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高数同济第五版第十二章答案

习题12-1

1. 试说出下列各微分方程的阶数:

(1)x (y ')2

-2yy '+x =0; 解一阶. (2)x 2

y '-xy '+y =0; 解一阶. (3)xy '''+2y '+x 2

y =0; 解三阶. (4)(7x -6y )dx +(x +y )dy =0; 解一阶. (5)02

2=++C Q

dt dQ R

dt Q d L

; 解二阶(6)

θρθ

ρ2sin =+d d . 解一阶. 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:

(1)xy '=2y , y =5x 2

; 解 y '=10x . 因为xy '=10x 2

=2(5x 2

)=2y , 所以y =5x 2

是所给微分方程的解 (2)y '+y =0, y =3sin x -4cos x ; 解 y '=3cos x +4sin x . 因为y '+y =3cos x +4sin x +3sin x -4cos x =7sin x -cos x ≠0, 所以y =3sin x -4cos x 不是所给微分方程的解.

(3)y ''-2y '+y =0, y =x 2e x ; 解 y '=2xe x +x 2e x , y ''=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x . 因为y ''-2y '+y =2e x +4xe x +x 2e x -2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0,所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解. (4)y ''-(λ1+λ2)y '+λ1λ2y =0, x x e C e C y 2121λλ+=. 解 x x e C e C y 212211λλλλ+=', x x e C e C y 212

222

11λλλλ+=''. 因为y y y 2121)(λλλλ+'+-''

)())((21212121212211212

222

11x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++-+==0, 所以x x e C e C y 2121λλ+=是所给微分方程的解.

3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:

(1)(x -2y )y '=2x -y , x 2-xy +y 2=C ; 解将x 2-xy +y 2=C 的两边对x 求导得2x -y -xy '+2y y '=0, 即 (x -2y )y '=2x -y , 所以由x 2-xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解. (2)(xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0, y =ln(xy ). 解将y =ln(xy )的两边对x 求导得 y y

x y '+=

1, 即x xy y y -='. 再次求导得

)(1)()()

1()(22

y y y y y

x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y '+'-'-?-=

-+-'-=

--'+--'=''. 注意到由y y x y '+=

'11可得1-'='y x y y

, 所以

)2(1

])1([12y y y y x x

xy y y y y y x x xy y '+'-'-?-='+'-'-'-?-=

'', 从而 (xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0,

即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解.

4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件: (1)x 2

-y 2

=C , y |x =0=5; 解由y |x =0=0得02

-52

=C , C =-25, 故x 2

-y 2

=-25. (2)y =(C 1+C 2x )e 2x , y |x =0=0, y '|x =0=1; 解 y '=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x . 由y |x =0=0, y '|x =0=1得??

?=+=1

121C C C , 解之得C 1=0, C 2=1, 故y =xe 2x .

(3)y =C 1sin(x -C 2), y |x =π=1, y '|x =π=0. 解 y '=C 1cos(x -C 2). 由y |x =π=1, y '|x =π=0得

?=-=-0)cos(1)sin(2121C C C C ππ, 即???=-=0

cos 1sin 2121C C C C , 解之得C 1=1, 22π=C , 故)2sin(π-=x y , 即y =-cos x .

5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程: (1)曲线在点(x , y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;

解设曲线为y =y (x ), 则曲线上点(x , y )处的切线斜率为y ', 由条件y '=x 2, 这便是所求微分方程.

(2)曲线上点P (x , y )处的法线与x 轴的交点为Q , 且线段PQ 被y 轴平分. 解设曲线为y =y (x ), 则曲线上点P (x , y )处的法线斜率为y '

-1

, 由条件第PQ 中点的横坐标为0, 所以Q 点的坐标为(-x , 0), 从而有

y x x y '

-=+-1

0, 即yy '+2x =0. 6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比. 解

k dT dP =, 其中k 为比例系数. 习题12-2

1. 求下列微分方程的通解: (1)xy '-y ln y =0; 解分离变量得dx x

dy y y 1

ln 1=, 两边积分得??

=dx x

dy y y 1

ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C ,故通解为y =e Cx . (2)3x 2+5x -5y '=0; 解分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx , 两边积分得??+=dx x x dy )53(52,

即 1232

55C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232

1, 其中15

1C C =为任意常数.

(3)2211y y x -='-; 解分离变量得

11x

dx y

dy -=

两边积分得

-=-2

11x

dx y

dy 即 arcsin y =arcsin x +C , 故通解为y =sin(arcsin x +C ).

