数)(x f y =是定义在（-2，2）上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，则实数m 的取值范围是

9．设x x e

a e x f a +=

>)(,0是R 上的偶函数，（1）求a 的值；（2）证明)(x f 在),0(∞+上是增函数。 10．已知函数x

x x f 1

)(+

= （1）判断)(x f 在区间（0，1）和),1[∞+上的单调性；（2）求)(x f 在]5,2

1[∈x 时的值域。

函数单调性讲解及常见类型(整理)

函数的单调性题型一判断、讨论、证明函数的单调性 1 判断函数 y=x- 1 在其定义域上的单调性。 x 2 讨论并证明 y=x+ 1 在定义域上的单调性。 x 3 定义在R 上的函数 f （x ）对任意不相等实数 a ，b 总有 f （a ）- f （b ） >0成立，则必有 a -b A 、函数 f （x ）是先增加后减小 B 、函数 f （x ）是先减小后增加 C 、f （x ）在R 上是增函数 D 、f （x ）在 R 上是减函数 4已知 f （x ） =（2k +1）x + b 在实数R 是减函数，则k 的取值范围为（） 5 已知函数 f （x ） = x 2 +bx +c ,x （0,+）是单调函数，则实数b 的取值范围为（） A .b 0. B .b 0 C .b 0 D , b 0 6 已知 f （x ） = x 2 -2（1-a ）x + 2在（- ,4］上是减函数，求实数a 的取值范围。题型二抽象函数的单调性 1、已知 f （x ）是定义在［-1,1］上的增函数，且 f （x-2）f （ 8 （ x — 2））的解集是 A 、（2， 16 ) B 、（ —∞， 7 ） C 、（ 2 ，+ ∞） D 、（2， 16 )

题型四用图形讨论函数单调性 1 函数y=|x—3|—|x+1|的单调递减区间是。 2画出函数y=-x2+2x +3的图像，并指出函数的单调区间. 3 画出函数y=|x| 的图像，并判断其单调性。 4画出函数y=|x2+2x-1|的图像，并指出其在R 上的单调性。题型五基本初等函数的单调性问题 1.设函数y = x2-4x+3,x[1,4]，则f（x）的最小值和最大值为（） A.-1 ，3 B.0 ，3 C.-1，4 D.-2，0 2．函数f（x）=—x2+2（a—1）x+2 在（—∞，4）上是增函数，则a 的范围是 A 、a≥5 B 、a≥3 C、a≤3 D、a≤—5

函数的单调性知识点总结与题型归纳

函数的单调性知识梳理 1. 单调性概念一般地，设函数()f x 的定义域为I ：（1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数；（2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法（1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间．例题精讲【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升哪些区间下降？解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；（2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？

函数的单调性·典型例题精析

2．3．1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y＝|x2＋2x－3| (2)y (3)y ＝＝ x x x x x 2 2 2 11 23 - -- --+ || 解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示．由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1] (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．解当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x．当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞) (3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1] 上是在x∈[－1，1] 上是．而＝在≥上是增函数． y u0 u ∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范

围．解当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤． a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a a --??? ?? 若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范围是0≤a ≤1．【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15 时为减函数． ∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数＝ ≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 2 1 - 解任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2． ∵－＝ ∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴ ＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 100 12121221a x x x x x x x x x x x x ()()()() ()()()() 122112 22 12 12 122112 22 111111+---+--- 当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．证取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2． ∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0 2112221212 1212 1222 122 121212 1222证法一

知识点一-导数与函数的单调性

1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：：，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间；

《函数的单调性和奇偶性》经典例题

经典例题透析类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x10 ∴x1f(x2) 上是减函数. 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.

类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，

在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，；

1.3.1函数的单调性例题

1.3.1函数的单调性题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间（1）12-=x y ; （2）322++-=x x y ; （3）2 )2(1-++=x x y ; （4）969622++++-=x x x x y 相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性用定义法证明函数的单调性步骤：取值作差变形定号下结论 ?取值，即_____________________________； ?作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； ?定号，即____________________________________________________________; ④下结论，即______________________________________________________。例2.用定义法证明下列函数的单调性（1）证明：1)(3 +-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数.