(4)y '-xy '=a (y 2+y ');

解方程变形为(1-x -a )y '=ay 2, 分离变量得

dx x a a dy y --=112

两边积分得??--=dx x a a dy y

112

, 即 1)1l n (1

C x a a y

----=-

, 故通解为)

1ln(1

x a a C y --+=

, 其中C =aC 1为任意常数.

(5)sec 2

x tan ydx +sec 2

y tan xdy =0;

解分离变量得

dx x x y y y tan sec tan sec 22-=, 两边积分得??-=dx x

y y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C , 故通解为tan x tan y =C .

(6)y x dx dy

+=10; 解分离变量得10-y

dy =10x

dx , 两边积分得??=-dx dy x

1010

, 即10

ln 10ln 1010ln 10C

x y +=-

-, 或 10-y =10x +C ,故通解为y =-lg(C -10x ).

(7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0; 解方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx ,

分离变量得

dx e e dy e e x x y y +=-11, 两边积分得??+=-dx e e dy e e x

y y 11, 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C , 故通解为(e x +1)(e y

-1)=C . (8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0; 解分离变量得

dx x x dy y y sin cos sin cos -=, 两边积分得??-=dx x

dy y y sin cos sin cos , 即 ln(sin y )=-ln(sin x )+ln C , 故通解为sin x sin y =C .

(9)0)1(32

=++x dx

y ; 解分离变量得 (y +1)2dy =-x 3dx ,

两边积分得??-=+dx x dy y 32)1(,即 1434

1)1(3

1C x y +-=+,

故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1). (10)ydx +(x 2-4x )dy =0. 解分离变量得

dx x

x dy y )411(4-+=, 两边积分得??-+

=dx x x dy y )41

1(4, 即 ln y 4

=ln x -ln(4-x )+ln C , 故通解为y 4

(4-x )=Cx .

2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1)y '=e 2x -y , y |x =0=0; 解分离变量得e y dy =e 2x dx , 两边积分得??=dx e dy e x y 2, 即 C e e x

y +=22

1, 或 )2

1l n (2C e y x +=. 由y |x =0=0得0)2

1ln(=+C , 21=C ,

所以特解)2121ln(

2+=x e y . (2)cos x sin ydy =cos y sin xdx , 4

|0π

=x y ;

解分离变量得tan y dy =tan x dx , 两边积分得??=xdx ydy tan tan , 即 -ln(cos y )=-ln(cos x )-ln C , 或 cos y =C cos x . 由4

|0π

=x y 得C C ==0cos 4

cos

, 2

C , 所以特解为x y cos cos 2=.

(3)y 'sin x =y ln y , e y x ==2

π;

解分离变量得

dx x

dy y y sin 1ln 1=, 两边积分得??=dx x dy y y sin 1ln 1, 即 C x y ln )2

ln(tan )ln(ln +=, 或 2t a n x

C e

y =. 由e y x ==2

π得4tan π

C e

e =

, C =1, 所以特解为2

tan x

e y =

(4)cos ydx +(1+e -x )sin ydy =0, 4

|0π

=x y ;

解分离变量得dx e e dy y y x x +=-

1cos sin , 两边积分得??+=-dx e

e dy y y x

1cos sin , 即 ln|cos y |=ln(e x

+1)+ln |C |, 或 cos y =C (e x

+1).

由4|0π==x y 得)1(4

cos 4+=ππe C , 42=

C , 所以特解为)1(4

2cos +=x

e y . (5)xdy +2ydx =0, y |x =2=1. 解分离变量得

dx x dy y 21-=, 两边积分得??-=dx x

dy y 2

1,即 ln y =-2ln x +ln C , 或 y =Cx -2. 由y |x =2=1得C ?2-2=1, C =4, 所以特解为24x

y =.

3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60?, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.

解设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x , 则由水力学有

x dt

)9802(5.062.0???=, 即dt x dV )9802(5.062.0???=. 又因为3

30tan x x r =?=, 故 dx x dx r V 223

π-

=-=,

从而 dx x dt x 2

)9802(5.062.0π

=???, 即 dx

x dt 23980

25.062.03???=

因此 C x t +???-=

5980

25.062.032π

. 又因为当t =0时, x =10, 所以

510980

25.062.053????=

C , 故水从小孔流出的规律为

645.90305

.0)

10(980

25.062.05322

5252

5+-=-

????=

x x t π

令x =0, 得水流完所需时间约为10s .

4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50

104k =, 从而k =20, 因此v t

F 20

=. 又由牛顿定律, F =ma , 即v

t dt dv 201=?, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满

足的微分方程. 解之得C t v +=22102

1, 即C t v 2202+=.

由初始条件有C +?=?221010502

1, C =250. 因此500202+=t v .

当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+?=v .

5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系. 解由题设知, R dt

dR λ-=, 即dt R

dR λ-=, 两边积分得ln R =-λt +C 1,

从而 )( 1C t e C Ce R ==-λ. 因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e -λt

. 又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021-=e R R , 从而1600

ln =

λ. 因此 t t e R e

R R 000433

.0010002

ln 0--

=. 6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.

解设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为

x y x y -=--2002, 故曲线满足微分方程: x

y dx dy -=, 即dx x dy y 1

1-=,

从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2?3=6, 曲线方程为xy =6. 7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与

河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.

解建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dt

v -==, 故dx =ky (h -y )dt . 又由已知, y =at , 代入上式得dx =kat (h -at )dt , 积分得 C t ka kaht x +-=

3223121. 由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223

21t ka kaht x -=. 因此船运动路线的函数方程为?????=-=ay

y t ka kaht x 3223

121, 从而一般方程为)31

2(32y y h a k x -=. 习题12-3

1. 求下列齐次方程的通解:

(1)022=---'x y y y x ; 解原方程变为

1)(2--=x

x y dx dy . 令x y u =

, 则原方程化为12-+=+u u dx du x u , 即dx x du u 1

12=-,

两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=-+, 即Cx u u =-+12,

将x y u =代入上式得原方程的通解Cx x y

x y =-+1)(2, 即222Cx x y y =-+.

(2)x

y dx dy x

ln =; 解原方程变为

x y x y dx dy ln =. 令x

u =, 则原方程化为 u u dx

du x

u ln =+, 即

dx x du u u 1)1(ln 1=-, 两边积分得ln(ln u -1)=ln x +ln C , 即u =e Cx +1, 将x

y u =

代入上式得原方程的通解y =xe Cx +1

. (3)(x 2

+y 2

)dx -xydy =0; 解这是齐次方程. 令x

u =

, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+x 2u 2)dx -x 2u (udx +xdu )=0, 即dx x

udu 1

=, 两边积分得u 2=ln x 2+C , 将x

u =代入上式得原方程的通解y 2=x 2(ln x 2+C ). (4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0; 解这是齐次方程. 令x

u =

, 即y =xu , 则原方程化为 (x 3+x 3u 3)dx -3x 3u 2(udx +xdu )=0, 即

dx x du u u 1

2133

2=-,

两边积分得C x u ln ln )21ln(2

3+=--, 即2

312x C

u -=, 将x

u =

代入上式得原方程的通解x 3-2y 3=Cx . (5)0ch 3)ch 3sh

2(=-+dy x

x dx x y y x y x ;

解原方程变为

x y x y dx dy +=th 32. 令x

u =, 则原方程化为 u u dx

du x u +=+th 3

2, 即dx x

du u

u 2sh ch 3=,

两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C , 即sh 3u =Cx 2, 将x y u =

代入上式得原方程的通解22sh Cx x

=. (6)0)1(2)21(=-++dy y x e dx e y

x y

. 解原方程变为

x y

e y x

dx 21)1(2+-=. 令y

u =

, 则原方程化为u u

e e

u dy du y u 21)1(2+-=+, 即u

u e e u dy du y 212++-=,

分离变量得dy y du e

u e u

u 1221-=++, 两边积分得ln(u +2e u )=-ln y +ln C , 即y (u +2e u

)=C , 将y

u =代入上式得原方程的通解C e y x y y x

=+)2(, 即C ye

x y

=+2.

2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解: (1)(y 2-3x 2)dy +2xydx =0, y |x =0=1; 解这是齐次方程. 令x

u =

, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2u 2-3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0,

即 dx x du u u u 133

2=--, 或dx x du u u u 1

)11113(=-+++-

两边积分得-3ln |u |+ln|u +1|+ln|u -1|=ln|x |+ln|C |, 即u 2-1=Cxu 3, 将x

u =

代入上式得原方程的通解y 2-x 2=Cy 3. 由y |x =0=1得C =1, 故所求特解为y 2-x 2=y 3. (2)x

y x y +=

', y |x =1=2; 解令x y u =

, 则原方程化为u u dx du x u +=+1, 即dx x

udu 1=, 两边积分得C x u +=ln 2

12, 将x

u =

代入上式得原方程的通解 y 2=2x 2(ln x +C ). 由y |x =1=2得C =2, 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2).