▲定义法证明单调性的等价形式：设[]b a x x ,21∈、，21x x ≠,那么 [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?>--? >--在[]b a ,上是增函数； [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?<--? <--在[]b a ,上是减函数. (2)证明：x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数；（3）证明：21 )(x x f = 在()0,∞-上是增函数；法一：作差法二：作商

高中函数单调性知识点及习题

函数的简单性质一、函数的单调性 1、单增函数：在函数y=f(x)的定义域的一个区间M中，如果对于任意两个值x1，x2，当改变量x2>x1时，有Δy＝f(x2)－f(x1)>0，即：f(x2)> f(x1)那就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，． 2、单减函数：在函数y=f(x)的定义域的一个区间M中，如果对于任意两个值x1，x2，当改变量x2>x1时，有Δy＝f(x2)－f(x1)<0，即：f(x2)< f(x1)就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数， 2．单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单增函数或是单减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3、证明单调性：用定义证明函数单调性的步骤 (1)设x1，x2是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x1

5、常用结论：（1）若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数（2）若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数（3）若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x)和g(x)的共定义域上f(x)+g(x)为增（或减）函数（4）若f(x)>0,且为增函数，则函数为增函数，为减函数若f(x)>0,且为减函数，则函数为减函数，为增函数练习： 1、（函数单调性的判断）（1）证明函数x x f- = ) (在定义域上是减函数。（定义法）（2）证明函数3 ()2 f x x x =--在R上是单调递减函数；（定义法）（3）证明函数2 ()231 f x x x =-+-在区间 3 (,] 4 -∞上是单调递增函数；（图像法）

函数的单调性知识点与题型归纳

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意：研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集单调区间不能并！知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1

2 2.单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是增函数；

3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究问题2 单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．知识点二单调性的证明方法：定义法及导数法《名师一号》P16 高频考点例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 10，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数．注意：(补充) （1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，

证明函数单调性的方法总结

证明函数单调性的方法总结导读：1、定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1 ②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． 2、导数法: 设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) 注意：(补充) （1）若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数．（2）单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等（补充）单调性的有关结论 1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，

则为减(增）函数，为增（减）函数 3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的'单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数．简称”同增异减” 5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．函数单调性的应用 (1)求某些函数的值域或最值． (2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式． (4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象．【证明函数单调性的方法总结】 1.函数单调性的说课稿 2.高中数学函数的单调性的教学设计 3.导数与函数的单调性的教学反思

(完整版)函数单调性奇偶性经典例题

函数的性质的运用 1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x =()图象上的是（） A.(())a f a ，- B.(())--a f a ， C.(())---a f a ， D.(())a f a ，- 2. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-= +x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______． 4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________． 5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值；（2）判断f(x ）的单调性；（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数；（2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. 8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）；（2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（） A ． 0 B ．9 C ．12 D ．18 10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123 2 x x <<，则实数m 的取值范围 11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =，则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2 x ；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则 2(2log 3)f +＝ A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f ( 2 1 )=－1,当且仅当0

函数单调性的判定方法

函数单调性的判定方法 1.判断具体函数单调性的方法对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种： 1.1 定义法首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f 为定义在D 上的函数。若对任何1x 、 D x ∈2，当21x x <时，总有 (1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数； (2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数 )(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：（1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <；（2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则