(3)(x 2+2xy -y 2)dx +(y 2+2xy -x 2)dy =0, y |x =1=1. 解这是齐次方程. 令x

u =

, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+2x 2u -x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u -x 2)(udx +xdu )=0, 即

dx x du u u u u u 11

12232-=+++-+, 或 dx x du u u u 1

)1211(2=+-+, 两边积分得ln|u +1|-ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C |, 即u +1=Cx (u 2+1), 将x

y u =

代入上式得原方程的通解x +y =C (x 2+y 2

). 由y |x =1=1得C =1, 故所求特解为x +y =(x 2

+y 2

3. 设有连结点O (0, 0)和A (1, 1)的一段向上凸的曲线弧A O , 对于A O

上任一点P (x , y ),

曲线弧P O 与直线段OP 所围图形的面积为x 2

, 求曲线弧A O 的方程.

解设曲线弧A O 的方程为y =y (x ). 由题意得20)(2

)(x x xy dx x y x =-?,

两边求导得x x y x x y x y 2)(2

)(21)(='--, 即 4-=

y y . 令x y

u =, 则有

4-=+u dx du x

u , 即dx x

du u 4

1-=, 两边积分得u =-4ln x +C . 将x

u =

代入上式得方程的通解y =-4x ln x +Cx . 由于A (1, 1)在曲线上, 即y (1)=1, 因而C =1, 从则所求方程为y =-4x ln x +x .

习题12-4

1. 求下列微分方程的通解:

(1) )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dx

x dx +=+?=+???=-----??.

(2)原方程变为x x y x y 2

31++=+'.])23([1

1C dx e x

x e y dx x dx x +??++?=?-

])23([1

])23([12C dx x x x C xdx x x x +++=+++=?? x

C x x C x x x x +++=+++=

22331)22331(1223.

(3) )(cos sin cos C dx e e e y xdx

x dx +???=?--)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+?=---?. (4) )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +???=?-)2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +?=?-

?+?=)c o s 1

c o s s i n 2(c o s C dx x

x x x =cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2

x .

(5)原方程变形为1

cos 1222-=-+'x x y x x y . )1cos (1221222C dx e x x e y dx x x

dx x x

+??-?=?--- )(s i n 1

1])1(1c o s [1122

22C x x C dx x x x x +-=+-?--=

?. (6) )2(33C d e e d d +???=?-θρθ

θ)2(33C d e e +=?-θθθ

θθθ3333

)32(--+=

+=Ce C e e . (7) )4(22C dx e x e y xdx

xdx +???=?-)4(22C dx e x e x x +?=?-2222)2(x x x Ce C e e --+=+=.

(8)原方程变形为y

x y y dy dx 1ln 1=+

. )1(ln 1

ln 1C dy e y e x dy y y dy

y +???=?- )ln 1(ln 1C ydy y y +?=

y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=. (9)原方程变形为2)2(22

1-=--

x y x dx dy . ])2(2[21

221

C dx e x e y dx x dx x +??-?

=?--- ?+-?

--=]2

1)2(2)[2(2C dx x x x =(x -2)[(x -2)2+C ]=(x -2)3

+C (x -2). (10)原方程变形为y x y dy dx 2

13-=-. ])21

([3

C dy e y e x dy y dy y +??-?=?- )12

3C d y y y y +?

-=?

2321)21(Cy y C y y +=+=.

2.)sec (tan tan C dx e x e y xdx

xdx

+???=?-

)(c o s 1)c o s s e c (c o s 1C x x

C x d x x x +=+?=

?. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .

(2) )sin (

1C dx e x x e y dx x dx x +???=

?-)cos (1

)sin (1C x x

C xdx x x x +-=+?=?. 由y |x =π=1, 得C =π-1, 故所求特解为)cos 1(1x x

y --=π.

(3) )5(cot cos cot C dx e e e y xdx

x xdx +???=?-

)5(s i n 1)s i n 5(s i n 1c o s c o s C e x

C x d x e x x

x +-=+?=?. 由4|

-==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1

cos +-=

x e x

y . (4) )8(33C dx e e y dx

dx +???=?-x x x x x Ce C e e C dx e e 333333

8)3

8()8(---+=+=+=?.

由y |x =0=2, 得32-

=C , 故所求特解为)4(3

3x e y --=. (5) )1(

3232C dx

e e

y dx x x dx x x +???=?

---)21

()1(2

2221

13131

3C e e x C dx e x

x x x x x +=+=

--?.

由y |x =1=0, 得e C 21-=, 故所求特解为)1(2

111

--=x e x y .

3. 解由题意知y '=2x +y , 并且y |x =0=0. 由通解公式得

)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dx

dx +=+??=??--=e x (-2xe -x -2e -x +C )=Ce x -2x -2.

由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x -x -1). 4.由牛顿定律F =ma , 得v k t k dt

21-=, 即

t m k v m k dt dv 12=+. 由通解公式得)()(2

211C dt e t m

k e

C dt e

t m

k e

v t

m k t

k dt

m k dt

m k +?=+???=?

)(

212

1C e

k m

k te

k k e

k t

k +-

=-. 由题意, 当t =0时v =0, 于是得22

1k m

k C =

. 因此

)(

122

2k m

k e k m

k te k k e

v t

m k t

k +

=-即 )1(222

k e

k m

k t k k v ---

5.由回路电压定律知01025sin 20=--i dt

di t , 即t i dt

di 5sin 105=+.

由通解公式得t dt

dt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(--+-=+???=?.

因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此

5s i n (25c o s 5s i n 55π-+=+-=--t e e t t i t t (A).

6.因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以

])(2[)]([2x x xf x

x yf y -??

=??, 即 f (x )=2f (x )+2xf '(x )-2x , 或 1)(21)(=+'x f x

x f .

因此 x

C x C dx x x

C dx e

x f dx

x dx x +=

+???=?

?-32)(1)1(

)(21

. 由f (1)=1可得31

C , 故x

x x f 3132)(+=.

7. (1)原方程可变形为x x y

dx dy y sin cos 1

12-=+, 即

x x y dx y d cos sin )(11-=---.

])c o s s i n ([1C dx e x x e y dx

dx +??-?=--?x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [-=+-=?-,

原方程的通解为

x Ce y

x sin 1

-=. (2)原方程可变形为x y x dx

dy y =-1

312, 即x xy dx y d -=+--113)(. ])([331

C dx e x e

xdx

+??-?=?--)(2

C dx xe e x x +-=?-

)31(22

232323-=+-

=--

x x x

Ce C e e

, 原方程的通解为311223

-=-x Ce y .

(3)原方程可变形为

)21(31

131134x y

dx dy y -=+, 即12)(33-=---x y dx y d .

])12([3C dx e x e y dx

dx +??-?=--?x x x Ce x C dx e x e +--=+-=?-12])12([,

原方程的通解为1213--=x Ce y

x .

(4)原方程可变形为

x y dx dy y =-4

511, 即x y dx y d 44)(44-=+--. ])4([444C dx e x e y dx dx +??-?=?-- )4(44C dx xe e x +-=?-x Ce x 441

-++

-=, 原方程的通解为x Ce x y

44411-++-=.

(5)原方程可变形为)ln 1(1

1123x y

x dx dy y +=?-?, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +-=+--.

])ln 1(2

C dx e

x e y dx

x dx

x +??+-?=

?--])ln 1(2[1

22C dx x x x

++-=

? x x x x

C 94

ln 322--=

, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122--=. 8. 解原方程可变形为)

()

(xy xg xy yf dx dy -=. 在代换v =xy 下原方程化为 )

()(22v g x v vf x v

dx dv

=-, 即 dx x du v f v g v v g 1)]()([)(=-, 积分得

C x d u v f v g v v g +=-?ln )]()([)

对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解. 9. (1) 令u =x +y , 则原方程化为

21u dx du =-, 即2

dx +=. 两边积分得x =arctan u +C . 将u =x +y 代入上式得原方程的通解

x =arctan(x +y )+C , 即y =-x +tan(x -C ). (2) 令u =x -y , 则原方程化为11

1+=-u

dx du , 即dx =-udu . 两边积分得122

1C u x +-=.

将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(2

C y x x +--=, 即(x -y )2=-2x +C (C =2C 1). (3)令u =xy , 则原方程化为u x u x u x u dx du x x ln )1(

2=+-, 即du u

u dx x ln 1

1=.