).)(()()()(212 221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=- 由于04 3)2(2 2221212221>++ =++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(212 2211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在() +∞∞-,上是减函数。例2.用定义证明函数x k x x f + =)()0(>k 在),0(+∞上的单调性。证明：设1x 、),0(2+∞∈x ，且21x x <，则 )()()()(221121x k x x k x x f x f +-+ =-)()(2 121x k x k x x -+-= )( )(211221x x x x k x x -+-=)()(212121x x x x k x x ---=))((2 12121x x k x x x x --=，又210x x <<所以021<-x x ，021>x x ，当1x 、],0(2k x ∈时021≤-k x x ?0)()(21≥-x f x f ，此时函数)(x f 为减函数；当1x 、),(2+∞∈k x 时021>-k x x ?0)()(21<-x f x f ，此时函数)(x f 为增函数。综上函数x k x x f + =)()0(>k 在区间],0(k 内为减函数；在区间),(+∞k 内为增函数。此题函数)(x f 是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于k x x -21与0的大小关系)0(>k 不是明确的，因此要分段讨论。用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数21,x x 当 21x x <时，容易得出)(1x f 与)(2x f 大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。 1.2 函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我

(完整word版)函数的单调性典型例题.docx

函数的单调性及典型习题一、函数的单调性 1、定义：（1）设函数y f (x) 的定义域为A，区间 M A ，如果取区间 M 中的任意两个值x1, x2 ,当改变量x 2 x1 时，都有f ( x 2) f ( x1 ) 0，那么就称函数y f ( x) 在区间M上是增函数，如图（1）当改变量x2x10 时，都有 f ( x2 ) f (x1) 0，那么就称函数y f (x) 在区间M上是减函数，如图（2）注意：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．2、巩固概念： 1、定义的另一种表示方法如果对于定义域I内某个区间 D 上的任意两个自变量x1,x2,若f ( x 1 ) f (x2 )0 即 x1x2 y ，则函数 y=f(x)是增函数，若f ( x1 ) f ( x2 ) 0 即y0 ，则函数y=f(x)为减函数。 x1x2 x x 判断题： ①已知 f (x)1 1) f(2) ，所以函数 f ( x) 是增函数．因为 f ( x ②若函数 f ( x) 满足 f (2) f (3)则函数 f ( x) 在区间2,3 上为增函数． ③若函数 f ( x) 在区间 (1,2] 和 (2,3) 上均为增函数，则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数． ④ 因为函数 1 在区间,0),(0,) 上都是减函数，所以 f ( x) 1 f ( x)在 x x ( ,0)(0, ) 上是减函数. 通过判断题，强调几点： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．

②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域 ( 如一次函数 ) ，可以是定义域内某个区间 ( 如二次函数 ) ，也可以根本不单调 ( 如常函数 ) ． ③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。 ④函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在 A B 上是增（或减）函数．熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性． 1．函数 y ＝－ f （ x ）与函数 y ＝ f （ x ）的单调性相反． 1 2．当 f （ x ）恒为正或恒为负时，函数 y ＝ f ( x) 与 y ＝ f （ x ）的单调性相反． 3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等 3．判断函数单调性的方法（ 1）定义法．（ 2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单调性均可直接说出．（ 3）图象法．例 1、证明函数 f ( x) 1 ）是减函数．在（ 0， + x 练习 1：证明函数 f ( x) x 在 0, 上是增函数． 1 1 x 例 2、设函数 f （x ）＝ x 2 ＋ lg 1 x ,试判断 f （ x ）的单调性，并给出证明．例 3、求下列函数的增区间与减区间 (1)y ＝ |x 2 ＋ 2x － 3| x 2 2x (2)y ＝ 1| 1 |x (3)y ＝ x 2 2x 3

高中的常见函数图像及基本性质

常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定义域：R 值域：R 单调性：当k>0时；当k<0时奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；例题：y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周期性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： b

反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限；双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定义域：),0()0,(+∞-∞ 值域：),0()0,(+∞-∞ 单调性：当k> 0时；当k< 0时周期性：无奇偶性：奇函数反函数：原函数本身补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数）（对比标准反比例函数，总结各项内容）二次函数一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点当00时，函数图象与x 轴有两个交点（）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定义域：R 值域：当0>a 时，值域为（）；当0 a 时；当0