两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx . 将u =xy 代入上式得原方程的通解 xy =e Cx , 即Cx e x

y 1=.

(4)原方程变形为y '=(y +sin x -1)2

-cos x . 令u =y +sin x -1, 则原方程化为

x u x dx du cos cos 2-=-, 即dx du u

=21. 两边积分得 C x u +=-1

. 将u =y +sin x -1代入上式得原方程的通解C x x y +=-+-

1sin 1

, 即C

x x y +--=1sin 1.

(5)原方程变形为

)

1()

1(22y x xy x xy y dx dy +++-

=. 令u =xy , 则原方程化为

)

1()1(12

22u u x u u x u dx du x +++-=-, 即)1(122

u u x u dx du x ++=. 分离变量得

du u u u dx x )111(123++=. 两边积分得u u u

C x ln 1

21ln 21+--=+. 将u =xy 代入上式得原方程的通解xy xy y

x C x ln 1

21ln 221+--=+,

即 2x 2y 2ln y -2xy -1=Cx 2y 2(C =2C 1). 习题12-5

1. 判别下列方程中哪些是全微分方程, 并求全微分方程的通解: (1)(3x 2

+6xy 2

)dx +(6x 2

y +4y 2

)dy =0; 解这里P =3x 2+6xy 2, Q =6x 2y +4y 2. 因为

Q xy y P

??==??12, 所以此方程是全微分方程, 其通解为

C dy y y x dx x

=++??0

2202

)46(3,

即 C y y x x =+

2233

43. (2)(a 2-2xy -y 2)dx -(x +y )2dy =0; 解这里P =a 2

-2xy -y 2

, Q =-(x +y )2

. 因为

Q y x y P

??=--=??22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为

C dy y x dx a y

=+-??0

2)(,

即 a 2x -x 2y -xy 2=C .

(3)e y

dx +(xe y

-2y )dy =0; 解这里P =e y

, Q =xe y

-2y . 因为

Q e y P

y ??==??, 所以此方程是全微分方程, 其通解为

C dy y xe dx e y

y x

=-+??0

0)2(,

即 xe y -y 2=C .

(4)(x cos y +cos x )y '-y sin x +sin y =0;

解原方程变形为(x cos y +cos x )dy -(y sin x +sin y )dx =0. 这里P =-(y sin x +sin y ), Q =x cos y +cos x . 因为

Q x y y P

??=-=??s i n c o s , 所以此方程是全微分方程, 其通解为

C dy x y x dx y

=++??0

)cos cos (0,

即 x sin y +y cos x =C . 解

(5)(x 2-y )dx -xdy =0;

解这里P =x 2

-y , Q =-x . 因为

Q y P

??=-=??1, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 C x d y dx x y

=-??0

即

C xy x =-3

1. (6)y (x -2y )dx -x 2dy =0;

解这里P =y (x -2y ), Q =-x 2. 因为

y x y P

4-=??, x x

Q 2-=??, 所以此方程不是全微分方程. (7)(1+e 2θ

)d ρ+2ρe 2θ

d θ=0; 解这里P =1+

e 2θ

, Q =2ρe 2θ

. 因为

Q e y P

??==??θ22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为

C d e d =+??θ

θρ

θρρ0

22,

即 ρ(e 2θ+1)=C . (8)(x 2+y 2)dx +xydy =0. 解这里P =x 2

+y 2

, Q =xy . 因为

y y P

2=??, y x

Q =??, 所以此方程不是全微分方程.

2. 利用观察法求出下列方程的积分因子, 并求其通解: (1)(x +y )(dx -dy )=dx +dy ; 解方程两边同时乘以y

x +1

得 y

x dy

dx dy dx ++=-, 即d (x -y )=d ln(x +y ), 所以

x +1

为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x -y =ln(x +y )+C . (2)ydx -xdy +y 2xdx =0; 解方程两边同时乘以

y 得 02

=+-x d x y x d y y d x , 即0)2()(2

=+x d y x d ,

所以

y 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为

C x y x =+2

2. (3)y 2(x -3y )dx +(1-3y 2x )dy =0; 解原方程变形为

xy 2

dx -3y 3

dx +dy -3x 2

dy =0, 两边同时乘以

y 并整理得 0)33(2

=+-+x d y y d x y dy xdx , 即0)(3)1

()2(

2=--xy d y

d x d , 所以

为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为

C xy y

x =--31

22. (4)xdx +ydy =(x 2+y 2

)dx ; 解方程两边同时乘以

y x +得

2=-++dx y x ydy xdx , 即0)]ln(2

[22=-+dx y x d ,

所以

x +为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x 2+y 2=Ce 2x . (5)(x -y 2

)dx +2xydy =0; 解原方程变形为 xdx -y 2dx +2xydy =0, 两边同时乘以

1x 得 022

=-+x dx

y xydy x dx , 即0)()(ln 2=+x y d x d , 所以

为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C x

y x =+2ln , 即x ln x +y 2

=Cx .

(6)2ydx -3xy 2dx -xdy =0. 解方程两边同时乘以x 得

2xydx -x 2

dy -3x 2y 2

dx =0, 即yd (x 2

)-x 2

dy -3x 2y 2

dx =0, 再除以y 2

得 03)(2

22=--dx x y dy

x x yd , 即0)(

=-x y

x d 所以

y x

为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 032

=-x y

x . 3. 验证)]

()([1

xy g xy f xy -是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子, 并求下列方程

的通解:

解方程两边乘以)]

()([1

xy g xy f xy -得

0])()([)]

()([1

=+-dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy ,

这里)]()([)(xy g xy f x xy f P -=

, )]

()([)

(xy g xy f y xy g Q -=.

因为

x Q xy g xy f xy g xy f xy g xy f y P

??=-'-'=??2

)]

()([)()()()(, 所以

)]

()([1

xy g xy f xy -是原方程的一个积分因子.

(1)y (x 2y 2+2)dx +x (2-2x 2y 2)dy =0;

解这里f (xy )=x 2y 2+2, g (xy )=2-2x 2y 2 , 所以

331

)]()([1y x xy g xy f xy =-

是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以

331y x 得全微分方程

03232

222232=-++dy y x y x dx y x x ,

其通解为

C dy y

x y x dx x x y x

=-++??132221

323232

, 即 C y

x y x =-+-)1

1ln (ln 31222, 或221

2y x e Cy x =.

(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy -x 3y 3

)dy =0.

解这里f (x y )=2x y +1, g (x y )=1+2x y -x 3 y 3 , 所以

441

)]()([1y

x xy g xy f xy =-

是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以

x 得全微分方程 021124

4=-+++dy y x y x xy dx y x xy ,

其通解为 C dy y x y x xy dx x x y x

=-+++??14

3331

4211

即

C y y x y x =++||ln 31

322. 4. 用积分因子法解下列一阶线性方程: (1)xy '+2y =4ln x ; 解原方程变为x x

y x y ln 4

2=+', 其积分因子为 22

)(x e x dx

x =?=μ,

在方程x x

y x y ln 42=+

'的两边乘以x 2

得 x 2y '+2xy =4x ln x , 即(x 2y )'=4x ln x , 两边积分得

C x x x x d x x y x +-==?222ln 2ln 4, 原方程的通解为2

1ln 2x C

x y +

-=.

(2)y '-tan x ?y =x .

解积分因子为x e x xdx

cos )(tan =?=-μ,

在方程的两边乘以cos x 得

cos x ?y '-sin x ?y =x cos x , 即(cos x ?y )'=x cos x , 两边积分得

C x x x x d x x y x ++==??c o s s i n c o s c o s , 方程的通解为x

C x x y cos 1tan ++=.

习题12-6

1. 求下列各微分方程的通解: (1)y ''=x +sin x ; 解 12

cos 2

1)sin (C x x dx x x y +-=

+='?, 213

12s i n 61)c o s 2

(C x C x x dx C x x y ++-=+-=?, 原方程的通解为 213

s i n 6

1C x C x x y ++-=

. (2)y '''=xe x ;

解 12C e xe dx xe y x x x +-==''?,

21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++-=+-='?,

3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++-=++-=?, 原方程的通解为

32213C x C x C e xe y x x +++-=. (3)2

x y +=

''; 解 12

arctan 11

C x dx x

y +=+='?

x C dx x x

x x dx C x y 12

11arctan )(arctan ++-=+=?

同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。二、总学时与学分本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。三、课程教学基本要求及基本内容说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。

高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲

高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用高等数学（1）期末复习要求第一章函数、极限与连续函数概念

理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。 9．函数的连续性了解函数连续性的定义、函数间断点

的概念；会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型；知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质（最大值、最小值定理和介值定理）。第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。理解导数概念；了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。掌握隐函数的求一阶导及二阶导。会求参数表示的函数的一阶导及二阶导会用对数求导法：解决幂指函数的求

同济大学---高数上册知识点

高等数学上册复习要点一、函数与极限（一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点；函数在连续第一类：左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二）极限 1、定义 1）数列极限 2）函数极限左极限：右极限：

2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1） 2） 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量 1）定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小 1 ; 2 （无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则； 3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a)b) 5）无穷小代换：（） a) b)

c)（） d)（） e) 二、导数与微分（一）导数 1、定义：左导数：右导数：函数在点可导 2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率. 3、可导与连续的关系： 4、求导的方法 1）导数定义； 2）基本公式； 3）四则运算； 4）复合函数求导（链式法则）； 5）隐函数求导数； 6）参数方程求导； 7）对数求导法. 5、高阶导数

1）定义： 2）公式：（二）微分 1）定义：，其中与无关. 2）可微与可导的关系：可微可导，且三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理 1、罗尔定理：若函数满足： 1）；2）；3）；则. 2、拉格朗日中值定理＊：若函数满足： 1）；2）；则. 3、柯西中值定理：若函数满足： 1）；2）；3）则（二）洛必达法则

高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲

第一章函数、极限与连续函数概念理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限了解两个重要极限，会用两个重要极

限求函数极限。 9．函数的连续性了解函数连续性的定义、函数间断点的概念；会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型；知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质（最大值、最小值定理和介值定理）。第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。理解导数概念；了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。

高数第五版答案(同济)12-9

习题12-9 1. 求下列各微分方程的通解: (1)2y ''+y '-y =2e x ; 解微分方程的特征方程为 2r 2+r -1=0, 其根为211= r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211. 因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=Ae x , 代入原方程得 2Ae x +Ae x -Ae x =2e x , 解得A =1, 从而y *=e x . 因此, 原方程的通解为 x x x e e C e C y ++=-2211. (2)y ''+a 2y =e x ; 解微分方程的特征方程为 r 2+a 2=0, 其根为r =±ai , 故对应的齐次方程的通解为 Y =C 1cos ax +C 2sin ax . 因为f (x )=e x , λ=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=Ae x , 代入原方程得 Ae x +a 2Ae x =e x , 解得2 11a A +=, 从而21*a e y x +=. 因此, 原方程的通解为 2 211sin cos a e ax C ax C y x +++=. (3)2y ''+5y '=5x 2-2x -1; 解微分方程的特征方程为 2r 2+5r =0,

其根为r 1=0, 252-=r , 故对应的齐次方程的通解为 x e C C Y 2521-+=. 因为f (x )=5x 2-2x -1, λ=0是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y *=x (Ax 2+Bx +C ), 代入原方程并整理得 15Ax 2+(12A +10B )x +(4B +5C )=5x 2-2x -1, 比较系数得31=A , 53-=B , 257=C , 从而x x x y 25 75331*23+-=. 因此, 原方程的通解为 x x x e C C y x 2575 33123521+-++=-. (4)y ''+3y '+2y =3xe -x ; 解微分方程的特征方程为 r 2+3r +2=0, 其根为r 1=-1, r 2=-2, 故对应的齐次方程的通解为 Y =C 1e -x +C 2e -2x . 因为f (x )=3xe -x , λ=-1是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y *=x (Ax +B )e -x , 代入原方程并整理得 2Ax +(2A +B )=3x , 比较系数得23=A , B =-3, 从而)32 3(*2x x e y x -=-. 因此, 原方程的通解为 )323 (2221x x e e C e C y x x x -++=---. (5)y ''-2y '+5y =e x sin2x ; 解微分方程的特征方程为 r 2-2r +5=0, 其根为r 1, 2=1±2i , 故对应的齐次方程的通解为 Y =e x (C 1cos2x +C 2sin2x ). 因为f (x )=e x sin2x , λ+i ω=1+2i 是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y *=xe x (A cos2x +B sin2x ), 代入原方程得

高等数学(同济大学教材第五版)复习

高等数学(同济大学教材第五版)复习高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用高等数学（1）期末复习要求第一章函数、极限与连续函数概念理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系

会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。 9．函数的连续性了解函数连续性的定义、函数间断点的概念；会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型；知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质（最大值、最小值定理和介值定理）。第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。理解导数概念；了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。掌握隐函数的求一阶导及二阶导。

高数同济第五版第十二章答案

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